MAKALAH
MAKALAH
OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN
OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN
FUNGSI VEKTOR
FUNGSI VEKTOR
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I Dosen Pengampu : Dra. Emi Pu
Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astutiji Astuti
Disusun oleh: Disusun oleh: Wahyu
Wahyu Nugroho Nugroho S. S. (4101409007)(4101409007) Gilang
Gilang Muhammad Muhammad Bintang Bintang (4101409078)(4101409078) Gilang
Gilang Anjar Anjar Permatasari Permatasari (4101409(4101409083)083)
Suryati (4101409088)
Suryati (4101409088)
Setiasih
Setiasih Alfindah Alfindah (4101409096)(4101409096) Fenti
Fenti Nugraheni Nugraheni (4101409100)(4101409100)
JURUSAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
BAB I
BAB I
PENDAHULUAN
PENDAHULUAN
A.
A. LATAR LATAR BELAKANGBELAKANG
Pemahaman tentang pengertian dan konsep-konsep fungsi vektor, Pemahaman tentang pengertian dan konsep-konsep fungsi vektor, operasi-operasi vektor, limit dan kekontinuan fungsi vektor sangat penting operasi-operasi vektor, limit dan kekontinuan fungsi vektor sangat penting untuk dipelajari, karena akan mendasari pembelajaran lain seperti untuk dipelajari, karena akan mendasari pembelajaran lain seperti keterdifferensialan dan integral fungsi vektor beserta sifat-sifatnya serta keterdifferensialan dan integral fungsi vektor beserta sifat-sifatnya serta penggunaan konsep kalkulus differensial fungsi vektor.
penggunaan konsep kalkulus differensial fungsi vektor.
B.
B. RUMUSAN RUMUSAN MASALAHMASALAH
1.
1. Apa pengertian fungsi vektor dan konsep-konsepnya?Apa pengertian fungsi vektor dan konsep-konsepnya? 2.
2. Bagaimana operasi aljabar pada fungsi vektor?Bagaimana operasi aljabar pada fungsi vektor? 3.
3. Apa pengertian limit dan kekontinuan Apa pengertian limit dan kekontinuan fungsi vektor beserta sifat-sifatnya?fungsi vektor beserta sifat-sifatnya?
C.
C. TUJUAN TUJUAN PENULISANPENULISAN
1.
1. Memenuhi tugas kalkulus lanjut 1.Memenuhi tugas kalkulus lanjut 1. 2.
BAB II
ISI
A. FUNGSI VEKTOR BESERTA OPERASINYA
Suatu kurva di bidang datar dapat kita tampilkan sebagai fungsi real baik eksplisit maupun implisit. Tetapi banyak ilustrasi yang tidak dapat terlihat dalam penampilan ini. Sebagai contoh: aturan lingkaran
2 +
2 =
2,
> 0, belum memperlihatkan apakah setiap titik pada lintasannya dijalani tepat satu kali, apakah lintasannya dijalani searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam serta di manakah titik pangkal dan titik ujung dari lintasannya. Bila lingkarantersebut ditampilkan dalam bentuk :
=
+
,
> 0, 0
2dimana
parameter dan
,
adalah vektor basis untukℝ
2 terlihat bahwa lintasannya dimulai dari titik pangkal (
, 0) dan berakhir di titik (
, 0) serta setiap titik dijalani tepat satu kali kecuali titik pangkal dan titik ujung dengan orientasi berlawanan arah dengan jarum jam.Misalkan
=
(
) =
;
> 0 , 0
2
=
(
) =
;
> 0 , 0
2dengan mensubtitusi
dari kedua persamaan ini diperoleh
2 +
2 = (
cos
)2 + (
sin
)2 =
2,
> 0yang merupakan persamaan lingkaran. Penampilan lingkaran sebagai suatu fungsi vektor di bidang tidak tunggal , beberapa bentuk lain adalah
(
) = (
2
)
+ (
2
)
,
> 0, 0
(
) = (
) −
(
)
,
> 0, 0
2Dengan mengeliminasi
dari setiap persamaan terakhir, kita akan memperoleh lingkaran
2 +
2 =
2. Terlihat bahwa penampilan suatu kurva bidang sebagai fungsi vektor dapat memperlihatkan arah gerakan dan berapa kali lengkungan tersebut dijalani. Kelemahannya adalah penampilan suatu kurva dapat dibuat dengan lebih dari satu cara.1. Fungsi Vektor di Bidang dan Ruang
Grafik fungsi vektor di dalam ruang dan bidang dinamakan kurva bidang di bidang dan ruang. Kurva ini dapat didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 1.1.1
1. Misalkan fungsi
=
(
) dan
=
(
) terdefinisi pada himpunan⊆ℝ
dengan
parameter. Fungsi
:→ℝ
2.
