2
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
1
1
)
(
2−
−
=
x
x
x
f
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
x f(x)
0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 2
1 º 2 x x f(x) f(x) Secara grafik
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
2
1
1
lim
2 1−
=
−
→x
x
xDibaca “ limit dari untuk x mendekati
1 adalah 2 1 1 2 − − x x
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti
bahwa limx→c f (x) = L
4
8
5
3
lim
1+
=
→x
x Contoh 1. 2. lim 2 32 2 lim2 (2 1)(2 2) 2 2 − − + = − − − → → x x x x x x x x = limx→22x+1= 5 3 3 3 9 lim 3 9 lim 9 9 + + − − = − − → → x x x x x x x x 9 ) 3 )( 9 ( lim 9 − + − = → x x x x = limx→9 x + 3 = 6 3. 4. limsin(1/ ) 0 x x→Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x ) / 1 sin( x π / 2 2/2π 2/3π 2/4π 2/5π 2/6π 2/7π 2/8π 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 ?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
L x f c x→ ( ) = lim
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
∍
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
Definisi limit jika c º Untuk setiapε
>
0
L ε ε c º L ε − L ε + L δ δTerdapat sedemikian sehingga δ > 0
c º L
δ
<
−
<
|
|
0
x
c
| f (x)− |L < ε δ − c c+δ c º L6
)
(
lim
f
x
c x + →Limit Kiri dan Limit Kanan
c x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah
bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,
)
(
lim
f
x
c x→ −Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, c x
L
x
f
L
x
f
L
x
f
c x c x c x=
⇔
−=
+=
→ →→
(
)
lim
(
)
dan
lim
(
)
lim
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) notasi notasi Jika
lim
f
(
x
)
c x + →≠
)
(
lim
f
x
c⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
+
<
<
≤
=
1
,
2
1
0
,
0
,
)
(
2 2x
x
x
x
x
x
x
f
)
(
lim
0f
x
x→)
(
lim
1f
x
x→ Contoh Diketahui a. Hitung)
(
lim
2f
x
x→ d. Gambarkan grafik f(x) Jawaba. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
c. Hitung
b. Hitung Jika ada 1.
8
)
(
lim
0f
x
x→ − lim 0 2 0 = = − → x x)
(
lim
0f
x
x→ + = xlim→0+ x =0 0 ) ( lim 0 = → f x xb. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
)
(
lim
1f
x
x − →1
lim
1=
=
− →x
x)
(
lim
1f
x
x→ +lim
2
3
2 1+
=
=
+ →x
x)
(
lim
)
(
lim
1 1f
x
xf
x
x→ −≠
→ +lim
x→1f
(
x
)
)
(
lim
2f
x
x→lim
2
6
2 2+
=
=
→x
xKarena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
Untuk x 0
≤
2)
(
x
x
f
=
Grafik: parabola Untuk 0<x<1 f(x)=x Grafik:garis lurus Untuk x 1≥
22
)
(
x
x
f
=
+
Grafik: parabola 1 3 º di x=1 limit tidak ada Grafik f(x)10 2. Tentukan konstanta c agar fungsi
⎩
⎨
⎧
−
≥
−
−
<
−
=
1
,
1
,
3
)
(
2x
c
x
x
cx
x
f
mempunyai limit di x=-1 JawabAgar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan
)
(
lim
1f
x
x→− −=
x −−
cx
=
+
c
− →3
3
lim
1)
(
lim
1f
x
x + − →=
xlim
→− +x
−
c
=
1
−
c
2 1Agar limit ada 3+ c=1-c C=-1
)
(
lim
3f
x
x −→)
(
lim
1f
x
x −→)
(
lim
1f
x
x→)
(
lim
1f
x
x − →)
(
lim
1f
x
x→ +A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f(-3) f(-1) f(1) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Soal Latihan
12 Soal Latihan ⎩ ⎨ ⎧ > + − ≤ + = 1 , 2 1 , 1 ) ( 2 2 x x x x x x f ) (
lim
1 x f x→ − x f x →1+ lim ( ) x f x →1 lim ( )x
x
x
g
(
)
=
−
2
−
3
x g x →2−lim
( ) x g x → +2lim
( ) xg x
→2lim
( )
2 2 ) ( − − = x x x f x f x → −2lim
( ) x f x → +2lim
( ) x f x →2lim
( ) 1. Diketahui : a. Hitung danb. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya 2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila ada )
c.
a. b. c.
a. b. c.
