LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

Sebelum memasuki materi, perhatikan himpunan-himpunan berikut:

a) Himpunan bilangan asli:





1, 2,3, 4,5,...



. b) Himpunan bilangan bulat:





..., 2, 1, 0,1, 2,...

 



. c) Himpunan bilangan rasional:

p

| ,

p q

,

q

0

q







_





_





.

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real, dinotasikan . Dari sini akan kita peroleh bahwa:

  

.

Dalam bab ini semua elemen yang kita bicarakan adalah elemen himpunan semua bilangan real.

A. Notasi interval:

Misalkan diberikan

a b

,



, maka:

  



1.

a b

,

 

x

|

a

 

x

b

 





2.

a b

,

 

x

|

a

 

x

b





3. [ , )

a b



x



|

a

 

x

b





4. ( , ]

a b



x



|

a

 

x

b





5. ( , )

a

  

x

|

a



x





6. [ , )

a

  

x

|

a



x



 



7.



,

b

 

x

|

x



b





8. ( , ]



b

 

x

|

x



b

RANGKUMAN MATERI

B. Persekitaran dan titik limit

Definisi:

Jika

p



(himpunan semua bilangan real) dan bilangan





0

, himpunan

















( )

,

N

p

p

p

x

p

x

p

x

x

p

x

x

p



























   





   





 

Disebut persekitaran (neighborhood) titik p. Dalam hal ini



disebut jari-jari (radius) persekitaran tersebut.

Contoh:

1.

1,

2

5

p







. Persekitaran 1 dengan radius

2

5

adalah 2 5

2

2

5

2 5

2

(1)

1

, 1

,

5

5

5

5 5

5

3 7

3

7

,

5 5

5

5

N

x

x



 



 

_



_{ }







_



 





 





_

_



_



 

_



 



. 2.

2,

1

2

p







. Persekitaran 2 dengan radius

1

2

adalah 1 2

1

1

2

1 2

1

(2)

2

, 2

,

2

2

2

2 2

2

1 3

1

3

,

2 2

2

2

N

x

x



 





_





_{ }







_



 





 





_

_



_



 

_



 



.

3.

p



3,





1

. Persekitaran 3 dengan radius 1 adalah



 







1

(3)

3 1, 3 1

2, 4

2

4

N

 

 



x



 

x

4.

p



5,





4

. Persekitaran 5 dengan radius 4 adalah



  





4

(5)

5 4, 5 4

1, 9

1

9

N

 







x



 

x

5.

,

2

2

a b

b a

p











. Persekitaran

2

a b



dengan radius

2

b a



adalah









2

( )

2

,

2

2

2

2

,

b a

a b

N

p

N

a b

b a a b

b a

a b

x

a

x b

 









_

_



















_





_











 

Definisi:

Diketahui

A

 

,

p



. Titik

p

disebut titik limit A, jika

 



0

berlaku

 

( )

N

_

p

 

A

p





atau



N

_

( )

p



 

p



 

A



. Dengan kata lain:

Titik

p

disebut titik limit A, jika setiap persekitaran titik

p

memuat

x



A

dengan

x



p

.

Catatan: Titik limit suatu himpunan belum tentu anggota himpunan tersebut. Contoh :

1. Diberikan

A

 



2, 3





 

7,8

. Perhatikan bahwa:

a) Setiap titik

p

 



2, 3







x



| 2

  

x

3

 



..., 1,..., 0,...,1,..., 2,...,3





merupakan titik limit himpunan A, sebab untuk setiap





0

berlaku

N

_

( )

p

 

A

 

p





.

b) Terlihat bahwa -2 titik limit himpunan A meskipun

 

2

A

.

Dari a) dan b) dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval tertutup [-2,3] adalah titik limit himpunan A.

c) Titik 7 dan 8 masing-masing bukan titik limit himpunan A meskipun

7, 8



A

karena ada

0





, misal

1

5

 

sehingga

 

 

 

 

   

1 5

1

1

(7)

7

7

, 7

7

5

5

4

1

6 , 7

7

5

5

1

1

..., 7, 7 , 7 ,...

