Limit Fungsi yang tidak punya nilai dan Limit tak hingga

(1)

Limit Fungsi yang tidak punya nilai

dan Limit tak hingga

Beberapa fungsi tidak mempunyai nilai di titik tertentu, maka hasil limitnya = 

Contoh 3 hal 331 : Selidikilah limitx3 1/(x – 3) baik kiri maupun kanan !

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,1 3,01 3,00

1 3,0001

F(x) -10 -100 -1000 -10000 10 100 1000 1000

0

Beberapa fungsi pada titik yang tak terhingga , nilai limitnya akan mencapai angka tertentu

Contoh 6 hal 333 : Selidikilah nilai limit dari 2x / (x – 2) di titik tak hingga !

Jadi sebelah kiri lim_x__3- 1/(x – 3) = –  dan sedangkan sebelah kanan lim_x_₃₊ 1/(x – 3) =  Hal ini dapat

dilihat dari gambar grafk fungsi f(x) yang di titik x = 3 tidak terdefsinisikan

x 100 1000 10000 100000 10000

00 10000000

F(x) 2,04 2,004 2,0004 2,00004 2,0000

04 2,0000004

(2)

Teorema Limit

Teorema 1 : Untuk sembarang k bilangan real maka

lim

_x__a

k = k

Teorema 2 :

Lim

_x__a

x = a

Teorema 3 : Untuk sembarang k , maka

lim

_x__a

kx = k

lim

_x__a

x = ka

Teorema 4 : Untuk sembarang k , maka

lim

_x_

k/x

n

=

0

Teorema 5 :

Lim

_x__a

{ f(x) + g(x)} = lim

_x__a

f(x) +

Lim

_x__a

g(x)

Lim

_x__a

{ f(x) – g(x)} = Lim

_x__a

f(x) – Lim

_x__a

g(x)

Teorema 6 :

Limit

_x__a

( fIx)g(x) ) = Lim

_x__a

f(x) Lim

_x__a

g(x)

Teorema 7 :

Limit

_x__a

( f(x) / g(x) ) = Lim

_x__a

f(x) :

Lim

_x__a

g(x)

Teorema 8 :

Lim

_x__a

( f(x) )

n

= (lim

(3)

Menyelesaikan Limit dengan teknik Aljabar

Mencari nilai limit untuk fungsi dapat dilakukan dengan teknik Aljabar seperti penfaktoran, pembagian aljabar, rationalisasi

(perkalian dengan lawan akar), dan lainnya. Beberapa bentuk tak tentu seperti 0/0 dan 1/0 dapat diselesaikan dengan cara demikian

Contoh 9a hal 339 : Tentukan nilai dari

Contoh 10 hal 340 : Tentukan nilai dari

Dengan teknik faktorisasi didapat lim_x_₁ (x+1)/(x-2) = (1+1) /(1 – (x+1)/(x-2) = - 2

Deengan teknik rasionalisasi :

2 3

1

lim ₂

2 0

 

x x

x

 



 



) 2 )(

1 (

) 1 )(

1 (

lim ₁

x x

x

 

x x

x

4 4 2

2 lim ₀

 



 

x x x

x

4 4 2

2 lim ₀

2 2

2 2 2

4 4 2

lim 4

4 4 2

4 lim

) 4 4 ( 4

4 4 2

4

lim ₀  ₀    ₀     

 



x x

x

x x

(4)

Limit Bentuk Tak Tentu Tak Hingga

Limit bentuk tak hingga dapat diselesaikan dengan

cara membagi dengan pangkat tertinggi karena 1/ =

0

Contoh 11a & c hal 341 : Tentukan nilai dan

Pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu x2,

jadi :

Contoh 12c hal 343 : Tentukan nilai

Pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu x atau x2,

5 2 6 4 3 lim ₂ 2       x x x x x 2 3 0 0 2 0 0 3 5 2 6 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 2 2             x x x x x x x x x x x 3 1 1 4 1 1 4 1 lim 2 2 2

2  _ 

(5)

Bentuk







dan k/0



c/0

Beberapa bentuk    dapat diselesaikan dengan

rasionalisasi perkalian dengan lawan akar lalu diikuti dengan pembagian dengan pangkat tertinggi.

