Modul bab 3 Limit Fungsi

1 |

2 |

LIMIT FUNGSI

Standar kompetensi :

Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di

takhingga.

 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak

tentu fungsi aljabar

Tujuan Pembelajaran :

 Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan

nilai-nilai di sekitar titik tersebut

 Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik

dan perhitungan

 Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dengan cerdas

 Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan

limit.

 Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

 Bekerjasama dan saling peduli dalam mengerjakan soal limit secara berkelompok.

3 |

PETA KONSEP

LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI ALJABAR

SUBSTITUSI LANGSUNG

BENTUK TERTENTU

BENTUK TAK TENTU

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 =

𝟎 𝟎

Faktorisasi Rasionalisasi bentuk aljabar

𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞

𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 =

∞ ∞

Membagi dengan pangkat tertinggi

𝒇 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝒈 𝒙

𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞*𝒇 𝒙

− 𝒈 𝒙 + = ∞ − ∞

Mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan

4 |

Pengantar

Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa contoh kegiatan yang

perhitungan menggunakan konsep limit fungsi diantaranya :

1. Kartu kredit yang digunakan orang dalam memenuhi kebutuhan sehari-hari.

2. Bola basket yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu kemudian memantul

hingga berhenti (Panjang lintasan bola basket).

A.

Limit Fungsi Aljabar

1. Pengertian Limit Fungsi Aljabar

adalah nilai pendekatan fungsi ketika nilai peubahnya mendekati

suatu nilai. Notasi pendekatan / mendekati dalam istilah limit

dinyatakan dengan arah panah (→). Nilai peubah

(𝒙)

mendekati nilai

𝒂

ditulis :

→

. Secara utuh,

limit fungsi Aljabar

ditulis sebagai

berikut :

Nilai pendekatan

ke

dapat dipandang dari dua arah yaitu :

a. Mendekati dari arah kiri ditulis :

→

b. Mendekati dari arah kanan ditulis :

→

Agar lebih jelas dalam menentukan limit fungsi aljabar maka dapat

ditentukan secara numerik dan grafik.

Contoh :

1. Tentukan nilai secara numerik dan grafik.

lim

𝑥

→

𝑎

𝑓

(

𝑥

) =

𝐿

Catatan :

Nilai a dapat berupa :

−∞, 0,

bilangan dan

∞

lim

5 |

a. Secara numerik

Tabel : ( ) = + 2

, , , , , → 2 2,0 2, 2,2 2, 2, ( ) , , , , , → ,0 , ,2 , ,

b. Secara grafik

2. Tentukan nilai

lim

_→ 2 −

− secara numerik Jawab :

Tabel : ( ) = + 2

0, 0, 0, 0, 0, → ,0 , ,2 , ,

( ) →

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar

a. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk

𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝑓(𝑥) =𝑥+ 2

𝑓(𝑥)

6 |

Ada beberapa cara yang digunakan untuk mencari nilainya yaitu :

1. Substitusi Langsung

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

a)

lim

_→2

( + 2)

Jawab :

lim

→2

( + 2)

= 2 + 2 = + 2 =

b)

lim

_→ + 2 2 −

c)

lim

_→

√( − )

2. Bentuk

_𝒙→𝒂𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

=

𝟎 𝟎

Apabila bentuk limit nilainya maka penyelesaiannya ada 2 cara

yaitu :

lim

𝑥

→

𝑎

𝑓

(

𝑥

) =

𝑓

(

𝑎

)

7 |

a) Faktorisasi

adalah memfaktorkan fungsi – fungsi dalam limit

contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

1)

lim

_→ 2 − 2 − − Jawab :

lim

→

2 _{− 2 −} −

=

lim

→ ( − ₋ )( + 2)

=

lim

_→

(

+ 2

)

= + 2 =

2)

lim

_{→2 2}2 + 2 − − 2 + 20 3)

4)

lim

_→ − 2 2 + 2 _{+ 2}

8 |

b) Merasionalkan Pembilang dan Penyebut Bentuk Akar adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1

dalam bentuk sekawan.

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

1)

lim

_→ − √ _{+ −2}

Jawab :

lim

→ _{√ + −2} −

(

√ 2_{√ 2}

)

=

lim

_→ − (√ + + 2) ( + ) −

=

lim

_→ − (√ + + 2) −

=

lim

_→

(√ + + 2)

= √ + + 2 = 2 + 2 =

2)

lim

_→ 2 − ₂√ − −

9 |

b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Berbentuk

𝐥𝐢𝐦

_𝒙→∞

𝒇(𝒙)

Limit fungsi aljabar untuk → ∞ biasanya ditemukan dalam bentuk :

Apabila kita mensubsitusikan langsung nilai

→ ∞

pada fungsi ( ) ( )

dan

( ) − ( )

, maka kita akan memperoleh bentuk ∞

∞ dan

∞ − ∞

yang merupakan bentuk – bentuk tak tentu.

Agar hasilnya menjadi tertentu, kita dapat menggunakan

cara-cara berikut :

1) Membagi dengan variabel pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebut.

