7.1 LIMIT FUNGSI
7.1.1 Limit fungsi di suatu titik
Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik
Illustrasi: Diketahui
Dari tabel dan grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi
x 1. Notasi: 3
1
( )
1
x
f x
x
x f(x) 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 ↓ ↓ 1,000 ? ↑ ↑ 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 x y y = f(x) 1 3 1 x x f(x) f(x)lim ( ) 3
f x
Definisi: [Limit fungsi di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis
lim ( )
xa f x L
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x a. x y y = f(x) a L f(a) = L f(a) L lim ( ) xa f x L
f(a) tidak terdefinisi
x y y = f(x) a L x y y = f(x) a L
Contoh: Tentukan limit berikut.
2 0 3 1 2 6 lim 1 lim 3 1 lim 1. 2. 3. 4. lim 1 x x x x x x x x x x Catatan:
1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L adalah
f(x) → L, bila x → a. 2. Fungsi f tidak harus terdefinisi di a.
3. Jika f terdefinisi di a, f(a) tidak harus sama dengan
L. x lim ( ) xa f x L lim ( ) xa f x L
7.1.2 Limit satu sisi
Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan Illustrasi: Diketahui: f(x) = ║x ║ , x [-1,2) 0 1 2 -1 1 x y y = f(x) -1 Dari grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x 0. Situasi ini dilambangkan
0 lim ( ) 1. x f x
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0,
dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x 0. Situasi ini
dilambangkan 0
lim ( )
0.
xf x
Definisi: [Limit kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f(x) ketika x mendekati a (atau Limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis
lim ( )
x a
f x
L
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.
Definisi: [Limit kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f(x) ketika x mendekati a
(atau Limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis
lim ( )
xa f x L
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.
Teorema: [Hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi]
lim ( ) jika dan hanya jika lim ( ) lim ( ).
xa f x L xa f x L xa f x
Contoh: Tentukan limit berikut. y y = f(x) x 1 3 5 1 1 1 3 3 3 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1. 2. 3. 4. lim ( ) li 5. m ( ) 6. lim ( ) x x x x x x f x f x f x f x f x f x
7.1.3 Limit takhingga
Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik Illustrasi: Diketahui: f x( ) 12 x y y = f(x) 0 x Dari grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x 0.
Notasi:
0
lim ( )
x f x
Definisi:
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I
yang memuat a, kecuali mungkin di a.Limit f(x) ketika
x mendekati a sama dengan , ditulis
lim ( )
xa f x
apabila nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin,
dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi
x a.
Catatan:
Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan adalah
Illustrasi: Diketahui: f x( ) 12 x y y = f(x) 0 x Dari grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x 0.
Notasi:
0
lim ( )
x f x
Definisi:
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I
yang memuat a, kecuali mungkin di a.Limit f(x) ketika
x mendekati a sama dengan -, ditulis
lim ( )
xa f x
apabila nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi
x a.
Catatan:
1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan - adalah
f(x) → -, bila x → a.
2. Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak hingga satu sisi:
a. b. c lim ( ) lim ( ) lim ( ) . d. lim ( ) x a x a x a x a f x f x f x f x
Contoh: Tentukan limit berikut.
2
3 1 2
2 1 1
lim lim lim
3 ( 1 1. 2. 3. )( 2) ( 2) x x x x x x x x x
7.2 DEFINISI TEPAT LIMIT FUNGSI
Illustrasi: Diketahui 3 1 ( ) 1 x f x x x f(x) 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 ↓ ↓ 1,000 ? ↑ ↑ 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 x y y = f(x) 1 3 1 x x f(x) f(x)
Dari tabel dan grafik:
2,710 < f(x) < 3,310 jika 0,9 < x < 1,1 dan x 1 2,970 < f(x) < 3,030 jika 0,99 < x < 1,01 dan x 1 2,997 < f(x) < 3,003 jika 0,999 < x < 1,001 dan x 1 mengakibatkan: |f(x) – 3| < 0,3 jika 0 < |x - 1| < 0,1 |f(x) – 3| < 0,03 jika 0 < |x - 1| < 0,01 |f(x) – 3| < 0,003 jika 0 < |x - 1| < 0,001
Jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, jika jarak x ke 1 cukup dekat dan x 1.
