Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri Rumus dasar Limit Fungsi Trigonometri Metode Menyederhanakan Pemahaman Secara Intuisi Limit Trigonometri Metode Substitusi Langsung

BAB 1

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran

dan Menyederhanakan

Limit Fungsi Trigonometri

Grafik fungsi trigonometri

Pengertian Limit Melalui Pengamatan Grafik Fungsi

Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri

Rumus dasar Limit Fungsi Trigonometri

Metode Menyederhanakan Pemahaman Secara Intuisi

Limit Trigonometri

Metode Substitusi Langsung Dan Pemfaktoran

BAB 1

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Masih ingatkah anda definisi yang telah dipelajari dalam matematika wajib kelas X ? Limit suatu fungsi aljabar.

Limit fungsi:

Suatu limit f(x) dikatakan mendekati a {f(x), a} sebagai suatu limit.

Bila x mendekati a {x → a}, Dinotasikan Lim F(x) = L Limit fungsi bagian dari pengantar kalkulus (hitungan diferensial dan integral), namun dasar kalkuls yang disefinisikan Augustin-Louis

Cauchy 1789-1857)

berkebangsaan prancis

Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :

1)

Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan

alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan

vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke

kanan dan ke kiri.

2)

Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan

cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.

Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri

terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami

menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi

trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.

Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita

dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi

trigonometri berikut ini:

 sin(x2)sinx, cos(x2



) cosx  sin(x) sinx, cos(x) cosx

 x) cosx

2

sin(



  , x) sinx

2 cos(



 

Kompetensi Dasar Materi

Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran 3.1 Menjelaskan

dan

menentukan limit fungsi trigonometri 4.1 Menyelesaikan

masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri

Limit fungsi Trigonometri

 Mencermati gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.  Menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.  Menerapkan limit fungsi

trigonometri dalam pemecahan masalah.  Mempresentasikan gambar

yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri  Mempresentasikan

pemecahan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri  Mempresentasikan

A. Grafik Fungsi Trigonometri

Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan sehingga terbentuk kurva mulus.

Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤360o! a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x

Penyelesaian :

a. y = sin x

Gambar 1.1

b. y = cos x

Gambar 1.2

c. y = tan x

Gambar 1.3

Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini: 1) Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1

2) Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π. 3) Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y

4) Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser

2



satuan ke kanan

B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi

Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2 berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:

a)lim f(x) L₁ a

x 

, lim f(x) L₂ a

x 

dan

L

₁



L

₂ b)lim f(x) L₁ a

x 

,lim f(x) L₂ a

x  

&

L

₁



L

₂ Gambar 1.4

penjelasan point :

a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

1

) ( lim f x L

a

x 

, tetapi lim f(x)

a x

tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

Gambar 1.5

) ( lim f x

a x

tidak ada, tetapi lim f(x) L₂ a

x

 

) ( lim f x

a x

tidak ada, tetapi lim f(x)

a x 

tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada

Gambar 1.7

Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan

berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,

bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a

dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.

Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di

ucapkan sebagai

limit fungsi f(x)

untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri

(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian

yang diperkirakan itu adalah

L

₁ dan

L

₂, maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:

Kegiatan 1.1

Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit

Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :

No

Gambar

Limit kiri

xlima f(x)

Limit Kanan

lim

f

(

x

)

a x 

) ( lim f x

a x

1.4 a

Ada, nilai

L

₁

Ada, nilai

L

₂

Ada nilai

L,karena

L

₁



L

₂



L

1.4 b

Ada, nilai

L

₁

Ada, nilai

L

₂

...,

L

₁



L

₂

1.5 a,b

Ada, nilai

L

₁

...

...

1.6 a,b

...

Ada, nilai

L

₂

...

1.7a,b,c,d

...

...

...

Berdasarkan deskripsi di atas, ada atau tidak adanya nilai limit suatu fungsi di suatu titik

bila peubahnya mendekati titik itu dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep limit

kiri

lim f(x)

a x 

dan limit kanan

lim f(x)

a x 

sebagai berikut.

Definisi :

Suatu fungsi f(x) di definisikan untuk x di sekitar a, maka

f x L a

x ( )

lim

jika dan hanya

jika

f x f x L

a x a

xlim  ( ) lim  ( )

C. Pemahaman Secara Intuisi Limit Fungsi Trigonometri Melalui Perhitungan

Pengertian limit fungsi trigonometri di suatu titik dapat pula di pahami dengan cara menhitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misal suatu fungsi f (x), akan ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara membuat daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x mendekati a. Perhatikan soal berikut ini:

Kegiatan 1.2

Menentukan dan menjelaskan limit fungsi trigonometri di sekitar titik

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri soal dibawah ini: 1) Cari limsin ...

