3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

1

1

)

(

2







x

x

x

f

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x f(x)

0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 ?

1 º 2 x x f(x) f(x) Secara grafik

Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut

2

1

1

lim

2 1









_x

x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati

1 adalah 2 1 1 2   x x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti

bahwa limxc f (x)  L

8

5

3

lim

1







x

x Contoh 1. 2. lim (2 1)(₂ 2) 2 2 3 2 lim 2 2 2          _x x x x x x x x  limx22x 1 5 3 3 3 9 lim 3 9 lim 9 9          _x x x x x x x x 9 ) 3 )( 9 ( lim 9      _x x x x 6 3 lim 9     x x 3. 4. limsin(1/ ) 0 x x

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x ) / 1 sin( x  / 2 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 ?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

L x f c x ( )  lim







₀

_,







₀



₀



_|

_x



_c

_|







_|

_f

₍

_x

₎



_L

_|





Definisi limit jika c º Untuk setiap





0

L 



c º L   L   L  

Terdapat sedemikian sehingga   0

c º L









|

|

0

x

c

| f (x)  L|    c c c º L

)

(

lim

f

x

c x 

Limit Kiri dan Limit Kanan

c

x

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah

bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,

)

(

lim

f

x

c x 

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, c x

L

x

f

L

x

f

L

x

f

c x c x c

x

(

)





lim

 

(

)



dan

lim

 

(

)



lim

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) notasi

notasi























1

,

2

1

0

,

0

,

)

(

2 2

x

x

x

x

x

x

x

f

) ( lim 0 f x x ) ( lim 1 f x x Contoh Diketahui a. Hitung ) ( lim 2 f x x d. Gambarkan grafik f(x) Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung) Jika ada 1.

)

(

lim

0

x

f

x  lim 0 2 0    x x

)

(

lim

0

x

f

x  0 lim 0    x x 0 ) ( lim 0   f x x

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

)

(

lim

1

f

x

x 

1

lim

1







x

x

)

(

lim

1

f

x

x 

lim

2

3

2 1









x

x   _ 1



1

lim

)

(

lim

x x

x

f

lim

(

)

1

f

x

x

)

(

lim

2

f

x

x

lim

2

6

2 2









x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

d. Untuk x 0



2

)

(

x

x

f



Grafik: parabola Untuk 0<x<1 f(x)=x Grafik:garis lurus Untuk 0



2

2

)

(

x

x

f





Grafik: parabola 1 3 º di x=1 limit tidak ada

2. Tentukan konstanta c agar fungsi





















1

,

1

,

3

)

(

₂

x

c

x

x

cx

x

f

mempunyai limit di x=-1 Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan

)

(

lim

1

f

x

x 



x

lim

1

3



cx



3



3

c

)

(

lim

1

x

f

x 



x

lim



x



c



1



c

2 1

Agar limit ada 3+3c=1-c C=-1/2

)

(

lim

3

f

x

x

)

(

lim

1

f

x

x

)

(

lim

1

f

x

x

)

(

lim

1

x

f

x 

)

(

lim

1

x

f

x 

A. Diberikan grafik suatu fungsi

f

seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.

f(-3) f(-1) f(1) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Soal Latihan

Soal Latihan



















1

,

2

1

,

1

)

(

₂ 2

x

x

x

x

x

x

f

) (

lim

1 x f x  _x f x 1 lim ( ) x f x 1 lim ( )

x

x

x

g

(

)





2



3

x g x 2

lim

( ) x g x  2

lim

( ) x

g x

2

lim

( )

2 2 ) (    x x x f x f x  2

lim

( ) x f x  2

lim

( ) x f x 2

lim

( ) 1. Diketahui : a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya 2. Diketahui

,

hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila ada )

a. _{b. c.}

a. _{b. c.}

G x g L x f a x a x ( )  dan lim ( )  lim



f

x

g

x



f

x

g

x

L

G

a x a x a x

(

)



(

)



lim



(

)



lim



(

)





lim

Sifat limit fungsi

Misal

(limit dari f , g ada dan berhingga) maka



f

x

g

x



f

x

g

x

LG

a x a x a x

(

)

