MATA PELAJARAN
MATEMATIKA
MATERI POKOK
LIMIT FUNGSI
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
SILABUS
S
tandar
K
ompetensi :
Menggunakan konsep
limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah.
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
SILABUS
K
ompetensi
D
asar
Menghitung limit fungsi
aljabar sederhana di
suatu titik
Menggunakan sifat limit
fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu fungsi
aljabar.
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
SILABUS
INDIKATOR :
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui grafik dan perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak
berhingga melalui grafik dan perhitungan 3. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik. 4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
6. Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
SILABUS
STANDAR KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
INDIKATOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
Tujuan Pembelajaran
Siswa :
Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga menggunakan grafik.
Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga melalui
perhitungan nilai-nilai disekitar titik. Dapat menjelaskan arti limit fugsi tak
terhingga melalui grafik;
Dapat menghitung limit fungsi aljabar dan di satu titik;
Dapat menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
PETA KONSEP
Limit Fungsi
Pengetahuan
X
L y =
f(x)
x =c
L ) x ( f lim
c
x® =
Dituli s:
Amati arah terbang dua ekor
burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.
Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka:
Tiang sangkar sebagai garis x = c;
Jejak terbang burung identik dengan grafk fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c;
Sebuah limit didefnisikan secara formal sebagai berikut:
Bila f adalah fungsi yang
terdefnisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik c
(dengan kemungkinan
pengecualian pada titik c) dan L
adalah bilangan real, maka
Perhatikan grafk di
bawah ini
berarti bahwa untuk setiap
berlaku dimana
,
terdapa t
Kita akan menghitung limit suatu fungsi f(x) di saat x mendekati suatu bilangan tertentu c, di
1. Pengertian Limit Fungsi disatu titik melalui grafk
L ) x ( f lim dan L ) x ( f lim L
) x ( f lim
c x c
x c
x = Û - = + =
® ®
®
0 X
Y
c
L
f( x)
Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh:
Nilai c tersebut didekati dari sebelah kiri maupun sebelah kanan.
Seberapa dekat?
Untuk memperjelas
permasalahan ini perhatikan
grafk fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.
ditulis: lim f(x)
0 X
Y
3 6
x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari
kanan
x 2,5 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 3,5 f(
x) 5,5 5,99 5,999 ... 6 ... 6,001 6,01 6,5 f(x) mendekati 6 f(x) mendekati 6
Penyelesaian:
Fungsi tidak terdefnisi pada
x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu).
Ambil beberapa nilai x yang
mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan.
0 0
3 x
9 x
) x ( f
2
-= Grafk
fungsi x 3
9 x
) x ( f
2
-=
Contoh 1:
Tentukan nilai dari 3 x
9 x
lim
2
3
x
-®
2. Pengertian Limit Fungsi di satu titik melalui
Dengan cara aljabar dapat diselesaikan :
3 x
) 3 x )( 3 x ( lim 3
x 9 x
lim
3 x 2
3
x
-+ =
-® ®
6 ) 3 x ( lim
3
x + =
=
0 X
Y
2 0 4 0
-20
-40
4 2
x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari
kanan
x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4 f(x) 13 1794,01 17994 ... ? ...18006 1806,01 25
f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil
f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar
x=3 Asimtot
Tegak
Contoh 2:
Tentukan nilai dari 3 x
9 x
lim
2
3
x
-+
®
Grafk
fungsi x 3
9 x
) x ( f
2
-+
= 3. Pengertian Limit Fungsi di tak berhingga melalui grafk dan perhitungan
0 18 2
3 x 9 x ) x ( f
Penyelesaian:
Fungsi tidak terdefnisi pada x = 3, karena diperoleh bentuk
Dari gambar grafk nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.
Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan
mendekati bilangan positif tak hingga.