0 

 _x

x

x Penyelesaian :

Tidak ada muslihat aljabar yang akan menyederhanakan penyelesaian persamaan ini, tentu saja kita tidak bisa mencoret x. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu, Gunakan kalkulator anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai pada tabel 1.2berikut ini:

X 1 0,5 0,1 0,01 → 0 ← -0,01 -0,1 -0,5 -1

x x

sin

... ... ... ... ... ? ... 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147 Kesimpulan yang diperoleh bahwa : limsin ....

0 

 _x

x

x

Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita, demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :

2) Cari ...

000 . 10

cos lim 2

0  

 

 _



x x

x

Penyelesaian :

Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:

x ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,01 → 0

  

 _

000 . 10

cos

2 x

x 0,99995 0,24991 0,009990 0,000000005 ... ? Kesimpulan yang diperoleh bahwa :

... ...

.... lim .... lim 000

. 10

cos lim

0 2 0 2

0   

 

 _

 

 x x

x

x x

Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang mendekati 0 (gunakan kalkulator.

3) Cari limsin 1 ...

0 

   

 _x

x

Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai sin(1)

x pada semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:

X

Kesimpulannya 



D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri

Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :

...

Limit diatas dapat ditulis sebagai lim f(x)

a

x dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.

Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar. Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu

0 0

, hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya

bentuk taktentu

0 0

, anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal, baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk

0 0

.

1)

Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri

Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri dibawah ini:

1

 Berikut ini pembuktian rumus lim sin 1

sin

Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :

1 cos

lim

0 

 x

x dan limx0sinx  0

Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik B. Jadi jelas bahwa : Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP

Berdasarkan rumus luas :

Luas sektor OBC = ½. (OB)2. X = ½. Cos2x. x

Luas Δ OBP = ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x

Luas sektor OAP = ½. (OA)2. X = ½. (1)2. X= ½ x Dengan demikian diperoleh hubungan

½. Cos2x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤ ½ x (masing-masing dikalikan

x x.cos

2

) diperoleh x

cos ≤ x

x

sin

≤

x

cos 1

: untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:

1 limsin 1

0 



 _x

x

x atau 1 lim0 _sinx 1

x

x

Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: lim sin 1 sin

lim

0

0   

 _x

x x

x

x x

Kegiatan 1.3

Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:

 lim tan 1

tan lim

0

0   

 _x

x x

x

x x

Bukti:

... ) (....)(... ...

sin lim ...

1 lim

cos sin lim tan

lim

0 0

0

0       



x

x x x x

x

x x

x x



b a bx

ax bx

ax

x

x   

sin lim sin

lim

0

0 atau _b

a bx

ax bx

ax

x

x   

tan lim tan

lim

0 0

....

2)

Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran

Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:

1. limsin cos ....(....)1

3)

Metode Menyederhanakan

Kegiatan 1.4

Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri

1)Tentukan Limit :

Substitusi 2

(Bukan penyelesaian) Langkah 2 :

Anda harus merubah penyebut cos2 x

Bentuk cos2x(1sinx)(...) dengan demikian :

Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut

...

Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa

2

trigonometri.



Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini : Contoh Metode Menyederhanakan



Uji Kompetensi 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1) 

Uji Kompetensi 1.2

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1. ...(1)

Sudut rangkap

Kesamaan setengah sudut

3. ..

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1.

 

Indentitas trigonometri

2.

lim(cos3 ₂cos5 ) ...

Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus

3.

₃

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1.

...

a.

Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan

2.



BAB 2

LIMIT KETAKHINGGAAN

FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Limit Fungsi Ketakhinggaan

, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞

-

∞ dan Aplikasi Limit ∞

Limit Ketakhinggaan

Fungsi Aljabar &

Trigonometri

Bentuk

   

 _{( )}

) ( lim

x g

x f

x

Bentuk

    



 ( ) ( )

lim f x g x x

Aplikas Limit Fungsi

  x

limAljabar limx Trigonometri Pengertian dan

Nilai Limit Ketakhinggaan

BAB 2

LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI

Tak hingga adalah suatu nilai yang demikian besar. Saking besarnya nilai tak hingga sehingga bilangan apapun akan dianggap kecil dibandingkan dengan

nilai ∞. Untuk

memahami limit tak hingga ini kita baca dulu paradok filsuf Zeno dan Elen tentang perlombaan kelinci dan kura-kura.

Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.

Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?

Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.

Kelinci kura-kura kec 10 m/s kec 1 m/s

10 meter

Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kura-kura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m

Penyelesaiannya adalah t =

9

11 _{m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s)} ) 9 10

( s = m

9 100

Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :

9 100 ... 100

1 10

1 1

10     ...*)

Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas kiri persamaan *) yaitu : _...

100 1 10

1 1

10    (deret geometri)

Kompetensi Dasar Materi

Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran 3.2 Menjelaskan dan

menentukan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 4.2 Menyelesaikan

masalah

berkaitan dengan eksistensi limit di ketak-hinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

Limit fungsi trigonometri

 Mencermati pengertian yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar.  Menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan limit di

ketakhinggaan fungsi trigonometri dan fungsi aljabar.