(
) =
(
)
+
(
)
dimana(
,
) basis baku untukℝ
2 dinamakn fungsi vektor bidang.2. Misalkan fungsi
=
(
),
=
(
) dan
=
(
) terdefinisi pada himpunan⊆ℝ
dengan t parameter. Fungsi
:→ℝ
3.
(
) =
(
)
+
(
)
+
(
)
dimana(
,
,
) basis baku untukℝ
3. dinamakan fungsi vektor di ruang. Diagram panah dari definisi 1.1.1 diperlihatkan pada Gb.1 dan Gb.2 di bawah.Catatan :
1. Bila diketahui kurva
sebagai fungsi vektor diℝ
2 atauℝ
3, arah dan berapa kali kurva dijalani sudah tertentu.2. Bila diketahui kurva
dalam kartesius, arah dan berapa kali dijalani belum diketahui.3. Fungsi vektor di bidang memuat pengertian
sebagai fungsi implisit dari
. fungsi vektor di ruang peubah
,
,
terlibat, peubah yang satu merupakan fungsi implisit dari peubah lainnya.4. Fungsi vektor sering kali dinamakan fungsi parameter. Istilah yang lengkap adalah fungsi bernilai vektor dengan peubah real
Contoh 1.1 :
Diketahui fungsi vektor di bidang
=−
1
+
2−
1
,−
2≤≤
2a. Jika
=−
1 dan
=
2−
1, nyatakan
secara eksplisit sebagaib. Gambarkan grafik fungsi
di bidang XOY sebagai kurva
. Penyelesaian:a. Mengeliminasi
dari persamaan yang diberikan. Dari
=–
1 diperoleh
=
+ 1 yang bila digantikan ke persamaan
=
2−
1 menghasilkan
= (
+ 1)2−
1 =
2 + 2
karena
−
2≤≤
2 maka−
3≤−
1≤
1, sehingga−
3≤≤
1. jadi fungsi parameter
dapat ditampilkan sebagai
=
2 + 2
,−
3≤≤
1b. Perhatikan bahwa disini arah kurva
adalah dari titik pangkal (−
3,3) ke titik ujung (1,3) dengan setiap titik pada kurva dijalani satu kali. Kurva
yang berbentuk parabola diperlihatkan pada gambar di bawah ini:Jelas
=
2 + 2
,−
3≤≤
1, dan
=−
1
+
2−
1
,−
2≤≤
2.Jelas gambar grafik
atau fungsi
(
) mempunyai titik pangkal di (−
3,3), ini bisa dihitung dengan menggunakan
=
2 + 2
, dengan cara memasukkan
=−
3 sehingga diperoleh
= (−
3)2+ 2−
3
= 9−
6 = 3. Juga bisa dihitung dengan menggunakan
=−
2, sehingga diperoleh
=−
2−
1 =−
3 dan
= (−
2)2−
1 = 3. Dan cara yang sama kita dapat mencari titik ujung kurva, sehngga di dapat titik ujung kurva (1,3). Jelas disini arahnya berlawanan dengan jarum jam. Titik potong dengan sumbu
0 =
2 + 2
0 =
(
+ 2)
1 = 0;
2 =−
2 Titik potong dengan sumbu
= 02 + 2.0
= 0 Koordinat titik balik (
−
1,−
1)
=−
2
=−
2 2∙
1 =−
1
= (−
1)2 + 2(−
1) = 1−
2 =−
1 Contoh 1.2Nyatakan lingkaran yang berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang
=13
3
sebagai suatu fungsi vektor di ruang.Penyelesaian:
Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan lingkaran berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang
Γ
:
=1 3
3
.Cara pertama
Lingkaran berpusat di (0,0,0) dengan jari-jari 4, terletak pada bidang
Γ
:
=1 3
3
. Jelas
= 1 3
3⇔
=
3 3⟶∠
=
6.Kita dapatkan gambar sketsanya seperti pada gambar 4.