7

7

6

7

7

N

A

A

A

A





_



_

_





_

_



_



_









_



_





















_

_

_



_





















_

_

_



_

















dan

 

 

 

 

   

1 5

1

1

(8)

8

8

,8

8

5

5

4

1

7 ,8

8

5

5

1

1

...,8,8 ,8 ,...

8

7

6

8

8

N

A

A

A

A





_



_

_





_

_



_



_









_



_





















_

_

_



_





















_

_

_



_

















. 2. Diberikan

1

|

1 1 1 1

, , , ,....

1, , , ,....

1 1 1

1 2 3 4

2 3 4

B

n

n



 

 





_



_{ }



_{ }



_



 

 



. Perhatikan bahwa:

a) Setiap

x



B

bukan merupakan titik limit himpunan B karena jika diambil suatu persekitaran

1

1

1

1

2

2

4





 

dari titik

p



1

maka

 

 

 

 

 









 

   

1 4

1

1

1

1

1

,1

1

4

4

3 5

,

1

4 4

4

..., ,...

1

4

...,1,...

1

1

1

N

B

B

B

B

B





_



_

_





_

_



_



_









_



_





















_

_

_



_





















_

_

_



_























.

b) Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun

0



B

. Jelas bahwa

1

inf

n

N

0

n

















dan untuk setiap bilangan





0

berlaku

N



(0)

 

B

 

0





.

Latihan: Semesta pembicaraan untuk soal-soal berikut adalah himpunan semua bilangan real . 1. Tentukan persekitaran dari titik 9 dengan

a) Jari-jari 1 b) Jari-jari 3 c) Jari-jari 5 d) Jari-jari 7 e) Jari-jari 9

2. Tentukan persekitaran dari titik -3 dengan a) Jari-jari 2

b) Jari-jari 4 c) Jari-jari 6 d) Jari-jari 8 e) Jari-jari 10

3. Tentukan titik limit dari himpunan: a) A = (1,7]

b) B = (2,5) c) C = [0,1) d) D = [0,1)



{2}

e) Himpunan semua bilangan rasional

p

| ,

p q

,

q

0

q







_





_





C. Limit Fungsi

Definisi

Diketahui





dan dua fungsi

f D

:

_f

   

dan

g D

:

_g

   

dengan

D

_f



D

_g





. Fungsi



f

,

f



g

,

fg

,

dan

f

g

berturut-turut didefinisikan sebagai berikut : (i).

  



f

x





.

f x

 

untuk setiap

x



D

_f.

(ii).



f



g

 

x



f x

   



g x

untuk setiap

x



D

_f



D

_g. (iii).

  

fg

x



f x g x

   

.

untuk setiap

x



D

_f



D

_g. (iv).

 

 

 

f x

f

x

g



g x

untuk setiap

x



D

f



D

g

 



x

D

g

:

g x

 



0



. Definisi

Diketahui fungsi

f D

:

_f

   

dan

c

titik limit

D

_f. Bilangan

L



disebut limit fungsi

f

di

c

ditulis

lim ( )

xc

f x



L

, jika untuk setiap





0

terdapat





0

sedemikian sehingga jika

x



D

_f

dan

0

  

x c



maka

f x

 

 

L



. Dengan kata lain :

Jika

x



D

_f



N

_

 

c

dan

x



c

berakibat

f x

 



N

_

 

L

dikatakan

f x

 

berlimit L untuk

x



c

dan ditulis

lim ( )

xc

f x



L

.

Ilustrasi:

Sumber gambar: wikipedia

Limit fungsi

f

di

c

dapat didefinisikan hanya untuk

c

yang merupakan titik limit

D

_f. Perhatikan :

(i).

x



D

_f



N

_

 

c

dan

x



c

 

x

D

f

,

c

   



x

c



,

x



c

. (ii).

f x

 



N L



( )



f x

 

 

L



.

Sehingga diperoleh Teorema berikut

Teorema

Diberikan fungsi

f A

:



D

_f

   

dengan

c

titik limit

D

_f.

lim ( )

xc

f x



L

  



0,

    



0

x

D

f

dan

0

  

x c



berakibat

f x

 

 

L



.