 Menggunakan limit di

ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah

U1 = 10 dan

r (banyak suku n tak hingga)

Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :

...

Sekarang bagaimana menghitung

...*)

Kegiatan 2.1

Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan

Pandanglah fungsi

) Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai

lim

f

(

x

)

x

Gambar 2.1

Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan

bahwa pada suatu tempat jauh ke

arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan

lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan

x →∞

sebagai cara singkat untuk

mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.

Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai

)

Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan

....

Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa

....

Definisi Cermat Limit x

→

±

∞,

Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa, kita membuat definisi berikut

:

Gambar 2.1

(Limit bila x

→

∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan

bahwa

f x L

Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka

0

B.

Menyelesaikan Bentuk



Buktikan bahwa

0

1

Penyelesaian :

Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2

0

M

emahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Langkah 1 :

Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.

Pangkat tertingginya adalah

x3

Langkah 2 :

Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu

3

positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :

2

Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu

2 1

dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.

...

Uji Kompetensi 2.1

Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam

pengertian tak-terhingga sekalipun.

1)

...

Kegiatan 2.3

Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal. Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Soal untuk

Suku tertinggi

)

Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x). Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:

...

 Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit =

...

...

 Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit =

... ...

 Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit =

... ...

Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:

... ...

Uji Kompetensi 2.2

Tentukan nilai limit dibawah ini:

1.



Pada pembilang kita kalikan

1₃

C. Menyelesaikan Bentuk limit

 

Memahami dan mengetahui cara penyelesaian limit taktentu

  

Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya

.

Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar

7

Langkah 3 :

lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x

dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut



Substitusikan x = ∞, sehingga diperoleh nilai limitnya, yaitu ∞

Uji Kompetensi 2.3

Tentukan nilai limit berikut ini :

1.

)

Kegiatan 2.5

Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit tanda akar

Diket:

f

(

x

)



ax

2



bx



c

, g(x) px2 qxr : a. Jika a = p, tunjukan bahwa

a

q

b

x

g

x

f

x

(

)

(

)

₂

lim







 

b. Jika a > p, tunjukan bahwa   

 ( ) ( )

lim f x g x x

c. Jika a < p, tunjukan bahwa   

 ( ) ( )

lim f x g x x

d. Jika a = p, b = q, tunjukan bahwa lim ( ) ( )0



 f x g x x

Langkah Pembuktian tersebut gunakan seperti kegiatan 2. 4:

Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya

Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar

Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 2.1

Tentukan Nilai Limit :

1.

lim

2



2





...





x

x

x

x

2.





)

3 5 ...( 1 )

2 (

lim 3 3      

 x x

x

Klu No 2 :

(ab)(a2abb2)a3b3...

D. Aplikas Limit Fungsi

1.

Limit Aljabar

Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi :

2

Berapakah jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang dimasa depan? (t →∞),

Maka:

2.

Limit Trigonometri

Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s = 10 sin 2t dengan s

adalah jarak yg dinyatakan dalam m. Tentukan kecepatan partikel pada saat

Memahami dan mengetahui Aplikasi Limit fungsi



Tentukan nilai limit berikut ini :

1.

Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit

untuk kerapatan inang(jumlah inang persatuan luas) x pada satu periode waktu

tanpa batas?

...

2.

Jumlah senyawa baru terbentuk mengikuti fungsi

f

(

t

)



t

2



2

t



t

,

f(t)jumlah

senyawa dalam miligram dan t menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah

senyawa yang terbentuk jika terus menerus?

Penyelesaian

TUGAS MANDIRI TAK TERSTRUKTUR 2.2

BAB 3

ASIMTOT FUNGSI ALJABAR

DAN TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Definisi Asimtot, Asimtot datar dan asimtot tegak

Asimtot

Fungsi Aljabar dan

Trigonometri

DEFINISI ASIMTOT FUNGSI

MENENTUKAN

ASIMTOT

FUNGSI

ASIMTOT FUNGSI TEGAK

_{ASIMTOT FUNGSI}

MENDATAR

BAB 3

ASIMTOT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI

Bagaimana

menentukan

limit-limit Tak

terhingga dari

fungsi bentuk

2

A. DEFINISI ASIMTOT FUNGSI

Kegiatan 3.1

Definisi Asimtot secara geometri

Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus

2

Coba perhatikan tabel yang menyatakan hubungan x dan

2

x , tetapi kita pikirkan adalah beralasan bila kita menulis  3.3 Menjelaskan

asimtot (datar dan tegak) kurva fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 4.3 Menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan asimtot (datar dan tegak) fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

 Asimtot (datar dan tegak) kurva fungsi aljabar  Asimtot

(datar dan tegak) kurva fungsi trigonometri

 Mencermati gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dan limit fungsi aljabar menuju tak hingga secara geometri.

