integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

(1)

Matematika Dasar Page 181

( ) = ( ) +

integral

13.1 PENGERTIAN INTEGRAL

Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ′( ) = 6 ². Jadi, turunan fungsi = 2 ³adalah ′( ) = 6 ².

Menentukan fungsi ( ) dari ′ , berarti menentukan antiturunan dari ′( ) . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Jika ( ) adalah fungsi umum yang bersifat ′ = , maka ( ) merupakan antiturunan atau integral dari ′ = ( ).

13.2 INTEGRAL TAK TENTU

A. Pengertian Integral Tak Tentu

Pengintegralan fungsi ( ) yang ditulis sebagai ∫ ( ) disebut integral tak tentu dari ( ). Jika ( ) anti turunan dari ( ), maka

Keterangan:

∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang

matematikawan Jerman) ( ) = fungsi integran

( ) = fungsi integral umum yang bersifat ′( ) = ( )

= konstanta pengintegralan

(2)

Matematika Dasar Page 182 Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada bagian ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik, perhatikan uraian berikut.

a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.

• è_: = , didapat è_:′ = 1

Jadi, jika è_: ′ = 1 maka è_: = ∫ è_: ′ R = + c_:

• è₍ = ^:₍ , didapat è₍′ =

Jadi, jika è₍′ = maka è₍ = ∫ è₍′ R = ^:₍ + ã₍ Dari uraian ini, tampak bahwa jika è^′ = , ä è =

:

m: ^m: + ã atau dapat dituliskan ∫ R = _m:^: ^m:+ ã , Q ≠ 1

Sebagai contoh, turunan fungsi F = 2⁽+ ã adalah F′ = 4

Ini berarti, antiturunan dari F′ = 4 adalah F = 2⁽ + ã atau dituliskan ∫ F′ R = 2⁽ + ã .

Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.

Jika F ′ =  , maka F = _m:^: ^m:+ ã , Q ≠ −1 dengan ã suatu konstanta.

Misalnya konstanta real sembarang, F() dan è() merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku:

Q + 1 + ã a) ∫ R = + ã

b) ∫ F R = ∫ F R

c) ∫ F ± è R = ∫ F R ± è R

d) ∫ R = _m: ^m:+ ã

(3)

Matematika Dasar Page 183 Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah kita simak contoh-contoh berikut.

Contoh 13.1

1. Selesaikan integral berikut!

a) ∫ ^KR

b) ∫ ^¼^¢R

c) ∫ 2 √^´ ^K R

d) ∫ 6⁽+ 2 − 3 R

Jawab:

a) ∫ ^KR = _Km:^: ^Km:+ ã =^:_<^<+ ã b) ∫ ^¼^¢R =¼^:

¢m:^¼^¢^m:+ ã =⁽_A ^²^¢ + ã c) ∫ 2 √3^´ R = 2∫ ^¼^´ R = 2 ∙

¼´À

¼ ´m: + ã =^D_* ^¢^´ + ã

d) ∫ 6⁽+ 2 − 3 R = ∫ 6⁽ R + ∫ 2 R − ∫ 3 R = 2^K +

^K− 3 + ã

b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut:

Tabel Turunan Fungsi Trigonometri

ऐ(࢞) ऐ′(࢞)

4 ࢞ Cos

܋ܗ ࢞ −sin

ܜ ࢞ ݏbã2

܋ ࢞ tan .sec

܋ܗܜ ࢞ −ãݏã2

܋܋ ࢞ −cot .csc

Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut.

(4)

∫ cos R = sin + ܥ ∫ sin R = − cos + ܥ

∫ ݏbã⁽ R = tan + ܥ

∫ ãݏã⁽ R = − cot + ܥ

∫ tan . sec R = sec + ܥ

∫ cot . csc R = − csc + ܥ

Contoh 13.2

Selesaikan integral berikut!

1. ∫ 2 sin + 3 R

2. ∫ ݏbã⁽ 2 − 1 R

3. ∫ ݏyQ⁽ R

4. ∫ ݏyQ + cos ⁽ R

5. ∫ sin 4 . cos 2 R

6. ∫ sec . tan R

7. ∫ 2 sin 3 R

Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas, maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi :

a. ∫ ã_ݏ + ` R = ^: ݏyQ + ` + ܥ b. ∫ ݏyQ + ` R = − ^: ã_ݏ + ` + ܥ c. ∫ ݏbã⁽ + ` R = ^: ݐQ + ` + ܥ

d. ∫ ݐQ + ` . ݏbã + ` R = ^: ݏbã + ` + ܥ e. ∫ ãݏã⁽ + ` R = − ^: ã_ݐ + ` + ܥ

f. ∫ ã_ݐ + ` . ãݏã + ` R = − ^: ãݏã + ` + ܥ

Ingat kembali

ݏyQ⁽ =1 2 −1

2 cos 2

ã_ݏ⁽ = 1 2 + 1

2 cos 2

(5)

