BAB XIV. LIMIT FUNGSI
Pengertian :
Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit.
Limit Fungsi Aljabar
1. Bentuk tak tentu 0 0
dapat diselesaikan dengan 2 cara :
a. Memfaktorkan :
a x
Lim
→ ( )
) (
x G
x F
= a x
Lim
→ ( ) ( )
) ( ) (
x g a x
x f a x
− −
Contoh :
1
→
x Lim
1 2 2 2
− −
x x
= 1
→
x Lim
) 1 (
) 1 ( 2 2
− −
x x
= 1
→
x Lim
) 1 (
) 1 )( 1 ( 2
− + −
x x x
= 1
→
x Lim
1 ) 1 ( 2 x+
= 1
) 1 1 ( 2 +
= 4
b. L’Hospital
pembilang dan penyebut didifferensialkan
a x
Lim
→ F(x) = x a Lim
→ ( )
) ( ' '
x G
x F
Contoh :
Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital
1
→
x Lim
1 2 2 2
− −
x x
= 1
→
x Lim
1 4x
= 1
1 . 4
= 1
(turunan 2x2 −2 adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )
2. Bentuk tak tentu ~ ~
dapat diselesaikan dengan rumus :
a. membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut
Contoh :
~
→
x Lim
12 3 2 + −
−
x x
x
= ~
→
x Lim
2 2 2 2
2
12 3
x x
x x x
x x
x
− +
−
= ~
→
x Lim
2 12 1 1
3 1
x x
x x
− +
−
=
0 0 1
0 0
− +
−
= 0
Bentuk soal tersebut adalah seperti berikut:
~
→
x Lim
... ... 1 1
+ +
+ +
− −
n n
m m
qx px
bx ax
Jika m = 0 hasilnya p a
Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0
maka dapat langsung dijawab dengan
~
→
x Lim
12 3 2 + −
−
x x
x
= 0 Æ karena pangkat pembilang
< pangkat penyebut
3. Untuk a x
Lim
→ ( )
) (
x g
x f
, Jika f(x) atau g(x) merupakan
bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x).
Rumus lain:
~
→
x
Lim
(
)
q px ax c bx
ax2 + + − 2 + + = a
p b
2
−
;
14. SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI
EBTANAS2000
1.
UMPTN2000
2. Jika f(x) =
jawabannya adalah D
UAN2006
3.
UN2007
=
UAN2005
5. Nilai dari
cos 8x =cos(4x+4x)
= cos 4x . cos 4x – sin 4x . sin4x
jawabannya adalah A
UN2002
6.
Jawabannya adalah B
UAN2005
arahkan menjadi persamaan:
~
→
x
Lim
(
)
q px ax c bx
ax2 + + − 2 + + = a
p b
2
−
~
→
x Lim
{(3x-1) - 9 2 −11 +9
x
x }
= ~
→
x Lim
{ (3x−1)2 - 9x2 −11x+9}
= ~
→
x Lim
{ 9x2 −6x+1- 9x2 −11x+9}
= a
p b
2
−
=
9 2
) 11 ( 6− −
−
= 6 5
Jawabannya adalah E
EBTANAS1994
8. ~
→
x Lim
5 4 2
5 3 2 + +
−
x x
x
=….
A. 0 B. 11
8
C. 4 3
D. 1 E. 6
jawab:
rumus dasar:
~
→
x Lim
... ... 1 1
+ +
+ +
− −
n n
m m
qx px
bx ax
membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut
~
→
x Lim
5 4 2
5 3 2 + +
−
x x
x
= ~
→
x Lim
2 2 2
2
2 2
5 4 2
5 3
x x
x x
x
x x
x
+ +
−
=
= ~
→
x Lim
2 2
5 4 2
5 3
x x
x x
+ +
−
=
0 0 2
0 0
+ +
−
= 2 0
= 0
Jawabannya adalah A
UAN2006
9. Nilai 3 π
→
x Lim
2 6
6 sin cos
x x
− −
π
π
= ….