Mencari
Perhatikan persegi panjang OQPZ,
(OQPZ persegi panjang karena
⊥
dan⊥
sehingga OQPZ tegak lurus dengan semua garis yang ada di bidang OXQY termasuk OQ).∠
=
Jelas
=
sin
= 4 s in
Perhatikan persegi panjang OXQY Didapat
=∙
cos
6 = 4
∙
sin∙
12
3 = 2
3sin
. Mencari
Perhatikan bidang OQPZ Jelas
= 4 s in
Perhatikan bidang OXQY Didapat
=∙
sin
6 = 4
∙
sin∙
12 = 2 s in
. Mencari
Perhatikan bidang ZOQP
=
cos
= 4 c os
.Dari perhitungkan di atas kita peroleh
= 2
3sin
,
= 2sin
, dan
= 4 cos
disubstitusikan ke persamaan umum
(
) =
+
+
, didapat persamaan vektornya:
= (2
3sin
)
+(2sin
)
+ (4cos
)
, 0≤≤
2
.Cara kedua
Lingkaran di ruang berarti berbentuk bola dengan persamaan
2+
2 +
2 = 16 dan
= 1 3
3
.Perhatikan persegi panjang OZPQ
=
sin
= 4 s in
.Perhatikan persegi panjang OXQY
Ambil
= 2 sin
.
=
3 3
= 3
32sin
= 2
3sin
.
2 +
2 +
2 = 16. (2
3sin
)2 + (2 sin
)2+
2 = 16. 12
2
+ 4
2
+
2 = 16⇔
16
2
+
2 = 16.
2 = 16−
16
2
= 16
1−
2
= 16
2
.
= 4 c os
.Jadi
= (2
3sin
)
+(2sin
)
+ (4 cos
)
, 0≤≤
2
Jadi suatu fungsi vektor untuk kurva ruang ini adalah :
= (2
3sin
)
+(2sin
)
+ (4 cos
)
, 0≤≤
2
.Cara ketiga
Perhatikan kembali Gb.4, perpotongan antara bidang
Γ
:
= 13
3
dengan bidang XOY adalah garis lurus
:
= 1 3
3
= 0Garis lurus ini dan bidang r yang memuat lingkaran L memperlihatkan pada Gb.5 dan Gb.6.
Misalkan u adalah vektor satuan sepanjang garis g, maka vektor u dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i dan j, yaitu
= 12
3
+ 1 2
Suatu fungsi vektor untuk persamaan lingkaran L yang terletak pada bidang r adalah
= (4 sin
)
+ (4 cos
)
= (4 sin
)
12
3
+ 12
+ (4 cos
)
= (2
3sin
)
+ (2 sin
)
+ (4 cos
)
, 0≤≤
2
Perhatikan bahwa cara ini memberikan hasil yang sama.2. Operasi Pada Fungsi Vektor
Kita telah mempelajari bahwa kurva bidang dan ruang dapat ditampilkan sebagai fungsi vektor di
ℝ
2 danℝ
3. Selanjutnya, kita mendefinisikan fungsi vektor diℝ
sebagai berikut.Definisi 1. 1. 2
Misalkan
1 =
1
;
2 =
2
,…
,
=
(
) terdefinisi pada himpunan⊆ℝ
dengan
parameter dan
1,
2,…
,
adalah basis baku untukℝ
Fungsi
:→ℝ
,
=
1
1 +
2
2 +⋯
+
=
(
)
=1Dinamakan fungsi vektor di
ℝ
. Grafik fungsi ini dinamakan kurva diℝ
. Diagram panah untuk fungsi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini.Definisi 1. 1. 3
Misalkan
,⊆ℝ
,
:→ℝ
dan
:→ℝ
adalah fungsi vektor diℝ
Fungsi
dikatakan sama (ekivalen) dengan
jika
dan
menjalani
dalam jumlah yang sama dan dengan arah yang sama dari titik pangkal dan titikBila kita mempunyai dua vektor di
ℝ
, maka operasi aljabar yang dapat dilakukan padanya ialah penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, perkalian skalar, dan khusus untuk
= 3 perkalian silang vektor.Berikut ini adalah definisi dari semua operasi pada fungsi vektor tersebut.