Matematika Dasar Page 185 Penyelesaian:

1. ∫ 2 sin + 3R = 2∫ sin R + ∫ 3 R = −2 cos + 3 + ܥ

2. ∫ ݏbã⁽2 − 1R = ∫ ݏbã⁽ 2 R − ∫ R = ^:₍ tan 2 − + ܥ 3. ∫ ݏyQ⁽ R = ∫ ^:₍ − ^:₍cos 2R = ^:₍ − ^:_<2 + ܥ

4. ∫ sin + cos 2 R = ∫ ݏyQ⁽ + 2 sin . cos + ã_ݏ⁽

= ∫ 1 + 2 sin . cos R

= ∫ 1 + ݏyQ2R

= −^:₍ ã_ݏ 2 + ܥ 5. ∫ sin 4 . cos 2 R

= ∫ ^:₍sin 6 + sin 2 R

=^:₍ ∫ sin 6 + sin 2R

=^:₍−^:_Ccos 6 −^:₍cos 2 + ܥ

= −_:(^: cos 6 −^:_<cos 2 + ܥ 6. ∫ sec . ݐQ R = sec + ܥ

7. ∫ 2ݏyQ3 R = 2∫ ݏyQ3 R

= −⁽_K ã_ݏ3 + ܥ

B. Penerapan Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan- permasalahan di bawah ini:

1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan.

2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a.

Hubungan antara s, v, dan a adalah sebagai berikut.

ݏyQ⁽ + ã_ݏ⁽ = 1 ݐQ⁽ + 1 = ݏbã⁽ ã_ݐ⁽ + 1 = ãݏã⁽

(6)

Matematika Dasar Page 186 Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini!

Contoh 13.3

1. Diketahui F′ = 6⁽ − 10 + 3 dan F − 1 = 2. Tentukan F.

Jawab:

F^′ = 6⁽ − 10 + 3 F = ∫6⁽− 10 + 3 R

= 2^K − 5⁽ + 3 + ܥ F −1 = 2

2 = 2−1^K − 5 −1⁽ + 3 −1 + ܥ 2 = −2 − 5 − 3 + ܥ

ܥ = 12

ܬRy, F = 2^K − 5⁽ + 3 + 12

2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan = 2ݐ − 1, dalam ä/ݏ² dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda ó = 5 ä/ݏ dan posisi benda saat ݐ = 6 adalah ݏ = 92 ä, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik!

Jawab:

= 2ݐ − 1 ó = ∫ Rݐ

ó = ∫2ݐ − 1 Rݐ

= ݐ⁽ − ݐ + ܥ

Kecepatan awal benda 5 äݏ⁻¹, artinya saat t = 0 nilai v = 5 ó_£;= 5

0⁽ − 0 + ܥ = 5 ó =Rݏ

Rݐ sehingga ݏ = ∫ ó Rݐ dan = Ró

Rݐ sehingga ó = ∫ Rݐ

(7)

Matematika Dasar Page 187 ܥ = 5

Sehingga,

ó = ݐ⁽ − ݐ + 5 ݏ = ∫ ó Rݐ

= ∫ ݐ⁽ − ݐ + 5 Rݐ

= ^:_Kݐ^K −^:₍ ݐ⁽ + 5ݐ + R

ݑQݐݑ ݏݐ=6 = 92

:

K 6^K −^:₍ 6⁽ + 5 6 + R = 92 72 − 18 + 30 + R = 92

84 + R = 92 R = 8

13.3 INTEGRAL TERTENTU

Jika fungsi Á = F kontinu pada interval ≤ ≤ `, maka:

dengan e () adalah anti turunan dari F () dalam ≤ ≤ `. Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dengan sebagai batas bawah dan ` sebagai batas atas. Definisi integral di atas dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus.

Misalnya F dan è merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [,`], maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut.

න F R = e Å= e ` − e

(8)

Matematika Dasar Page 188 Untuk memahami integral tertentu lebih lanjut, marilah kita simak contoh- contoh berikut.

