BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN
A. Limit Fungsi Aljabar
A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu
Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu,
diantaranya adalah
∞
−
∞
∞
∞
,
,
0
,
,
0
0
a
Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar
Contoh Soal :
1. lim5 5
2
=
→
x
2. b b
x
=
→5
lim
3. lim
(
3 2)
3 22
− = −
→ x x
y
Limit Fungsi Konstan
Jika
f
(
x
) adalah fungsi konstan dan
a∈R, maka berlaku :
( )
x
f
( )
x
f
a
x→
=
lim
Contoh Soal :
1. lim
(
2 2 1)
...1
= − +
→ x x
x
Penyelesaian
(
)
( )
2
1 1 2 1 1 2
lim 2 2
1
=
− + = − +
→ x x
x
2. lim
(
3 2 4)
...5
= −
→ x x
x
Penyelesaian
(
)
55 20 75
) 5 ( 4 ) 5 ( 3 4 3
lim 2 2
5
= − =
− =
−
→ x x
x
3. ...
3 9 3 lim
2
3
= +
→
x
x
Subtitusi Langsung
Jika
f
(
x
) adalah fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan,
a∈Rdan
R a
f( )∈
maka :
( )
x
f
( )
a
f
a
x→
=
Penyelesaian
2 3 36
3 9 27
3 9 ) 3 ( 3 3
9 3 lim
2 2
3
= =
+ =
+ =
+
→
x
x
4. lim
(
5 6)
2 ...1 2 3
2− − =
− −
→ p p
p
Penyelesaian
(
)
(
)
(
)
4 1
16 1
24 40
1
2 6 2 5
1 6 5
1 lim
6 5 lim
2 3
2 3 2
2 1 2 3 2
= =
− =
− − − − =
− − =
− −
− → − −
→
p p p
p
p p
Jika pada hasil subtitusi langsung menghasilkan nilai-nilai tak tentu
∞
−
∞
∞
∞
,
,
0
,
,
0
0
a
terutama pada bentuk
) (
) ( lim
x g
x f
Contoh Soal :
1. ...
2 2 3 lim 2
2
2 − − =
+ −
→ x x
x x
x
Penyelesaian
0 0 2 2 2
2 ) 2 ( 3 2 2
2 3
lim 2
2 2
2
2 − −
+ − = − −
+ −
→ x x
x x
x . Ternyata jika kita subtitusikan
langsung menghasilan nilai tak tentu maka kita gunakan teorema 3. maka :
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 1
1 2
1 2
1 1 lim
1 2
1 2 lim 2
2 3 lim
2 2 2
2
2
= + − =
+ − =
+ −
− − =
− −
+ −
→ → →
x x
x x
x x x
x x x
x x x
Faktorisasi
Jika
(
x−a) ( )
p x adalah faktor darif(x) dan(
x−a) ( )
q x adalah faktor dari g(x), a∈R dan p(a).q( )
a ≠0 maka:
( )
( )
(
) ( )
(
) ( )
( )
( )
a
q
a
p
x
q
a
x
x
p
a
x
x
g
x
f
a x a
x
−
=
−
=
→
→
lim
2 ... 4
16 lim
2
Penyelesaian
(
)(
)
(
)
8
4 lim
4 4 4 lim 4 16 lim
4
Penyelesaian
(
)
(
)
lim1 1
3 1
lim 1
3 4 lim
2
Penyelesaian
(
)
lim4 2 4 lim
2 lim 2 1 4 6 lim
Contoh Soal :
1. ...
4 2 lim
0 − − =
→ x
x
x
Penyelesaian
(
)
(
)
(
)
(
)
4
4 2 lim
4 2 lim
4 4
4 2 lim
4 2
4 2 . 4 2 lim 4
2 lim
0 0 0 0 0
=
− + =
− + =
− −
− + =
− +
− + − − = − −
→ → → → →
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x x x
Perkalian Bentuk Sekawan
Jikaf(x) ataug(x) salah satunya atau keduanya merupakan fungsi dalam bentuk akar dan a∈R maka:
a. Jika f
( )
x =a− x−c maka( )
( )
( )
a
x
c
c
x
a
x
g
c
x
a
x
g
x
f
a x a
x
+
−
−
+
−
−
=
→
→
lim
.
lim
b.