Definisi 1. 1. 4
A. Operasi Aljabar pada Fungsi Vektor di
ℝ
. Misalkan
,
:→ℝ
,⊆ℝ
;
=
1
=1dan
=
(
)
=1Adalah fungsi vektor di
ℝ
Penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar dan perkalian skalar dari
dan
, ditulis:
+
,–
,
,
konstanta real dan
.
. didefinisikan sebagai berikut.Penjumlahan :
+
=
+
=
+
(
)
1
=1Pengurangan :
−
=−
(
) =
−
(
)
1
=1Perkalian dengan skalar : (
)
=
=
(
)
=1Perkalian skalar :
.
=
(
)
.
=
[
.
]∈ℝ
=1B. Perkalian Silang Dua Fungsi Vektor di
ℝ
3.Jika
=
1
+
2
+
3
,∈∈ℝ
dan
=
1
+
2
+
3
,∈∈ℝ
maka perkalian silang (vektor) dari
dan
,ditulis
×
didefinisikan sebagai vektor:
×
=
1(
)
2(
)
3(
)
1(
)
2(
)
3(
)
=
2(
)
3(
) 2(
)
3(
)−
1(
)
3(
)
1(
)
3(
)
+
1(
)
2(
) 1(
)
2(
)
Misalkan
,⊆ℝ
;
:→ℝ
,
=
(
) fungsi real denganℝ
=⊆
dan
:→ℝ
,
=
=1
(
)
fungsi vektor diℝ
. Komposisi dari
dan
, ditulis F g , didefinisikan sebagai:∘
=
=
[
]
=1Situasi definisi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini: D. Operasi Perkalian Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
Misalkan
⊆ℝ
,
:→ℝ
,
=
fungsi real dan
:→ℝ
,
=
=1
(
)
fungsi vektor diℝ
. Perkalian antara
dengan
, ditulis
, didefinisikan sebagai:
=
.
,∈⊆ℝ
=1 Contoh: Diketahui fungsi
=
sin
+
cos
+
,∈
=
cos−
sin
+
−
,∈ℝ
=
,∈ℝ
Tentukan fungsi
+
,−
,∙
,
×
,
°
,
°
,
.Penyelesaian:
Berdasarkan Definisi 1.1.4 diperoleh hasil berikut.
+
= (cos
+ sin
)
+
cos−
sin
+
+
−
−
=
sin−
cos
+
sin
+ cos
+−
−
∙
= sin
cos−
cos
sin
+
−
×
=
sin
cos
cos −
sin
−
=
−
cos
sin
−
−
sin
cos
−
−
sin
cos
cos −
sin
=(
−
cos
+
sin
)−
(
−
sin−
cos
)−
∘
=
=
= (sin
)
+ (cos
)
+
∘
=
=
= (cos
)
+
+
−
=
= (
sin
)
+ (
cos
)
+
=
= (
cos
)−
(
sin
)
+
B. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Sebelum membahas limit fungsi vektor, kita perlu mengingat kembali konsep limit fungsi real sebagai dasar atau analogi untuk mendefinisikan limit fungsi vektor. Denifisi formal limit fungsi real adalah :
Dipunyai fungsi
terdefinisi pada selang
yang memuat
kecuali mungkin di
sendiri. Limit fungsi
(
) bernilai
untuk
mendekati
ditulislim
→
=
Pada grafik di atas terlihat bahwa nilai
(
) dapat dibuat sebarang dekat ke
dengan cara mengambil nilai
yang cukup dekat dengan
. Dengan kata lain, jarak
(
) ke L dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke
cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.1. Limit Fungsi Vektor
Konsep limit fungsi vektor di
ℝ
dirancang serupa dengan limit fungsi real. Namun sebelumnya, perlu diterjemahkan simbol fungsi vektor yang berbeda dengan simbol fungsi real.Rumus fungsi vektor di masing-masing ruang dituliskan :
2:
(
) =
+
(
)
3:
=
+
+
(
)
4:
=
1
1+
2
2 +
3
3 +
4(
)
4
:
=
1
1 +
2
2 +⋯
+
(
)
=
=1Dimana disepakati bahwa
(
) : Komponen fungsi vektor.
