3
3.
.
M
M
en
e
ne
er
ra
ap
p
ka
k
an
n
Ko
K
o
ns
n
se
ep
p
Li
L
im
mi
it
t
Fu
F
u
ng
n
gs
si
i
d
d
an
a
n
Tu
T
u
ru
r
un
na
an
n
Fu
F
un
ng
g
si
s
i
A . Tujuan A khir
Setelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 16 ini diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di titik tak hingga.
2. Menggunakan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
3. Mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi sebagai turunan fungsi secara definitif. 4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
5. Memahami tafsiran geometri dari turunan fungsi.
6. Mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turunan menggunakan aturan turunan. 7. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenisnya.
Kegiatan Belajar 1.
A . Tujuan Kegiatan Belajar 1.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :
1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tertentu.
2. menjelaskan arti limit fungsi di tak hingga melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut, dan
3. melakukan kajian pustaka tentang definisi eksak limit fungsi.
B. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1. 1. Pengertian Limit Fungsi
Secara umum Limit didefinisikan bahwa it f
( )
x La
x→ =
lim dan disingkat f
( )
x La
xlim→ = , diartikan
bahwa jika x mendekati a dengan x a, nilaiƒ(x) mendekatiL. Limit Fungsi adalah nilai pendekatan di sekitar suatu titik (baik dari kiri maupun dari kanan titik itu), atau pada suatu titik tak hingga. Perhitungan nilai limit disekitar titik dapat dilakukan dengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan). Perhatikan contoh berikut :
Diketahui fungsi
( )
3
9
2−
−
=
x
x
x
f
, tentukan nilaiƒ(x) untuk x mendekati 3 jika dihitungdengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan).
Jawab :
Pendekatan dari kiri (limit kiri) :
x
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,95
2,99
2,999
….
3
( )
2 4 2
− − =
x x x f
5,5
5,6
5,7 5,8 5,9 5,95
5,99
5,999
….
6
Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kiri), maka nilai ƒ(x) mendekati 6,
Pendekatan dari kanan (limit kanan) :
x
3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,01
3,001
3,0001
….
3
( )
2 4 2
− − =
x x x f
6,5
6,4
6,3 6,2 6,1 6,01
6,001
6,0001
….
6
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kanan), maka ƒ (x) mendekati 6,
Sehingga dapat ditulis bahwa :
( )
3
9
2−
−
=
x
x
x
f
= 6 (baik dari kiri maupun dari kanan)Catatan :
a. Nilai limit ada jika nilai limit kiri sama dengan limit kanan.
b. Nilai limit tidak ada jika nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan.
2. Limit fungsi di titik tak hingga ( ~ )
Untuk memberikan gambaran perhatikan contoh berikut :
Diketahui fungsi
( )
x x
f =1 , tentukan nilai fungsiƒ(x) untuk x mendekati tak hingga ( x ~ ).
Jawab :
x
1
10
100
1.000 10.000
100.000
1.000.000
…
.
~
( )
x x
f =1
1
0,1
0,1
0,001 0,0001
0,00001
0,000001
…
.
0
Dari tabel terlihat bahwa jika x mendekati tak hingga, maka nilai ƒ(x) mendekati 0, dan dapat
ditulis : 1=0 ∞ → x
x
lim
C. Lembar Kerja Siswa 1
Jawablah dengan singkat dan benar !
Tentukan nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsiƒ(x) berikut ini : 1. ƒ(x) = 2x + 3 ( untuk x mendekati 2 )
2. ƒ(x) = 3x + 3 ( untuk x mendekati 2 )
3.
( )
2
4
2−
−
=
x
x
x
f
( untuk x mendekati 2 )4.
( )
5 25 2
− − =
x x x
f ( untuk x mendekati 5 )
5.
( )
3 6 2
− − − =
x x x x
f ( untuk x mendekati 3 )
Tentukan nilai fungsiƒ(x) untuk x mendekati tak hingga (x ~ ) dari beberapa fungsi berikut :
6.
( )
1
1
−
=
x
x
f
7.
( )
2
2
8
+
=
x
x
f
8.
( )
3
4
2
−
=
x
x
x
f
9.
( )
5
+
=
x
x
x
f
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
10.
( )
x
x
x
f
5
5
2
−
=
Kegiatan Belajar 2. A . Tujuan Kegiatan Belajar 2.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. menggunakan sifat-sifat limit fungsi
2. menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit. 3. melakukan penghitungan limit dengan manipulasi aljabar
4. mengenal macam-macam bentuk bilangan tak tentu : 5. menghitung nilai limit bentuk tak tentu , dan
6. menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi.
