Limit Fungsi yang tidak punya nilai dan Limit tak hingga

11  11 

Teks penuh

(1)

Limit Fungsi yang tidak punya nilai

dan Limit tak hingga

Beberapa fungsi tidak mempunyai nilai di titik tertentu, maka hasil limitnya = 

Contoh 3 hal 331 : Selidikilah limitx3 1/(x – 3) baik kiri maupun kanan !

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,1 3,01 3,00

1 3,0001

F(x) -10 -100 -1000 -10000 10 100 1000 1000

0

Beberapa fungsi pada titik yang tak terhingga , nilai limitnya akan mencapai angka tertentu

Contoh 6 hal 333 : Selidikilah nilai limit dari 2x / (x – 2) di titik tak hingga !

Jadi sebelah kiri limx3- 1/(x – 3) = –  dan sedangkan sebelah kanan limx3+ 1/(x – 3) =  Hal ini dapat

dilihat dari gambar grafk fungsi f(x) yang di titik x = 3 tidak terdefsinisikan

x 100 1000 10000 100000 10000

00 10000000

F(x) 2,04 2,004 2,0004 2,00004 2,0000

04 2,0000004

(2)

Teorema Limit

Teorema 1 : Untuk sembarang k bilangan real maka

lim

xa

k = k

Teorema 2 :

Lim

xa

x = a

Teorema 3 : Untuk sembarang k , maka

lim

xa

kx = k

lim

xa

x = ka

Teorema 4 : Untuk sembarang k , maka

lim

x

k/x

n

=

0

Teorema 5 :

Lim

xa

{ f(x) + g(x)} = lim

xa

f(x) +

Lim

xa

g(x)

Lim

xa

{ f(x) – g(x)} = Lim

xa

f(x) – Lim

xa

g(x)

Teorema 6 :

Limit

xa

( fIx)g(x) ) = Lim

xa

f(x) Lim

xa

g(x)

Teorema 7 :

Limit

xa

( f(x) / g(x) ) = Lim

xa

f(x) :

Lim

xa

g(x)

Teorema 8 :

Lim

xa

( f(x) )

n

= (lim

(3)

Menyelesaikan Limit dengan teknik Aljabar

Mencari nilai limit untuk fungsi dapat dilakukan dengan teknik Aljabar seperti penfaktoran, pembagian aljabar, rationalisasi

(perkalian dengan lawan akar), dan lainnya. Beberapa bentuk tak tentu seperti 0/0 dan 1/0 dapat diselesaikan dengan cara demikian

Contoh 9a hal 339 : Tentukan nilai dari

Contoh 10 hal 340 : Tentukan nilai dari

Dengan teknik faktorisasi didapat limx 1 (x+1)/(x-2) = (1+1) /(1 – (x+1)/(x-2) = - 2

Deengan teknik rasionalisasi :

(4)

Limit Bentuk Tak Tentu Tak Hingga

Limit bentuk tak hingga dapat diselesaikan dengan

cara membagi dengan pangkat tertinggi karena 1/ =

0

Contoh 11a & c hal 341 : Tentukan nilai dan

Pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu x2,

jadi :

Contoh 12c hal 343 : Tentukan nilai

(5)

Bentuk

dan k/0

c/0

Beberapa bentuk    dapat diselesaikan dengan

rasionalisasi perkalian dengan lawan akar lalu diikuti dengan pembagian dengan pangkat tertinggi.

Untuk bentuk k/0 c/0 diselesaikan dengan penyamaan penyebut & penfaktoran.

(6)

Limit sebagai Dasar Turunan (Diferensial)

Untuk mendapatkan turunan dari fungsi, limit digunakan dengan

berdasarkan selisih nilai yang mendekati 0. Biasanya dimasukkan nilai x dan x + h dimana h mendekati 0 ke dalam rumus fungsinya.

Bentuk umum turunan fungsi f(x) dari limit fungsi :

(7)

Basic & Further Trigonometry Formula

Tan = sin / cos

Sec = 1/cos

Cosec = 1/sin

Cot = 1/tan

Sin2 + Cos2 = 1

1+ Tan 2 = Sec 2

1 + Cot 2 = Cosec 2

Sin ( - ) = Sin Cos - Cos

Sin

Cos ( - ) = Cos Cos  + Sin Sin

Sin (+) = Sin Cos + Cos

Sin

Cos (+) = Cos Cos  – Sin

Sin

Tan (+ )= (Tan + Tan ) / (1 - Tan Tan )

Tan (-)= (Tan - Tan ) / (1 + Tan Tan )

