III. LIMIT DAN KEKONTINUAN

PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM

(PPDU)

TELKOM UNIVERSITY

KALKULUS I

MUG1A4

1

1

)

(

2







x

x

x

f

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x f(x)

0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 2

1 º 2 x x f(x) f(x)

Secara grafik Dari tabel dan grafik disamping_{terlihat bahwa f(x) mendekati 2} jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut

2

1

1

lim

2 1









_x

x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati 1 adalah 2

1

1

2





x

x

Definisi (limit secara intuisi).

L

x

f

c x

(

)



lim

Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.

2 ) 2 )( 1 2 ( lim 2 2 3 2 lim 2 2 2          _x x x x x x x x

5

1

2

lim

2









x

x 3 3 3 9 lim 3 9 lim 9 9          _x x x x x x x x

9

)

3

)(

9

(

lim

9











_x

x

x

x

8

5

3

lim

1







x

x

Contoh

1. 2.

6

3

lim

9









x

x 3. 4. limsin(1/ ) 0 x x

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x

)

/

1

sin( x

 / 2 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 ?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

L

x

f

c x

(

)



lim

    



0,



0

|

_x



_c

|

 



| ( )

_{f x}



_L

|





Definisi Limit

jika c º Untuk setiap





0

L





c º L   L   L  

Terdapat  0 sedemikian sehingga

c º L

|

x c

 

|



|

f

(

x

)

 |

L





  c c c º L

)

(

lim

f

x

c x 

L

x

f

L

x

f

L

x

f

c x c x c

x

(

)





lim

 

(

)



dan

lim

 

(

)



lim

Limit Kiri dan Limit Kanan

c

x Jika x menuju c dari arah kiri_{(dari arah bilangan yang lebih kecil dari c)} limit disebut limit kiri,

)

(

lim

f

x

c x 

Jika x menuju c dari arah kanan

(dari arah bilangan yang lebih besar dari c) limit disebut limit kanan,

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) notasi notasi Jika

lim

_f

(

_x

)

c x 



)

(

lim

f

x

c x 

, maka

lim x

f

(

)

tidak ada

c x

)

(

lim

1

f

x

x

)

(

lim

2

f

x

x























1

,

2

1

0

,

0

,

)

(

2 2

x

x

x

x

x

x

x

f

)

(

lim

0

f

x

x

Contoh

a. Hitung d. Gambarkan grafik f(x) c. Hitung b. Hitung 1.

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x= 0

b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x = 1

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x = 2

2 0 0 0 0 0 lim ( ) lim 0 lim ( ) 0 lim ( ) lim 0 x x x x x f x x f x f x x             _     _ 1 1 2 _{1 1 1} 1 1 lim ( ) lim 1

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim 2 3

x x

x x x

x x

f x x

f x tidak ada karena f x f x

f x x                  _    _{ } 2 2 2 lim ( ) lim 2 6 x f x  x  x 

d. Untuk x

_

0 2

)

(

x

x

f



Grafik: parabola Untuk 0<x<1 f(x)=x Grafik:garis lurus Untuk

x



1

Grafik: parabola di x=1 limit tidak ada 2 2 ) (x x f   1 3 º

2. Tentukan konstanta c agar fungsi





















1

,

1

,

3

)

(

₂

x

c

x

x

cx

x

f

mempunyai limit di x=-1 Jawab:

Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka

1

lim

( )

x 

f x



x

lim 3

1

  

cx

3

c

1

lim ( )

x 

f x

2 1

lim

1

x 

x

c

c



  

Agar limit ada 3 + c = 1 - c C = -1 1 1

lim ( )

lim ( )

x x

f x

f x

  





)

(

lim

3

f

x

x

)

(

lim

1

f

x

x 1

lim ( )

x

f x

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.

f(-3) f(-1) f(1) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Soal Latihan



















1

,

2

1

,

1

)