B. Uraian M ateri
1. Sifat-sifat limit fungsi
Untuk menyelesaikan permasalahan limit dengan menggunakan beberapa sifat limit berikut :
a.
k
k
a
x→
=
lim
( dengan a dan k suatu konstanta)
b.
x
a
a
x→
=
lim
c.
lim
f
(
x
)
f
(
a
)
a
x→
=
d.
lim
k
.
f
(
x
)
k
lim
f
(
x
)
a x a
x→
=
→e.
lim
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
lim
f
(
x
)
lim
g
(
x
)
a x a
x a
x→
±
=
→±
→( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)
f.
lim
[
f
(
x
).
g
(
x
)
]
lim
f
(
x
).
lim
g
(
x
)
a x a x a
x→
=
→ →( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)
g.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a x
a x
a x
→ → →
=
dengan
lim
(
)
≠
0
→a
g
x
xh.
[
]
[
]
na x n
a
x
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
→
→
=
i.
na x n
a
x
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
→
→
=
dengan catatan
limx→a f( )
x ≥0untuk n bilangan genap
2. Limit Fungsi A ljabar
Nilai limit sebuah fungsi dapat dihitung dengan cara subtitusi langsung terhadap variabelnya (sifat b). Jika hasil perhitungan dengan subtitusi langsung didapat bilangan bentuk tak tentu,
yaitu bentuk :
0 0
, ∞ ∞
atau ∞−∞ perhitungan nilai limit harus dengan cara lain,
misalnya pemfaktoran, penyederhanaan, dikalikan sekawannya dll.
Contoh 1 :
Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini : a.
lim
(
22
)
0
−
−
→
x
x
x
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
b. 2 2 3 2 2
2 + − + +
−
→ x x
x x
xlim
Penyelesaian :
a.
lim
(
22
)
0
−
−
→
x
x
x =
0
0
2
2
2
−
−
=
−
b. 2 2 3 2 2
2 + − + +
−
→ x x
x x
xlim =
( )
( )
( ) ( )
00 2 2 2 2 2 3 2 2 2 = − − + − + − + −
(bentuk tidak tentu), selanjutnya fungsi itu dapat
difaktorkan sebagai berikut :
2 2 3 2 2
2 + − + +
−
→ x x
x x
xlim =
(
)(
)
(
2)(
1)
1 2
2 + −
+ +
−
→ x x
x x
xlim =
(
)
(
1)
1 2 − + − → x x
xlim dengan substitusi akan didapat
(
)
(
2 1)
1 2 − − + − = 3 1
Contoh 2 :
Tentukan nilai dari
4
2
lim
2 2−
−
→x
x
x Penyelesaian :Dengan substitusi lansung akan didapatkan bentuk tidak tentu
0 0
penyelesaian dapat
dilakukan dengan mengalikan factor sekawan, menjadi;
4
2
lim
2 2−
−
→x
x
x =
(
2
)(
2
)
2
lim
2
−
+
−
→
x
x
x
x =
2
1
lim
2
+
→
x
x = 4
1
Contoh 3 :
Tentukan nilai dari
5 4 3 2 5 2 2 − + − ∞
→ x x
x
xlim
Penyelesaian :
Penyelesaian dengan substitusi akan mendapatkan bilangan tidak tentu bentuk ∞ ∞
selanjutnya dibagi dengan variable pangkat tertinggi, menjadi;
2 2 2 2 5 4 3 2 5 x x x x x
x + −
−
∞ →
lim =
2 2 5 4 3 2 5 x x x x − + − ∞ →
lim =
2 2 5 4 3 2 5 ∞ − ∞ + ∞ − = 3 5 0 0 3 0 5 = − + −
3. Limit Fungsi Trigonometri.
a. Pengertian Limit Fungsi Trigonometri.
Limit fungsi trigonometri adalah nilai pendekatan untuk sudut tertentu pada suatu fungsi trigonometri, untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan cara
subtitusi langsung, jika didapat bentuk tak tentu ( ∞−∞
∞ ∞ atau , , 0 0
), maka perhitungan nilai
limit fungsi trigonometri harus dengan cara lain.