Jika g( )
x =a− x−c maka :( )
( )
( )
c
x
a
c
x
a
c
x
a
x
f
x
g
x
f
a x a
x
+
−
−
+
−
−
=
→
→
lim
.
lim
c.
Jika f( )
x =a− x−c dan g( )
x =b− x−d maka :( )
( )
b
x
d
d
x
b
c
x
a
c
x
a
d
x
b
c
x
a
x
g
x
f
a x a
x
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
−
=
→
→
lim
.
.
2. ... 3
8 1 lim
2
Penyelesaian
(
)
(
)
lim) lim
9 8
3 8 1 lim
3 lim
3 8
1 lim
1 lim
4
Penyelesaian
(
) (
)
lim1 lim
1 lim
1 lim 4
1 2 5 lim
4. ... 4
lim
4 − = → x
x
Penyelesaian
(
)
(
)
lim
4 4 4
4 lim
4 4 16
lim
4 4 4
16 lim
4 16 lim
4
Penyelesaian
(
)
(
)
lim lim lim lim lim limA.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Tak Hingga
Pada prinsip penyelesaian limit tak hingga sama seperti pada penyelesaian limit pada titik tertentu, yaitu harus menghidari nilai-nilai tak tentu
∞ − ∞ ∞ ∞
, , , 0 , , 0
0 a
.
.
Contoh Soal :
1. ...
2 3
5 2
lim 2
2
= + −
+ −
∞
→ x x
x x
x
Penyelesaian
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 3 1
5 1 2 lim
2 3
5 2
lim . 2 3
5 2
lim
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x x
+ −
+ − =
+ −
+ − =
+ −
+ −
∞ →
∞ → ∞
→
Membagi dengan variabel tertinggi
Jika f(x) dan g(x) adalah merupakan fungsi aljabar maka nilai dari
( )
( )
x gx f
x→∞
lim adalah dengan cara membagi semua unsur/suku dengan variabel darif(x) atau pun g(x) yang merupakan pangkat tertinggi.
= − − =
− −
∞ → ∞
→ lim ,
lim
d a
x r x dx
x bx x ax
r dx
bx ax
n n
n n
m
n n
x n
m n
x
Teorema 5
2
Penyelesaian
1
1 5 lim
1 5 lim
1 lim 1 2 1 3 lim
2
Penyelesaian
(
)
108 14464
8 36 54 27 lim
9 lim 3
4 2 3 lim
4. ... 1
2 lim
2 =
− −
∞ →
x x
x
x
Penyelesaian
1
0 0 1
1 lim
1 2 lim
1 2 lim
1 2 lim
2 2 2 2
=
− − =
− − =
− − =
− −
∞ →
∞ →
∞ → ∞
→
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x
5. ...
8 3
6 3 5
lim 3
2
= −
+ −
∞
→ x
x x
x
Penyelesaian
0 0 3
0 0 0
8 3
6 3 5 lim 8
3
6 3 5 lim
3 3
3
3 3
2 3 3
2
= −
+ − =
− + − =
− + −
∞ → ∞
→
x x
x
x x
x x
x
x x x
Contoh Soal :
1. lim 2−1+ 1− 2 =...
∞
→ x x
x
Penyelesaian
(
)
(
) (
)
0 2
1 1
2 2 lim
1 1
1 1 lim
1 1
1 1 1
1 lim
1 1 lim
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
=
− − −
− =
− − −
− − − =
− − −
− − − × − + − =
− + −
∞ →
∞ →
∞ → ∞
→
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
Limit tak hingga dengan perkalian sekawan
Jika f(x) dalam bentuk akar maka nilai dari f
( )
xx→∞
lim adalah dengan cara mengalikan dengan bentuk sekawan darif(x).
(
) (
)
(
ax b cx d)
d cx b ax d cx b ax d
cx b ax
n n
n n
n n
x n n
x − + −
− + − ×
− − − =
− − −
∞ → ∞
→ lim
2. lim 2+2 − 2 −4 =...