Karena
maka nilai dari:
0 X
Y
2 0 4 0
-20
-40
4 2
x=3 Asimtot
Tegak
Grafk
fungsi x 3
9 x
) x ( f
2
-+ =
-¥
=
-+
-® x 3
9 x
lim
2
3 x
+¥
=
-+
+
® x 3
9 x
lim
2
3 x
3 x
9 x
lim 3 x
9 x
lim
2
3 x 2
3
x
-+ ¹
-+
+
-® ®
ada tidak
3 x
9 x
lim
2
3
x
-+
0
X Y
+ ∞ -∞
x mendekati bilangan negatif yang sangat
besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar
x - ∞ ...
-1.000.00
0
-100.000-10.000-1.000 -100 100 1.000 10.000 100.0001.000.000 ... + ∞ f(x) 0 ... 0,000001- 0,00001- -0,0001-0,0010,01- 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0
f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0)
( 1.0 00.0
00 ;
0,00 0001
)
( 100 .000
;
0,00 001
) ( 10.
000 ;
0,00 01 ) ( 100
0 ;
0,00 1 ) ( 100
;
0,01 )
( -10 0 ;
-0,01 ) ( -10
00 ;
-0,00 1 ) ( -10
.000 ;
-0,00 01 )
( -10 0.00
0 ;
-0,00 001
)
( -1. 000.
000 ;
-0,00 0001
)
Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif
tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafk.
0 x 1 lim
x®¥ =
Kita peroleh nilai:
Bagaimana dengan ? x
1 lim
x®¥
Start
Rasion al?
Bagi dengan pangkat tertinggi
Rasionalkan/ kalikan akar
sekawan kemudian bagi
pangkat tertinggi
Hasil
Selesai
Tida k
Ya Flowchart untuk
menghitung nilai: x
lim
® ¥f
(
x
)
Start
Substitusi x = c
Bentu k tak tentu?
Lakukan penyederhanaa
n
Lanjutkan Hitung
Hasil
Selesai
Tida k
Ya Flowchart untuk
Keterangan
0
0
ata
u
Penyelesaiannya :
Bentuk tak
tentu
difaktorkan atau dikalikan akar sekawan agar
diperoleh pecahan yang sederhana.
0
0
adalah :
ata
u
Bentuk tak
tentu
g
(x)
∞
x
f
(x)
®
lim
Penyelesaiannya :
∞
∞
Langsung diselesaikan dengan cara dibagi xpangkat tertinggi kemudian substitusikan
0
0
dikalikan akar sekawan disederhanakankemudian dibagi oleh pangkat tertinggi
X ®c
lim
f
( x
)
∞
∞
adalah
:
∞ ∞
–
∞ ∞
–
∞ ∞
–
Menyederhanakan pecahan denganmenyamakan penyebut lebih dahulu.
Kalikan akar sekawan
x lim
x 4 2
x lim
0 lim 1
x 1 x
lim
2
Contoh 4:
Tentukan nilai dari:
a
Penyelesaia n:
Untuk soal (a) dan (b) jika dilakukan substitusi akan diperoleh bentuk tak tentu Sehing
ga,
a) Lakukan pemfaktoran
b) Rasionalkan bentuk akar
1
lim
3
lim
3 lim
0 lim
0 lim x lim
0
lim
0 lim
0
x - - =
\
2 lim
+
Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat
tertinggi
) x ( 2
c) adalah fungsi
rasional. Mengapa ? lim
+
d )
bukan fungsi rasional.
Mengapa ?
Kalikan akar sekawan
Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.
L lim
lim
2
Jawab :Karena berupa fungsi bentuk Akar.