Contoh 4 :
Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut :
a. x x sin lim π 3 1 → b. x x x sin sin lim 2 0 →
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Penyelesaian : a. x x sin lim π 3 1
→ = 3π
1
sin = o
60
sin = 3
2 1 b. x x x sin sin lim 2 0
→ = 0
0 0 0 2 = sin . sin
(bentuk bilangan tidak tentu)
untuk menyelesaikan dapat dilakukan dengan mengubah sin 2x dengan kesamaan trigonometrinya menjadi
x x x sin sin lim 2 0
→ = 2 2 0 2
2
0
0 = → = =
→ sin lim cos cos
cos sin lim x x x x x x
b. Rumus dasar penyelesaian limit fungsi terigonometri
Rumus-rumus limit fungsi trigonometri untuk x mendekati 0 :
Contoh 5 :
Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut :
a.
x
x
x6
sin
lim
0→ b.
x
x
x
tan
6
lim
0 → Penyelesaian : a.0
0
6
sin
lim
0=
→x
x
x (bentuk bilangan tak tentu), penyelesian dengan rumus dasar
6
6
.
1
1
6
.
6
6
sin
lim
6
6
.
6
sin
lim
6
sin
lim
0 00
=
→=
→=
=
→
x
x
x
x
x
x
x x x b.x
x
x
tan
6
lim
0→ = 0
0
(bentuk bilangan tak tentu), penyelesaian dapat dilakukan;
x
x
x
tan
6
lim
0→ =
6
1
6
1
.
1
6
1
.
6
tan
6
lim
6
6
.
6
tan
lim
00
=
→=
=
→
x
x
x
x
x xC. Lembar Kerja Siswa
Jawablah dengan singkat dan benar !
1. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
lim
(
2
3 23
1
)
2
−
+
−
−
→
x
x
x
x
Catatan :
1. Jika
π
diikuti oleh fungsi trigonometri, nilaiπ
= 180º 2. sin² x + cos² x = 13.
x
x
x
2
1
cos
.
2
1
sin
2
sin
=
4. x 2 1 2 1x sin2
cos = −
5. sin 2x = 2.sin x.cos x 6. cos 2x = 1 – 2.sin² x
1. 1 0 = → x x x sin
lim atau 1
0 =
→ ax ax
x
sin
lim 3. 1
0 =
→ x x
x
tan
lim atau 1
0 = → ax ax x tan lim 2. 1 0 = → x x x sin
lim atau 1
0 =
→ ax
ax
x sin
lim 4. 1
0 =
→ x
x
x tan
lim atau 1
0 =
→ ax
ax
x tan
lim
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
b.
x
x
x 2 03
lim
+
→ c.5
5
lim
2 5−
−
→x
x
x
x d. 5 25 2 5 − − → x x x lim e.2
8
lim
3 2−
−
→x
x
x2. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berkut ini !
a. 1 1 1 − − → x x x lim b.
3
3
lim
2 3−
−
→x
x
x c. x x x x 3 16 16 0 − − + → lim3. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
1
2
7
5
lim
2+
−
∞ →x
x
x b. 22
5
9
4
lim
x
x
x−
+
∞ → c.(
3
)(
1
)
9
lim
2+
−
−
∞→
x
x
x
x
d.
(
)
6
4
2
2
lim
2+
−
∞ →x
x
xe.
lim
{
(
−
2
)
−
2+
6
−
10
}
∞
→
x
x
x
x
4. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
a.
x
x
lim
→31πcos
2
b.
(
π
)
π 3 1
2
sin
lim
−
→x
x c.x
x
lim
sin
2
2
6
1π
→
d.
(
x
x
)
x 2 2
cos
sin
lim
4 1−
→ π5. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
x
x
x3
2
sin
lim
0 → b.x
x
sin
2
lim
2 1 0π
→ c.x
x
x3
2
tan
lim
0 →Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
d.
x
x
x
tan
5
3
sin
lim
0
→
e. 2
0
3
1
2
cos
lim
x
x
x
−
→Kegiatan Belajar 3.
A . Tujuan Kegiatan Belajar.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran secara geometris 2. merumuskan pengertian turunan fungsi
3. menghitung turunan fungsi aljabar 4. menentukan sifat-sifat turunan
5. menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri; serta 6. menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai.
B. Uraian M ateri
Konsep dan A turan Turunan Fungsi
Laju perubahan rata-rata nilai fungsi f(x) atau derivatif fungsi atau biasa disebut turunan fungsi dapat dituliskan sebagai berikut :
( )
(
) ( )
h x f h x f x
f
h
− + =
→0 lim '
Jika limit tersebut ada untuk x = a, dikatakan bahwa f’(a) diferensial atau turunan f(x) terhadap x untuk x =a.
