Limit dan tak dan hingga

14 

Teks penuh

(1)

TUGAS MAKALAH MATEMATIKA

LIMIT TAK HINGGA

DISUSUN OLEH :

- NURRAHMAH SEPTIANDINI - FERIYAN ARIZKI

- MUHAMMAD RIFQI PAHLEVI

- SUPARMAN

KELAS : XI MIA.1

SMAN 1 PEMALI

(2)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang rahmat- Nya maka kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “.

Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah kalkulus.

Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan- kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki penulis. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.

Akhirnya penulis berharap semoga makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “ dapat bermanfaat untuk kita semua.

(3)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus.

Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelahdihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5 bungkus,

pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.Jadi,dirata-rata pada pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah 5,!, dan dikatakan hamper  mendekati 6. "alam #ontoh sehari-hari,banyak sekali kita temukan kata-kata hampir,

mendekati, harga batas dsb. $engertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian Limit

1.2 Rumusan Masalah

(4)

BAB II

ISI

SEJARAH LIMIT

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulusdan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika xdekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika xjuga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaituzaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.[2] Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus

integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volumepiramida terpancung.

[3] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang

menyerupai kalkulus integral.[4]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[5] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk

mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[6] Sekitar tahun 1000,

(5)

rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[7] Pada abad

ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.[8] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan

matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[9], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[10][11][12]

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus.[13]James

Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.[14]

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.[15]

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".[15]

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus. Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. [1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

(6)

terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan olehWeirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.

LATAR BELAKANG MUNCULNNYA LIMIT

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dxyang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.[18]

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.[18] Secara cermat, definisi limit suatu

fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwalimit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

(7)

1.Augustin-Louis Cauchy (ogysˈtɛ̃ lwi koˈʃi, lahir di Paris, Perancis, 21 Agustus1789 – meninggal di Sceaux, 23 Mei 1857 pada umur 67 tahun) ialah seorangmatematikawan Perancis.

Dididik di Ecole Polytechnique. Karena kesehatan yang buruk ia dinasihatkan untuk memusatkan pikirannya pada matematika. Selama kariernya, ia menjabat sebagai mahaguru di École Politechnique, Sorbonne, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematikanya cemerlang dan mengejutkan jumlahnya.Produktivitasnya amat hebat hingga Akademi Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.

Cauchy ialah seorang Katolik yang saleh dan pengikut Raja yang patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepada pemerintahan Prancis yang berkuasa pada 1830, ia pindah ke Italia selama beberapa tahun dan mengajar di beberapa institusi keagamaan di Paris sampai sumpah kesetiaan dihapuskan setelah Revolusi 1848.

Cauchy memiliki perhatian yang luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskah dalam ilmu persajakan dalam bahasa Ibrani. Keimanannya dalam beragama mengantarnya mendukung kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dannarapidana.

Meski kalkulus diciptakan pada akhir abad ke-17, dasar-dasarnya tetap kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekannya Carl Friedrich Gauß, Niels Henrik Abel, dan Bernard Bolzano mengadakan ketelitian baku.

2.Sir Isaac Newton FRS (lahir di Woolsthorpe-by-Colsterworth, Lincolnshire, 4 Januari 1643 – meninggal 31 Maret 1727 pada umur 84 tahun; KJ: 25 Desember 1642 – 20 Maret 1726/7[1]) adalah seorang fisikawan, matematikawan, ahliastronomi, filsuf alam,

alkimiawan, dan teolog yang berasal dari Inggris. Ia merupakan pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak ilmu fisika klasik.[7]

(8)

Dalam bidang mekanika, Newton mencetuskan adanya prinsip kekekalanmomentum dan momentum sudut. Dalam bidang optika, ia berhasil membangun teleskop refleksi yang pertama[8] dan mengembangkan teoriwarna berdasarkan

pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan membagi cahaya putih menjadi warna-warna lainnya. Ia juga merumuskan hukum pendinginan dan mempelajari kecepatan suara.

Dalam bidang matematika pula, bersama dengan karya Gottfried Leibniz yang dilakukan secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Ia juga berhasil menjabarkan teori binomial, mengembangkan "metode Newton" untuk melakukan pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian deret pangkat. Sampai sekarang pun Newton masih sangat berpengaruh di kalangan ilmuwan. Sebuah survei tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan masyarakat umum di Royal Society mengenai siapakah yang memberikan kontribusi lebih besar dalam sains, apakah Newton atau Albert Einstein, menunjukkan bahwa Newton dianggap memberikan kontribusi yang lebih besar.

3.Gottfried Wilhem Leibniz atau kadangkala dieja sebagai Leibnitz atau Von Leibniz (1 Juli (21 Juni menurut tarikh kalender Julian) 1646 – 14 November 1716) adalah seorang filsuf Jerman keturunan Sorbia dan berasal dari Sachsen. Ia terutama terkenal karena faham Théodicée bahwa manusia hidup dalam dunia yang sebaik mungkin karena dunia ini diciptakan oleh Tuhan Yang Sempurna. Faham Théodicée ini menjadi terkenal karena dikritik dalam buku Candidekarangan Voltaire.

Selain seorang filsuf, ia adalah ilmuwan, matematikawan, diplomat, fisikawan,sejarawan dan doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja. Ia dianggap sebagai Jiwa Universalis zamannya dan merupakan salah seorang filsuf yang paling berpengaruh pada abad ke-17 dan ke-18. Kontribusinya kepada subyek yang begitu luas tersebar di banyak jurnal dan puluhan ribu surat serta naskah manuskrip yang belum semuanya diterbitkan. Sampai sekarang masih belum ada edisi lengkap mengenai tulisan-tulisan Leibniz dan dengan ini laporan lengkap mengenai prestasinya belum dapat dilakukan.

(9)

KONSEP DAN SIFAT LIMIT

Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah xmembesar atau mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah

atau

(x→ c dapat diganti x→ atau x→ ). Konsep kedua adalah tentang limit

fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini kemungkinannya adalah

atau

Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit, dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama, tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.

(10)

Pembahasan :

Soal :

Pembahasan :

(11)

Pembahasan :

Soal :

(12)

KESIMPULAN

Ø Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah xmembesar atau mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah

atau

(x→ c dapat diganti x→ atau x→ ). Konsep kedua adalah tentang limit

fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini kemungkinannya adalah

(13)
(14)

DAFTAR PUSTAKA

1. https://istanamengajar.files.wordpress.com/2013/06/lim4.jpg

2. https://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/19/soal-dan-pembahasan-limit-tak-hingga-bentuk-akar-1-3/

3. http://rumushitung.com/2014/03/02/limit-matematika-dan-contoh-soal/

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...