Penyelesaian :
Andaikan n bilangan bulat positif,
k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
limk k
c x
limf(x) f(c)
c
x
lim
f(x) g(x)
limf(x) limg(x)c x c
x c
x
lim
f(x) g(x)
limf(x) limg(x)c x c
x c
x
limkf(x) klimf(x)
c x c
x
;limg(x)0
) x ( g
lim ) x ( f
lim )
x ( g
) x ( f
lim
c x c
x c x c
x
n
c x n c
xlim (f(x)) (lim f(x))
n
c x n
c
xlim f(x) lim f(x)
Kita lihat contoh penerapannya!
diman a:
; utk n genap 0
) x ( f lim
c
4 lim x
lim 7
1 x 1
x® - ®
=
4 lim x
7 lim
1 x 1
x® - ®
=
Contoh 5:
Tentukan nilai dari: a
) b )
Penyelesaia n:
a
) limx 1(7x 4)
-®
4 ) 1 ( 7
-= 3 =
÷ ÷ ø ö çç
è æ
+
-+
® 2x 1
2 x 3 x
lim 2
2
2
x limx®c
(
f(x) g(x))
limx®cf(x) limx®cg(x)± =
±
) x ( f lim k ) x ( kf lim
c x c
x® = ® Teorem
a
Teorem a
) 4 x 7 ( lim
1
-1 x
2 lim
) lim
2 lim
2 lim x
3 lim x
lim
2 lim x
2 lim
2 lim x
3 lim x
lim
2 lim
c
Teorema
Teorema
Teorema
limg(x);limg(x) 0
) x ( f lim ) lim
c
lim
1. .... 3
x 9 x lim
2
3
x + =
-®
3 x
) 3 x )( 3 x ( lim 3
x 9 x
lim
1 x 2
3
x +
-+ =
+
-®
-®
) 3 x ( lim
1
x
-=
-®
3 3
-=
6
-=
6 3
x 9 x
lim
2
1
x + =
-\
-®
6
¥
0 9
-6
2.
3
4
.... 2
x
6 x x
lim
2
2
x - =
-+
®
2 x
) 3 x )( 2 x ( lim 2
x
6 x x
lim
2 x 2
2
x
-+
-=
-+
® ®
) 3 x ( lim
2
x +
=
®
3 2+ =
5 =
5 2
x
6 x x
lim
2
2
x - =
-+ \
®
2
5
6
Rasional kan bentuk akar
4
lim 4
x 16 x
lim
2
lim
2 lim
2 lim
4 lim
4
lim
Kalikan akar sekawan
x lim
0 lim
0 lim
0 lim
0 lim
0 lim
Kalikan akar sekawan
x lim
0 lim
0 lim
0 lim
0 lim
0 lim
0 lim
Kalikan akar sekawan
6.
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
x
3
0 x
-®
9–
2x
lim
=
2 3
3
3 1
0
x 3
0 x
-®
9–2x lim
= ...
x 3
0 x
-®
9–2x lim
= 3 + 9–2x
3 + 9–2x
0 x®
2x lim
x (
3+ 9–2x =)
)
(9
0 x
-®
( 9–2x ))
lim
x (
3+ 9–2x =0 x®
2 lim
(
3+ 9–2x =)
2
(
3+ 9–0=
)
\ \ =
6
2 = 17.
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
2
x – 7x +
6
X → 1
=
…
lim
x + 4x –
5
2
x – 7x +
26
X → 1
=
…
lim
x + 4x –
5
2
6 5
–
4 7
–
1
0
(x – 6)
1 x®
( x – 1) lim
(x + 5)
( x – 1) =
(x – 6)
1 x®
lim
(x + 5) =
(1 – 6) (1 + 5)
= =– 5 6
2
x – 7x + 6
X → 1
=
lim
x + 4x – 52
8.
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
-
1
0
3x –
2x
2x –
3x
2
2
Jika f(x)
=
, maka
X → 0
f(x) =
…
lim
3 2
–
3 1
–
3 2
X → 0
=
…
lim 3x –
2x
2x –
3x
2
2
X → 0
lim x (3x –
2)
x (2x –
3)
=
X → 0
lim (3x –
2)
(2x –
3)
=
(0 –
2)
(0 –
3)
=
=
3
2
X → 0
=
lim 3x –
2x
2x –
3x
2
2
\
Kalikan akar sekawan
9.