Notasi untuk menyatakan turunan fungsi dariy = f(x) dapat menggunakan salah satu
berikut ini :y’ atau
dx dy
atauf ’ (x) atau
dx df
Contoh 1:
Tentukan turunan fungsif(x) = 3x² – 2x + 2 dengan rumus definisi turunan
Penyelesaian :
( )
(
) ( )
h x f h x f x
f
h
− + =
→0 lim '
( )
{
(
)
(
)
}
{
}
h
x
x
h
x
h
x
x
f
h
2
2
3
2
2
3
lim
'
2 2
0
+
−
−
+
+
−
+
=
→
( )
h
x
x
h
x
h
xh
x
x
f
h
2
2
3
2
2
2
3
6
3
lim
'
2 2
2
0
−
+
−
+
−
−
+
+
=
→
( )
6 3 20 + − =
→ x h
x f
h
lim
' dengan substitusi akan didapat
( )
x =6x−2f '
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Rumus Rumus Turunan Fungsi A ljabar
Dari rumus definisi di atas dapat kita temukan rumus-rumus turunan fungsi aljabar sebagai berikut :
Contoh 2 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.f(x) = 4 d.f(x) = 3x² + 3x + 3
b. f(x) = 3x e.f(x) = 3. x
c. f(x) = 3x²
Penyelesaian :
a.
f
( )
x
=
4
, maka berdasar sifat pertama f '( )
x =0b.
f
( )
x
=
3
x
=
3
x
1, maka berdasar sifat ke-3f
'
( )
x
=
1
.
3
x
0=
3
c.
( )
23x x
f = , maka berdasar sifat ke-3 f'
( )
x =6xd.
f
( )
x
=
3
x
2−
3
x
+
3
, maka berdasar sifat 1, 2, 3 dan 5f
'
( )
x
=
6
x
−
3
+
0
atau( )
6
3
'
x
=
x
−
f
e.
( )
21
3 3 x x x
f = = , maka berdasar sifat ke-3
( )
x x
x x
f
2 3
2 3 2
1 3
2 1 2 1
= =
= . −
'
Rumus- Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri :
Contoh 3 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.f(x) = 5.cos x c.f(x) = -3. sin x + 4.cos x
b.f(x) = 4.sin x d.f(x) =
2
x
5−
sin
x
1.
jika f( )
x =k, maka f'( )
x =0 untuk k = konstanta2.
Jika f( )
x =x, maka f'( )
x =13.
Jika f( )
x =a.xn, maka f '( )
x =na.xn−1, untukadann∈
real4.
Jika f( )
x =k.u, maka f'( )
x =k.u' di mana u adalah fungsi dalam x5.
Jika f( )
x =u±v, maka f '( )
x =u'±v' , di manau danv masing-masing fungsi dalam x6.
Jika f( )
x =u.v , maka f'( )
x =u'.v +u.v', di manau danv masing-masing fungsi dalam x7.
Jika( )
v u x
f = , maka
( )
2
v v u v u x
f ' = '. − . ', di manau danv masing-masing fungsi dalam x
1. Jikaf(x) = sin x, makaf ’ (x) = cos x 2. jikaf(x) = cos x, makaf ’ (x) = -sin x
Catatan :
x ec 1 x
cos sin =
x 1 x
sec cos =
x x x
cos sin tan =
x x x
an
sin cos
cot =
sin² x + cos² x = 1
cos 2x = cos² x = sin² x
son 2x = 2.sin x.cos x
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Penyelesaian :
a. f(x) = 5.cos x
f ’ (x) = 5.(-sin x) = -5.sin x
b. f(x) = 4.sin x
f ’ (x) = 4.(cos x) = 4.cos x
c. f(x) = -3.sin x + 4.cos x
f ’ (x) = -3.cos x + 4.(-sin x) = -3.cos x – 4 sin x
d. f(x) =
2
x
5−
sin
x
( )
x
x
x
f
'
=
10
4−
cos
Turunan Fungsi Tersusun (D alil Rantai)
Jikaf(x) = u {v(x)} merupakan fungsi majemuk dariu(x), turunan darif(x) dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :f ’ (x) =u ’ {v(x)}. v ’ (x)
Contoh 4 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
( )
2 2
3 2 1
−
= x
x f
b. f
( )
x =sin2 xc. f
( )
x =cos(
3x−π)
Penyelesaian :
a.
( )
2 2 3
2 1
−
= x
x
f maka turunan pertama dapat dicari sebagai berikut
( )
−
=
−
=
3
2
1
2
.