 Mengilustrasikan dengan gambar konsep limit fungsi trigonometri dan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar secara geometri

 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan asimtot kurva fungsi aljabar dan fungsi trigonometri  Menyajikan penyelesaian masalah

Berikut ini grafik fungsi

2 1 lim

2 

 _x

x , dapat ditunjukan :

Gambar 3.1

Berikut adalah definisi yang berkaitan dengan situasi ini.

Definisi

(Limit tak terhingga). Kita katakan bahwa

f(x)

jika untuk tiap bilangan positif M,

berpandangan suatu



0

sedemikian sehingga

0 xc



 f(x)M

Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari

  

 ( )

lim f x c x

  

 ( )

lim f x c x

_ 

 ( )

lim f x c x

...(*)

Secara umum limit fungsi f(x) untuk x mendekati ∞ dapat didefinisikan dengan menggunakan bilangan positif



dan M sebagai berikut.

Definisi

Misal fungsi f terdefinisi dalam daerah asal

Df 

[ a,

∞)

Fungsi f(x) mempunyai



  ( )

lim f x

x

L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan



positif

didapatbilangan positif M, demikian sehingga jika x > M maka

f

(

x

)



L



Jika



  ( )

lim f x x

L atau





 ( )

lim f x x

L, maka garis mendatar dengan persamaan y = L

dinamakan sebagai

asimtot datar

bagi fungsi

y = f(x)

Seperti halnya dalam

lim f(x)

c

x

yang dapat menjadi besar tnpa batas

∞ atau menjadi kecil

tanpa batas -

∞

 

 ( )

lim f x c x

atau



 ( )

lim f x c x

...(**)

Jadi kaitan terhadap asimtot secara ringkas , jika garis y = L atau x = c adalah asimtot

tegak/datar dari grafik y = f(x) jika salah satu pernyataan-pernyataan berikut benar.

  

 ( )

lim f x c x

_ 

 ( )

lim f x c x

  

 ( )

lim f x c x

_ 

 ( )

lim f x c x

B. MENENTUKAN ASIMTOT FUNGSI

Kegiatan 3.2

Memahami dan mengetahui grafik asimtot

1.

Tentukan nilai limit berikut ini :

Diketahui fungsi

( ) 1₂

x x

f 

,

dengan daerah asal

D_f {x,x



R

dan

x0}

.

Hitunglah :

a.

lim ( )

0 x f x 

dan

lim ( )

0 x f x

2

1 ) (

x x

f 

...

...

...

...

...

...

a.

lim ( )

0 x f x

...

...

...

...

...

...

2

1 ) (

x x

f 

...

...

...

...

...

...

b.

lim ( )

0 x f x

...

...

...

...

...

...

b.

Apakah

lim ( )

0 f x

x

ada? Jika ada tentukan nilai

limx0 f(x)

2

1

)

(

x

x

f



...

...

...

...

...

...

...

...

...

(

)

1

₂

x

x

f



c.

lim ( )

0 f x x

...

...

...

...

...

...

...

...

...

d.

lim ( )

0 f x x

Jadi

Grafik fungsi

) ( lim

0 f x x

= ...

2.

Cari nilai limit menggunakan konsep

Penyelesaian :

Sama konsepnya seperti diatas maka diperoleh

...

Karena kedua limit adalah ∞, kita dapat menuliskan :

... )

Grafik fungsiya :

Jadi garis x = 1 adalah

asimtot tegak, sementara garis y = 0 adalah asimtot datar

3.

Carilah asimtot

–

asimtot tegak dan datar dari grafik

)

Penyelesaian :

Kita harapkan sebuah asimtot tegak pada titik yang penyebutnya nol, dan kita

benar karena



Grafik fungsinya :

y

Uji Kompetensi 3.1

Tentukan nilai limit berikut ini :

1.

Diketahui fungsi

2 3 )

(

  

x x x

f

, dengan daerah asal

Df {x,x



R

dan

x



2

}

.

Hitunglah :

a.

lim ( )

2 x f x 

dan

lim ( )

2 x f x

b.

Apakah

lim ( )

0 x f

x

ada? Jika ada tentukan nilai

lim0 ( ) x f x

2.

Dengan menganalisis grafik, tunjukan bahwa:

a.

 



 (2 1)

lim x

x

dan

xlim(2x1)

c.

limx(42x)

dan

xlim(4x1)

b.











