BAB I
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting dan banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian dan sebagainya. Pada makalah ini akan dibahas mengenai limit fungsi, kaidah-kaidah limit seperti beberapa rumus limit fungsi.
Dan jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan menentukan limit suatu fungsi. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Oleh karena itu, pemahaman tentang konsep dan macam-macam fungsi diberbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat-sifat dan operasi limit suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami Limit.
1.2 RumusanMasalah
1. Apakah yang dimaksuddengan Limit ?
2. Apakah pembelajaran model pencapaian konsep efektif untuk mengajarkan pokok bahasan limit fungsi?
1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui pengertian Limit.
2. Untuk mengetahui efektivitas pembelajaran model pencapaian konsep pada pokok bahasan limit fungsi.
PEMBAHASAN
2.1 Teori Limit
Teori limit merupakan “akar” dari Ilmu Aljabar Kalkulus. Ilmu Aljabar Kalkulus ini dikembangkan secara terpisah, baik oleh Sir Isaac Newton maupun oleh Gottfried Leibnitz dan berintikan tentang diferensial dan integral dengan perubahan-perubahan variabel yang kecil [Dumairy: 179]. JadiTeori Limit adalah “dasar” dari Teori Diferensial dan Integral.
2.2Konsep Limit
Limit ialah suatu batas tertinggi dari suatu peubah x dalam suatu fungsi, dimana nilai x
dikatakan mendekati a, yang batas limitnya bernilai lebih kecil dari a →(x → a) , jadi limit tersebut dibatasi oleh nilai adiatas.
Limx=a x → a ❑
Keterangan: Limit ≠0
Limit dibedakanmenjadi 2, yaitu limit sisikiri (negatif) dan Limit sisikanan (positif) . Contoh:
lim 2x=8
x →4 ¿lim(4x+5)=17
x →3
❑
f(x) mendekati L seiring dengan variable x mendekati a, maka dinyatakan bahwa limit fungsif(x) mendekati L untuk x mendekati a. Hal tersebut dilambangkan dengan notasi [Dumairy: 183,190]:
Limit fungsif(x) di titik x mendekati a dikatakan ada jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut:
1.Limit f(x) terdefinisi
x → a⁻ ❑❑
2.Limit f(x) terdefinisi
x → a⁺❑
3.Limit f(x) = Limit f(x) x → a⁻❑x → a⁺
❑❑
Contoh:
1.Diberikan fungsi sebagai berikut:
Y = 2x + 3 , x<a Y = 2x + 5 , x>a
Limit f(x) = 2a + 3
x → a⁻❑
Limit f(x)= 2a + 5, dan
x → a⁺❑
Limit f(x) = Limit f(x)
x → a⁻❑x → a⁺❑
Maka Limit f(x)tidak ada
x → a❑
2.Diberikan fungsi sebagai berikut:
Y = 5 , x = a
Limit f(x) = 2a + 3
x → a⁺❑
Limit f(x) = 2a + 3
x → a⁻❑
Limit f(x) = Limitf(x) x → a❑x → a❑
Maka Limit f(x)ada dan besarnya : Limit f(x) = 2a + 3
x → a❑
Limit fungsi f(x) di titik x mendekati a dikatakan berkesinambungan jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut:
1. Limit f(x)terdefinisi
x → a❑
2. f(a)terdefinisi 3. Limit f(x) = f(a)
x → a❑
Contoh:
1. Diberikan fungsi sebagai berikut:
Y = 2x + 3 , x < a Y = 2x + 5 , x > a
Limit f(x)tidak ada atau terdefinisi sebab limit f(x) ≠ limit f(x) dan f(a) = 2a + 5
x → a❑ x → a x → a❑
Maka Limit f(x)tidak berkesinambungan
x → a❑
2. Diberikan fungsi sebagai berikut:
Limit f(x)terdefinisi dan besarnya Limit f(x) = 2x + 3
x → a❑ x → a❑
tetapi f(a) = 5, menyebabkan Limit f(x) ≠ f(a)
x → a❑
maka Limit f(x)tidak berkesinambungan
x → a❑
3. Diberikan fungsi sebagai berikut:
Y = 2x + 3, untuk setiap x
Limit f(x)terdefinisi dan besarnya Limit f(x) = 2a + 3
x → a❑ x → a❑
Maka Limit f(x)berkesinambungan
x → a❑
2.3 Kaidah-kaidah Limit
JikaLimit f(x) = L dan Limit g(x) = M, maka:
x → a❑ x → a❑
Rumus Limit:
2.3.1. Limit Fungsi Penjumlahan :
Limit [f(x) + g(x)] = Limit f(x) + Limit g(x) = L + M
x → a❑x → a❑x → a❑