3
2
1
2
'
x
x
2x
x
x
f
(coba cek kembali jawaban ini secara aljabar)b. f
( )
x =sin2 x( )
x x x xf ' =2sin cos =sin2 c. f
( )
x =cos(
3x−π)
( )
x =−(
x−π)
=−(
x−π)
f ' sin3 .3 3sin3
C. Lembar Kerja Siswa
Jawablah dengan singkat dan benar !
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) berikut ini dengan menggunakan rumus
definisi
(
) ( )
h x f h x f
x
− +
→0
lim , jika :
a. f(x) = 2x - 7 b. f(x) = x² + 2x – 1 c. f(x) = 2x² - 3x + 7
2. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 2x + 7
b. f(x) = x² - 4x + 5 c. f(x) = (2x + 1) (x - 5)
d.
f
( )
x
x
1
+
−
=
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 5.sin x
b. f(x) = 2x.cos x
c. f(x) = 2.cos x.sin x d.
f
( )
x
=
cos
ec
x
e.
f
( )
x
=
sec
x
4. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini : a. f(x) = 3x - 2.sin x
b. f(x) = 4.sin x – 3.cos x c. f(x) = 3.Sin x.cos x d.
f
( )
x
=
5
.
cos
x
−
2
x
5. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :
a.
f
( ) (
x
=
3
x
−
1
)
6 b.f
( ) (
x
=
3
−
2
x
)
5c.
f
( )
x
=
sin
2(
x
−
π
)
d.
f
( )
x
=
3
cos
2(
2
x
−
π
)
26. Tentukan f '
( ) ( ) ( )
2 ,f ' −2 ,f ' k darif
( )
x
=
(
8
−
2
x
2)
2Kegiatan Belajar 4 A . Tujuan Kegiatan Belajar.
Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. mengenal tafsiran secara geometris dari turunan fungsi,
2. menentukan persamaan garis singgung fungsi,
3. mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turun menggunakan aturan turunan, 4. menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya,
5. memahami kecepatan sesaat suatu benda bergerak sebagai turunan fungsijarak tempuhnya.
B. Uraian M ateri
1. Tafsiran geometris dari turunan fungsi
Turunan pertama dari sebuah fungsi merupakan gradient garis singgung kurva itu. Dengan kata lain : Gradient garis singgung kurva y = f(x) di titik A dengan absis x = a adalah f ‘ (a).
Contoh 1;
Tentukan persamaan garis singgung kurva
y
=
x
2+
6
pada titik yang berabsis 2.Penyelesaian :
Untuk
y
=
x
2+
6
maka y ‘ = 2x Di titik yang berabsis 2 artinya x = 2Untuk x = 2 titik yang dilalui kurva itu adalah (2, 10) dan gradiennya m = 2x = 4 Persamaan garis melalui (2, 10) dengan gradient m = 4 adalah
y – 10 = 4 ( x – 2)
y = 4x + 2 atau 4x – y + 2 = 0
2. Fungsi N aik dan Fungsi Turun
Suatu fungsi f(x) yang terdefinisi dalam suatu interval dapat dikatakan fungsi naik atau turun dengan hasil turunan pertamanya, yaitu sebagai berikut :
a. Fungsi f(x) naik jika f ’(x) > 0 b. Fungsi f(x) turun jika f ’(x) < 0
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Contoh 2 :
Diketahui fungsi f(x) = x² - 4x – 5 Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi f(x) turun.
Penyelesaian :
f(x) = x² – 4x – 5
f ’ (x) = 2x – 4 2x – 4 > 0 2x > 4 x > 2
fungsif(x) naik pada interval x > 2
f ’ (x) = 2x – 4 2x – 4 < 0 2x < 4 x < 2
Fungsif(x) turun pada interval x < 2 Perhatikan gambar di samping
3. N ilai Stasioner dan Titik Stasioner
Jika sebuah fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f ’ (a) = 0, maka f(a)
merupakan nilai stationerf(x) di x = a. Titik P(a, f(x)) yang terletak pada grafik fungsiy = f(x)
disebut sebagai titik stationer atau titik ekstrem atau titik kritis. Nilai x yang menyebabkan
f(x) mempunyai nilai stationer dapat ditentukan dari syaratf ’ (x) = 0.