(
)
: Fungsi vektor pada satu arah dengan
melambangkan fungsi,
sebagai variabel (pengganti
pada fungsi real) dan
menyatakan arah vektor (vektor satuan).Namun demikian dalam makalah ini simbol
1,
2,…
,
digantikan
1,
2,…
,
. Sehingga
=
1
1 +
2
2 +⋯
+
(
)
. Disini kitamenggunakan ukuran jarak dua vektor di
ℝ
sebagai berikut: Untuk
= (
1,
2,…
,
) dan
= (
1,
2,…
,
)Maka jarak
ke
ditulis −
didefinisikan sebagai: −
=
(
1−
1)2 + (
2
−
2)2 +⋯
+ (
−
)2Agar limit fungsi vektor
(
) untuk
mendekati
dapat dibahas, di sekitar
harus terdapat tak berhingga banyaknya titik dari domain
. Untuk ini kita mengambil domain
selang terbuka
yang memuat
kecuali mungkin di
sendiri.Situasi yang terjadi adalah jarak
(
) ke suatu vektor tetap
= (
1,
2,…
,
) dapat dibuat sembarang dekat dengan cara membuat jarak
ke
cukup dekat. Dengan demikian diperoleh konsep limit fungsi vektor sebagai berikut:Definisi 1.2.1
Misalkan fungsi vektor
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
terdefinisi pada selang terbuka di D yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri dan
= (
1,
2,…
,
) vektor diℝ
. Limit fungsi
jika t mendekati a sama dengan L, ditulis
→
(
) =
, jika∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
.Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut: lim
→
+
(
) =⟺∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
lim
→
−
(
) =⟺∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
Teorema 1.2.1
Misalkan fungsi vektor
=
(
) terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri. Maka
→
(
) =⟺
−
(
)−
= 0 Bukti: Dipunyai
→
(
) =
Bukti ke kanan :⟹∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<
⟹−
<
⟹−−
0
<
⟹
lim→
−
= 0 Bukti ke kiri :⟹∀
ε > 0∃
> 0∋
0 <
t−
a
<
⟹
F
t−
L−
0
<
⟹
F
t−
L
<
Jadilimt→
aF(t) = LTeorema 1.2.2
Misalkan fungsi vektor
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
terdefinisi pada selang terbuka di
yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri dan
= (
1,
2,…
,
) suatu vektor diℝ
. Makalim
→
=⟺
lim⟶
=
,
= 1,2,3,…
,
Bukti :⇒
diketahui lim→
=
ini berarti bahwa∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
Karena
−
= [
−
2]1/2≤
[
−
]2
=1
1/2 =−
Untuk
> 0 di atas berlaku0 <
−
<⟺
−
≤−
<
Sehingga terbuktilahlim
→
=
,
= 1,2,3,…
,
⇒
diketahui lim→
=
,
= 1,2,3,…
,
dari sini diperoleh lim→
[
−
] = 0 ,
= 1,2,3,…
,
Sehingga lim→
[
−
]2 = 0 Akibatnya lim→
−
= lim→
[
−
]2
=1
1/2 = 0 Menurut Teorema 1.2.1 terbuktilim→
=
.Teorema 1.2.3
Misalkan fungsi vektor
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
dan
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
, dan fungsi real
=
(
) semua terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri. Jika
→
(
),
→
(
) ,
→
(
) ada dan berhingga, maka1.
