: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

(1)

Latar belakang penyusunan:

Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi trigonometri dan takhingga.

6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk

menghitung bentuk trigonometri dan tak hingga TUJUAN PEMBELAJARAN :

1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut

2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.

3. Menghitung limit fungsi trigonometri dan tak hingga di satu titik.

4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.

5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

6. Menghitung limit trigonometri dan tak hingga dengan menggunakan sifat-sifat limit.

KEGIATAN BELAJAR :

I. Judul sub kegiatan belajar : 1. Pengertian Limit Fungsi 2. Sifat-sifat limit fungsi 3. Limit Fungsi Trigonometri 4. Limit tak hingga

(2)

PETA KONSEP

2 LKS LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI DAN MENDEKATI TAK HINGGA

(3)

A. Teorema Dasar Limit

B. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk meneyelesaikan limit fungsi trigonometri ada beberapa metode yaitu:

1. Dengan subtitusi langsung

Untuk metode subtitusi langsung hanya dapat digunakan jika nilai limit

setelah disubtitusikan tidak memiliki nilai tak tentu (

). Untuk

metode subtitusi langsung kita hanya perlu mengganti nilai sudut x yang tersedia.

Tentukan nilai limit fungsi berikut:

Penyelesaian:

Contoh soal

(4)

(5)

2. Dengan metode penyederhanaan

Ketika kita menggunakan metode substitusi langsung nilai sudut x kedalam limit fungsi dan didapat bentuk tak tentu, maka kita harus menyederhanakan limit fungsi tersebut agar menjadi berntuk yang tentu saat kita mensubstitusikan nilai sudut x kedalam limit fungsi.

Masalah :

Bagaimana cara menyelesaikan suatu limit fungsi dengan menggunakan metode penyederhanaan?

Solusi :

Untuk menyelesaikan limit fungsi kita memerlukan rumus rumus trigonometri yang telah kita pelajari di kelas X.

Beberapa rumus tersebut antara lain:

1.

2.

3.

4.

Dan rumus sudut ganda Latihan soal

(6)

3. Dengan menggunakan rumus – rumus limit trigonometri

Kita bias menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus – rumus limit trigonometri. Rumus – rumus tersebut antara lain :

Untuk membuktikan rumus - rumus tersebut, kita bias menggunakan cara memasukkan x sampai mendekati nol, yaitu sebagai berikut :

x

0.1 0.99833416 6 0.01 0.99998333

3 0.001 0.99999983

3 0.0001 0.99999999

8 0

-0.0001 0.99999999 8 -0.001 0.99999983

3 -0.01 0.99998333

3 -0.1 0.99833416

6

Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan metode penyederhanaan:

Contoh soal

Coba kita perhatikan fungsi. Fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk x = 0. Lantas, bagaimanakah nilai fungsi untuk x dekat dengan 0?. Kalkulator akan menolong kita mempeoleh bayangan fungsi untuk beberapa x mendekati 0 yang dituliskan pada tabel di samping.

Gunakanlah kalkulator kalian untuk mengecek nilai-nilai dalam table tersebut.

(7)

f(x) merupakan nilai fungsi limit trigonometri baik

ataupun .

Secara intuitif meskipun tidak cukup kuat untuk diakui, dapatlah disimpulkan bahwa : untuk x dekat dengan 0 baik dari kiri maupun kanan maka fungsi

( ) sinx

f x  x akan dekat dengan 1.

Soal Dan Pembahasan Soal No. 1

Tentukan hasil dari soal limit berikut

Pembahasan

Cara pertama dengan rumus yang ada diatas, sehingga langsung didapatkan

atau dengan cara kedua yang lebih panjang, memakai turunan, 3x turunkan jadi 3 dan sin 4x turunkan jadi 4 cos 4x, kemudian ganti x dengan nol

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini : a. b.

Jawab : a. ==

b. jika maka x = 0, dan jika x - = y maka x = 0 + y dan y 0 sehingga :

Contoh soal

(8)

Soal No. 2

Pembahasan Seperti nomor 1

Soal No. 3

Pembahasan

Seperti nomor 1 juga

Soal No. 4

Tentukan nilai dari:

Pembahasan

Perhatikan rumus limit berikut:

Diperoleh

Soal No. 5

(9)

Pembahasan

Identitas trigonometri berikut diperlukan

Setelah diubah bentuknya gunakan rumus dasar di atas

Soal No. 6

Pembahasan

Ubah dulu 1 − cos 4x menjadi 2 sin ² 2x.

Soal No. 7

Pembahasan

Ubah dulu 1 − cos 6x menjadi 2 sin ² 3x.

Soal No. 8

Tentukan hasil dari soal limit berikut A. 1/2

B. 1/3 C. 1/6 D. 1/12 E. 1/18 (umptn 2001) Pembahasan

(10)

Tinggal di susun ulang, didapat hasil

Soal No. 9

Nilai A. 4 B. 2 C. −1 D. −2 E. −4

(un 2012 A13 dan D49) Pembahasan

Jika 1 − cos 4x menjadi 2 sin ² 2x, tentunya cos 4x − 1 menjadi − 2 sin ² 2x, sehingga

Soal No. 10

Nilai A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2

(un 2012 B76) Pembahasan

Ubah 1 − cos 2x menjadi 2 sin ² x

Soal No. 11 Nilai dari:

A. 2π B. π C. 0 D. ¹/π

E. ¹/2π

Pembahasan Misakan:

(11)

x − 2 = y

Soal No. 12 Nilai dari:

A. 0 B. ¹/2

C. √2 D. ¹/2 √2 E. 1

Pembahasan

Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk 0/0, dengan strategi pemfaktoran, Ingat bentuk:

a² − b² = (a − b)(a + b)

dimana a = sin 2x dan b = cos 2x, setelah difaktorkan coret yang sama, kemudian substitusikan nilai x yang diminta:

Soal No. 13

Tentukan nilai dari

Pembahasan

Substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0.