Definisi

Diketahui fungsi

f D

:

_f

   

dan

a

titik limit

D

_f.

(i) Jika ada bilangan real

k

sehingga untuk setiap bilangan





0

terdapat bilangan





0

sehingga berlaku

f x

 

 

k



untuk setiap

x





a a

,









D

_f maka dikatakan

f x

 

mempunyai limit kanan

k

untuk

x



a

dan dituliskan dengan

lim

( )

xa

f x



k

.

(ii) Jika ada bilangan real

l

sehingga untuk setiap bilangan





0

terdapat bilangan





0

sehingga berlaku

f x

 

 

l



untuk setiap

x

 



a



,

a





D

f maka dikatakan

f x

 

mempunyai limit kiri

k

untuk

x



a

dan dituliskan dengan

lim

( )

x a

f x

l







.

Teorema

Diberikan fungsi

f D

:

_f

   

dengan

a

titik limit

D

_f.

lim ( )

xa

f x



l

(ada)

lim

( )

lim

( )

x a x a

f x

f x

l

   







. Contoh: 1. Tunjukkan bahwa





2

lim 3

4

10

x

x





! Penyelesaian:

Misalkan diberikan sebarang





0

. Kita akan menentukan





0

sedemikian sehingga jika

0

  

x

2



maka berlaku



3

x

 

4



10





.

Perhatikan bahwa:



3

x

 

4



10



3

x

 

6

3



x



2





3



x



2







akan berlaku jika



2



3

x







, sehingga kita pilih

0

3





 

.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap





0

terdapat

0

3





 

sedemikian hingga jika

0

  

x

2



maka berlaku



3

x

 

4



10





, atau terbukti bahwa





2

lim 3

4

10

x

x





. 2. Tunjukkan bahwa 1

1

lim

1

x

_x



! Penyelesaian:

Misalkan diberikan sebarang





0

. Kita akan menentukan





0

sedemikian sehingga jika

0

  

x

1



maka berlaku

1

1

x

 



. Perhatikan bahwa:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x





   







Apa yang akan kita lakukan pada x? Jika kita putuskan

1

1

2

x

 

maka berlaku

1

3

2

 

x

2

sehingga

1

2

x



. Oleh karena itu

1

1

1

x

1

2

x

1

x

 

x

 



sehingga kita pilih

min

,

1

0

3 2









_



_







.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap





0

terdapat





0

sedemikian hingga jika

0

  

x

1



maka berlaku

1

1

x

 



, atau terbukti bahwa 1

1

lim

1

x

_x



. Latihan: 1. Buktikan bahwa 1

lim

1

x

x



! 2. Buktikan bahwa 1

lim 2

2

x

x



! 3. Buktikan bahwa





2

lim

1

3

x

x

 

! 4. Buktikan bahwa





3

lim

1

2

x

x

 

! 5. Buktikan bahwa





1

lim 3

4

1

x

x





! 6. Buktikan bahwa 2

2

lim

1

x

_x



! 7. Buktikan bahwa 3

6

lim

2

x

_x



! 8. Buktikan bahwa 2

1

1

lim

2

4

x

_x



! 9. Buktikan bahwa 2

2

1

lim

3

3

x

_x



! 10. Buktikan bahwa 2 1

lim

1

x

x



!

Contoh:

D. Teorema Yang Ada Pada Limit

Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada limit suatu fungsi:

 Jika f(x) = k, maka

x a

lim

 f(x) = k,

dengan k konstanta, k dan a



real  Jika f(x) = x, maka x a

lim

 f(x) =a  x a

lim

 {f(x)



g(x)} = x

lim

a f(x)



x

lim

a g(x)  x a

lim

 k.f(x) = k.

lim

xa f(x), k konstanta  x a

lim

 {f(x).g(x)} =

lim

xa f(x) .

lim

xa g(x)  x a

lim

 x a x a

lim f(x)

f(x)

, lim g(x)

0

g(x)

lim g(x)

 





 x a

lim

 {f(x)} n ₌





n x a

lim f(x)

 E. Limit Aljabar

Di sini kita akan membahas bentuk-bentuk tak tentu _    _ 

 

0 , ,

0 dari nilai suatu limit, yang

nantinya akan diubah fungsinya atau menggunakan bantuan L’Hospital sedemikian rupa sehingga memiliki nilai dan limit fungsinya ada.

