Sebelum membahas limit fungsi vektor, kita perlu mengingat kembali konsep limit fungsi real sebagai dasar atau analogi untuk mendefinisikan limit fungsi vektor. Denifisi formal limit fungsi real adalah :
Dipunyai fungsi
terdefinisi pada selang
yang memuat
kecuali mungkin di
sendiri. Limit fungsi
(
) bernilai
untuk
mendekati
ditulislim
→
=
Pada grafik di atas terlihat bahwa nilai
(
) dapat dibuat sebarang dekat ke
dengan cara mengambil nilai
yang cukup dekat dengan
. Dengan kata lain, jarak cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka
(
) ke L dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke
diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.
1. Limit Fungsi Vektor
Konsep limit fungsi vektor di
ℝ
dirancang serupa dengan limit fungsi real. Namun sebelumnya, perlu diterjemahkan simbol fungsi vektor yang berbeda dengan simbol fungsi real.Rumus fungsi vektor di masing-masing ruang dituliskan :
2:
(
) =
+
(
)
3:
=
+
+
(
)
4:
=
1
1+
2
2 +
3
3 +
4(
)
4
:
=
1
1 +
2
2 +⋯
+
(
)
=
=1
Dimana disepakati bahwa
(
) : Komponen fungsi vektor.
(
)
: Fungsi vektor pada satu arah dengan
melambangkan fungsi,
sebagai variabel (pengganti
pada menyatakan arah vektor (vektor fungsi real) dan
satuan).
Namun demikian dalam makalah ini simbol
1,
2,…
,
digantikan
1,
2,…
,
. Sehingga
=
1
1 +
2
2 +⋯
+
(
)
. Disini kita menggunakan ukuran jarak dua vektor diℝ
sebagai berikut:Untuk
= (
1,
2,…
,
) dan
= (
1,
2,…
,
)Maka jarak
ke
ditulis −
didefinisikan sebagai: −
=
(
1−
1)2 + (
2−
2)2 +⋯
+ (
−
)2Agar limit fungsi vektor
(
) untuk
mendekati
dapat dibahas, di sekitar
harus terdapat tak berhingga banyaknya titik dari domain
. Untuk ini kita mengambil domain
selang terbuka
yang memuat
kecuali mungkin di
sendiri.Situasi yang terjadi adalah jarak
(
) ke suatu vektor tetap
= (
1,
2,…
,
) dapat dibuat sembarang dekat dengan cara membuat jarak
ke
cukup dekat. Dengan demikian diperoleh konsep limit fungsi vektor sebagai berikut:
Definisi 1.2.1
Misalkan fungsi vektor
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
terdefinisi pada selang terbuka di D yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri dan
= (
1,
2,…
,
) vektor diℝ
. Limit fungsi
jika t mendekati a sama dengan L, ditulis
→
(
) =
, jika∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
.Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut: lim
→
+
(
) =⟺∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
lim
→−
(
) =⟺∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
Teorema 1.2.1
Misalkan fungsi vektor
=
(
) terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri. Maka
→
(
) =⟺
−
(
)−
= 0 Bukti: Dipunyai
→
(
) =
Bukti ke kanan :⟹∀⟹−
> 0∃
> 0∋
<0 < −
<
⟹−−
0
<
⟹
lim→
−
= 0 Bukti ke kiri :⟹∀⟹
ε > 0F∃
t−
> 0L−∋
00 <
<
t−
a
<
⟹
F
t−
L
<
Jadilimt→
aF(t) = LTeorema 1.2.2
Misalkan fungsi vektor
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
terdefinisi pada selang terbuka di
yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri dan
= (
1,
2,…
,
) suatu vektor diℝ
. Maka lim→
=⟺
lim⟶
=
,
= 1,2,3,…
,
Bukti :
⇒
diketahui lim→
=
ini berarti bahwa∀
> 0∃
> 0∋
0 <−
<⇒−
<
Karena
−
= [
−
2]1/2≤
[
−
]2
=1
1/2=
−
Untuk
> 0 di atas berlaku0 <
−
<⟺
−
≤−
<
Sehingga terbuktilah lim
→
=
,
= 1,2,3,…
,
⇒
diketahui lim→
=
,
= 1,2,3,…
,
dari sini diperoleh lim→
[
−
] = 0 ,
= 1,2,3,…
,
Sehingga lim→
[
−
]2 = 0 Akibatnya lim→
−
= lim→
[
−
]2
=1
1/2 = 0 Menurut Teorema 1.2.1 terbuktilim→
=
.Teorema 1.2.3
Misalkan fungsi vektor
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
dan
(
) =
1(
)
1 +
2(
)
2 +…
+
(
)
, dan fungsi real
=
(
) semua terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
, kecuali mungkin di
sendiri. Jika
→
(
),
→
(
) ,
→
(
) ada dan berhingga, maka1.