A. 2 1
3 B. 3 1
3 C. 3 D.-2 3 E. -3 3
jawab:
Kalau nilai x dimasukkan didapat nilai: 0 0
Cara 1: L’Hospital
3 π
→
x Lim
2 6
6 sin cos
x x
− −
π
π
= 3 π
→
x Lim
2 1 sin
−
− x
=
3 π
→
x Lim
2 sin x
= 2 . sin 3 π
= 2. 2 1
3 = 3
Cara 2: pemfaktoran (agak panjang) dibahas disini sebagai perbandingan:
Dimisalkan : 2 6
x
−
π
= t
maka : 2 x
= 6 π
- t
x = 2 ( 6 π
- t)
= 3 π
- 2t
untuk nilai x = 3 π
maka t = 2 3 6
π π
− =
6 6
π π
Untuk x = 3 π
- 2t dan t → 0 , maka
3 π
→
x Lim
2 6
6 sin cos
x x
− − π
π
= 0
→
t Lim
t t
2 1 ) 2 3
cos(π − −
= 0
→
t Lim
t
t t
2 1 2 sin 3 sin 2 cos 3
cosπ + π −
= 0
→
t Lim
t
t t
2 1 2 sin 3 2 1 2 cos 2 1
− +
= 0
→
t Lim
t
t t t
2 1 ) cos sin 2 ( 3 2 1 ) sin 2 1 ( 2
1 2
− +
−
= 0
→
t Lim
t
t t t
2 1 cos sin 3 sin
2
1 2
− +
−
= 0
→
t Lim
t
t t t 3 sin cos sin2 +
−
= 0
→
t Lim
t
t t
t( sin 3 cos ) sin − +
= 0
→
t Lim
t t sin
. 0
→
t Lim
(-sin t + 3 cos t)
= 1 . (0 + 3 ) = 3
Jawabannya adalah C
UAN2004
10. Nilai 3
→
x Lim
= −
+
− −
15 2
) 6 2 sin( ) 7 (
2 x x
x x
….
A. -4 B. -1 C. 0 D. 1 E.4
jawab:
cara yang cepat dengan menggunakan L’Hospital
dengan catatan kita harus menguasai differensial/turunan Cara ini cocok untuk soal multiple choice seperti ini.
3
→
x Lim
) (
) ( ' '
x G
x F
Ingat : y = uv, maka y' = u' v + u v'
F'(x) = 1. sin(2x-6) +(x-7) cos(2x-6). 2 G'(x) = 2x + 2
3
→
x Lim
) (
) ( ' '
x G
x F
= 3
→
x Lim
2 2
) 6 2 cos( ) 7 ( 2 ) 6 2 sin(
+
− −
+ −
x
x x
x
=
2 3 . 2
1 ). 4 ( 2 0
+ − +
= 8
8
−
= -1
Contoh: ~
→
x
Lim
(
)
11 2 5
2 2
2 − + − + +
x x x
x =
Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2
a p b
2
−
= 1 2
2 2−
−
= 2
4
−
= -2
Fungsi Irasional:
Jika menemui pembilang atau penyebut mengandung bentuk x - y maka bentuk tersebut disubstitusikan.
Contoh :
y x−
1
=
y x −
1
y x
y x
+ +
=
y x
y x
− +
Limit Fungsi Trigonometri :
1. 0
→
x Lim
bx ax sin
= 0
→
x Lim
bx ax
sin = x→0 Lim
bx ax sin sin
= b a
2. 0
→
x Lim
bx
ax tan
= 0
→
x Lim
bx ax
tan =x→0 Lim
bx ax tan tan
= b a
3. 0
→
x Lim
bx ax tan sin
= 0
→
x Lim
bx ax sin tan
= b a
4. 0
→
x Lim
= 2
2 cos 1
x ax
−
= 0
→
x Lim
2 2 sin 2
x ax
= 0
→
x Lim
x ax sin 2
x ax sin
= 2 . a.a= 2a2
catatan:
cos 2ax = cos2ax - sin2ax cos2ax + sin2ax = 1
cos 2ax = 1 - sin2ax - sin2ax = 1 - 2 sin2ax
5. a x
Lim
→ x a
a x k
−
− )
( sin
= k
6. a x
Lim
→ x a
a x k
−
− )
( tan
= k