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

a)

lim

_→∞ 2 − ₂ + Jawab :

=

lim

_→∞ 2 −

2 2 +

2

(dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu 2)

=

lim

_→∞ 2 2 − 2

2 2 + 2

=

lim

→∞ 2 ₋

2 + ₂

= 0 − 0 _{+ 0}

_{= =} 0

0

b)

lim

_→∞ 2 ₂2 + − + +

10 |

c)

lim

_{→∞ 2} − + + 2 +

d)

lim

_→∞ + √ 2 + 2 − √ 2 _{+ +}

2) Mengalikan dengan satu (1), tetapi dalam bentuk sekawan.

Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :

a)

lim

_→∞

(√ + − √ − )

Jawab :

= lim

→∞

(√ + − √ − )

(

√ √ _{√ √}

)

= lim

→∞

(

( + ) − ( + )

√ + + √ −

)

= lim

→∞

(

−

√ + − √ −

)

11 |

= lim

→∞

(

−

2

√ +

+ √

−

)

=

0

√ + 0 + √ − 0

=

0

√ + √

= 0

b)

lim

_→∞

(√

2

+ + − √

2

+ − )

Berdasarkan cara mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan, maka dapat dibuktikan bahwa :

Jawab :

12 |

Contoh :

Dengan memakai rumus di atas, hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut

ini :

a)

lim

_→∞

(√

2

+ 2 + − √

2

− + 2)

Jawab :

lim

→∞

(√

2

+ 2 + − √

2

− + 2) =

_2√

=

2 ( )_2√

=

_2√

=

=

b)

lim

_→∞

(( − 2) − √

2

− 2 + )

c)

lim

_→∞

(√

2

− − − 2)

B.

Teorema Limit

Selain cara-cara diatas, ada cara lain dalam menyelesaikan konsep limit

yaitu dengan menggunakan Teorema Limit.

Untuk setiap konstanta dan

, jika dan merupakan fungsi –

fungsi yang mempunyai limit untuk

→

maka berlaku teorema limit

berikut ini :

13 |

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan teorema

limit.

1)

lim

_→2

(2 − )

Jawab :

lim

→2

(2 − ) = lim

→2

2 − lim

→2

(teorema 3)

= 2 2 − = − = −

(teorema 1 dan 2 )

2)

lim

_→

2

3)

lim

_→

(

2

− 2 + )

4)

lim

_→ √ 2+

TEOREMA LIMIT

1.

lim

_𝑥→𝑎

𝑘

=

𝑘

2.

lim

_𝑥→𝑎

𝑥

=

𝑎

3.

lim

_𝑥→𝑎

*

𝑓

(

𝑥

) ±

𝑔

(

𝑥

)+ = lim

_𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

) ± lim

_𝑥→𝑎

𝑔

(

𝑥

)

4.

lim

_𝑥→𝑎

𝑘

𝑓

(

𝑥

) =

𝑘

lim

_𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

)

5.

lim

_𝑥→𝑎

*

𝑓

(

𝑥

)

𝑔

(

𝑥

)+ = (lim

_𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

))(lim

_𝑥→𝑎

𝑔

(

𝑥

))

6.

lim

_𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

=

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

lim𝑥 →𝑎 𝑔(𝑥)

7.

lim

_𝑥→𝑎

*

𝑓

(

𝑥

)+

𝑛

= *lim

_𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

)+

𝑛

8.

lim

_𝑥→𝑎𝑛

√

𝑓

(

𝑥

)

= √lim

𝑛 _𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

)

, dengan

lim

_𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

) ≥ 0

untuk

𝑛

genap.

14 |

Latihan Soal

A. Pilihan Ganda

1.

Nilai

x

x

x

x

3

4

2

0

lim

2





= ….

a.

–

4

c.

–

3

2

e.

3

4

b.

–

3

4

d.

3

2

2.

Nilai

2 8 2 lim 2 2     x x

x

= …

a.

–

8

c.

–

2

e. 8

b.

–

4

d. 4

3.

Nilai

3 lim



x  

  3 3 8 3 2 x x x

....

a. 6

c. 10

e. 19

b. 7

d. 17

4.

Nilai dari

             3 15 2 lim 2 3 x x x

x

= …

a.

–

8

c. 0

e. 8

b.

–

2

d. 2

5.

Nilai

4

2

4

14

8

2

lim

2











x

x

x

x

= ….

a.

–

9

c. 0

e. 10

b.

–

7

d. 7

6.

Nilai

3

5

2

3

3

lim

2









x

x

x

x

= ….

a.

5

1

15 |

7.

Nilai

9

9

2

2

6

3

lim

2









x

x

x

x

= ….

a.

–

2

c.

9

2



e. 2

b.

3

2



d.

3

2

8.

Nilai

6 5 9 lim 2 2

3  



 x x x

x

= …

a.

–

6

c. 0

e. 6

b.

–

2 3

d.

2 3

9.

Nilai

4 12 8 lim 2 2 2     x x x

x

= …

a.

–

4

c. 0

e. 4

b.

–

1

d. 1

10.