(

1

)

lim

x

2

x

dan

lim



(



1

)





2

x

x

d.

lim



(

4



)





2

x

x

dan

lim



(

4



)





2

x

x

3.

x

x

x

sin

cos

1

lim

0



 

TUGAS MANDIRI BERSTRUKTUR 3.1

Tentukan nilai limit berikut ini menggunakan alat bantu :

3 ) 3 cos( lim

3 

 

 _x

x

x

dan

2 cos lim

2





 

 _x

x

BAB 4

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Definisi Turunan Trigonometri, Sifat-sifat, Aturan Rantai, Fungsi Implisit, Persamaan

Parameter, Aplikasi turunan

Turunan

Trigonometri

Definisi

Turunan

Sifat -Sifat

Turunan

Menyelesaikan

Turunan

Fungsi

Implisit

Persamaan

Parameter

Aplikasi

Turunan

Laju

Perubahan

Kecepatan &

Percepatan

Aturan

Rantai

Kecepatan

Sudut

BAB 4

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Dalam buku matematika sebelumnya, kita telah mempelajari beberapa fungsi trigonometri, yaitu

fungsi sinus f(x) = sin x,

fungsi cosinus f(x) =cos x,

fungsi tangen f(x) = tan x.

Selanjutnya berdasarkan pengamatan menunjukan bahwa limit fungsi trigonometri memiliki nilai. Untuk itu pada pokok bahasan ini kita membuktikan apakah turunan fungsi aljabar menghasilkan fungsi aljabar pula. Begitu pula halnya dengan turunan fungsi trigonometri ternyata hasilnya juga merupakan fungsi trigonometri seperti pada pembahasan berikut.

Uji Kompetensi Awal

Tentukan turunan dari fungsi berikut :

f(x) = 2x

2

&

x

x

f

(

)



1

A.

Definisi Turunan :

h x f h x f x

f

h

) ( ) ( lim ) ( '

0

  



Kegiatan 4.1

Menemukan konsep rumus turunan fungsi trigonometri

1.

Turunan dari f ( x ) = sin x

Menentukan turunan dari f(x) = sin x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y

0 cos 1 lim

0 



 _x

x

x dan 1

sin lim

0 

 _x

x

x

Langkah 1 :

Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)

f(x+h) = sin ( x + h) = ...

f(x) = sin x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x) =...

3.4 Menjelaskan turunan fungsi trigonometri 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri

 Turunan fungsi trigonometri

 Mencermati konsep turunan fungsi trigonometri dan sifat-sifatnya.

 Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifatnya  Menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri  Menyajikan penyelesaian

h

kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x. 

Menentukan turunan dari f(x) = cos x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : cos (x+y) = cos x cos y + sin x sin y Hitunglah f’(x)

h

kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.



Menentukan turunan dari f(x) = tan x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu :

y

Hitunglah f’(x)

h

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.1

Buktikan turunan sebagai berikut ini :

B.

SIFAT-SIFAT TURUNAN

Penggunaan Sifat-sifat Turunan dalam menyelesaikan persamaan Trigonometri

Tentukan turunan sebagai berikut ini (menggunakan sifat2):

1.

f(x) = x

2

.sin x

→

f(x)’ = (x

2

cos x + 2x sin x)

Penyelesaian

1)

f(x) = x

2

.sin x →

f(x)u(x).v(x)

...

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.2

Buktikan turunan sebagai berikut ini :

x

C.

TURUNAN BALIKAN TRIGONOMETRI

1

Sekarang kita diferensialkan kedua ruas menurut x, dengan menggunakan aturan rantai pada ruas

kanan maka : 1 cos . cos(sin 1 ) (sin 1 )

D.

MENYELESAIKAN DAN MENYAJIKAN PERMASALAHAN BERKAITAN DENGAN TURUNAN

FUNGSI TRIGONOMETRI

1.

Teorema Aturan Rantai

Jika fungsi y = (fog)(x) = f (g(x) = f (u) dan u = g(x), maka turunan fungsi (fog)(x)tersebut =

(fog)’(x) = f’(g(x). g’(x) atau

dx du du dy dx dy

.



Kegiatan 4.3

Menggunakan konsep sifat-sifat dan aturan rantai fungsi trigonometri

Carilah turunan dibawah ini menggunakan sifat-sifat aturan rantai:

1) F(x) = cos (x2– 5x) → f’(x) = - (2x – 5) sin (x2 - 5x) Dik : y = f(x) = cos(x2-5x)

Langkah 1 :

Pemisalan u = x2– 5x sehingga y = cos u,

Maka du = 2x dan dy = -sin u

Langkah 2 : Substitusi ke rumus aturan rantai ↔

dx du du dy dx dy

.



=

dx d du

u

d (...) .

) cos (.

=

(



sin

U

).(

2

x



5

)

(sin(x25x).(2x5)...

2) F(X) = sin 4(5x) → f’(x) = - 20 sin3 (5x).cos(5x) Dik : y = f(x) = cos(x2-5x)

Langkah 1 :

Pemisalan

v = 5x , u = sin v, dan y = u4

Maka dy = 4u3 du, du = cos v dv , dan dv = 5 dx Langkah 2 :

Substitusi ke rumus aturan rantai :

dx dv dv du du dy dx dy

. .



=

 

dx d x dv d

x . ...

. .) (... .

...