→
(
) tunggal, yaitu jika lim→
(
) =
dan lim→
(
) =
maka
=
. Bukti :Dipunyailim
→
(
) =
dan lim→
(
) =
maka
=
. Ambil sembarang
> 0.Pilihδ1 > 0 danδ2 > 0 sehingga
(
)−
<
/3 apabila 0 <−
<
1 dan
(
)−
<
/3 apabila 0 <−
<
2. Pilih
= min(
1,
2).Jelas
−
=−
(
) +
(
)−≤−
+−
<
/3 +
/3 <
.Dengan kata lain terbukti bahwa
=
. 2. limt→
a
F
t
+ G
t
= limt→
aF
t
+ limt
→
aG
t
Bukti :
Ambil sembarang bilangan
> 0. Menurut yang diketahui, ada bilangan
1 > 0 dan
2 > 0 sehingga
(
)−
(
′ ,
′ )
=
(
1(
),
(
))−
(
′ ,
′ )
<
/3Untuk setiap
∈
=
, ≠
0 dan−
0
<
0. Dengan mengambil
= min
1,
2
diperoleh :
(
) +
(
)−
(
′ +
",
′ +
")
=
1(
),
1(
))−
(
′ ,
′ ) +(
2(
),
2(
))−
(
",
")≤
(
1(
),
1(
))−
(
′ ,
′ )
+
(
2(
),
2(
))−
(
",
")
<
3+
3 <
.Untuk setiap
∈
+
=
∩
,≠
0, dan−
0
<
3. limt→
a
F
t−
G
t
= limt→
aF
t−
limt
→
a G
t
4. limt
→
acF(t) = limt→
a F(t), c konstanta real5.
→
.
=
→
.
→
6. limt→
a
gF(t)
=
limt→
ag(t)
.
limt→
aF(t)
Contoh :
Hitunglah setiap limit fungsi vektor berikut. a)
→
0
−
1
+
1+
+
1+
2
b)
→
0
+
Jawab :
a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vek tornya.
→
0
−
1
+
1 +
+
1 +
2
−
1
→
0
1 +
=
→
0 1 1 +
1 = 1
→
0
1 +
2
=
→
02
= 0 jadi,
→
−
1
+
1+
+
1+
2
=
+
. b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.
→
0
+
→
0
= 1
→
0
= 0Jadi,
→
0
+
= 1.2. Kekontinuan Fungsi Vektor
Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai fungsinya. Berikut adalah definisi formalnya.
Definisi 1.2.2
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
,
dikatakan kintinu di ∈
jika
→
=
.Definisi 1.2.3
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
terdefinisi pada himpunan
yang memuat
, fungsi
dikatakan kontinu di ∈
jika∀
> 0∃
> 0∋−
<⟹−
(
)
<
.Definisi 1.2.4
Fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
yang terdefiinisi pada himpunan⊆
dikatakan kontinu pada
jika fungsi
kontinu di setiap titik pada
.Teorema 1.2.4
Fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
kontinu pada
⇔
fungsiBukti :
Bukti ke kanan :
⟹
=
1
1 +⋯
+
kontinu pada
⇒
kontinu pada setiap titik di
⇒
kontinu pada
1…
,
= 1, 2 ,…
,
.⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada
=
1∩…∩
. Bukti ke kiri⟸
(
) kontinu pada
=
1∩…∩
. ⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada setiap titik di
Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.
Teorema 1.2.5
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
dan
=
1
1 +⋯
+
(
)
dan fungsi real
=
(
) semuanya terdefinisi padaselang terbuka
=
∩
∩
, maka fungsi
+
,−
,
konstanta real,
.
dan
semuanya kontinu pada
.Bukti:
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
dan
=
1
1 +⋯
+
(
)
dan fungsi real
=
(
) semuanya kontinu padahimpunan
=
∩
∩
, terdefinisi
→
=
(
)
→
=
→
=
Maka
→
+
=
→
+
=
→
+
→
=
+
=
+
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
+
kontinu pada
.=
→
−
→
(
) =−
=
−
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
–
kontinu pada
.
→
=
→
=
Ini menunjukan bahwa fungsi
kontinu pada
.
→
.
=
→
.
(
)
=
→
(
) .
→
=
.
(
) =
.
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
.
kontinu di
→
(
) =
→
(
0.
(
)
=
→
.
→
=
.
(
) =
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
kontinu pada
Teorema 1.2.6
1. Jika fungsi real
=
(
) semuanya terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
dengan
→
(
) =
dan fungsi vektor
,
=
1
1 +⋯
+
kontinu di
, maka
→
(
) =
→
(
)
=
(
)2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan
=g(D)⊆E ⊆ R dan fungsi vektor
=
1
1+⋯
+
kontinu pada
,maka fungsi vektor (
∘
) kontinu pada
. Bukti :1. Diberikan
> 0, akan ditunjukan terdapat suatu
> 0 sehingga 0 <−
<⇒−
(
)
<
. diketahui
kontinu di
, maka∃
1 > 0∋
0 <−
<
1⟹−
(
)
<
. Dari
−
(
) =
diperoleh bahwa untuk
1 > 0 terdapat
> 0 sehingga
=⇒−
<
1⇒−
<
1⇒−
(
)
<⇒
−
(
)
<
.Jadi terbuktilah yang diinginkan
2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.