(

₂ 2

x

x

x

x

x

x

f

1

lim ( )

x 

f x

_x f x 1

lim

( ) x f x 1

lim

( )

x

x

x

g

(

)





2



3

x

g x

2

lim

( )

x g x  2

lim

( )

x

g x

2

lim

( )

2 2 ) (    x x x f x f x  2

lim

( ) x f x  2

lim

( ) x f x 2

lim

( ) B. 1. Diketahui : a. Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung (bila ada) :

3. Diketahui , hitung (bila ada)

a. b. c.



f

x

g

x



f

x

g

x

LG

a x a x a x

(

)

(

)



lim



(

)

lim



(

)



lim

0

,

)

(

lim

)

(

lim

)

(

)

(

lim







  

_G

bila

G

L

x

g

x

f

x

g

x

f

a x a x a x n n a x n a x

f

(

x

)



lim



f

(

x

)



L

lim

G

x

g

L

x

f

a x a x

(

)



dan

lim



(

)



lim



f

x

g

x



f

x

g

x

L

G

a x a x a x

(

)



(

)



lim



(

)



lim



(

)





lim

Sifat limit fungsi

Misal

(limit dari f dan g ada serta berhingga) maka 2. 3. 4. n a x n a x

(

f

(

x

))

(

lim

f

(

x

))

lim







, n bilangan bulat positif

5. bila n genap dan L harus positif 1.

2 2 2 _{( 1)} 1 1 sin ) 1 ( ) 1 (        x x x x

)

(

)

(

)

(

x

g

x

h

x

f





0

1

1

sin

)

1

(

lim

2 1









x

_x

x

L

x

h

L

x

f

c x c x

(

)



serta

lim



(

)



lim

L

x

g

c x

(

)



lim

1

1

sin

)

1

(

lim

2 1







x

_x

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan maka Contoh : Hitung Karena

)

1

1

1

sin(

1









x

dan 2 2 1 1

lim (

1)

0, lim(

1)

0

x

 

x



x

x





maka

( )

i

 

, jika

L



0 dan ( )

g x



0 dari arah atas

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

a. Limit Tak Hingga

maka

,

0

)

(

lim

dan

0

)

(

lim

Misal







 a

f

x

L

x a

g

x

x 

(

)



)

(

lim

x

g

x

f

a x

( )

ii



, jika

L



0 dan ( )

g x



0 dari arah bawah

( )

iii

 

, jika

L



0 dan ( )

g x



0 dari arah bawah

atas

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

iv





L



g

x



Cttn :

g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

2 1

lim

1 2 0

x 

x

  









  

1

1

lim

₂ 2 1

_x

x

x Contoh: Hitung 1 1 lim 2 1     _x x x a. 2₂ 1 1 lim 1 x x x     

x

x

x

sin

lim

_  b. c. Jawab a.

_lim

2

₁

₂

₀

1









x

x

, g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x  1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnya

x-1 akan bernilai negatif Sehingga









 

1

1

lim

2 1

_x

x

x

b. akan menuju 0 dari arah atas karena x  -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapi

bilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadrat kan pastilah lebih dari 1 sehingga bernilai positif

2

, ( )

g x



x



1

1 2 _ x Sehingga

0

lim

_







x



x





 

_x

x

x

lim



sin

c. dan f(x)=sinx



x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arah bawah (arah nilai sin x negatif)

sehingga Karena

L x

f

x ( )

lim

b. Limit di Tak Hingga

a. jika







0



M



0



x



M



|

f

(

x

)



L

|





atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh: Hitung 4 2 5 2 lim ₂ 2      _x x x x Jawab:

)

2

(

)

1

(

lim

2 2 4 2 5 2 2 x x x x

x

x









 

4

2

5

2

lim

₂ 2







 

_x

x

x

x 2 2

4

2

5

2

1

lim

x

x

x

x









  = 1/2

L x

f

xlim ( ) jika







0



M



0



x



M



|

f

(

x

)