∞
→ x x x x
x
Penyelesaian
(
)
lim4 2
6 lim
4 2
6 lim
4 2
4 2
lim
4
lim 4 2
lim
2
Penyelesaian
(
)
(
(
)
)
(
)
lim4 6
16 14 lim
4 6
16 8 6
lim
4
lim 4 6
lim
Contoh Soal :
1. lim 2 2 +2 +2− 2 2 −4 +5 =...
∞
→ x x x x
x
Penyelesaian
2 2 3
2 2 2 2
6 2 2
6 2 2
) 4 ( 2 2 5 4 2 2 2 2
lim 2 2
= × = =
− − =
− = + − −
+ +
∞
→ a
q b x
x x
x
x
2. lim 25−10 − 25+10 =...
∞
→ x x x
x
Penyelesaian
Limit tak hingga dengan cara quantum
Jika f(x) adalah fungsi dalam bentuk
( )
x ax bx c px qx rf = 2+ + − 2 + + dengan:
• a = p
• Pangkat tertinggi dari variabel kedua suku adalah 2
• Operasi pengurangan maka berlaku :
a
q
b
r
qx
px
c
bx
ax
x
2
lim
2+
+
−
2+
+
=
−
(
)
2 10
20 25 2
10 10 2
10 25 10
25 lim
10 25 10
25 lim
10 25 10
25 lim 10
25 10 25 lim
2 2
2 2
− =
− =
− − =
− =
+ −
− =
+ −
− =
+ −
− =
+ − −
∞ →
∞ →
∞ → ∞
→
a q b
x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
3. lim 2−5 −
(
−2)
=...∞
→ x x x
x
Penyelesaian
(
)
(
)
2 1
1 2
) 4 ( 5 2
4 4 5
lim
2 5
lim 2 5
lim
2 2
2 2
2
− =
− − − =
− =
+ − − − =
− − − =
− − −
∞ →
∞ → ∞
→
a q b
x x x x
x x x x
x x
Pada prinsipnya penyelesaian limit fungsi trigonometri sama dengan penyelesaian fungsi aljabar, yakni menghindari nilai-nilai tak tentu.
Contoh Soal
1. ... tan
3 sin lim
0
=
→ x
x
x
Penyelesaian
3 3 . 1 . 1
3 . tan . 3
3 sin lim
. 3 3 . tan
3 sin lim tan
3 sin lim
0 0 0
= = = =
→ → →
x x x x x
x x x x x x
x x
x
x x x
2. ...
2 tan lim 2
0
= +
→ x x
x
x
Penyelesaian
Teorema dasar limit fungsi trigonometri
•
1sin lim 1
sin lim
0
0 = → =
→ x
x x
x
x x
•
1sin lim 1
sin lim
0
0 = → =
→ ax
ax ax
ax
x x
•
1tan lim 1
tan lim
0 0
= =
→
→ x
x x
x
x x
•
1tan lim 1
tan lim
0 0
= =
→
→ ax
ax ax
ax
x x
(
)
lim2 . tan lim
. 2 tan lim 2 tan lim
0 tan . 3 sin
1 6 cos
lim 2
Penyelesaian
(
)
(
(
)
)
lim2 3
6 . 2 tan
2 . 6
6 sin . 3 sin
3 lim
2 tan . 3 sin
6 sin lim
2 tan . 3 sin
6 sin lim
2 tan . 3 sin
6 sin lim
2 tan . 3 sin
1 6 sin 1 lim 2 tan . 3 sin
1 6 cos lim
Contoh Soal :
1. ...
2 6 5 lim
2
2
= −
+ −
→ x
x x
x
Penyelesaian
1 5 2 lim 2
6 5 lim
2 2
2
− =
− =
− + −
→
→ x x
x x
x x
2. ...
9 3 2
lim 2
3
= −
+ −
→ x
x x
x
Penyelesian
(
)
9 1
6 1 . 3 2 6 3 2
2 3 2
1 1 lim
9 3 2 lim 9
3 2 lim
3 2
2 1
3 2
3
= = =
+ − =
− + − = −
+ −
→ → →
x x x
x x x
x x
x x x
Dalil L’ Hopital
Jika
f’
(
x
) adalah merupakan turunan dari
f
(
x
) dan
g’
(
x
) adalah
turunan dari
g
(
x
) maka berlaku :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x gx f x g
x f x g
x f x g
x f
a
x '''
'' ' ''
'' '
'
lim = = =