= 4u

3

. Cosv.5 = ...

3) f(x)(1sin2 x)2 → f'(x)4sinxcos3x

) sin 1 ( . ) sin 1 ( 2 ) (

' 2 2 1 2 x

dx d x x

f    

  

  



dx x d x x

x

f'( ) 2(1 sin2 ). 0 (2sin ).( (sin )



(

2

sin

).(...

)



...).

(...

2

)

(

'

x

x

f





4sinxcos3x

4) Tentukan nilai t , dinyatakanfungsi trigonometri sebagai berikut:

Gunakan sifat turunan fungsi

)

Selanjutnya substitusi

36

Uji Kompetensi 4.1

Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai):

2.

Turunan Fungsi Implisit Trigonometri

Fungsi yang telah kita turunkaan sebelumnya, variabel terikat y bisa nyatakan dalam variabel bebas x sebagai fungsi y = f(x), misalnya y = 3.sin2x (bentuk eksplisit)

Sedangkan fungsi seperti x2 + y2 = 4 adalah bentuk implisit, fungsi tersebut bisa diubah menjadi bentuk eksplisit menjadi:

Y2 = 4 – x2

Bagaimana jika bentuk 2x2+ yx2 + 1 = 0 apakah bisa diubah menjadi bentuk eksplisit y = f(x). Untuk mendapatkan

dx dy

dari suatu bentuk implisit kita menggnakan aturan rantai. Teknik untuk

mendapatkan

dx

dy

dari bentuk implisit ini disebut sebagai turunan fungsi implisit

Kegiatan 4.4

Menggunakan konsep aturan Implisit

1) Cos y = x + sin x ,(Turunkan Kedua ruas terhadap x) d(Cos y) =d( x) + d(sin x)

) cos( ) ( 1 ) ( sin

dx dy dx

dy dx

dy

y  



)

sin cos 1 (

x x dx

dy 

 

2) xysiny1, (langkahnya sama seperti soal 1)

1 sin )

(xy  y , (x.y) sifat aturan perkalian turunan

0 (...)

. .

.  

  



 _

dx dy dx

dy x y dx dx

→ cos 0

. .

....  

  



 _

dx dy y dx

dy x y

dx dy

y(......) ↔ x y y dx

dy

  cos ) (

x x

y dx

dy

cos

  

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.3

Tentukan

dx dy

dalam x dan y fungsi berikut ini (aturan Implisit): 1. cotyxtanx

2. cos(xy2) y2 x

3.

Turunan dari Persamaan Parameter

Persamaan parabola y2 =4px bisa dipenuhioleh persamaan x = pt2 dan y =2pt, dengan t sebagai parameternya. Oleh karena itu persamaan x = pt2 dan y = 2pt disebut persamaan parameter dari y2=4px.

Jika kita beri dua persamaan parameter x = x(t) dam y = y(t) dan diminta menentukan dx dy

, maka lebih mudah bagi kita menyelesaikan dengan menggunakan aturan rantai, yaitu :

dt dx

dt dy

dx dy atau dx dt dt dy dx dy



 .

Kegiatan 4.5

Menentukan Turunan dari Persamaan Parameter

Jika kurva-kurva didefinisiskan dengan persamaan yang diberikan, tentukan dx dy

yang dinyatakan dalam t.

1) x4 t dan y3t2 5

Penyelesaian : 2

1 )

1 ( 2

1

2 ) ... ... .( 4 .

4 

  

 t t t

dt dx

dan ...

dt dy

Maka :

dt dx

dt dy

dx dy

 =

... ...

= ....

2) x12sint dan y4cost Penyelesaian : t

dt dx

cos 2 .

 dan ...

dt dy

Maka :

dt dx

dt dy

dx dy

 = tant

2 1 ... ...





3) xsin2t2sint dan ycos2t2cost Penyelesaian : ...

dt dx

dan ...

dt dy

Maka :

dt dx

dt dy

dx dy

 =



...

...

...

...

...

...

4.

Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Masalah pertama berkaitan dengan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel bebasnya, misalnya laju perubahan y = f(x) terhadap x. Laju perubahan fungsi y = f(x) terhadap x adalah

dx

dy

yang dinyatakan dalam x,

Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi perpindahan. Untuk perpindahan x = x (t), maka : Kecepatan :

dt dx x v( )

Percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan atau turunan kedua dari fungsi

perpindahan. Kecepatan :

dt dv x a( )

Kegiatan 4.6

Aplikasi Turunan dalam kehidupan sehari-hari

4.1 Laju Perubahan Fungsi Trigonometri

Daya nyata

P

₀ (dalam satuan votl amper) suatu rangkaian listrik yang daya aktifnya P (satuan watt) dan sudut impedansinya θ, diberikan oleh P₀ P.sec



. Jika P adalah konstan pada 20 W, tentukan laju perubahan

P

₀ jika θ berubah pada laju 0,050 rad/menit saat θ = 450.