Contoh 13.4

1. Hitunglah hasil integral berikut!

a. ∫ 62R 3 0 Jawab:

න

K

;

6⁽R = 6 න

K

;

⁽R = Ö6.1 3 ^K൨

;

K = 6 Sj1

3 . 3^K k − 1

3 . 0^KT

= 6 9 − 0 = 54 b. ∫ _:^K ⁽+ 2 − 3 R

Jawab:

න⁽ + 2 − 3

K :

R = න ⁽R

K :

+ න 2

K :

R − න 3R

K :

= Ö1 3 ^K൨

:

K+ Ö⁽Å_:^K − Ö3Å_:^K

= Sj1

3 . 3^Kk − j 1

3 . 1^KkT + 3⁽ – 1⁽ − ®3.3 − 3.1°

= j9 −1

3k + 9 – 1 – 9 – 3 =26

3 + 8 − 6

=32

3 = 102

3 1. ∫ F R = 0

2. ∫ ࣽ. F R = ࣽ ∫ F R, ࣽ = konstanta 3. ∫ ÄF ± è ÅR = ∫ F R ± ∫ è R

4. ∫ F R = − ∫ F R

5. ∫ F R + ∫ F R = ∫ F R

(9)

Matematika Dasar Page 189 2. Hitunglah hasil integral dari bentuk berikut!

∫ 2 sin + 6 cos R_o^ഏ^´^ഏ

¢

Jawab:

∫ 2 sin + 6 cos R_o^ഏ^´^ഏ

¢ = Ö−2 cos + 6 sin Å_oഏ

¢ ഏ´

= ®− √2 + 3 √2° − Ä0 − 6Å = 6 + 2 √2

3. Jika ∫ 2 − 5 R = 18_:^ࣽ untuk ࣽ > 0 maka tentukan nilai ࣽ + 1 Jawab:

∫ 2 − 5 R = 18_:^ࣽ Ä⁽ − 5Å _:^ࣽ = 18

ࣽ⁽ − 5ࣽ − 1 − 5 = 18

ࣽ⁽ − 5ࣽ + 4 − 18 = 0

ࣽ⁽ − 5ࣽ − 14 = 0

ࣽ − 7ࣽ + 2 = 0

ࣽ = 7 atau ࣽ = −2 tidak memenuhi

maka nilai ࣽ + 1 = 7 + 1 = 8.

4. ∫ ã_ݏ_;^ഏ^¢ ⁽R

Jawab:

∫ ã_ݏ_;^ഏ^¢ ⁽R = ∫_;^ഏ^¢^:₍1 + cos 2R = Ê^:₍ +^:_<sin 2Ë

; ഏ¢

= ^:₍.^:₍+^:_<sin 2 l^Ø₍n =^:₍l^Ø₍− 0n +^:_<0 − 0 =^Ø_<

13.4 TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut diberikan dalam bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik

(10)

Matematika Dasar Page 190 pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan fungsi seperti itu, yaitu integral substitusi dan integral parsial.

A. Integral Substitusi a) Bentuk Subtitusi-1

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus ∫ R =_m: ^m: + ã.Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

Contoh 13.5 1. ∫ ®5 – 2°^KR

2. ∫ ⁽− 1 + 3^AR

3. ∫ 2⁽+ 3^<R

Jawab:

1. ∫ 5 − 2^K R

Misal: ݑ = 5 − 2 Rݑ = 5 R → R = ^:_ARݑ Sehingga

∫ ®5 – 2°^KR = ∫ ݑ^{K :}_A Rݑ =^:_A∫ ݑ^KRݑ =^:_A l^:_< ݑ^<n + ã

=_(;^: 5 − 2^< + ã

Jadi, ∫ 5 − 2^K R = _(;^: 5 − 2^< + ܥ න ൤FݑRݑ

R R൨ = න F ݑRݑ

(11)

Matematika Dasar Page 191 2. ∫ ⁽− 1 + 3^AR

Misal ݑ = + 3 → R = Rݑ

= ݑ – 3

Sehingga ∫⁽− 1 + 3^AR = ∫ ݑ − 3⁽ − 1ݑ^AR

= ∫ ݑ⁽ − 6ݑ + 8 ݑ^A R

= ∫ ݑ^* − 6ݑ^C + 8ݑ^A R

=^:_D ݑ^D −^C_* ݑ^* +^<_K ݑ^C + ܥ

=^:_D + 3^D −^C_* + 3^* +^<_K + 3^C + ܥ Jadi,∫ ⁽− 1 + 3^AR =^:_D + 3^D−^C_* + 3^*+^<_K + 3^C + ܥ

3. ∫ 22 + 3^<R

Misalkan ݑ = ⁽+ 3 , maka ^å௨_å= 2 atau R =^å௨₍

Sehingga diperoleh,

∫ 2⁽+ 3^<R = 2 ݑ^< ^å௨₍

= ∫ ݑ^<Rݑ =^:_Aݑ^A+ ã

= ^:_A⁽+ 3^A+ ã

b) Integral yang Memuat Bentuk √ࢇ − ࢞, √ࢇ + ࢞ , √࢞ − ࢇ Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentuk

√⁽ − ⁽, √⁽ + ⁽ dan √⁽ − ⁽ , kita menggunakan teknik integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan dengan baik tabel berikut.