Contoh 3 :
Tentukan titik stationer dan nilai staionernya jika diketahui fungsi f(x) = x² - 4x – 5
Penyelesaian :
f(x) = x² – 4x – 5
f ’ (x) = 2x – 4 syarat stasioner adalahf ’ (x) = 0 2x – 4 = 0
2x = 4 x = 2
untuk x = 2 diperoleh f
( )
2 =22 −4.2−5=−9jadi titik stasionernya adalah (2, - 9) dengan nilai stasioner = - 9
perhatikan kembali gambar di atas
4. Titik Stasioner dan Jenisnya.
Keadaan titik stasioner suatu fungsi f(x) di titik P(a, f(x), mempunyai tiga jenis, yaitu titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok, dengan ketentuan sebagai berikut : a. Titik balik maksimum terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda
positif (fungsi naik) menjadi tanda negarif (fungsi turun) dari kiri ke kanan.
b. Titik balik minim terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda negative (fungs turun) menjadi tanda positif (fugsi naik) dari kiri ke kanan.
(2, - 9)
5 - 1
2 y
x
tu
ru
n naik
(2, - 9)
5 - 1
2 y
x
Titik stasioner
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Lebih jelas perhatikan gambar berikut ini :
Contoh 4 :
Tentukan nilai stationer , titik stasioner dan jenis titik stasionernya dari fungsi
( )
2 21 73
1 3 − 2 − +
= x x x
x f
Penyelesaian :
( )
2 21 73
1 3 − 2 − +
= x x x
x f
( )
x =x2 −4x−21f' syarat stasioner adalah f '
( )
x =0x² – 4x – 21 = 0
⇔ (x + 3)(x – 7) = 0
⇔ x = - 3 atau x = 7
nilai stasioner untuk x = - 3 adalah
( )
( )
3 2( )
3 21( )
3 7 43 31
3 = − 3 − − 2 − − + =
− f
nilai stasioner untuk x = 7 adalah
( )
( )
( )
( )
3 371 7
7 21 7 2 7 3 1
7 = 3 − 2 − + =−
f
Jenis titik stasioner ;
Untuk titik (-3, 43), merupakan titik balik maksimum
Untuk titik
−
3 371
7, , merupakan titik balik minimum
5. N ilai Ekstreem Suatu Fungsi sebagai M odel Penyelesaian
Nilai ekstrem fungsi (nilai maksimum atau nilai minimum) pada dasarnya sama dengan menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Contoh 5 :
Diketahui jumlah dua bilangan asli adalah 45. Jika perkalian salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya mencapai nilai maksimum, tentukan bilangan-bilangan itu dan nilai maksimumnya.
Penyelesaian :
Misalnya, salah satu bilangan itu = x, maka bilangan yang lainnya = 45 – x
f(x) = (45 – x).(x²)
( )
2 345
x
x
x
f
=
−
a
b
f(a)
f(b)
y
x
Titik balik maksimumTitik balik maksimum Titik belok horizontal
A (a, (f(a))
B (b, (f(b))
+ + + + - - - - - - - - - + + + +
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
f ’ (x) = 90x – 3x², syarat mencapai maksimum pada saatf ’ (x) = 0 90x – 3x² = 0
(x)(90 – 3x) = 0
x = 0 atau x = 30 Nilai x yang menyebabkan f(x) maksimum adalah x = 30, maka nilai yang lainnya = 45 – 30 = 15
Jadi, bilangan-bilangan itu sebagai berikut : 30 dan 15
NIlai maksimum diperoleh untuk x = 30, adalah
f
( )
30
=
60
.
30
2−
30
3 = 27.000Contoh 6 :
Selembar kertas karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran 24 cm X 9 cm. Kertas itu akan dibuat kotak tanpa tutup dengan tinggi kotak t cm. Tentukan ukuran kotak tersebut agar memiliki volume maksimum dan tentukan volumenya.
Penyelesaian :
Perhatikan gambar di samping !
Miaslnya, tinggi kotak =t,
panjang kotak p = 24 – 2t lebar kotak l = 9 – 2t
V =p x l x t
V = (24 -2t) (9 – 2t) (t)
V = 24 – 2t)(9t-2t²) V = 216t – 66t ²+ 4t³
V’ = 216 – 132t + 12t² , syarat maksimum V ‘ = 0 216 – 132t + 12t² = 0
t² – 11t + 18 = 0
(t– 9) (t- 2) = 0
t = 9 ataut = 2, tinggi kotak yang mungkin adalaht = 2 cm, maka Panjang kotak adalahp = 24 – 2(2) = 20 cm
Lebar kotak adalahl= 9 – 2(2) = 5 cm
Volume maksimum kotak adalah V = 20 X 5 X 2 = 200 cm³
6. M emahami Kecepatan Sesaat Suatu Benda Bergerak Sebagai Fungsi Turunan
Kecepatan rata-rata (Vt) sebuah benda bergerak dalam selang waktu tertentu adalah
perbandingan perubahan jarak (
∆
s) dengan perubahan waktu (∆
t), dapat dituliskan sebagai berikut :Jika
∆
t mendekati nol maka diperoleh hasil bagi diferensial yang disebut laju perubahan jarak terhadap waktu yang dinotasikan sebagai berikut :Apabila perubahan waktu t membawa akibat perubahan kecepatan maka laju perubahan kecepatan terhadap waktu disebut percepatan yang dinotasikan sebagai berikut :
24 cm
9
c
m
t
t t t
dv
∆
s
Vt =
––
= lim
––
dt
∆
t
0∆
t
t s vt
∆ ∆ =
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Contoh 7 :
Sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan kecepatan awal 50 m/ dt sehingga peluru melaju sesuai persamaan s =100t – 5t² m, dengan s menyatakan panjang lintasan peluru saat meluncur setelaht detik.