Penyelesaian :

Dik : Laju perubahan sudut θ terhadap waktu adalah 

dt d



0,050 rad/menit saat θ = 450.

Dit : Laju perubahan daya nyata

P

₀ yaitu  dt dP_o

...

Jb : Perhatikan P₀  f(



), sedangkan





f

(

t

),

sehingga laju perubahan

dt d d dP

dt

dP_o





.

0

 ,



sec .

0 P

P  , P20, jadi P₀ 20.sec



Dengan demikinan 20sec



.tan



dt dP_o

Maka :

dt d d dP

dt

dP_o





. 0

 = (...)(...)

dt dP_o

= ...sec450.tan450 =

.(...)(.

...)(...

...)

=

2

jadi laju perubahannya  2

dt dP_o

Watt/menit

4.2 Kecepatan dan Percepatan Fungsi Trigonometri

Gerakan sebuah partikel diberikan oleh  

s . Tentukan nilai prpindahan, kecepatan dan percepatan. Tentukan juga waktu tersingkat ketika nilai-nilai maksimum itu terjadi.

Penyelesaian :

Dik : 

Perpindahan s maksimum = 6 ini tercapai ketika 1 4

Waktu tersingkat untuk perpindahan maksimum ditentukan dengan mensubstitusi n € A yang memberikan t nilai positif terkecil

n = 0 → t



(...).



 (Tidak memenuhi)

n = 1 → t



(...).



Jadi, perpindahan s maks = 6 tercapai waktu tersingkat t



8 7



Kecepatan partikel v adalah

n = 0 → t (...). ...

Jadi, Kec maks = 12 tercapai waktu tersingkat t



8

5



Percepatan partikel a adalah



Jadi, perc maks = 24 tercapai waktu tersingkat t



8 3



4.3 Kecepatan Sudut Fungsi Trigonometri

1. Sebuah permainan anak berbentuk kincir raksasa yang memiliki diameter 10 m sedang dimainkan di sebuah arena bermain. Kincir tersebut berputar dengan kec sudut

12





 radian/det tepat diatas permukaan tanah, tentukan laju perubahan posisi kedudukan terhadap arah vertikal pada kincir tersebut pada ketinggian 7,5 m dari permukaan tanah

Hubungan ketinggian dari permukaan tanah h(t), radius R, dan sudut θ (t) seperti gambar diatas, dapat dirumuskan sebagai berikut :



1

cos

(

)



))

(

cos(

)

(

t

R

R

t

R

t

h













: R = 5 m dan h = 7,5 m

(...)



(...)



1



cos





↔

... ... ) (...

cos



  →





3 2 ...

 radian

Diketahui kec sudut

12







dt

d

rad/det, maka laju perubahan ketinggian dapat dirumuskan sebagai berikut :

dt d d dh dt

dh





 ↔ )

... ... )( cos

(





R R

d d dt dh

 

...) (... (

...







d d R d

d dt

dh







(...) ( ...)



...  R





=





sin ...R

dt dh _

↔





3 2 sin 5 ...

 dt dh

= 3

... ...

Jadi, laju perubahan posisi kedudukan terhadap arahvertikal pada kincir tersebut pada ketinggian 7,5 m dari permukaan tanah ketika dudukan kincir tersebut bergerak naik adalah 3

24 5

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 4.1

1. Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai): , 2 4 t an

3 

  



 _

 x



y Jika x berkurang

pada laju 0,4 rad/s. Tentkan laju perubahan y terhadap waktu ketika

48





x

2. Sebuah partikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan

)

3

2

cos(

5







t

x

, dengan

BAB 5

NILAI MAKSIMUM & MINIMUM, SELANG

KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS

SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Nilai Maksium dan Minimum, Selang kemonotonan dan Kemiringan garis singgung

Nilai Maksimum & Nilai

Minimum, Kemonotonan,

Garis Singgung Fungsi

Maksimum

dan Minimum

Nilai

Maksimum dan Minimum

Menentukan Titik Stasioner,

Kemonotonann, Kemiringan

Bentuk

A cos x + B sin x =

k cos ( x-

ᾱ

)

Bentuk

A sin x+ B cos x

Titik Stasioner dan

Kemonotonann, Fungsi

Gradien dan

Garis singgung Kurva

Definisi & Teorema

Kemonotonan

BAB 5

NILAI MAKSIMUM, NILAI MINIMUM, SELANG KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS

SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

A.