(

)



lim



(

)

lim



(

)



lim

0 , ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim       _G bila G L x g x f x g x f a x a x a x 2. 3. 4. n a x n a x

(

f

(

x

))

(

lim

f

(

x

))

lim







,n bilangan bulat positif

n n a x n a x

f

(

x

)



lim



f

(

x

)



L

lim

5. bila n genap L harus positif

2 2 2 ) 1 ( 1 1 sin ) 1 ( ) 1 (        x x x x

)

(

)

(

)

(

x

g

x

h

x

f





L

x

h

L

x

f

c x c x

(

)



serta

lim



(

)



lim

L

x

g

c x

(

)



lim

1

1

sin

)

1

(

lim

2 1







x

_x

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan maka Contoh Hitung Karena

₎

₁

1

1

sin(

1









x

dan

0

)

1

(

lim

2 1









x

x 0 ) 1 ( lim , 2 1    x x 0 1 sin ) 1 ( lim x 2  maka

Limit Fungsi

Trigonometri

1

sin

lim

.

1

0





_x

x

x

1

cos

lim

.

2

0





x

x

1

tan

lim

.

3

0





_x

x

x Contoh 2 . 2 2 tan 5 4 . 4 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 x x x x x x x x x x        2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 0 x x x x x x      3 7 2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 2 0 4       x x x x x x x  0 ekivalen dgn 4x  0

Soal Latihan

t

t

t

₁

_sin

cos

lim

2 0



 t t t t _2sec sin cot lim 0  

t

t

t

2

3

tan

lim

2 0 

t

t

t

t

t

sec

4

3

sin

lim

0



 Hitung 1. 2. 3. 4.

x

x

x

sin

2

tan

lim

0  5.

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga

maka

,

0

)

(

lim

dan

0

)

(

lim

Misal







 a

f

x

L

x a

g

x

x 

(

)



)

(

lim

x

g

x

f

a x

atas

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

i





L



g

x



bawah

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

ii





L



g

x



bawah

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

iii





L



g

x



atas

arah

dari

0

)

(

dan

0

jika

,

)

(

iv





L



g

x



Ctt : g(x)  0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x)  0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

Contoh Hitung 1 1 lim 2 1     _x x x a. 1 1 lim ₂ 2 1      _x x x x x xlim sin b. c. Jawab a. lim 2 1 2 0 1     x

x ,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x  1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif

Sehingga









 

₁

1

lim

2 1

x

x

x b.

lim

2

1

2

0

1







  

x

x

akan menuju 0 dari arah atas, karena x  -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi

bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1 ) (x  x2  g 1 2  x Sehingga



1

2

x

c.

0

lim

_







x



x dan f(x)=sinx



x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)





 

_x

x

x

sin

lim

 sehingga Karena



Limit di Tak Hingga L x f x ( )  lim a. jika 



 0  M  0  x  M  | f (x) L|



atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L x Contoh Hitung 4 2 5 2 lim ₂ 2      _x x x x Jawab

)

2

(

)

1

(

lim

2 4 2 5 2 2 x x x

_x

x









  4 2 5 2 lim ₂ 2      _x x x x 2 4 2 5 2 1 lim x x x       = 1/2

L x

f

xlim ( )  jika 



 0  M  0  x  M  | f (x) L|



atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga b. L x Contoh Hitung 4 2 5 2 lim ₂     _x x x 4 2 5 2 lim ₂     _x x x Jawab

)

2

(

)

(

lim

2 2 4 2 5 2 2 x x x x

x

x







 

₍

₂

₎

)

(

lim

2 2 4 5 2 x x x x







  = 0

Contoh Hitung

x

x

x

x

lim







3



2 Jawab :

Jika x  , limit diatas adalah bentuk ( )  _

x

x

x

x

lim







3



2

)

3

3

(

3

lim

2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





















 

x

x

x

x

x

x

x















 

3

3

lim

2 2 2 x x x x x        3 3 lim 2 x x x x x x x        ) 1 ( ) 1 ( lim 2 3 1 2 3 | | 2 x x 

x

x

x

x x x x













  2 3 1 3

1

)