G x g L x f a x a x→ ( ) = dan lim→ ( ) = lim
[
f
x
g
x
]
f
x
g
x
L
G
a x a x a x→(
)
±
(
)
=
lim
→(
)
±
lim
→(
)
=
±
lim
Sifat limit fungsi
Misal
(limit dari f , g ada dan berhingga) maka
[
f
x
g
x
]
f
x
g
x
LG
a x a x a x→(
)
(
)
=
lim
→(
)
lim
→(
)
=
lim
0 , ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim = = ≠ → → → G bila G L x g x f x g x f a x a x a x 2. 3. 4. n a x n a x(
f
(
x
))
(
lim
f
(
x
))
lim
→→
=
,n bilangan bulat positif n n a x n a x→f
(
x
)
=
lim
→f
(
x
)
=
L
lim
5. bila n genap L harus positif
14 2 2 2 ( 1) 1 1 sin ) 1 ( ) 1 ( ≤ − − − ≤ − − x x x x
)
(
)
(
)
(
x
g
x
h
x
f
≤
≤
L
x
h
L
x
f
c x c x→(
)
=
serta
lim
→(
)
=
lim
L
x
g
c x→(
)
=
lim
1
1
sin
)
1
(
lim
2 1−
−
→x
x
xPrinsip Apit
Misal untuk x disekitar c dan maka Contoh Hitung Karena
)
1
1
1
sin(
1
≤
−
≤
−
x
dan0
)
1
(
lim
2 1−
−
=
→x
x ,lim( 1) 0 2 1 − = → x x 0 1 1 sin ) 1 ( lim 2 1 − − = → x x x makaLimit Fungsi
Trigonometri
1
sin
lim
.
1
0=
→x
x
x1
cos
lim
.
2
0=
→x
x1
tan
lim
.
3
0=
→x
x
x Contoh 2 . 2 2 tan 5 4 . 4 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 x x x x x x x x x x − + = − + → → 2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 0 x x x x x x → → − + = 3 7 2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 2 0 4 = − + = → → x x x x x x x à 0 ekivalen dgn 4x à 016 Soal Latihan
t
t
t1
sin
cos
lim
2 0+
→ t t t t 2sec sin cot lim 0 π →t
t
t2
3
tan
lim
2 0 → t t t t t sec 4 3 sin lim 0 + → Hitung 1. 2. 3. 4.x
x
xsin
2
tan
lim
0 → 5.Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga
maka
,
0
)
(
lim
dan
0
)
(
lim
Misal
=
≠
=
→ →af
x
L
x ag
x
x →(
)
=
)
(
lim
x
g
x
f
a xatas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
i
+
∞
L
>
g
x
→
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
ii
−
∞
L
>
g
x
→
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
iii
+
∞
L
<
g
x
→
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
iv
−
∞
L
<
g
x
→
Ctt : g(x) à 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
g(x) à 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
18 Contoh Hitung 1 1 lim 2 1 − + − → x x x a. 1 1 lim 2 2 1 − + − − → x x x x x xlim→π+ sin b. c. Jawab a. lim 2 1 2 0 1− + = > → x
x ,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena
x à 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
Sehingga
−∞
=
−
+
− →1
1
lim
2 1x
x
x b.lim
21
2
0
1−+
=
>
− →x
xakan menuju 0 dari arah atas, karena x à -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi
bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1 ) ( 2 − = x x g 1 2 − x Sehingga
+∞
=
−
+
− − →1
1
lim
2 2 1x
x
xc.
0
lim
=
>
+ →πx
π
x dan f(x)=sinx π xJika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)
−∞
=
+ →x
x
xlim
πsin
sehingga Karena π20
Limit di Tak Hingga
L x f x→∞ ( ) = lim a. jika ∀
ε
> 0 ∃ M > 0 ∍ x > M ⇒ | f (x) − L |<ε
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL x Contoh Hitung 4 2 5 2 lim 2 2 + + + ∞ → x x x x Jawab
)
2
(
)
1
(
lim
2 2 4 2 5 2 2 x x x xx
x
+
+
+
=
∞ → 4 2 5 2 lim 2 2 + + + ∞ → x x x x 2 2 4 2 5 2 1 lim x x x x + + + = ∞ → = 1/2L x
f
xlim→−∞ ( ) = jika ∀
ε
> 0 ∃ M < 0 ∍ x < M ⇒ | f (x)− L|<ε
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga b. L x Contoh Hitung 4 2 5 2 lim 2 + + −∞ → x x x 4 2 5 2 lim 2 + + −∞ → x x x Jawab
)
2
(
)
(
lim
2 2 4 2 5 2 2 x x x xx
x
+
+
=
−∞ →(
2
)
)
(
lim
2 2 4 5 2 x x x x+
+
=
−∞ → = 022 Contoh Hitung
x
x
x
xlim
→−∞+
+
3
+
2 Jawab :Jika x à , limit diatas adalah bentuk ( ) ∞
∞
−
∞
x
x
x
xlim
→−∞+
+
3
+
2)
3
3
(
3
lim
2 2 2x
x
x
x
x
x
x
x
x
x−
+
+
−
+
+
+
+
+
=
−∞ → x x x x x x x − + + − + + = −∞ → 3 3 lim 2 2 2 x x x x x − + + + = −∞ → 3 3 lim 2 x x x x x x x − + + + = −∞ → (1 ) ) 1 ( lim 2 3 1 2 3 | | 2 x x =x
x
x
x x x x−
+
+
−
+
=
−∞ → 2 3 1 31
)
1
(
lim
2 1 ) 1 1 ( 1 lim 2 3 1 3 − = + + + − + = −∞ → x x x xSoal Latihan
lim
xx
x
→ ++
−
33
3
lim
x→2+x
2−
3
4
)
1
(
lim
x
x
x→∞−
−
lim
xx
x
→∞1
+
21
1
lim
2−