Ubah cos 2x menjadi bentuk lain yaitu cos²x − sin²x kemudian faktorkan dengan mengingat bentuk

a² − b² = (a − b)(a + b)

Setelah itu coret dengan bagian bawah, hingga diperoleh angka − 1.

(12)

Rumus untuk cos 2x (dalam soal ini dipakai rumus yang pertama)

Sehingga:

Soal No. 14 Nilai dari

A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 E. 0

(UN Matematika 2014 IPA) Pembahasan

Faktorkan x² − 1 dengan mengingat bentuk a² − b² = (a − b)(a + b). Kemudian uraikan sin² (x − 1) menjadi sin (x − 1) sin (x − 1) dan tan (2x − 2) menjadi tan 2(x − 1). Coret seperlunya.

C. LIMIT TAK HINGGA

Limit Fungsi Bentuk ~/ ~

Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut: Lim ax ⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 + …+ d = R

(13)

x→~ px^m + qx^m-1 + rx^m-2 + … + s Maka:

1. R= 0 jika n<m 2. R= a jika n=m p

3. R= ~ jika n>m

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a. Lim √ ax +b - √ px +q = R x→~

Maka: 1. R= ~ jika a>p 2. R= 0 jika a=p 3. R= -~ jika a<p

b. . Lim √ ax² + bx + c - √ px ² + qx + r = R x→~

Maka: 1. R= ~ jika a>p 2. R = b-q jika a=p 2√a

3. R= -~ jika a<p

1. Limit fungsi f (x) untuk x menuju c adalah +( ditulis dan didefinisikan oleh :

lim ( )

x c f x

   ( ( P > 0, (( > 0 ( f(x) > P bila 0 < |x – c| < (

2. Limit fungsi f (x) untuk x menuju c adalah -( ditulis dan didefinisikan oleh :

lim ( )

x c f x

   ( ( N < 0, (( > 0 ( f(x) < P bila 0 < |x – c| < (

(14)

1. Nilai dari Lim 4x ² + 3x - 6 adalah ….

x→~ 2x² – 8x -1 Pembahasan

Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)

Lim 4x ² + 3x - 6 = 4 = 2 x→~ 2x² – 8x -1 2

2. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah….

x→~

Pembahasan:

R = b – q = -2 – 2 = -4 = -4 = -1 2√a 2√4 2.2 4

3. Nilai dari Lim (8x – 2)² adalah….

x→~ (4x + 1)²

Pembahasan: Lim (8x – 2)².= Lim 64x² – 32x + 4 x→~ (4x + 1)² x→~ 16x²+ 8x + 1 = 64 = 4 16

4. Nilai dari Lim 6x ³ - 4x² + 2x – 1 adalah….

x→~ 3x⁴– 2x³ + 5x + 2 Pembahasan:

Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4 Jadi n < m sehingga nilai R = 0

(15)

5. Nilai dari Lim 2x ² + 4x – 10 adalah….

x→~ 4x² + 7 Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka 2/4=1/2

Tentukan nilai-nilai limit fungsi berikut ini :

1).

2 2

lim 2 1

x

x x

  ^2). ²

lim 2 ( 3)

x^ x 3).

2 lim ( 3)

x^ x ^4).

lim 2 ( 3)

x^ x

Jawab :

1).

2

₂ ²

lim 1

x

x x

  ⁼

2 2

2 2 2

lim lim 2

1 1 1 0

(1 ) (1 )

x x

x

x x x

    

   ^;

2).

2

₂

lim

^x^

(

x

3)

⁼ ²

2



0

 ^3).

lim 2

( 3)

x^ x ⁼

2



0

 ^4).

lim 2 ( 3)

x^ x ⁼

2



0



II. Latihan Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar

Contoh Contoh : :

(16)

1. Nilai dari Lim x ⁴ – 3x² + 4x adalah….

x→~ 2x³ – x² - 2x 2. Nilai dari Lim x ² – 4 adalah….

x→~ x² + x - 6

3. Nilai dari Lim 4x ² + 3x - 6 adalah ….

x→~ 2x² – 8x -1

4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah….

x→~

5. Nilai dari Lim (8x – 2)² adalah….

x→~ (4x + 1)²

6. Nilai dari Lim x ² – x adalah….

x→~ x² + 2x

7. Nilai dari Lim 6x ³ - 4x² + 2x – 1 adalah….

x→~ 3x⁴– 2x³ + 5x + 2

8. Nilai dari Lim 2x ² + 5x – 12 adalah….

x→~ 3x²– 13x - 4

9. Nilai dari Lim 2x + 4x – 10 adalah….² x→~ 4x² + 7

10. lim 1 – cos x = … x→0 x tan x

11. lim 4/3 x cot x adalah … x→0

12. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah … x→0 x

(17)

(18)

Daftar Pustaka Mathematicstudycenter.blogspot.com