Untuk bentuk k/0  c/0 diselesaikan dengan penyamaan penyebut & penfaktoran.

Contoh 14b hal 345 : Tentukan nilai da

Contoh 15 hal 346 : Tentukan nilai

3 7

4 1

4

lim 2 2

     

 x x x x

x                    3 7 4 1 4 3 7 4 1 4 3 7 4 1 4 lim 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 3 7 4 1 4 4 8 lim 3 7 4 1 4 ) 3 7 4 ( 1 4 lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x                      2 2 2 8 0 0 4 0 0 4 0 8           4 6 2 1

lim ₂ ₂

     _x x x x 2 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 )( 2 ( ) 2 ( 2 lim 4 4 2 lim 4 6 4 2

lim ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 

(6)

Limit sebagai Dasar Turunan (Diferensial)

Untuk mendapatkan turunan dari fungsi, limit digunakan dengan

berdasarkan selisih nilai yang mendekati 0. Biasanya dimasukkan nilai x dan x + h dimana h mendekati 0 ke dalam rumus fungsinya.

Bentuk umum turunan fungsi f(x) dari limit fungsi :

Contoh 17 : Jika f(x) = x

3

+ 2x + 1 , tentukan turunannya !

h

x

f

h

x

f

h

)

(

)

(

lim

_ ₀



 

 _h

x x

h x h

x

h

) 1 2

( 1 ) (

2 )

( lim

3 3

0

  

 

 _h

x x

h x

h x h hx

x

h

1 2

2 3

3 lim

3 3

2 2

3

0

 

 _h

h h

x h hx

h

2 3

3 lim

3 2

2

0

2 3

3

(7)

Basic & Further Trigonometry Formula

Tan = sin  / cos 

Sec  = 1/cos 

Cosec  = 1/sin 

Cot  = 1/tan 

Sin2  + Cos2  = 1

1+ Tan 2 _ = Sec 2 _

1 + Cot 2 _ = Cosec 2 _

Sin ( - ) = Sin  Cos - Cos

Sin

Cos ( - ) = Cos Cos  + Sin  Sin

Sin (+) = Sin  Cos  + Cos

Sin

Cos (+) = Cos Cos  – Sin 

Sin

Tan (+ )= (Tan  + Tan ) / (1 - Tan  Tan  )

Tan (-)= (Tan  - Tan ) / (1 + Tan  Tan  )

 ₀o ₃₀o ₄₅o ₆₀o ₉₀o

Sin  0 ½ ½

2 ½ 3 1 Cos  1 ½

3

½

2

½ 0

Tan  0 1/3

3 1 3



90o<x<18

0o

180o_<x<2

70o

0o_<x<9

0o

270o<x<3

60o

General Trigonometry Equation : a Sin x + b Cos x = k (x - )

k = (a2 + b2) and Tan _ = a/b

Sin (+) + Sin( - ) = 2

Sin  Cos 

Sin (+) - Sin( - ) = 2

Cos  Sin 

Cos (+) + Cos( - )=

2Cos Cos 

Cos (+) + Cos( - )= -

2Sin Sin

Sin 2  = 2 Sin  Cos 

Cos 2 = = Cos2 - Sin2 = 2Cos2  - 1

= 1 – 2 Sin 2 _

Tan 2 = 2Tan /(1 – Tan2 )

Sin  + Sin  = 2 Sin ½ ( +  )

Cos ½ ( -  )

Sin  - Sin  = 2 Cos ½ ( +  )

Sin ½ ( -  )

Cos  + Cos  = 2 Cos ½ ( +  )

Cos ½ ( - )

Cos  - Cos  = -2 Sin ½ ( +  )

(8)

Limit Trigonometri

Untuk limit yang berbentuk biasa dapat dimasukkan nilainya

langsung. Tetapi untuk yang hasilnya tak tentu atau tak hingga dilakukan manipulasi aljabar pada variabel maupun ubah

fungsinya dengan identitas trigonometri. Ada limit trigonometri yang menggunakan pendekatan hitung untuk mendapatkan hasil. _x _{Sin x} _{tan x} _{x/ sin x Sin x /x x/ tan}

x Tan x / x

0,1 0,09 0,1 1.00 0,99 1,00 1,00

0,01 0.099 0,01 1.000 0,999 1,000 1,000

0,001 0.00999 0,001 1,0000 0,9999 1,0000 1,0000

Lim

_x_₀

x / Sin

x = 1

Lim

_x_₀

Sin x / x

= 1

Lim

_x_₀

x / Tan

x = 1

Lim

_x_₀

Tan x /

x = 1

Contoh : Tentukan Limit

_x_₀

sin 2x

/ 3x !