+
−∞ →x
x
xlim
xx
x
x
→∞+
+
21
. Hitung 1. 2. 3. 4. 5. 6.24
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i) f(a) ada
ada
)
(
lim x
f
a x→ (ii) (iii)lim
f
(
x
)
f
(
a
)
a x→=
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a (i)
º f(a) tidak ada
a (ii) 1 L 2 L
Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a (iii) a ● º f(a) f(a) ada
)
(
lim
f
x
a x→ L adaTapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
26 (iv) a f(a) f(a) ada ) ( lim f x a x→ ada ) ( ) ( lim f x f a a x→ = f(x) kontinu di x=a Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
a º
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya 2 4 ) ( 2 − − = x x x f ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − = 2 , 3 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x x f a. b. ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < + = 2 , 1 2 , 1 ) ( 2 x x x x x f c. Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2 b. f(2) = 3 4 2 lim ) 2 ( ) 2 )( 2 ( lim 2 4 lim 2 2 2 2 − = + = + − = − − → → → x x x x x x x x x
)
2
(
)
(
lim
2f
x
f
x→≠
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
28 c.
(
2
)
2
21
3
=
−
=
f
- -lim
(
)
lim
1
3
2 2−=
→ −+
=
→f
x
xx
x3
1
lim
)
(
lim
2 2 2+=
→ +−
=
→f
x
xx
x3
)
(
lim
2=
→f
x
x)
2
(
)
(
lim
2f
x
f
x→=
-Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)
(
)
(
lim
f
x
f
a
a x→ −=
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)
(
)
(
lim
f
x
f
a
a x +=
→Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < + = 2 , 1 2 , ) ( 2 x ax x a x x f Kontinu di x=2
30 Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah f kontinu kiri di x=2
)
2
(
)
(
lim
2f
x
f
x→ −=
a
a
x
x
f
x x −=
−+
=
+
→ →2
lim
)
(
lim
2 2(
2
)
2
1
4
1
2−
=
−
=
a
a
f
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1 f kontinu kanan di x=2)
2
(
)
(
lim
2f
x
f
x +=
→1
4
1
2
)
2
(
=
a
2−
=
a
−
f
1
4
1
lim
)
(
lim
2 2 2+=
+−
=
−
→ →a
ax
x
f
x x Selalu dipenuhi1. Diketahui
⎩
⎨
⎧
−
>
+
−
≤
−
=
1
,
2
2
1
,
1
)
(
2x
x
x
x
x
f
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 Soal Latihan 2. Agar fungsi ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + < + = 2 , 3 2 1 , 1 , 1 ) ( x x x b ax x x x f
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ? 3. Tentukan a dan b agar fungsi
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < − − + = 2 , 4 2 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x bx ax x f kontinu di x = 2
32
Kekontinuan pada interval
n
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila
f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
n
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]
bila :
1.
f(x) kontinu pada ( a,b )
2.
f(x) kontinu kanan di x = a
3.
f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ R maka dikatakan
n
Teorema 3.2
n
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
n
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
n
Misalkan , maka
¨
f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
¨
f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n
x
x
f
(
)
=
4 ) (x = x − f ) 4 ( 0 4 lim ) ( lim 4 4 f x x x f x + = + − = = → →∞
34
f x
x
x
x
( ) =
+
+
23
3
f x x x ( ) = − − 2 3 4 8 f x x x ( ) | | = − − 2 29
4
1
)
(
2−
−
−
=
x
x
x
f
24
)
(
x
x
x
f
=
−
A.Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu Soal Latihan 1. 2. 3. 1. 2.
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
n
Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan f(x) kontinu di L, maka
n
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
L
x
g
a x→(
)
=
lim
)
(
))
(
lim
(
))
(
(
lim
f
g
x
f
g
x
f
L
a x a x→=
→=
) )( ( f ! g x))
(
(
lim
)
)(
(
lim
f
g
x
f
g
x
a x a x→!
=
→))
(
lim
(
g
x
f
a x→=
36 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − = 4 3 1 3 cos ) ( 2 4 x x x x x f
)
)(
(
)
(
x
g
h
x
f
=
!
4 3 1 3 ) ( 2 4 − + + − = x x x x x hdan g(x) = cos x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