L

|





atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga b. L x Contoh: Hitung 4 2 5 2 lim ₂     _x x x Jawab: 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 2 4 4

(

)

(

)

2

5

0 0 0

lim

lim

lim

0

(2

) 2 0 2

(

)

2

4

x x x x x x x x x x x x

x

x

  







_

_

_



_{ }

















2

lim

3

x 

x

  

x

x





2 2 2 3 lim 3 3 x x x x x x x x x x     _{  }         _{  }    Contoh: Hitung

_x

_x

_x

x

lim







3



2 Jawab :

Jika x  , limit diatas adalah bentuk ( )

2 2 2

3

lim

3

x

x

x

x

x

x

x

  

  



  

2

3

lim

3

x

x

x

x

x

  





  

2 3 2 _{1 3}

(1

)

lim

(1

)

x x x _x

x

x

x

  





 



2 3 3 1

(1

)

lim

1

x x x _x

x

x

x

  







  

 



₂



2 3 3 3 1 3 1

1

1

_{1 0}

₁

lim

lim

2

1 0 0 1

1

1

1

1

x x x x x _x x _x

x

x

     





_







 

   

   

   

Soal Latihan

lim

x

x

x









3

3

3

lim

x



2



x

2



3

4

)

1

(

lim

x

x

x





lim

x

x

x



1



2

1

1

lim

2





 

_x

x

x

lim

x

x

x

x







2

1

. Hitung: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 1

2

1

7. lim

2

x

x

x

x

 



 

2

₂

₅

8. lim

2

5

x

x

x

x









2

2

3

9. lim

2

x

x

x

x





 

Limit Fungsi Trigonometri

1

sin

lim

.

1

0





_x

x

x 0

2. lim cos

1

x

x



1

tan

lim

.

3

0





_x

x

x Contoh: 0 4 0 0 0 0 2 0

sin4 sin4 sin4

.4 lim .4 4 lim

sin4 _{4 4 4} 4

lim lim 2

tan2 tan2 tan2

tan2 _{.2 lim .2 2 lim} 2

2 2 2 x x x x x x x x x x x _{x x x} x x x x _x x x x            x  0 ekivalen dgn 4x  0

Soal Latihan

t

t

t

1

sin

cos

lim

2 0



 t t t t 2sec sin cot lim 0





t

t

t

2

3

tan

lim

2 0  Hitung 1. 2. 3. 4.

x

x

x

sin

2

tan

lim

0  2 0 tan lim 3 x x x x   5.

ada

)

(

lim x

f

a x

)

(

)

(

lim

f

x

f

a

a x



Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i) f(a) ada

(ii) (iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a (i)

º f(a) tidak ada

a (ii) 1 L 2 L

Karena limit kiri (L1) tidak sama

dengan limit kanan (L2), maka f(x) tidak mempunyai limit di x = a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

(iii)

a ●

º

f(a) f(a) ada

)

(

lim

f

x

a x L ada

Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi

(iv) a f(a) f(a) ada

)

(

lim x

f

a x ada

)

(

)

(

lim

f

x

f

a

a x



f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan yang terhapuskan Ketakkontinuan kasus (i) bisa

dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi a

Contoh:

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkan alasannya

2

4

)

(

2







x

x

x

f

         2 , 3 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x x f a. b.

















2

,

1

2

,

1

)

(

₂

x

x

x

x

x

f

c. Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x = 2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x = 2 b. - f(2) = 3

4

2

lim

)

2

(

)

2

)(

2

(

lim

2

4

lim

2 2 2 2



















  

_x

x

x

x

x

x

x x x

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x



-- _{f(x) tidak kontinu di x=2}

c.

₍

₂

₎

_

₂

2

_

₁

_

₃

f

--

lim

(

)

lim

1

3

2 2



 







f

x

x

x

x

3

1

lim

)

(

lim

2 2 2



 







f

x

x

x

x

3

)

(

lim

2





f

x

x

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x