Nilai dari

2

2

x 5

2x 3x 35 Limit

x 5x



 



= ...

a. 0

c. 3

5

2

e. 5

5 2

b. 2

5

2

d. 4

5 2

11.

Nilai

4

3

8

14

3

lim

2 2

4











x

x

x

x

x

= …

a. 4

c.

2

1

e.

–

4

b. 2

d.

–

2

12.

Nilai

2 3 1 2 4 lim 2 2      x x x

x

= …

a.

3

4

c.

5

3

e. 0

b.

4

3

d.

16 |

13.

Nilai

1 6 3 1 2 lim 2 2     

 x x

x x

x

= …

a.

–

1

c. 0

e. 1

b.

–

3 1

d.

3 1

14.

Nilai

            

 _{4 2 10}

5 2 lim 3 2 3 x x x x x

=

a.

2 1



c.

4

1

e.



b.

2

1

d. 1

15.

Hasil dari

_      _{ }   2 3 4 lim 2 x x x

= ... .

a. 2

c. 0

e.

–

2

b. 1

d.

–

1

16.

5 4 1 3 2      x x x Lim x

= ....

a.

₃ 3 4

c. 1

e. 0

b.

3 4

d.

3 4 1

17.

Nilai

6 7 4 7 10

2_{ }





 _{x x}

x Lim

x

= ... .

a.

–

5

c.

–

1

e. 5

b.

–

4

d. 4

18.

Nilai dari

3 2

3 x

4x 3x 1 Limit

(2x 1)



 



= ...

a.



c. 2

e.

2 1

b. 4

d. 1

19.

Nilai

_      _{  } 

 ( 2) 2

lim x x x2

x

= …

17 |

b. 2

d. 0

20.

Nilai

_

     _{    } 

 2 1 3 2

lim x2 x x2 x

x

= …

a. 6

2 1

c. 3

2 1

e.

–

2

b. 4

2 1

d.

–

2

2 1

21.

Nilai dari

2 2 x

Limit 6x x 7 6x 5x 1

     

= ... .

a.



6

c. 0

e.

3 1

6

b.



2

1

6

d.

6

1

6

22.

Nilai

25 9 16 5 3 ~

2_{   }

 x x x

x Limit

= ….

a.

10 39 

c.

10 9

e.



b.

10 21

d.

10 39

23.

Nilai dari

_      _{  } 

 3 5 3 3

2 2 x x x Lim x

=…

a.

5 3

c.

3 3 5

e.

3 6 5

b.

3 2 5

d.

3 4 5

24.

Nilai





















 

1

3

4

2

lim

x

x

x

x

= …

a.

–

6

c. 0

e. 6

b.

–

1

d. 1

25.

Nilai





















 

7

5

25

)

1

5

(

2

lim

x

x

x

x

= …

a.

2

3

c.

2

1

e.

–

2 3

b.

3

2

d.

–

18 |

B. Essay

1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a.

lim

_→ 2 + − 2 −

b.

lim

_→2

(

2√ + 2 2 −

)

2. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a.

lim

_{→ 2} 2 + + ₂ −

b.

lim

_→2

(

− 2

−

2 ₋

)

c.

lim

_→

√ ( − ) √ −

d.

lim

_→

2 − 20 2 + 0 ( − )2

e.

lim

_→

− 2 ₂ 2 + + 2

3. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a.

lim

_→ − − √2 −2

b.

lim

_→ 2 − 2 − √ 2 ₊

c.

lim

_→

√ + 2 − √ − 2

d.

lim

_→ √ + ₂2 −

4. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a.

lim

_→∞

−

19 |

b.

lim

_→∞

+ 2 + 2 + 2 2 ₊

c.

lim

_→∞

2(₂2 − 2 + ) + +

d.

lim

_→∞

√ 2 + + 2

e.

lim

_→∞

√ 2 _{+ +}

5. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.

a.

lim

_→∞

(√

2

+ − √

2

− + )

b.

lim

_→∞

(√ + − √ ) √ +

c.

lim

_→∞

(√( + )( + ) − √( + )( + ))

d.

lim

_→∞

((2 + ) − √

2

− + )

e.

lim

_→∞

(√

2

+ − − ( + 2))

20 |

Glosarium

Bentuk Sekawan Pasangan bilangan atau bentuk aljabar yang

memuat bentuk akar yang hasil kalinya bilangan

rasional atau bentuk aljabar yang tidak memuat

bentuk akar

Contoh :

(√ + √2) sekawan dengan (√ − √2)

Bentuk tak tentu Bentuk – bentuk yang nilainya tidak tepat.

Bentuk tak tentu diantaranya

,

∞

∞ dan

0, ∞

.

Limit Kata – kata “batas, mendekati, hampir, sedikit

lagi” dan sebagainya dapat disamakan dengan pengertian “limit” dalam matematika.

Limit Fungsi Limit fungsi

( ) =

untuk

mendekati ( → )

ditulis

lim

_→

( ) =

pengertiannya jika

dekat dengan tetapi tidak sama dengan

maka harga fungsi _{( )} mendekati

.

Daftar Pustaka

Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung.

Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.

Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.

Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga.