• Tidak ada hasil yang ditemukan

PP Limit Fungsi Aljabar

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2019

Membagikan "PP Limit Fungsi Aljabar"

Copied!
50
0
0

Teks penuh

(1)

MATA PELAJARAN

MATEMATIKA

MATERI POKOK

LIMIT FUNGSI

(2)

SILABUS

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

(3)

SILABUS

S

tandar

K

ompetensi :

Menggunakan konsep

limit fungsi dan turunan fungsi

dalam pemecahan masalah.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

(4)

SILABUS

K

ompetensi

D

asar

Menghitung limit fungsi

aljabar sederhana di

suatu titik

Menggunakan sifat limit

fungsi untuk menghitung

bentuk tak tentu fungsi

aljabar.

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

(5)

SILABUS

INDIKATOR :

1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui grafik dan perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut

2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak

berhingga melalui grafik dan perhitungan 3. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik. 4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.

5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

6. Menghitung limit fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat limit

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

(6)

SILABUS

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

TUJUAN PEMBELAJARAN

Tujuan Pembelajaran

Siswa :

 Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga menggunakan grafik.

 Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga melalui

perhitungan nilai-nilai disekitar titik.  Dapat menjelaskan arti limit fugsi tak

terhingga melalui grafik;

 Dapat menghitung limit fungsi aljabar dan di satu titik;

 Dapat menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

(7)

PETA KONSEP

Limit Fungsi

Pengetahuan

(8)
(9)

X

L y =

f(x)

x =c

L ) x ( f lim

c

x® =

Dituli s:

Amati arah terbang dua ekor

burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.

Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka:

Tiang sangkar sebagai garis x = c;

Jejak terbang burung identik dengan grafk fungsi y = f(x);

Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c;

(10)

Sebuah limit didefnisikan secara formal sebagai berikut:

Bila f adalah fungsi yang

terdefnisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik c

(dengan kemungkinan

pengecualian pada titik c) dan L

adalah bilangan real, maka

Perhatikan grafk di

bawah ini

berarti bahwa untuk setiap

berlaku dimana

,

terdapa t

(11)

Kita akan menghitung limit suatu fungsi f(x) di saat x mendekati suatu bilangan tertentu c, di

1. Pengertian Limit Fungsi disatu titik melalui grafk

L ) x ( f lim dan L ) x ( f lim L

) x ( f lim

c x c

x c

x = Û - = + =

® ®

®

0 X

Y

c

L

f( x)

Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh:

Nilai c tersebut didekati dari sebelah kiri maupun sebelah kanan.

Seberapa dekat?

Untuk memperjelas

permasalahan ini perhatikan

grafk fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.

ditulis: lim f(x)

(12)

0 X

Y

3 6

x mendekati 3 dari kiri  x mendekati 3 dari

kanan

x 2,5 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 3,5 f(

x) 5,5 5,99 5,999 ... 6 ... 6,001 6,01 6,5 f(x) mendekati 6  f(x) mendekati 6

Penyelesaian:

Fungsi tidak terdefnisi pada

x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu).

Ambil beberapa nilai x yang

mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan.

0 0

3 x

9 x

) x ( f

2

-= Grafk

fungsi x 3

9 x

) x ( f

2

-=

Contoh 1:

Tentukan nilai dari 3 x

9 x

lim

2

3

x

2. Pengertian Limit Fungsi di satu titik melalui

(13)

Dengan cara aljabar dapat diselesaikan :

3 x

) 3 x )( 3 x ( lim 3

x 9 x

lim

3 x 2

3

x

-+ =

-® ®

6 ) 3 x ( lim

3

x + =

=

(14)

0 X

Y

2 0 4 0

-20

-40

4 2

x mendekati 3 dari kiri  x mendekati 3 dari

kanan

x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4 f(x) 13 1794,01 17994 ... ? ...18006 1806,01 25

f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil 

f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar

x=3 Asimtot

Tegak

Contoh 2:

Tentukan nilai dari 3 x

9 x

lim

2

3

x

-+

®

Grafk

fungsi x 3

9 x

) x ( f

2

-+

= 3. Pengertian Limit Fungsi di tak berhingga melalui grafk dan perhitungan

0 18 2

3 x 9 x ) x ( f

 

Penyelesaian:

Fungsi tidak terdefnisi pada x = 3, karena diperoleh bentuk

(15)

Dari gambar grafk nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.

Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan

mendekati bilangan positif tak hingga.

Karena

maka nilai dari:

0 X

Y

2 0 4 0

-20

-40

4 2

x=3 Asimtot

Tegak

Grafk

fungsi x 3

9 x

) x ( f

2

-+ =

=

-+

-® x 3

9 x

lim

2

3 x

=

-+

+

® x 3

9 x

lim

2

3 x

3 x

9 x

lim 3 x

9 x

lim

2

3 x 2

3

x

-+ ¹

-+

+

-® ®

ada tidak

3 x

9 x

lim

2

3

x

-+

(16)

0

X Y

+ ∞ -∞

x mendekati bilangan negatif yang sangat

besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar

x - ∞ ...

-1.000.00

0

-100.000-10.000-1.000 -100 100 1.000 10.000 100.0001.000.000 ... + ∞ f(x) 0 ... 0,000001- 0,00001- -0,0001-0,0010,01- 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0

f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0)

( 1.0 00.0

00 ;

0,00 0001

)

( 100 .000

;

0,00 001

) ( 10.

000 ;

0,00 01 ) ( 100

0 ;

0,00 1 ) ( 100

;

0,01 )

( -10 0 ;

-0,01 ) ( -10

00 ;

-0,00 1 ) ( -10

.000 ;

-0,00 01 )

( -10 0.00

0 ;

-0,00 001

)

( -1. 000.

000 ;

-0,00 0001

)

Penyelesaian:

Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif

tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafk.

0 x 1 lim

x®¥ =

Kita peroleh nilai:

Bagaimana dengan ? x

1 lim

x®¥

(17)

Start

Rasion al?

Bagi dengan pangkat tertinggi

Rasionalkan/ kalikan akar

sekawan kemudian bagi

pangkat tertinggi

Hasil

Selesai

Tida k

Ya Flowchart untuk

menghitung nilai: x

lim

® ¥

f

(

x

)

Start

Substitusi x = c

Bentu k tak tentu?

Lakukan penyederhanaa

n

Lanjutkan Hitung

Hasil

Selesai

Tida k

Ya Flowchart untuk

(18)

Keterangan

0

0

ata

u

Penyelesaiannya :

Bentuk tak

tentu

difaktorkan atau dikalikan akar sekawan agar

diperoleh pecahan yang sederhana.

0

0

adalah :

ata

u

Bentuk tak

tentu

g

(x)

x

f

(x)

®

lim

Penyelesaiannya :

Langsung diselesaikan dengan cara dibagi x

pangkat tertinggi kemudian substitusikan

0

0

dikalikan akar sekawan disederhanakan

kemudian dibagi oleh pangkat tertinggi

X ®c

lim

f

( x

)

adalah

:

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

Menyederhanakan pecahan dengan

menyamakan penyebut lebih dahulu.

(19)

Kalikan akar sekawan

x lim

x 4 2

x lim

0 lim 1

x 1 x

lim

2

Contoh 4:

Tentukan nilai dari:

a

Penyelesaia n:

Untuk soal (a) dan (b) jika dilakukan substitusi akan diperoleh bentuk tak tentu Sehing

ga,

a) Lakukan pemfaktoran

b) Rasionalkan bentuk akar

1

lim

3

lim

3 lim

0 lim

0 lim x lim

0

lim

0 lim

0

x - - =

\

(20)

2 lim

+

Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat

tertinggi

) x ( 2

c) adalah fungsi

rasional. Mengapa ? lim

+

(21)

d )

bukan fungsi rasional.

Mengapa ?

Kalikan akar sekawan

Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.

L lim

lim

2

Jawab :Karena berupa fungsi bentuk Akar.

Penyelesaian :

(22)

Andaikan n bilangan bulat positif,

k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

 limk k

c x 

 limf(x) f(c)

c

x 

 lim

f(x) g(x)

limf(x) limg(x)

c x c

x c

x     

 lim

f(x) g(x)

limf(x) limg(x)

c x c

x c

x    

 limkf(x) klimf(x)

c x c

x  

 ;limg(x)0

) x ( g

lim ) x ( f

lim )

x ( g

) x ( f

lim

c x c

x c x c

x  

 

 

 

 

 n

c x n c

xlim (f(x)) (lim f(x))

 n

c x n

c

xlim f(x) lim f(x)

Kita lihat contoh penerapannya!

diman a:

; utk n genap 0

) x ( f lim

c

(23)

4 lim x

lim 7

1 x 1

x® - ®

=

4 lim x

7 lim

1 x 1

x® - ®

=

Contoh 5:

Tentukan nilai dari: a

) b )

Penyelesaia n:

a

) limx 1(7x 4)

4 ) 1 ( 7

-= 3 =

÷ ÷ ø ö çç

è æ

+

-+

® 2x 1

2 x 3 x

lim 2

2

2

x limx®c

(

f(x) g(x)

)

limx®cf(x) limx®cg(x)

± =

±

) x ( f lim k ) x ( kf lim

c x c

x® = ® Teorem

a

Teorem a

) 4 x 7 ( lim

1

(24)

-1 x

2 lim

) lim

2 lim

2 lim x

3 lim x

lim

2 lim x

2 lim

2 lim x

3 lim x

lim

2 lim

c

Teorema

Teorema

Teorema

 limg(x);limg(x) 0

) x ( f lim ) lim

c

lim

(25)
(26)

1. .... 3

x 9 x lim

2

3

x + =

3 x

) 3 x )( 3 x ( lim 3

x 9 x

lim

1 x 2

3

x +

-+ =

+

) 3 x ( lim

1

x

-=

3 3

-=

6

-=

6 3

x 9 x

lim

2

1

x + =

-\

6

¥

0 9

-6

(27)

2.

3

4

.... 2

x

6 x x

lim

2

2

x - =

-+

®

2 x

) 3 x )( 2 x ( lim 2

x

6 x x

lim

2 x 2

2

x

-+

-=

-+

® ®

) 3 x ( lim

2

x +

=

®

3 2+ =

5 =

5 2

x

6 x x

lim

2

2

x - =

-+ \

®

2

5

6

(28)

Rasional kan bentuk akar

4

lim 4

x 16 x

lim

2

lim

2 lim

2 lim

4 lim

4

lim

(29)

Kalikan akar sekawan

x lim

0 lim

0 lim

0 lim

0 lim

0 lim

(30)

Kalikan akar sekawan

x lim

0 lim

0 lim

0 lim

0 lim

0 lim

0 lim

(31)

Kalikan akar sekawan

6.

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

x

3

0 x

9–

2x

lim

=

2 3

3

3 1

0

x 3

0 x

9–2x lim

= ...

x 3

0 x

9–2x lim

= 3 + 9–2x

3 + 9–2x

0 x®

2x lim

x (

3+ 9–2x =

)

)

(9

0 x

( 9–2x ))

lim

x (

3+ 9–2x =

0 x®

2 lim

(

3+ 9–2x =

)

2

(

3+ 9–0

=

)

\ \ =

6

2 = 1

(32)

7.

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

2

x – 7x +

6

X → 1

=

lim

x + 4x –

5

2

x – 7x +

2

6

X → 1

=

lim

x + 4x –

5

2

6 5

4 7

1

0

(x – 6)

1 x®

( x – 1) lim

(x + 5)

( x – 1) =

(x – 6)

1 x®

lim

(x + 5) =

(1 – 6) (1 + 5)

= =– 5 6

2

x – 7x + 6

X → 1

=

lim

x + 4x – 52

(33)

8.

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

-

1

0

3x –

2x

2x –

3x

2

2

Jika f(x)

=

, maka

X → 0

f(x) =

lim

3 2

3 1

3 2

X → 0

=

lim 3x –

2x

2x –

3x

2

2

X → 0

lim x (3x –

2)

x (2x –

3)

=

X → 0

lim (3x –

2)

(2x –

3)

=

(0 –

2)

(0 –

3)

=

=

3

2

X → 0

=

lim 3x –

2x

2x –

3x

2

2

\

(34)

Kalikan akar sekawan

9.

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

9 – x

lim

= ...

lim

= ...

lim =

lim = lim

= lim

=

(35)

4 - 6 . 6

= =– 19

-

(3 + 3)

(3 + 1)

3 x®

lim =

( 3

+

6 + 3

(36)

10 .

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

(37)

Bagi pangkat tertinggi

.... lim

+ memilih jawaban

(38)

Bagi pangkat tertinggi x

lim

+ +

=

¥

®

Kalikan akar sekawan

x lim

(39)

Kalikan akar sekawan

x

Bagi pangkat tertinggi

3. lim

+ memilih jawaban

3

(40)

Bagi pangkat tertinggi

Kalikan akar sekawan

4. limx( x2 1 x) ....

lim

+ lim

(41)

Bagi pangkat tertinggi

5. lim

x ø÷= lim

x ÷ø= lim

x - + lim

2 lim

(42)

1. Dengan menggunakan

teorema limit hitunglah nilai dari:

a. x .... lim

2 lim 1

x 3

2 lim

2 x 2

x

x lim

3 x 2 lim 1

x 3 lim

2 lim

2 lim

2 lim

2 x

b.

2. Jika da

n

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 )

x ( g lim

c lim

c lim

5 lim

(43)

.... lim

5 lim )

4 x ( lim

5 lim x

2 lim ( ) 4 lim x

lim ( lim

5 1. Dengan menggunakan

teorema limit hitunglah nilai dari:

a. æèç - + øö÷ lim

2 x

b.