→
(
) tunggal, yaitu jika lim→
(
) =
dan lim→
(
) =
maka
=
. Bukti :Dipunyailim
→
(
) =
dan lim→
(
) =
maka
=
. Ambil sembarang
> 0.Pilihδ1 > 0 danδ2 > 0 sehingga
(
)−
<
/3 apabila 0 <−
<
1 dan
(
)−
<
/3 apabila 0 <−
<
2. Pilih
= min(
1,
2).Jelas
−
=−
(
) +
(
)−≤−
+−
<
/3 +
/3 <
.Dengan kata lain terbukti bahwa
=
. 2. limt→
a
F
t
+ G
t
= limt→
aF
t
+ limt
→
aG
t
Bukti :
Ambil sembarang bilangan
> 0. Menurut yang diketahui, ada bilangan
1 > 0 dan
2 > 0 sehingga
(
)−
(
′ ,
′ )
=
(
1(
),
(
))−
(
′ ,
′ )
<
/3Untuk setiap
∈
=
, ≠
0 dan−
0
<
0. Dengan mengambil
= min
1,
2
diperoleh :
(
) +
(
)−
(
′ +
",
′ +
")
=
1(
),
1(
))−
(
′ ,
′ ) + (
2(
),
2(
))−
(
",
")≤
(
1(
),
1(
))−
(
′ ,
′ )
+
(
2(
),
2(
))−
(
",
")
<
3+
3 <
. Untuk setiap∈
+
=
∩
,≠
0, dan−
0
<
3. limt
→
a
F
t−
G
t
= limt→
aF
t−
limt
→
a G
t
4. limt
→
acF(t) = limt→
a F(t), c konstanta real5.
→
.
=
→
.
→
6. limt
→
a
gF(t)
=
limt→
ag(t)
.
limt→
aF(t)
Contoh :
Hitunglah setiap limit fungsi vektor berikut. a)
→
0
−
1
+
1+
+
1+
2
b)
→
0
+
Jawab :
a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vek tornya.
→
0
−
1
+
1 +
+
1 +
2
−
1
→
0
1 +
=
→
0 1 1 +1
= 1
→
0
1 +
2
=
→
02
= 0 jadi,
→
−
1
+
1+
+
1+
2
=
+
. b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.
→
0
+
→
0
= 1
→
0
= 0Jadi,
→
0
+
= 1.2. Kekontinuan Fungsi Vektor
Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai fungsinya. Berikut adalah definisi formalnya.
Definisi 1.2.2
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
terdefinisi pada selang terbuka
yang memuat
,
dikatakan kintinu di ∈
jika
→
=
.Definisi 1.2.3
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
terdefinisi pada himpunan
yang memuat
, fungsi
dikatakan kontinu di ∈
jika∀
> 0∃
> 0∋−
<⟹−
(
)
<
.Definisi 1.2.4
Fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
yang terdefiinisi pada himpunan⊆
dikatakan kontinu pada
jika fungsi
kontinu di setiap titik pada
.Teorema 1.2.4
Fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
kontinu pada
⇔
fungsiBukti :
Bukti ke kanan :
⟹
=
1
1 +⋯
+
kontinu pada
⇒
kontinu pada setiap titik di
⇒
kontinu pada
1…
,
= 1, 2 ,…
,
.⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada
=
1∩…∩
. Bukti ke kiri⟸
(
) kontinu pada
=
1∩…∩
. ⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada
⇒
(
) kontinu pada setiap titik di
Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.
