3 Limit dan Kekontinuan – Handout

Departemen Matematika FMIPA IPB

Topik Bahasan

1 Limit Fungsi

2 Hukum Limit

Ilustrasi:

Diketahuif(x) = x

3 ₁

x 1

Dari tabel dan gra…k:

De…nisi (Limit fungsi di suatu titik)

Misalkan fungsif terde…nisi pada interval terbukaI yang memuata, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketikax mendekatia sama denganL, ditulis

lim

x!af(x) =L

apabila nilai f(x)dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x₆=a.

Catatan:

1 Notasi lain untuk limitf(x)ketikaxmendekatiasama denganLadalah

f(x)!L, bilax!a.

2 Fungsif tidak harus terde…nisi di a.

Ketiga kasus di bawah ini memberikan limit yang sama, yaitu lim

x!af(x) =L

dari satu arah saja, kiri atau kanan Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = [[x]],x₂[ 1, 2₎

Dari gra…k:

nilaif(x)dapat dibuat sedekat mungkin ke 1, dengan cara mengambilxyang cukup dekat ke0dari arah kiri danx6=0. Notasi: lim

x!0 f(x) = 1

De…nisi (Limit kanan)

Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval[a,_b), kecuali mungkin dia. Limit kanan f(x)ketikaxmendekatia (atau Limitf(x)ketikaxmendekati a dari sisi kanan) sama denganL, ditulis

lim

x!a+f(x) =L

De…nisi (Limit kiri)

Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval(b,_a], kecuali mungkin dia. Limit kiri f(x) ketikax mendekatia (atau Limit f(x)ketika xmendekatia dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis

lim

x!a f(x) =L

Contoh

Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada jelaskan mengapa.

Limit Tak-hingga

Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = 1

x2

Dari gra…k:

nilaif(x)dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambilx yang cukup dekat ke0, tetapix6=0.

Notasi: lim

Misalkan fungsif terde…nisi pada interval terbukaI yang memuata, kecuali mungkin di a. Limit f(x)ketika xmendekati asama dengan ∞, ditulis

lim

x!af(x) =∞

apabila nilai f(x)dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai xyang cukup dekat ke a, tetapix6=a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f(x)ketikax mendekatia sama dengan ∞

adalah

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = 1

x2

Dari gra…k:

nilaif(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambilxyang cukup dekat ke0, tetapix₆=0.

Notasi: lim

Misalkan fungsif terde…nisi pada interval terbukaI yang memuata, kecuali mungkin di a. Limit f(x)ketika xmendekati asama dengan ∞, ditulis

lim

x!af(x) = ∞

apabila nilai f(x)dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai xyang cukup dekat ke a, tetapix6=a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f(x)ketikax mendekatia sama dengan ∞

adalah

Catatan:

De…nisi serupa dapat diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi:

1 lim

x!a+f(x) =∞

2 lim

x!a f(x) =∞

3 lim

x_!a+f(x) = ∞

4 lim

Teorema Limit Utama

Teorema

Misalkan ckonstanta,n bilangan bulat positif dan kedua limit

Contoh

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut:

Teorema

Pertidaksamaan Limit

Teorema

Jika f(x) g(x)pada waktux dekat a(kecuali mungkin di a) dan limitf dan gkeduanya ada untuk x mendekatia, maka

lim

Jika f(x) g(x) h(x)pada waktux dekata (kecuali mungkin di a)

1 Tentukan limit berikut.

Kekontinuan di Satu Titik

De…nisi (Kekontinuan di satu titik)

Misalkan fungsi f terde…nisi pada intervalI yang memuat a. Fungsif disebut kontinu di a, bila lim

x!af(x) =f(a).

Catatan:

1 Secara implisit de…nisi di atas mensyaratkan:

f(a)terde…nisi

lim

x!af(x)ada xlim!a+f(x) =_xlim_!a f(x) lim

x!af(x) =f(a)

Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik

Teorema

Jika fungsi f dang kontinu dix=adan cadalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:

1 f+g 2 f g 3 cf 4 fg

5 f

Teorema (Limit fungsi komposit)

Jika f kontinu padab danlim

x!ag(x) =b, maka

lim

x!af(g(x)) =f xlim!ag(x) =f(b).

Teorema (Kekontinuan fungsi komposit)

Contoh

Diketahui fungsi f dang dengan

f(x) =px dan g(x) =4 _x2.

1 Tentukan lim

x! 1(f g) (x).

De…nisi (Kontinu kiri)

Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval(b,_a]. Fungsif disebut kontinu kiri di a, bila lim

x!a f(x) =f(a).

De…nisi (Kontinu kanan)

Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval[a,b). Fungsif disebut kontinu kanan di a, bila lim

Contoh

De…nisi (Kekontinuan pada interval)

1 Fungsi f kontinu pada interval(a,b), jikaf kontinu di setiap titik

pada interval tersebut.

2 Fungsi f kontinu pada interval[a,b], jikaf kontinu pada interval

(a,b), kontinu kanan di adan kontinu kiri di b.

Contoh

Tentukan daerah kekontinuan fungsi f, jika

Teorema

Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya:

1 fungsi polinom 2 fungsi rasional 3 fungsi trigonometri 4 fungsi akar

Contoh

1 Tunjukkan bahwa fungsif denganf(x) =p5 x kontinu pada

interval [4, 5], tetapi f tidak kontinu di x=5.

2 Tentukan konstantaAdan Bsehinggaf kontinu pada R

f(x) = 8 <

:

x2 A, x 0

Ax+B, 0<_x 1 p

Contoh

Tentukan daerah kekontinuan fungsi berikut:

1 f(x) =sin(x+1) 2 f(x) = x2 3x+6

3 f(x) =p1 x2+x2

4 f(x) =

r

1 x

Teorema

Kegunaan Teorema Nilai Antara

1 Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval. 2 Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu

interval.

Contoh

1 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa fungsi

f denganf(x) =x5 3_x4 2_x3+x+1 memiliki akar real pada interval [0, 1].

2 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa jika

f(x) =x3 _x2_{+x, maka terdapat bilangan realcsehingga}

f(c) =10.

3 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa gra…k