1

(

lim

2 1 ) 1 1 ( 1 lim 3 1 3           x x

Soal Latihan

lim

x

x

x

 





3

3

3

lim

x2

x

2



3

4

)

1

(

lim

x

x

x





lim

x

x

x



1



2

1

1

lim

2





 

_x

x

x

lim

x

x

x

x







2

1

. Hitung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Kekontinuan Fungsi

Fungsi

f

(

x

) dikatakan kontinu pada suatu titik

x

=

a

jika (i) f(a) ada

ada

)

(

lim

f

x

a x (ii) (iii)

_lim

_f

₍

_x

₎

_f

₍

_a

₎

a x



Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a (i)

º f(a) tidak ada

a (ii) 1 L 2 L

Karena limit kiri(L1) tidak

sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a (iii)

a ● º

f(a) _{f(a) ada}

)

(

lim

f

x

a x L _ada

Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi

(iv) a f(a) f(a) ada ) ( lim f x a x ada ) ( ) ( lim f x f a a x  f(x) kontinu di x=2 Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi

a º

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya 2 4 ) ( 2    x x x f          2 , 3 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x x f a. b.         2 , 1 2 , 1 ) ( ₂ x x x x x f c. Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2 b. - f(2) = 3 4 2 lim ) 2 ( ) 2 )( 2 ( lim 2 4 lim 2 2 2 2             _x x x x x x x x x

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x



- -

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak

c. ₍₂₎  ₂2 ₁ ₃ f - -

lim

(

)

lim

1

3

2 2







  

f

x

x

x

x

3

1

lim

)

(

lim

2 2 2







  

f

x

x

x

x

3

)

(

lim

2





f

x

x

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x



-

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

) ( ) ( lim f x f a a x  

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

) ( ) ( lim f x f a a x  

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

        2 , 1 2 , ) ( ₂ x ax x a x x f Kontinu di x=2

Jawab :

Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah f kontinu kiri di x=2

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x 



a

a

x

x

f

x x









  

(

)

lim

2

lim

2 2

(

2

)

2

1

4

1

2









a

a

f

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1 f kontinu kanan di x=2

)

2

(

)

(

lim

2

f

x

f

x 



1

4

1

2

)

2

(



a

2





a



f

1

4

1

lim

)

(

lim

2 2 2











 

f

x

x

ax

a

x Selalu dipenuhi

1. Diketahui





















1

,

2

2

1

,

1

)

(

2

x

x

x

x

x

f

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di

x

= -1 Soal Latihan 2. Agar fungsi             2 , 3 2 1 , 1 , 1 ) ( x x x b ax x x x f

kontinu pada R, maka berapakah

a +

2

b

? 3. Tentukan

a

dan

b

agar fungsi

           2 , 4 2 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x bx ax x f kontinu di

x =

2

Kekontinuan pada interval



Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila

f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.



Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]

bila :

1.

f(x) kontinu pada ( a,b )

2.

f(x) kontinu kanan di x = a

3.

f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x



R maka dikatakan



Teorema 3.2



Fungsi Polinom kontinu dimana-mana



Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya



Misalkan , maka



f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil



f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.

f(x) kontinu kiri di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n

x

x

f

(

)



4 ) (x  x  f ) 4 ( 0 4 lim ) ( lim 4 4 f x x f x x      



f x

x

x

x

( )







2

₃

3

f x

x

x

( )







2 3

4

8

f x

x

x

( )

| |







2

2

9

4

1

)

(

2









x

x

x

f

2

4

)

(

x

x

x

f





A.Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana

f(x)

kontinu Soal Latihan 1. 2. 3. 1. 2.

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi



Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan f(x) kontinu di L, maka



Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a.

Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

L

x

g

a x

(

)



lim

)

(

)

(

lim

))

(

(

lim

f

g

x

f

g

x

f

L

a x a x







) )( ( f  g x

))

(

(

lim

)

)(

(

lim

f

g

x

f

g

x

a x a x







))

(

lim

(

g

x

f

a x



           4 3 1 3 cos ) ( ₂ 4 x x x x x f

)

)(

(

)

(

x

g

h

x

f





4 3 1 3 ) ( ₂ 4      x x x x x h

_{dan g(x) = cos x}

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}