Teorema 1.2.5
Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
dan
=
1
1 +⋯
+
(
)
dan fungsi real
=
(
) semuanya terdefinisi pada selang terbuka
=
∩
∩
, maka fungsi
+
,−
,
konstanta real,
.
dan
semuanya kontinu pada
. Bukti:Misalkan fungsi vektor
=
1
1 +⋯
+
dan
=
1
1 +⋯
+
(
)
dan fungsi real
=
(
) semuanya kontinu pada himpunan
=
∩
∩
, terdefinisi
→
=
(
)
→
=
→
=
Maka
→
= +
=
→
+
→
+
→
=
+
=
+
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
+
kontinu pada
.=
→
−
→
(
) =−
=
−
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
–
kontinu pada
.
→
=
→
=
Ini menunjukan bahwa fungsi
kontinu pada
.
→
.
=
→
.
(
)
=
→
(
) .
→
=
.
(
) =
.
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
.
kontinu di
→
(
) =
→
(
0.
(
)
=
→
.
→
=
.
(
) =
(
)Ini menunjukan bahwa fungsi
kontinu pada
Teorema 1.2.6
1. Jika fungsi realyang memuat
dengan=
(
) semuanya terdefinisi pada selang terbuka
→
(
) =
dan fungsi vektor
,
=
1
1 +⋯
+
kontinu di
, maka
→
(
) =
→
(
)
=
(
)2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan
=g(D)⊆E ⊆ R dan fungsi vektor
=
1
1+⋯
+
kontinu pada
, maka fungsi vektor (∘
) kontinu pada
.Bukti :
1. Diberikan
> 0, akan ditunjukan terdapat suatu
> 0 sehingga 0 <−
<⇒−
(
)
<
. diketahui
kontinu di
, maka∃
1 > 0∋
0 <−
<
1⟹−
(
)
<
. Dari
−
(
) =
diperoleh bahwa untuk
1 > 0 terdapat
> 0 sehingga
=⇒−
<
1⇒−
<
1⇒−
(
)
<⇒
−
(
)
<
.Jadi terbuktilah yang diinginkan
2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.
Contoh :
Diketahui fungsi vektor
adalah
=
ln(1 +
2)
+
2−
1 −
sinh
,≠
0 2−
,
= 0Tentukan semua nilai
sehingga fungsi
kontinu. Penyelesaian :Komponen fungsi vektor
adalah
=
ln(1 +
2)
,≠
0 0,
= 0 ;
=
2−
1
,≠
0 2,
= 0 ,
=−
sinh
,≠
0−
1,
= 0 Karena setiap komponen fungsi
terdefinisi padaℝ
, maka
terdefinisi padaℝ
.Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi
padaℝ
. Fungsi
=
(
);Untuk
≠
0,
=
(
) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu. Untuk
= 0, karena
→
(
) =
→
(1 +
2)
=
→
0 2
1 +
2 1 = 0 =
(0)Maka fungsi
=
(
) juga kontinu di
= 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa
=
(
) kontinu padaℝ
.Fungsi
=
(
)Untuk
≠
0,
=
(
) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu. Untuk
= 0, karena
→
(
) =
→
0
2−
1
=
→
0 2
1 = 2 =
(0)Maka fungsi
=
(
) juga kontinu di
= 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa
=
(
) kontinu padaℝ
.Fungsi
=
(
)Untuk
≠
0,
=
(
) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu.Untuk
= 0, karena
→
(
) =
→
0−
=
→
0−
1 =−
1 =
(0)Maka fungsi
=
(
) juga kontinu di
= 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwaKarena
==
(
() kontinu pada
),
=
(
), ℝ
=
(
) semuanya kontinu padaℝ
, maka fungsiBAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Konsep fungsi vektor dan operasinya ternyata serupa dengan fungsi real dalam kalkulus dan secara umum fungsi vektor dikenal dengan fungsi parameter yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah real. Operasi yang dapat dilakukan pada fungsi vektor adalah fungsi aljabar, dan operasi perkalian antara fungsi real dengan fungsi vektor. Demikian juga konsep limit dan kekontinuan fungsi vektor yang didefinisikan dengan memanfaatkan konsep limit dan kekontinuan fungsi real.
B. SARAN
Konsep fungsi vektor, operasi vektor, limit dan kekontinuan harus benar-benar dipahami karena mendasari pemahaman pembelajaran materi selanjutnya. Agar lebih mudah dalam memahami konsep-konsep tersebut, disarankan untuk terlebih dahulu memahami konsep fungsi, limit dan kekontinuan fungsi real serta materi pendukung lainnya dalam mata kuliah kalkulus 1 dan 2.