Tentukan hasil perhitungan berikut : a. tinggi peluru setelah 10 detik b. kecepatan peluru pada saat t detik
c. waktu yang dibutuhkan hingga peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan d. tinggi peluru saat tidak mampu menambah kecepatan, dan
e. percepatan setelah t detik.
Penyelesaian :
Panjang lintasan benda (tinggi) s
( )
t =100t−5t2 metera. Tinggi setelaht= 10 detik adalah
s
( )
5
=
100
.
10
−
5
.
10
2 = 500 Jadi, tinggi peluru saat 10 detik adalah 500 meter.b. Kecepatan saat t detik : s
( )
t tdt ds
vt = = ' =100−10 m/ dt
c. Peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan berarti kecepatan (v) = 0
⇔100 – 10t= 0
⇔ 10t = 100
⇔ t = 10
Jadi setelah melaju selama 10 detik peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan. d. s(10) = 100 . 10 – 5 . 10² = 500
Jadi, tinggi peluru saat tidak menambah kecepatan adalah 500 meter.
e.
10
m
/
dt
2dt
dv
a
=
=
−
Jadi, percepatan setelah t detik adalah – 10 m / dt²
C. Lembar Kerja Siswa
Jawablah dengan singkat dan benar !
1. Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) berikut ini merupakan fungsi naik dan interval mana merupakan fungsi turun.
a. f(x) = x² - 6x + 9 b. f(x) = x² + 3x - 5 c. f(x) = x²– 9x + 20 d. f(x) = 5 + 2x – x² e. f(x0 = 3 – 2x – 2x²
2. Tentukan nilai sationer, titik stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi berikut ini : a. f(x) = 6 + x - x²
b. f(x) = x² – 3x – 4 c. f(x) = x3 + 3x² - 5x – 5
d. f(x) = 12 – 5x – 2x² + x3
e. f(x) = 2x³ + 3x² + 12x + 6
dv
d
²
s
a
t=
––
=
––
(turunan kedua dari panjang lintasan benda bergerak)
dt
dt
²
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dan dititik berikut :
a. y = x² - 3x – 10, melalui titik P(1, -12)
b. y = 2x² – 5x + 6, melalui titik yang berbasis x = 2 c. y = x³ – 5x + 4, sejajar dengan garisy= x – 3
4. Sebuah roket ditembakkan ke atas dengan persamaan h(t) = 50 t – 2t2, h dalam km dan t
dalam menit tentukan :
a. Waktu yang diperlukan roket mencapai tinggi maksimum, dan b. tinggi roket maksimum.
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
EVALUASI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan memilih salah satu jawaban yang ada berikut cara pengerjaannya !
1. Hitunglah
3 2
) 3 3 (
) 3 2 ).( 4 ( lim
x x x
x −
+ − ∞
→ = …
A. 4/ 27 B. 4/ 9 C. – 1/ 3 D. – 4/ 27 E. – 4/ 3
2. xlim→2 2x2x−−32x−2 adalah ….
A . 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. 7
3. Nilai dari
2 3
7 5 2 1 2
2
lim
+− +−− → x x
x x
x = …..
A . –9 B. –7 C. –3 ½ D. –2 ½ E. 2
4. Hitunglah
x x x sin5
2 tan . 3 0 lim
→ = ….
A . 3/ 5 B. 4/ 5 C. 6/ 5 D. 6 E. 10
5.
(
)
( )
+ +
− + ∞
→ 1 2 1
3 3 2
lim
x x x
x
x
= ….
A . 1 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8
6. Hitunglah
x x
x 5tan4
3 sin . 4 0 lim
→ = ….