0o 30o 45o 60o 90o

Sin  0 ½ ½

2 ½ 3 1 Cos  1 ½

3

½

2

½ 0

Tan  0 1/3

3 1 3

90o<x<18

0o

180o<x<2

70o

0o<x<9

0o

270o<x<3

60o

General Trigonometry Equation : a Sin x + b Cos x = k (x - )

k = (a2 + b2) and Tan = a/b

Sin (+) + Sin( - ) = 2

Sin Cos

Sin (+) - Sin( - ) = 2

Cos Sin

Cos (+) + Cos( - )=

2Cos Cos

Cos (+) + Cos( - )= -

2Sin Sin

Sin 2 = 2 Sin Cos

Cos 2 = = Cos2 - Sin2 = 2Cos2 - 1

= 1 – 2 Sin 2

Tan 2 = 2Tan /(1 – Tan2)

Sin + Sin = 2 Sin ½ ( + )

Cos ½ ( - )

Sin - Sin = 2 Cos ½ ( + )

Sin ½ ( - )

Cos + Cos = 2 Cos ½ ( + )

Cos ½ ( - )

Cos - Cos = -2 Sin ½ ( + )

(8)

Limit Trigonometri

Untuk limit yang berbentuk biasa dapat dimasukkan nilainya

langsung. Tetapi untuk yang hasilnya tak tentu atau tak hingga dilakukan manipulasi aljabar pada variabel maupun ubah

fungsinya dengan identitas trigonometri. Ada limit trigonometri yang menggunakan pendekatan hitung untuk mendapatkan hasil. x Sin x tan x x/ sin x Sin x /x x/ tan

x Tan x / x

0,1 0,09 0,1 1.00 0,99 1,00 1,00

0,01 0.099 0,01 1.000 0,999 1,000 1,000

0,001 0.00999 0,001 1,0000 0,9999 1,0000 1,0000

Lim

x 0

x / Sin

x = 1

Lim

x 0

Sin x / x

= 1

Lim

x 0

x / Tan

x = 1

Lim

x 0

Tan x /

x = 1

Contoh : Tentukan Limit

x 0

sin 2x

/ 3x !

Lim

x 0

ax / sin bx

= a/b

Lim

x 0

sin ax / bx

= a/b

Lim

x 0

ax / tan bx

= a/b

Lim

x 0

tan ax /b x

= a/b

3

/

2

2

/

3

1

2

3

2

2

sin

3

2

sin

0

0

x

x

Lim

x

x

(9)

Limit Trigonometry antar Fungsi

Untuk limit trigonometry antar fungsi diuraikan terlebih

dahulu masing-masing limit fungsinya baru dihitung.

Lim

x 0

SIn ax / Sin

bx = a/b

Lim

x 0

Tan ax / tan

bx = a/b

Lim

x 0

Sin ax / Tan bx

= a/b

Lim

x 0

tan ax /sin bx

= a/b

Contoh : hitunglah Lim

x 0

sin

3x/ tan 4x !

Contoh 4b hal 355 : Tentukan nilai dari Limx 0 (1 – cos 2 x) / (sin2 3x) !

3

1

3

1

3

3

3

sin

3

sin

sin

sin

2

0

x

x

x

x

x

x

x

x

Lim

x

x

x

Lim

x

3

sin

)

sin

2

1

(

1

2

2

0

4

3

4

3

3

4

4

tan

3

sin

lim

0

x

x

x

x

x

(10)

Kontiniutas Suatu Fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik

(x = a) bila :

1. Nilai f(x) untuk x = a ada

2. Limit

xa

f(x) ada

3. Nilai f(a) = Limit

xa

f(x)

Tentukan harga a & b agar f(x) kontinu pada semua harga x, bila f(x) =

Agar f(x) kontinu di x = 0 maka harga f(0) ada , limit f(x) ada, dan f(0) = lim f(x) , jadi :

Limit kiri : lim x0- a/(x – 2) = -a / 2 dan Limit kanan : = lim x0+ 2x – b = – b Agar f(x) kontinu di x = 0 maka limit kiri = limit kanan . Jadi – a/2 = – b atau a = 2b

Agar f(x) kontinu di x = 2 maka harga f(2) ada , limit f(x) ada, dan f(2) = lim f(x) , jadi

Limit kiri: lim x2- (2x – b) = 4 – b dan Limit kanan : lim x2+ 6 = 6

(11)

Untuk nilai x menuju tak hingga, harga (1 + 1/x)x dan (1 + x)1/x

adalah berikut :

Limit Tak Hingga Exponensial

x (1+ 1/x)x (1 +

x)1/x

(1+ 2/x)x (1 + x)2/x (1+3/

x)x

(1+x)3/x

1000 2,71692 2,71692 5,43338 5,43338 8,15076 8,15076 1000000 2,71828 2,71828 5.43656 5.43656 8,15076 8,15076

Ternyata harga fungsinya mendekati nilai 2,71828 atau e

Untuk pengalinya jika dikali dengan n , maka hasil fungsinya mendekati en

Maka dapat disimpulkan bahwa :

Contoh 1: Tentukan nilai

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...