Bentuk Substitusi Hasil

⁽ − ⁽ = sin ߠ ⁽ − ⁽ = cos ߠ

⁽ + ⁽ = tan ߠ ⁽ + ⁽ = sec ߠ

⁽ − ⁽ = sec ߠ ⁽ − ⁽ = tan ߠ Untuk lebih memahami teknik integral substitusi trigonometri, perhatikan contoh berikut.

(12)

න 1

√4 − ⁽R

(

;

Misal = 2 sin ߠ , maka sin ߠ =₍ R = 2 cos ߠ R ߠ

Batas Integral

0 2

ߠ 0 á

2 Sehingga

∫ _√<o^: _¢R = ∫ √<o< ^{( ÙBఏ åఏ}^¢ఏ ഏ¢

; (

;

= ∫_;^ഏ^¢^{( ÙBఏ}_{( ÙBఏ}Rߠ

= ∫ Rߠ_;^ഏ^¢ = ߠÅ_;^ഏ^¢ =^Ø₍ BBBB.... Integral Parsial

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

Perhatikan uraian berikut.

Misalnya, Á = ݑ ∙ ó dengan Á, ݑ, dan ó fungsi dari , maka

∫ RÁ = ∫ ó Rݑ + ∫ ݑ Ró Á = ∫ ó Rݑ + ∫ ݑ Ró

å

å = ݑ′ ∙ ó + ݑ. ó′

å

å =^å௨_å ∙ ó + ݑ ∙ Ró R

å

å =_å^: ó Rݑ + ݑ Ró

RÁ = ó Rݑ + ݑ Ró

(13)

Matematika Dasar

ݑó = ∫ ó Rݑ + ∫ ݑ Ró

∫ ݑ Ró = ݑó − ∫ ó Rݑ

Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral parsial adalah sebagai berikut.

Contoh 13.5 1. ∫ ⁽cos R

Jawab:

1. ∫ ⁽cos R

Misal ݑ = ⁽ → Rݑ = 2 Ró = cos → ó = sin Sehingga

∫ ⁽cos R = ⁽sin − ∫ sin

= ⁽sin − 2−

= ⁽sin + 2 cos

13.5 BEBERAPA PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU A. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva X, garis = , dan garis = `

S dapat ditentukan dengan rumus :

Apabila F() ≤ 0 atau daerahnya di bawah sumbu X, maka

∫ ݑ Ró = ݑó −

= න F R

= − න F R

Page 193 Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral parsial adalah sebagai berikut.

2 R

sin 2 R = ⁽sin − ݏ ∫ ݏyQ R

− ã_ݏ + sin + ã b cos – sin + ã

INTEGRAL TERTENTU Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva Á = F , sumbu

` Dengan F() ≥ 0 pada ,` maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus :

≤ 0 atau daerahnya di ∫ ó Rݑ

Gambar 1

(14)

Matematika Dasar Page 194 B. Luas Daerah antara Dua Kurva

Misalkan daerah S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva Á_: = F, Á₍ = è, garis = , dan garis = ` seperti pada gambar di samping maka luas daerah = Ìܶ – Ìܶz}.

Luas daerah S dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

= Ì^ܶ − Ì^ܶz}

= න F R

− è R

= න ÈF − è É

R

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva Á_: = F, Á₍ = è,dari = sampai = ` ditentukan dengan rumus

Dengan F() ≥ è() dalam interval ≤ ≤ `.

Untuk memahami cara menentukan luas daerah, perhatikan contoh berikut ini!