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
9 – x
lim
= ...
lim
= ...
lim =
lim = lim
= lim
=
4 - 6 . 6
= =– 19
-
(3 + 3)(3 + 1)
3 x®
lim =
( 3
+
6 + 3
10 .
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban
Bagi pangkat tertinggi
.... lim
+ memilih jawaban
Bagi pangkat tertinggi x
lim
+ +
=
¥
®
Kalikan akar sekawan
x lim
Kalikan akar sekawan
x
Bagi pangkat tertinggi
3. lim
+ memilih jawaban
3
Bagi pangkat tertinggi
Kalikan akar sekawan
4. limx( x2 1 x) ....
lim
+ lim
Bagi pangkat tertinggi
5. lim
x ø÷= lim
x ÷ø= lim
x - + lim
2 lim
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai dari:
a. x .... lim
2 lim 1
x 3
2 lim
2 x 2
x
x lim
3 x 2 lim 1
x 3 lim
2 lim
2 lim
2 lim
2 x
b.
2. Jika da
n
buktikan dengan teorema limit bahwa:
1 )
x ( g lim
c lim
c lim
5 lim
.... lim
5 lim )
4 x ( lim
5 lim x
2 lim ( ) 4 lim x
lim ( lim
5 1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai dari:
a. æèç - + øö÷ lim
2 x
b.
2. Jika da
n
buktikan dengan teorema limit bahwa:
1 )
x ( g lim
c lim
c lim
5 lim
Bukt i: 2a .
(terbu kti)
.... lim )
lim [
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai dari:
a. æèç - + øö÷ lim
2 x
b.
2. Jika da
n
buktikan dengan teorema limit bahwa:
1 )
x ( g lim
c lim
c lim
5 lim
Bukt i: 2b .
(terbu kti)
[
f(x) (x c)g(x)]
.... limc lim )
c x ( lim )
x ( f lim
c lim
c
x + - =
\
®
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai dari:
a. æèç - + øö÷ lim
2 x
b.
2. Jika da
n
buktikan dengan teorema limit bahwa:
1 )
x ( g lim
c lim
c lim
5 lim
Bukt i: 2c .
(terbu kti)
[
f(x) 3]
....lim )
x ( g lim
c
lim
c
1. Dengan menggunakan
teorema limit hitunglah nilai dari:
a. æèç - + øö÷ lim
2 x
b.
2. Jika da
n
buktikan dengan teorema limit bahwa:
1 )
x ( g lim
c lim
c lim
5 lim
3.Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu?
2.Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1.Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.
1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka
kecepatan sesaat pada t = 4 adalah:
Jadi, kecepatan sesaat benda adalah: 8 m/detik Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
h lim
0 lim
2 lim
2
lim
2 lim h
h 8 h
lim
0 lim
0
h + =
=
2. Total untung: L(t)=1500t2.
Maka keuntungan marjinal untuk t = 5 adalah:
Jadi, keuntungan marjinal
perusahaan: 15000 dollar/tahun. h
] ) 5 ( 1500 [ 1500 [
lim
2 1500 [ 1500 [
lim
2 37500 [
] h 1500 h
15000 37500
[ lim
2 15000 h
1500 lim
2 15000 h
1500 (
h lim
0 h
+ =
®
15000 )
15000 h
1500 (
lim
0
h + =
=
®
3.Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu?
2.Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1.Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.
Gunakan rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
h lim
0 h
-+
3. Berat tumor: w(t)=0,1t2—0,05t.
Maka laju pertumbuhan tumor untuk t = 10 adalah:
Jadi, laju pertumbuhan tumor adalah:
1,95 gram/minggu.
h 100 ( 100 ( 1 , 0 [ lim
2 lim
2 lim h lim
0 lim
0
h + = + =
=
®
3.Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2
—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu?
2.Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar
L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1.Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.
Gunakan rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
h lim
0 h
-+