Contoh :
Diketahui fungsi vektor
adalah
=
ln(1 +
2)
+
2−
1 −
sinh
,≠
0 2−
,
= 0Tentukan semua nilai
sehingga fungsi
kontinu. Penyelesaian :Komponen fungsi vektor
adalah
=
ln(1 +
2)
,≠
0 0,
= 0 ;
=
2−
1
,≠
0 2,
= 0 ,
=−
sinh
,≠
0−
1,
= 0 Karena setiap komponen fungsi
terdefinisi padaℝ
, maka
terdefinisi padaℝ
.Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi
padaℝ
. Fungsi
=
(
);Untuk
≠
0,
=
(
) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu. Untuk
= 0, karena
→
(
) =
→
(1 +
2)
=
→
0 2
1 +
2 1 = 0 =
(0)Maka fungsi
=
(
) juga kontinu di
= 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa
=
(
) kontinu padaℝ
.Fungsi
=
(
)Untuk
≠
0,
=
(
) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu. Untuk
= 0, karena
→
(
) =
→
0
2−
1
=
→
0 2
1 = 2 =
(0)Maka fungsi
=
(
) juga kontinu di
= 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa
=
(
) kontinu padaℝ
.Fungsi
=
(
)Untuk
≠
0,
=
(
) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu.Untuk
= 0, karena
→
(
) =
→
0−
=
→
0−
1 =−
1 =
(0)Maka fungsi
=
(
) juga kontinu di
= 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa
=
(
) kontinu padaℝ
Karena
=
(
),
=
(
),
=
(
) semuanya kontinu padaℝ
, maka fungsiBAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Konsep fungsi vektor dan operasinya ternyata serupa dengan fungsi real dalam kalkulus dan secara umum fungsi vektor dikenal dengan fungsi parameter yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah real. Operasi yang dapat dilakukan pada fungsi vektor adalah fungsi aljabar, dan operasi perkalian antara fungsi real dengan fungsi vektor. Demikian juga konsep limit dan kekontinuan fungsi vektor yang didefinisikan dengan memanfaatkan konsep limit dan kekontinuan fungsi real.
B. SARAN
Konsep fungsi vektor, operasi vektor, limit dan kekontinuan harus benar-benar dipahami karena mendasari pemahaman pembelajaran materi selanjutnya. Agar lebih mudah dalam memahami konsep-konsep tersebut, disarankan untuk terlebih dahulu memahami konsep fungsi, limit dan kekontinuan fungsi real serta materi pendukung lainnya dalam mata kuliah kalkulus 1 dan 2.
SOAL LATIHAN
1. Dipunyai fungsi vektor
=
+ 1
+
3 + 1
,∈ℛ
.Jika
=
+ 1 dan
=
3 + 1. Tentukan persamaan koordinatnya! 2. Dipunyai fungsi vektor
= (4 cos
)
+ ( 3sin
)
,
(0,2
)Jika
= 4 c os
dan
= 3 s in
. Tentukan persamaan koordinatnya! 3. Hitunglahlim→
0
2
2 .4.
Tunjukkan bahwa lim
,→
(0,0)
2
+
2 = 0.5. Dipunyai fungsi vektor
=
sin−
1
+
cos−
1
+
−
. Selidiki kekontinuan fungsi
pada daerah definisinya.6. Dipunyai fungsi vektor
=
sin−
1(2
+ 3)
+tan−
−
1
1
.DAFTAR PUSTAKA
Berkey, D. Dennis.1988.Calculus, 2nd Edition. New York : Sounders College Publishing
Chotim, Moch.2008. Kalkulus 1. Semarang: Universitas Negeri Semarang. Martono, K.1992. Kalkulus Lanjut 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
Purcell, E & Varberg, D.1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1. Terjemahan I Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga. Purcell, E & Varberg, D.1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Terjemahan I