1. Tentukan luas daerah antara kurva Á = ⁽ + 3 dan Á = 2 + 2 Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva yaitu:

⁽ + 3 = 2 + 2 ⟺ + 2 − 1 = 0 ⟺ = −2 ݐݑ = 1 Ì = න ÈF − è É

R

(15)

Matematika Dasar Page 195 Ì = නÄ2 + 2 − ⁽+ 3ÅR = න 2 − − ⁽R = 41

2

: o:

:

o(

2. Tentukan luas daerah antara kurva Á = ^K , sumbu X , x = -1 dan x = 1!

Penyelesaian :

Ì = − න ^KR + න ^KR = − ൤1 4 ^<൨

o:

: ;

;

; o:

+ ൤1 4 ^<൨

;

: = − j0 −1 4k + j1

4 − 0k =1 2 satuan luas

C. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X

Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360^∘ mengelilingi sumbu X

Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360^∘ mengelilingi sumbu Y

V = á න®F°⁽

R atau V = á න Á⁽

R

V = á න®èÁ°⁽

å Â

RÁ atau V = á න ⁽

å Â

RÁ

(16)

Matematika Dasar Contoh 13.6

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360^o

Penyelesaian:

ܸ = á ∫ F_;⁽ ⁽R = á ∫ +_;⁽ Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar360^∘ terhadap sumbu Y.

ܸ = á නÈF⁽ − è⁽ÉR

atau

ܸ = á නÁ:(

− Á((R

1

-1

Page 196 Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x

+⁽R = á ∫ _;⁽ ⁽+ 2 + 1R

putar dari daerah antara dua kurva kurva yang

terhadap sumbu Y.

Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar 360^∘ terhadap sumbu X.

atau ܸ = á නÈF⁽Á − è⁽ÁÉRÁ

å Â

atau

ܸ = á න:( å Â

− ((RÁ

y = x + 1

(17)

Matematika Dasar

= á Ê^:_K^K+ ⁽+ Ë

;

( = á Êl

=^(C_K á satuan volume

2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y=(x 2)², sumbu y, y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y

Penyelesaian:

dimana − 2⁽ = Á menjadi

ܸ = á න ⁽RÁ = á න®

K

; K

;

= á ൤1

2 Á⁽+8

3 ÁÁ + 4Á൨_;

K =

3. Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik F = 4 – 2 , sumbu–x, dan sumbu

a. Sumbu–x b. Sumbu–y Jawab:

a. Volumenya adalah 3 y

0

Page 197 Êl^:_K. 2^K + 2⁽+ 2n − l^:_K. 0^K+ 0⁽+n 0Ë = á Ê^(C_KË

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y=(x - , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360^o.

menjadi = Á + 2

න®Á + 2°⁽RÁ = á න®Á + 4Á + 4°RÁ

K

;

൨ = ൤á1

2 3⁽+8

3 3√3 + 4.3൨ = ൤9

2 + 8√3 + 12൨ á

Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik x, dan sumbu–y diputar 360^o terhadap :

= (x – 2)²

2

(18)

ܸ = á න

(

;

4 − ⁽⁽R = á න

(

;

16 − 82 + ^< R

= á ඄16 − 8

3 ^K + 1 5 . ^Aඈ

; (

= á Sj16 . 2 − 8

3 . 2^K +1

5 . 2^A−k 0T

= á j32 −64 3 +32

5 k

=256 15 ∏

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu–x adalah ^(AC

:A ∏ satuan volume.

b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, nyatakan persamaan kurva Á = F = 4 – ⁽ menjadi persamaan ⁽ dalam variabel y. Á = 4 – ⁽ ⟹ ⁽ = 4 − Á

Volume benda putar tersebut adalah

ܸ = á න

<

;

4 − Á RÁ

= á ඌ4Á −1 2 Á⁽ඐ

;

<

= á Sj4.4 −1

2 . 4⁽k − 0T

= á16 − 8 = 8 á

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 á satuan volume.

(19)

Matematika Dasar Page 199 13.6 Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari

Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintegrasikan, kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari pernyataan asal integral ini. Lambang integral adalah

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cakupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan bidang- bidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut:

A. Bidang Teknologi

Integral sering digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen.

B. Bidang Ekonomi

Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu:

• Untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi.

• Untuk mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

C. Bidang Matematika

Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu:

• Untuk menentukan luas suatu bidang.

• Untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur.

D. Bidang Fisika

Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu:

• Untuk menganalisis rangkaian listrik arus AC.

• Untuk menganalisis medan magnet pada kumparan.

• Untuk menganalisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

E. Bidang Teknik

න F R = e + ܥ

(20)

Matematika Dasar Page 200 Penerapan integral dalam bidang teknik yaitu:

• Untuk mengetahui volume benda putar

• Untuk mengetahui luas daerah pada kurva.

Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui dari kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi perpindahan benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial), contoh lain yaitu setiap gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.