Konsep dan Limit Fungsi kontinu

MODUL PERKULIAHAN

Matematika

1

(Limit dan kontinuitas Fungsi)

1.

Konsep limit fungsi di satu

titik

2.

Rumus-rumus limit fungsi

3.

Pendahuluan konsep

kekontinuan fungsi

Fakultas Program Studi TatapMuka Kode MK DisusunOleh Fakultas

Teknik Teknik Sipil

02

MK90016 Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah

29

5

= 5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan katakata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan

Diharapkan setelah membaca modul ini Mahasiswa mampu:

1. Memahami tentang konsep limit fungsi di satu titik

2. Memahami penggunaan rumus-rumus limit fungsi

pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini anda akan mempelajari tentang konsep limit fungsi di satu titik, rumus-rumus limit fungsi dan pendahuluan konsep kekontinuan fungsi.

Pembahasan

1. KONSEP LIMIT

Pengertian tentang limit merupakan gagasan yang sagat penting dalam Kalkulus. Kita bahkan dapat mendefinisikan Kalkulus sebagai pengkajian tentang limit. Dalam kehidupan sehari-hari, perkataan limit juga dipergunakan, seperti misalnya seseorang berkata, “Saya mendekati batas kesabaran saya”. Pemakaian yang demikian mempunyai hubungan dengan Kalkulus, tetapi tidak banyak.

PEMAHAMAN SECARA INTUISI

Pandanglah sebuah fungsi sebagai berikut :

f

(

x

)=

x

0

, yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 2. Secara lebih tepat, apakah f(x) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 2? Untuk menjawab pertanyaan ini kita dapat menggunakan sebuah tabel, seperti dibawah ini.

x 1,75 1,85 1,95 1,97 1,99 1,999 … 2 … 2,001 2,01 2,1 2,2 2,9 3,1

f(x) 3,75 4,85 4,95 4,97 4,99 4,999 …

0

0

… 5,001 5,01 5,1 5,2 5,9 6,1

Dari tabel di atas sepertinya kita bisa mengambil suatu kesimpulan yang sama, bahwa : f(x) mendekati 5 bilamana x mendekati 2. Dalam lambang matematis, kita bisa tuliskan :

lim

6

2

Matematika I PusatBahan Ajar dan eLearning

Dengan menjadi seorang ahli aljabar yang baik, kita dapat menguraikan

fungsi di atas, menjadi

lim

Dari semua uraian di atas kita dapat memberikan definisi tentang limit.

Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat benar di c. Fungsi f bahkan tidak perlu terdefinisi di c, juga tidak dalam contoh seperti

f

(

x

)=

x

2

+

x

−

6

x

−

2

, yang baru saja kita tinjau. Pemikiran tentang limit dihubungkan

dengan perilaku suatu fungsi dekat

c

, bukannya di

c

.

LIMIT-LIMIT SEPIHAK

Bilamana suatu fungsi mempunyai nilai yang berbeda bila didekati dari kiri dan

didekati dari kanan, maka penggunaan limit-limit sepihak diperlukan dalam hal ini.

Andaikan lambang

x → c

+

_{berarti bahwa}

_x

_mendekati

_c

_{dari kanan, dan andaikan}

lambang

x → c

-

_{berarti bahwa}

_x

_mendekati

_c

_{dari kiri, maka}

Definisi

(Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa

lim

x→ c

f

(

x

)=

L

berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

Definisi

bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) adalah dekat ke L.

Serupa, untuk mengatakan

x → c

−¿

_f

(

x

)=

L

lim

¿

¿

berarti bahwa bilamana x dekat tetapi

2. RUMUS-RUMUS LIMIT FUNGSI

Contoh :

Carilah

lim

x→3

2

x

4

Penyelesaian

201

6

4

Matematika I PusatBahan Ajar dan eLearning

lim

Jika

f

suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka :

lim

x→ c

f

(

x

)=

f

(

c

)

asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di

c

.