2. Jika da

n

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 )

x ( g lim

c lim

c lim

5 lim

(44)

Bukt i: 2a .

(terbu kti)

.... lim )

lim [

1. Dengan menggunakan

teorema limit hitunglah nilai dari:

a. æèç - + øö÷ lim

2 x

b.

2. Jika da

n

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 )

x ( g lim

c lim

c lim

5 lim

(45)

Bukt i: 2b .

(terbu kti)

[

f(x) (x c)g(x)

]

.... lim

c lim )

c x ( lim )

x ( f lim

c lim

c

x + - =

\

®

1. Dengan menggunakan

teorema limit hitunglah nilai dari:

a. æèç - + øö÷ lim

2 x

b.

2. Jika da

n

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 )

x ( g lim

c lim

c lim

5 lim

(46)

Bukt i: 2c .

(terbu kti)

[

f(x) 3

]

....

lim )

x ( g lim

c

lim

c

1. Dengan menggunakan

teorema limit hitunglah nilai dari:

a. æèç - + øö÷ lim

2 x

b.

2. Jika da

n

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 )

x ( g lim

c lim

c lim

5 lim

(47)

3.Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2

—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju

pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu?

2.Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar

L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju

keuntungan sesaat

(keuntungan marjinal) saat t = 5?

1.Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.

Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.

1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka

kecepatan sesaat pada t = 4 adalah:

Jadi, kecepatan sesaat benda adalah: 8 m/detik Gunakan

rumus:

untuk menyelesaikan permasalahan berikut.

h lim

0 lim

2 lim

2

lim

2 lim h

h 8 h

lim

0 lim

0

h + =

=

(48)

2. Total untung: L(t)=1500t2.

Maka keuntungan marjinal untuk t = 5 adalah:

Jadi, keuntungan marjinal

perusahaan: 15000 dollar/tahun. h

] ) 5 ( 1500 [ 1500 [

lim

2 1500 [ 1500 [

lim

2 37500 [

] h 1500 h

15000 37500

[ lim

2 15000 h

1500 lim

2 15000 h

1500 (

h lim

0 h

+ =

®

15000 )

15000 h

1500 (

lim

0

h + =

=

®

3.Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2

—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju

pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu?

2.Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar

L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju

keuntungan sesaat

(keuntungan marjinal) saat t = 5?

1.Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.

Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.

Gunakan rumus:

untuk menyelesaikan permasalahan berikut.

h lim

0 h

-+

(49)

3. Berat tumor: w(t)=0,1t2—0,05t.

Maka laju pertumbuhan tumor untuk t = 10 adalah:

Jadi, laju pertumbuhan tumor adalah:

1,95 gram/minggu.

h 100 ( 100 ( 1 , 0 [ lim

2 lim

2 lim h lim

0 lim

0

h + = + =

=

®

3.Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2

—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju

pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu?

2.Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar

L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju

keuntungan sesaat

(keuntungan marjinal) saat t = 5?

1.Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.

Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.

Gunakan rumus:

untuk menyelesaikan permasalahan berikut.

h lim

0 h

-+

(50)

Anda yakin ingin

keluar?

Referensi

Dokumen terkait

Beberapa radiasi yang bisa dideteksi dengan sistem penginderaan jarak jauh seperti : radiasi cahaya matahari atau panjang gelombang dari visible dan near sampai middle

Metallic yielding Damper merupakan material baja yang digunakan sebagai media untuk mendissipasi energi gempa yang masuk kedalam struktur yaitu dengan

Jenis-jenis paragraf dalam dunia bahasa merupakan buah dari pikiran pokok sebuah karangan yang kemudian dikembangkan menjadi satu karya tulis yang baik..

Sifat-sifat mekanik magnesium terutama memiliki kekuatan tarik yang sangat rendah.Oleh karena itu magnesium murni tidak dibuat dalam teknik.Paduan magnesium memiliki

Keikutsertaan dan keterlibatan DPD dalam penyusunan Prolegnas merupakan konsekuensi dari norma Pasal 22D ayat (1) UUD 1945 yang menyatakan, “Dewan Perwakilan Daerah

Terbentuknya kerajaan Saudi Arabia, tidak terlepas dari peran dua tokoh utama yaitu Muhammad ibn Abd Wahhab dan Muhammad ibn Sa’ud, dari persekutuan antara

Untuk itu agar kita dapat mempengaruhi orang lain maka penuhi beberapa sifat dasar tersebut dalam setiap interaksi komunikasi Anda terhadap orang lain dengan ketulusan dan

Bahtiar dan Ibu Mastanah yang telah melahirkan saya dan membesarkan saya hingga bisa sampai menuntut ilmu di perguruan tinggi ini dan yang senantiasa mendoakan serta menjadi