A . 4 B. 1 C. ¾ D. 4/ 5 E. 3/ 5
7. Turunan pertama dari f(x) = 2
2 1 2
3
x x
x
x
+
−
+
adalah ….A . 2 3
1 1
1
6
x x
x
+
+
+
C. 2 31 1
1
6
x x
x
+
+
−
E. 2 34 1
1
6
x x
x
+
−
+
B. 2 3
4 1
1
6
x x
x
+
+
−
D. 2 34 1
1
6
x x
x
+
−
−
8. Nilai dari
6 9 3 2 3 2
2
lim
−−−−→ x x x x
x = ….
A. 18 B. 9/ 5 C. 2 D. ½ E. 0
9. xlim→∞ 2 2
2 3
5 7 4
x x
x x
+
−+ + = …..
A .∞ B. 0 C. 4/ 3 D. 2 E. 4
10. Turunan pertama dari f(x) = 4 cos 3x – 2 sin 4x adalah ….
A . - 12 sin 3x–8 cos 4x D. - 4/ 3 sin 3x – ½ cos 4x B. - 12 sin 3x + 8 cos 4x E. 4/ 3 sin 3x + ½ cos 4x C. 12 sin 3x – 8 cos 4x
11. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 5 sin 2x – cos 3x adalah ….
A . 5 cos 2x – sin 3x C. -10 cos 2x + sin 3x E. -10 cos 2x – 3 sin 3x B. 5 cos 2x + sin 3x D. 10 cos 2x + 3 sin 3x
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
12. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 4x – 5 dititik x = -1 adalah ….
A. -19 B. -14 C. 17 D. -2 E. -1
13. Jarak S meter yang ditempuh oleh benda bergerak dalam t detik dinyatakan oleh S = t2 + 2t. Kecepatan
benda setelah bergerak 5 detik adalah ….
A . 35 m/ det B. 20 m/ det C. 15 m/ det D. 12 m/ det E. 11 m/ det
14. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – x).2x adalah ….
A . 18x2 – 4x B. 5x2 – x C. 6x2 – 2x D. 12x2 – 2x E. 6x3 – 2x
15. Diketahui f(x) = 4x3 – 2x2 + 3x +7, jika f’ (x) turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(3) adalah….
A. 99 B. 97 C. 91 D. 63 E. 36
16. Jikaf(x) = – (cos2x – sin2x) makaf
′
(x) adalah ….A . 2 (sinx + cosx) C. 4 sinx cosx E. 6 sinx cosx
B. 2 (cosx – sinx) D. 2 sinx cosx
17. Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 15 adalah ….
A. -32 B. -16 C. 1 D. 16 E. 32
18.Titik balik minimum kurva y = x³ – 12x + 1 adalah ….
A .
(-2, 17)
B.(-1, 12)
C.(0,1)
D.(1, -10)
E.(2, -15)
19.Kurvaf(x) = x³–+ 3x² – 9x + 7 naik pada interval ….
A .
x < -1 atau x > 3
B.x < -3 atai x > 1
C.. -1 < x < 3
D. -3 < x < 1
E. x > 0
20.Persamaan garis singgung kurva y = -x² – 6x + 3 pada titik yang berabsis x = -2 adalah ….
a.
y
+ 2x – 7 = 0
d.
y
– 2x – 23 = 0
b.
y
+ 2x – 14 = 0
e.
y
– 2x – 15 = 0
c.
y
+ 2x + 15 = 0
21. Panjang lintasan suatu benda bergerak dinyatakan dengan persamaan S = 3t2 – 24t + 40. Benda akan berhenti
setelah berjalan …..detik.
a. 4 b. 6 c. 18 d. 24 e. 40
22. Sebuah peluru ditembakkan vertical dengan persamaan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi
maksimum peluru adalah ….
A . 925 m B. 1015 m C. 1025 m D. 1125 m E. 1225 m
23. Luas bahan minimum yang digunakan untuk membuat kotak dengan volume 72 dm2 yang panjang alasnya
dua kali lebarnya adalah ….
A . 720 dm2 B. 180 dm2 C. 144 dm2 D. 108 dm2 E. 96 dm2
24.Sebuah roket ditembakkan selamat detik dan memenuhi persamaan lintasn h(t) = 600t – 5t², h dalam meter. Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah … m
A. 40.000 B. 36.000 C. 27.000 D. 24.000 E. 18.000
25. Sebuah kotak tertutup volumenya 36 dm3, alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjangnya tiga kali lebarnya. Jika kotak tersebut dibuat dengan luas permukaan seminimal mungkin maka panjang kotak tersebut adalah ….
A . 2 dm B. 3 dm C. 4 dm D. 6 dm E. 8 dm
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