Lim

_x_₀

ax / sin bx

= a/b

Lim

_x_₀

sin ax / bx

= a/b

Lim

_x_₀

ax / tan bx

= a/b

Lim

_x_₀

tan ax /b x

= a/b

3

/

2

/

3

1

2

3

2

sin

3

2

sin

0



x

Lim

x

(9)

Limit Trigonometry antar Fungsi

Untuk limit trigonometry antar fungsi diuraikan terlebih

dahulu masing-masing limit fungsinya baru dihitung.

Lim

_x_₀

SIn ax / Sin

bx = a/b

Lim

_x_₀

Tan ax / tan

bx = a/b

Lim

_x_₀

Sin ax / Tan bx

= a/b



Lim

_x_₀

tan ax /sin bx

= a/b

Contoh : hitunglah Lim

_x_₀

sin

3x/ tan 4x !

Contoh 4b hal 355 : Tentukan nilai dari Lim_x_₀ (1 – cos 2 x) / (sin2 3x) !



3

1

3

1

3

sin

3

sin

2

0

x

Lim

_x



x

Lim

_x

3

sin

)

sin

2

1

(

1

2

0

4

3

4

3

4

tan

3

sin

lim

_ ₀



x

(10)

Kontiniutas Suatu Fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik

(x = a) bila :

1. Nilai f(x) untuk x = a ada

2. Limit

_x__a

f(x) ada

3. Nilai f(a) = Limit

_x__a

f(x)

Tentukan harga a & b agar f(x) kontinu pada semua harga x, bila f(x) =

Agar f(x) kontinu di x = 0 maka harga f(0) ada , limit f(x) ada, dan f(0) = lim f(x) , jadi :

Limit kiri : lim _x__0- a/(x – 2) = -a / 2 dan Limit kanan : = lim _x_₀₊ 2x – b = – b Agar f(x) kontinu di x = 0 maka limit kiri = limit kanan . Jadi – a/2 = – b atau a = 2b

Agar f(x) kontinu di x = 2 maka harga f(2) ada , limit f(x) ada, dan f(2) = lim f(x) , jadi

Limit kiri: lim x2- (2x – b) = 4 – b dan Limit kanan : lim x2+ 6 = 6

(11)

Untuk nilai x menuju tak hingga, harga (1 + 1/x)x dan (1 + x)1/x

adalah berikut :

Limit Tak Hingga Exponensial

x (1+ 1/x)x _{(1 +}

x)1/x

(1+ 2/x)x _{(1 + x)}2/x _(1+3/

x)x

(1+x)3/x

1000 2,71692 2,71692 5,43338 5,43338 8,15076 8,15076 1000000 2,71828 2,71828 5.43656 5.43656 8,15076 8,15076

Ternyata harga fungsinya mendekati nilai 2,71828 atau e

Untuk pengalinya jika dikali dengan n , maka hasil fungsinya mendekati en

Maka dapat disimpulkan bahwa :

Contoh 1: Tentukan nilai

Contoh 2 : Tentukan nilai

    

 



 

x

x x

5

3 2 1

lim _ _

  

 



 

3 5 3

3 2 1

lim

x

x x

3 5 3

3 3

2 1

lim

   

 



 x

x

 

3 10 3

5

2 



 e e



 



  

 

3 2 5 2 2 2 2

lim x x

x x x _ _



  



2 3 

5 2 2 3 1 2

lim x x

x x x



_ 

  

 

  

   

5 3 2 1 2

3 2

2 2 lim 1 2 3

x x x

5