Notasi jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3: > 0, |f(x) - 3| <
Notasi jarak x ke 1 cukup dekat dan x 1: () > 0, 0 < |x - 1| <
Perhatikan bahwa dalam hal ini = /3
Notasi jarak f(x) selalu dapat dibuat sedekat
mungkin ke 3, jika jarak x ke 1 cukup dekat & x 1
> 0, () > 0, sehingga berlaku: 0 < |x - 1| < |f(x) - 3| <
1
lim ( ) 3 jika dan hanya jika
x f x
> 0, () > 0, sehingga berlaku: 0 < |x - 1| < |f(x) - 3| <
Definisi: [Limit fungsi di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketika x men-dekati a sama dengan L, ditulis
lim ( )
xa f x L
jika dan hanya jika > 0, () > 0, sehingga berlaku:
y y = f(x) a L x Diberikan > 0 sebarang L+ L- y y = f(x) a L x
ada > 0 yang berpadanan dengan L+ L- a+ a- y y = f(x) a L x sehingga 0 < |x - a| < |f(x) - L| < L+ L- a+ a-
Contoh: Dengan menggunakan definisi - tentukan limit berikut. 1 2 1. lim 2 2. lim2 1 x x x x 7.3 HUKUM LIMIT Teorema:
Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit
lim ( ) dan lim ( )
xa f x xa g x
lim lim
lim( ( )) lim ( )
lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) lim( ( ) ( )) lim ( ) l 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 im ( ) lim( ( ) ( )) lim ( ) lim )
. ( x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a c c x a cf x c f x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
lim ( ) ( )lim jika lim ( ) 0
( ) lim ( ) lim lim( 8. 9. 10 ( )) lim ( )
lim jika genap, 0
lim ( ) lim ( ) jika genap, lim ( ) 0
. 11. x a x a x a x a n n x a n n x a x a n n x a n n x a x a x a f x f x g x g x g x x a f x f x x a n a f x f x n f x
Contoh: Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut:
2 3 2 1 3 lim 7 1 lim(( 1)( 1)) 2 lim lim 3 4 1. 2. 3. 4. 2 1 x x x x x x x x x x
Contoh: Tentukan limit berikut.
2 2
2 2
1 0 2
1 (2 ) 2 2
lim lim lim
1 4 1. 2. 3. x h x x h x x x h x Teorema:
lim ( ) jika dan hanya jika lim ( ) lim ( ).
x a x a x a
f x L f x L f x
Contoh: Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada jelaskan mengapa.
1 0 2
1
lim lim lim
| 1 1. 2. 3 | . x x x x x x ║x║ Teorema:
Jika f(x) g(x) pada waktu x dekat a (kecuali
mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, makalim ( ) lim ( ).
xa f x xa g x
Teorema: [Teorema apit / jepit]
Jika f(x) g(x) h(x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan lim ( ) lim ( ), xa f x L xa h x makalim ( )g x L. Teorema:
Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam derah asal f, maka
lim ( )
( ).
7.4 KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi: [Kekontinuan di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila
lim ( ) ( ).
xa f x f a
Catatan:
1. Secara implisit definisi di atas mensyaratkan:
a. f(a) terdefinisi
b. c.
2. Ciri fungsi kontinu di suatu titik adalah grafik fungsinya tersambung di titik tersebut.
3. Bila f tidak kontinu di a, dikatakan f diskontinu di a. lim ( ) ada
xa f x
lim ( ) ( ).
xa f x f a
Contoh: Periksa kekontinuan fungsi f berikut. Di titik mana fungsi tersebut diskontinu, jelaskan alasannya.
2 2 ( ) 2 1. f x x x x y y = f(x) x 1 3
Contoh: Tentukan limit berikut.
2 2
0 0
3
1
1 2
lim sin lim 1+sin
1. 2.
3. Jika 3 ( ) 2 untuk 0 2, tentukan lim ( ).
x x x x x x x x f x x x f x
y y = f(x) 0 x 2 1 0 ( ) 1 3. 0 x f x x x ( . 4 f x ) ║x║ 0 1 2 3 1 2 3 x y 4 y = f(x) Jenis-jenis diskontinu:
1. diskontinu dapat dipindahkan : Contoh 1 dan 2
2. diskontinu tak hingga: Contoh 3
3. diskontinu lompatan : Contoh 4
Definisi: [Kekontinuan kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b). Fungsi
f disebut kontinu kanan di a, bila lim ( ) ( ). x a
f x f a
Definisi: [Kekontinuan kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a]. Fungsi
f disebut kontinu kiri di a, bila lim ( ) f x f a( ).