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Gambar 5.1

Dalam kehidupan ini kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan cara terbaik untuk melalukan sesuatu. Sebagi contoh, seorang petani ingin memiliki kombinasi tanaman yang dapat menhasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya penyebaran barangnya. Kadang kala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang dirinci

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif/minimum relatif pada suatu interval pada x = Xo, apabila f(xo) adalah nilai terbesar/terkecil dari nilai pendahulu/penyerta dari fungsi tersebut. Pada gambar 5.1 diatas titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif pada kurva sebab f(a) > f(x) pada setiap sekitar (neighbourhood) sekecil apapun 0 < Ix – aI < θ. Dan dikatan bahwa y = f(x) mempunyai maksimum relatif {f(x)=f(a)} jika x = a. Dan dengan jalan yang sama titik C (c,f(c)) adalah minimum relatif dari kurva, dan dikatakan y = f(x) mempunyai nilai minimum relatif {f(x)=f(c)} jika x = c.

3.5 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri 4.5 Menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri

 Nilai maksimum fungsi

tigonometri  Nilai minimum

fungsi trigonomerti  Selang

kemonotonan fungsi trigonometri  Kemiringan garis

singgung kurva fungsi

trigonometri

 Mencermati keterkaitan turunan fungsi trigonometri dengan nilai maksimum dan minimum.

 Menentukan titik stationer,selang kemonotonan dan garis singgung kurva fungsi trigonometri.

 Mempresentasikan cara mencari turunan fungsi trigonometri

Definisi

Andai S[a,c], daerah asal f, memuat titik c.Kita katakan bahwa:

1)

f(c)

adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S

1)

f(c)

adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S

1)

f(c)

adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S

1)

f(c)

adalah nilai ekstrim f pada S jika nilai maksimum atau nilai munimum

Untuk titik A, f’(x) berubah tanda dari positif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai balik maksimum f(a) pada x = a

Untuk titik B, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai belok horizontal f(b) pada x = b

Untuk titik C, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – positif, dikatakan f mempunyai nilai balik minimum f(c) pada x = c

B.

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI

Kegiatan 5.1

Menemukan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri

1)

Bentuk A cos x + B sin x = k cos ( x -

ᾱ

)

Bagaimana menentukan Nilai maksimum dan minimum dari fungsi: 3 cos x + 4 sin x ↔ (cos x cos a + k sin x sin a) = 3 cos x + 4 sin x

Diperoleh k cos a = 3 (KW I dan IV) dan sin a = 4 (KW I dan II), 0

1 , 53 , .... .... _









a b

tg

(KW I),

2 2 2 2

(....) (....) 

 

 a b

k

=

...





...

Nilai Maksimum = +5 dan Nilai Minimum = -5 dan Grafiknya :

Gambar 5.2

2)

Bentuk A Sin X + B Cos X

Bagaimana menentukan nilai maksimum dari fungsi:

10 kemudian menentukan jenis stasioner mana yang termasuk nilai balik maksimum. Tetapi cara penyelesaian seperti ini memerlukan waktu hitung yang lebih lama dan cukup rumit.

Kita bisa mengerjakan soal seperti ini dengan lebih efisien dan sederhana jika kita bisa

Kemungkinan I

B

Kemungkinan II

Nilai maksimum dari fungsi: f(x)4cos2x14sin2x24sinx.cosx10

Penyelesaian : kita mengubah menjadi bentuk umum

A Sin nx + B Cos nx dengan n > 0

Uji Kompetensi 5.1

1. Nilai Maksimum dan minimum : f(x)sinx 3cosx

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 5.1

Nilai Maksimum



dari k dimana 2k Langkah penyeleaian :

Klu : 2k

Gunakan sifat pembagian turunan

C.

MENENTUKAN TITIK STASIONER, SELANG KEMONOTONAN, DAN KEMIRINGAN GARIS

SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Kemonotonan

Pada grafik berikuti

f (x)

Turun Naik

C

Gambar 5.3

Menyatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di kanan c.

Definisi ; Andai f terdefinisi pada selang I (buka, tutup atau tak satupun) kita katakan:

i) f Naik pada I jika untuk setiap pasang bil x1 dan x2 dalam I

x1 < x2 → f (x1) < f (x2)

ii) f turun pada I jika untuk setiap pasang bil x1 dan x2 dalam I

x1 < x2 → f (x1) > f (x2)

iii) f minoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Turunan Pertama da Kemonotonan

Ingat bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f di titik x. Kemudian,

Jika f’(x) > 0, maka garis singgung naik kekanan (lihat gambar 5.4). Serupa Jika f’(x) < 0, maka garis singgung menurun kekanan (lihat gambar 5.4) Pada grafik berikuti:

0

f’(x)>0 f’(x)<0 Gambar 5.4

Teorema Kemonotonan : Andai f kontinu pada selang I terdiferensial pada setiap titik dalam I: Jika f’>0 untuk semua x titik dalam I, maka f Naik pada I dan f’<0 untuk semua x titik dalam I, maka f turun pada I

2. Titik Stasioner dan Kemonotonan Suatu Fungsi

Gambar 5.5

Titik stasioner terjadi jika terpenuhi f’(x) = 0, yaitu titik dimana gradiennya kurva = nol