CONTOH :

Telah diketahui bahwa

1

−

x

2

6

≤

sin

x

x

≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi tidak

0. Apa yang dapat kita simpulkan dari hal ini?

Penyelesaian :

3. PENDAHULUAN KONSEP KEKONTINUAN FUNGSI

Gambar diatas menunjukkan

lim

x→ c

f

(

x

)

_{tidak ada}

201

6

6

Matematika I PusatBahan Ajar dan eLearning

Reza Ferial Ashadi, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Gambar di atas menunjukkan lim

x→ c f(x) ada, tapi limx→ c f(x) ≠ f(c)

Gambar di atas menunjukkan bahwa

lim

x→ c

f

(

x

)

= f(c)

Dengan definisi ini kita bermaksud mensyaratkan tiga hal :

1.

lim

x→ c

f

(

x

)

ada

2.

f

(

c

)

ada

(

yakni ,c beradadalam daerah asal f

)

3.

lim

x→ c

f

(

x

)=

f

(

c

)

X Y

c

f

Definisi

(Kekontinuan di satu titik). Kita katakan bahwa fkontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

lim

Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tak terpenuhi, maka f tak-kontinu (diskontinu) di c. Jadi, fungsi yang di wakili oleh grafik yang pertama dan kedua di atas tak-kontinu di c. Tetapi kontinu di titik-titik lain dari daerah asalnya.

CONTOH:

f

(

x

)=

1

x

−

2

diskontinu pada x

=

2,

karena

1. f(2) tak terdefinisikan 2.

lim

x→2

f

(

x

)

tidak ada 3. lim

x→2f(x) ≠ f(2)

201

6

8

Matematika I PusatBahan Ajar dan eLearning

Reza Ferial Ashadi, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

x y

CONTOH :

Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 1

Penyelesaian :

1. f(1) = 2(1)+1 = 3 → f(1) terdefinisi 2.

lim

x→1

f

(

x

)=

lim

x→1

(

2

x

+

1

)=

2

(

1

)+

1

=

3

_→ lim

x→1f(x) terdefinisi 3. lim

x→1f

(x) _{= f(1)}

Ke tiga syarat fungsi disebut kontinu terpenuhi, maka fungsi f(x) = 2x + 1kontinu di x = 1

x y

1 -1/2

1 3

CONTOH :

Andaikan

f

(

x

)=

x

2

−

4

x

−

2

, x ≠ 2. Bagaimana seharusnya f didefinisikan di x = 2 agar kontinu di titik itu?

Penyelesaian

lim

x→2

x

2

−

4

x

−

2

=

lim

x →2

(

x

−

2

)(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

=

lim

x→2

(

x

+

2

)=

4

Karena itu, kita definisikan f(2) = 4. Grafik dari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

f

(

x

)=

x

2

−

4

x

−

2

, x ≠

2

4

, x

=

2

201

6

10

Matematika I PusatBahan Ajar dan eLearning

Reza Ferial Ashadi, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

1 2 3 4

CONTOH SOAL

1.

lim

x→3

x

2

+

3

x

−

18

x

2

−

3

x

2.

lim

t →4

√

t

−

2

t

−

4

3.

lim

x→3

9

−

x

2

4

−

√

x

2

+

7

4.

lim

x→1

x

2

+

4

x

−

5

x

−

1

5.

lim

x→2

4−x2

DaftarPustaka

1. _______. e-paper. ishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/.../Kontinuitas+Fungsi.pdf

2. _______. e-paper. http://matematikablogscience.blogspot.co.id/2012/03/limit-fungsi.html

3. _______. e-paper. https://eldamathict.files.wordpress.com/2012/03/limit-fungsi-dan-turunan_kelas-xi_sma-ipa_matematika_nugroho-soedyarto.pdf

4. Kasmina, Drs, M.Sc, et.al. 2008. MATEMATIKA. Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK Kelas XII. Jakarta. Penerbit Erlangga. 5. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis. Jilid 1.

Jakarta. Penerbit Erlangga.

201

6

12

Matematika I PusatBahan Ajar dan eLearning