2 2 2 ( ) 2 1 2. 2 x x x f x x x y y = f(x) x 0 1 3 2
Contoh: Tentukan daerah kekontinuan fungsi f , jika
2
( ) 1
f x x
Teorema:
Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah
konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:
1. f + g 2. f - g 3. cf 4. fg 5. f/g, jika g(a) 0. Teorema:
Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya:
1. polinom
2. fungsi rasional
3. fungsi trigonometri
4. fungsi akar.
Teorema: [Teorema limit fungsi komposisi]
Jika f kontinu pada b dan makalim ( ) ,
xa g x b
lim ( ( )) (lim ( )) ( ).
xa f g x f xa g x f b
Teorema: [Teorema kekontinuan fungsi komposisi]
Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g(a), maka fungsi komposisi f g kontinu pada a.
2. Fungsi f kontinu pada selang [a,b], jika f kontinu di setiap titik pada selang (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.
Definisi: [Kekontinuan pada selang]
1. Fungsi f kontinu pada selang (a,b), jika f kontinu di setiap titik pada selang tersebut.
Teorema: [Teorema Nilai Antara]
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan N adalah bilangan di antara f(a) dan f(b), maka terdapat
c (a,b) sedemikian sehingga f(c) = N.
y y = f(x) x a b f(a) f(b) N c y y = f(x) x a b f(b) f(a) N c1 c2 c3 Catatan:
Salah satu kegunaan Teorema Nilai Antara adalah untuk menentukan akar suatu persamaan.
Contoh: Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x5 - 3x4 - 2x3 + x + 1
memiliki akar real pada selang [0,1].
Contoh: Tentukan daerah kekontinuan fungsi berikut:
2 2 2 2 ( ) sin( 1) ( 1 ) | 3 6 | 1 . 2. 3. ( ) 1 4. ( ) f x x f x x x x f x x x f x x
Kemiringan tali busur PQ: mPQ f x( ) f a( )
x a
Titik Q → titik P, diperoleh garis singgung
Kemiringan garis singgung: gs lim ( ) ( ) x a f x f a m x a Jika h = x - a, maka 0 ( ) ( ) lim gs h f a h f a m h
Persamaan garis singgung kurva C di titik P (a,f(a)):
( ) ( )
gs
y m x a f a
Contoh: Tentukan persamaan garis singung dari kurva
C yang ditentukan oleh persamaan y = x3 - 2x di titik
(1,-1).
7.5 GARIS SINGGUNG, KECEPATAN DAN LAJU PERUBAHAN LAINNYA
7.5.1 Garis singgung Kurva C: y = f(x)
Titik P (a,f(a)) dan Q (x,f(x)) terletak pada kurva C y = f(x) x a x f(x)-f(a) P Q y = f(x) x P Q Garis singgung Tali busur x-a y y
h → 0, diperoleh kecepatan (sesaat) Kecepatan pada saat t = a:
0 ( ) ( ) ( ) lim h f a h f a v a h
Contoh: Sebuah bola dijatuhkan dari suatu menara yang tingginya 450 meter. Jika persamaan gerak bola adalah s = 4,9 t2, tentukan:
a. kecepatan bola setelah 5 detik.
b. seberapa cepat bola tersebut bergerak ketika menyentuh tanah.
7.5.2 Kecepatan
Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus Persamaan gerak s = f(t) 0 f(a+h) - f(a) f(a) f(a) + h s
Kecepatan rata-rata pada selang waktu [a,a+h]:
Perpindahan ( ) ( ) Kecepatan rata-rata Waktu f a h f a h
Contoh: Biaya produksi (dalam rupiah) x unit komo-ditas tertentu adalah C(x) = 5.000 + 10 x + 0,005 x2.
a. Tentukan rata-rata laju perubahan dari C terhadap x ketika produksi diubah:
(i). x = 100 sampai x = 105
(ii). x = 100 sampai x = 101.
b. Tentukan kecepatan perubahan sesaat dari C terhadap x, untuk x = 100.
7.5.3 Laju perubahan lainnya
Misalkan peubah y bergantung pada peubah x: y = f(x) Perubahan x: x = x2 – x1
Perubahan y: y = y2 – y1
Rata-rata laju perubahan y terhadap x:
2 1 2 1
( )
( )
y
f x
f x
x
x
x
x2 → x1, diperoleh kecepatan perubahan (sesaat) y terhadap x
Kecepatan perubahan sesaat y terhadap x:
2 1 2 1
2 1
2 1
( ) ( ) Kecepatan perubahan sesaat lim lim
x x x x y f x f x x x x