Contoh Soal:
a)
Limit(3x+6x)=(3.2+6.2)
x →2=(6+12) ¿18
b)
Limit
(
4x2−8x
)
=(
4.32−8.3
)
x →3=(4.9−24) ¿(36−24)
¿12
❑
2.3.2. Limit Fungsi Perkalian:
Limit [f(x) * g(x)] = Limit f(x) * Limit g(x) = L * M x → a❑x → a❑x → a❑
Contoh Soal:
a) Limit 5x (3x + 10) = 5 . 2 (3 .2 + 10)
x →2❑ = 10 ( 6 + 10) = 10 ( 16 ) = 160
b) Limit (x² + 4) (2x + 3) = (3² + 4) (2.3 + 3)
x →3❑ = (9 + 4) (6 + 3) = ( 13 ) ( 9 ) = 117
2.3.3. Limit Fungsi Pembagian:
Limit [f(x) / g(x)] = Limit f(x) / Limit g(x) = L/M x → a❑ x → a❑x → a❑
Contoh Soal:
a) Limit (9– x) (x−2)
=
x →4
❑❑
=
5 2b)
Limit ((6x –−2x))=
((63−−32))x →3❑
=
31
=
32.3.4. Limit yang Dipangkatkan
Limit f(x)n = {Limit f(x) }n = Ln
x → a❑x → a❑
Contoh Soal:
a) Limit (2x + 3)2 = (4 + 3)2
x →2❑ = ( 7 )2
= 49
b) Limit (3x2 + 2x – 5)2 = ( 48 + 8 – 5)2
x →4❑ = 512
= 2.601
2.3.5. Limit yang berada dalam tanda akar
Limit n
√
f(x) = Limit n√
Limitf(x)=¿x → anx → a❑ x → a❑
Contoh Soal:
a) Limit
√
x+2 =√
2+2x →2❑ =
√
4= 2
b) Limit
√
(x−3)(x2−9)
=
0 0=
0x →3❑
2.3.6. Perkalian Konstanta
Limit k . f(x)= k . Limit f(x)
x → a❑
Limit k = k ; k = konstanta
Contoh Soal:
a) Limit 5 (2x + 14) = 5 ( 4 + 14 ) x →2❑ = 5 ( 18 )
= 90 b) Limit 4 (3x) = 4 . 0
x →0❑ = 0
2.4 Kasus Khusus
= 2
Bentuk tak tentu: 0/0, selain dapat diselesaikan dengan cara faktorisasi, dapat juga dikalikan dengan bentuk sekawan. Yang dimaksud dengan bentuk sekawan yaitu: jika ada bentuk (a + b) maka bentuk sekawannya (a + b), di mana hasil kali (a + I) ( a - b) = a² - b²
Contoh: Cara faktorisasi
Limit (x−9)
√
x−3=
Limit(
√
x−3)(√
x+3)√
x−3x →9❑ x →9
= Limit (
√
x+3)x →9
= 6
2.4.2 Atau dengan dikalikan bentuk sekawan :
Limit (x−9)
√
x−3 = Limit(x−9)(
√
x+3)(
√
x−3)(√
x+3)x →9❑ x →9
= Limit (x−9)(
√
x+3)(
√
x)
²−3²x →9
= Limit (x−9)(
√
x+3)(x−9)
x →9
= Limit (
√
x+3) = 6( ii ). Bentuktaktentu :
Cara penyelesaiannya adalah variabel yang tertinggi harus dibagi dengan
variable pangkat tertinggi tersebut.
Diselesaikan pertama-pertama dengan cara dikalikan dengan bentuk sekawannya. Hasilnya akan diperoleh bentuk taktentu ~ / ~, sehingga setelah itu masih harus dibagi oleh variable pangkat terbesar.
Contoh: Karena
Limit x -
√
x²−3x= − , maka dikalikan dengan bentuk sekawannya.Limit ( x -
√
x²−3x ) ( x+√
x²−3xx+
√
x²−3x) =
x → ❑Limit (x−
√
x²−3x)(x+√
x²−3x)x+
√
x²+3x=
x →Limit x²−(
√
x²−3x)²x+
√
x²+3x=
x →Limit x²−(x²−3x)
x+
√
x²+3x=
x →Limit x²−x²+3x
x+
√
x²+3x=
x →Limit 3x
x+
√
x²+3x=
x →Karena masih diperoleh bentuk taktentu: , maka untuk selanjutnya variable pangkat
tertinggi x2 harus dibagi dengan variable pangkat tertinggi tersebut. Akan tetapi, karena x2
berada di bawah akar, maka:
√
x²=xLimit
(
x 3xDalam bahasa matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu. Mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu? Hal ini disebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada semua titik.
3.2 Saran
Demikianlah Makalah Matematika Bisni sini, Makalah ini tentunya masih banyak kekurangan yang harus dilengkapi, untuk mencapai kesempurnaan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu kami mohon dengan segala kerendahan hati untuk memberikan Saran dan Kritikannya yang bersifat membangun, dengan harapan agar makalah ini bias lebih sempurna.
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy, MatematikaTerapanUntukBisnisdanEkonomi, edisikedua, BPFE
Yogyakarta, 1996.
H. Johannes danBudiono Sri Handoko,PengantarMatematikaUntukEkonomi, LP3ES,
1983.
Alpha C.Chiang, Dasar-dasarMatematikaEkonomi, PenerbitErlangga, 1989.
Huang. D. S,Introduction to the Use of Mathematics In Economic Analysis, John