1. Bentuk 0 0

Dengan aturan L’Hospital diperoleh:

x a x a F(x) F '(x) F '(a) lim lim G(x) G'(x) G'(a)     1. 2 x 1 x 1 lim ... x 1     Jawab:

Karena jika disubstitusi menghasilkan bentuk 0

0 maka digunakan aturan L’Hospital sehingga

         _{  }  2 2 x 1 x 1 x 1 1 x 1 turunannya 2x; x 1 turunannya 2 x Selanjutnya diperoleh: x 1 2x

lim lim lim4x x 4

1 x 1 2 x Cara lain:

















_

_

_

          _  _{     }     2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

lim lim lim lim 1 1 1 1 4

x 1 x 1 x 1 x 1 2.     _  x 3 x 4 2x 1 lim ... x 3 Jawab: Karena x 3 x 4 2x 1 0 lim x 3 0     _

 , maka digunakan dalil L’Hospital, sehingga didapat:

        1 2 2 x 4 2 2x 1 x 3 1 2 1 lim 7 1 2 7 2 7 14 3. 2 2 x 4 48 3x lim 5 x 9      ... Jawab:





































            _{  }        _{   }  _{ }                _     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4 x 4 _{2 2} x 4 2 2 2 2 x 4 x 4 2 48 3x 5 x 9 48 3x 5 x 9 48 3x 5 x 9

lim lim lim

25 x 9 5 x 9 5 x 9 _{5 x 9} 48 3x 5 x 9 3 5 x 9 lim lim 16 x 1 3 5 4 9 3 5 25 _{3 5 5} 30 1 1 1 4. x 3 2x 2 2 lim 3x 3      ... Jawab: Karena x 3 2x 2 2 0 lim 0 3x 3    

 , maka digunakan dalil L’Hospital: x 3

2 1 2 2x 2 2 lim _{3 3} 1 6 2 3x   _{ } 5. Nilai ₂3 x 2 x 8 lim x 2x    adalah ... Jawab:

Karena ₂3 x 2 x 8 0 lim x 2x 0   _

 , maka digunakan dalil L’Hospital: 

     2 x 2 3x 3 4 lim 6 2x 2 4 2 6. x 4 t 2 lim t 4   _  ... Jawab:     _  _{ }     x 4 x 4 x 4 t 2 t 2 1 1

lim lim lim

t 4 ( t 2)( t 2) ( t 2) 4 7. a b a a b b lim a b     ... Jawab:     _     _{      }   2 a b a b a b a a b b ( a b)(a a b b)

lim lim lim(a a b b) 2b b 3b

a b ( a b) 8. 2 ₂ x 1 x 3 x 1 lim 1 x     _  ... Jawab: Karena 2 2 x 1 x 3 x 1 0 lim 1 x 0     

 , maka digunakan dalil L’Hospital:

2 x 1 2x _{1 1} 1 ₁ 2 x 3 2 lim 2x 2 4   _  _{ }   9. x 0 f(a x) f(a) lim x     ... Jawab: Karena x 0 x 0

f(a x) f(a) f(a 0) f(a) 0

lim lim

x 0 0

 

  _   _

, maka digunakan dalil L’Hospital



  

    

x 0

f '(a x) ( 1)

lim f '(a 0)( 1) f '(a) 1 10. 2n x 1 x x lim 1 x   _  ... Jawab: Karena 2n x 1 x x 0 lim 1 x 0   _

 , maka digunakan dalil L’Hospital:

         2n 1 x 1 2nx 1 2n 1 lim 1 2n 1 1

2. Bentuk tak tentu 

 n n 1 m m 1 x ax bx ... c lim L px qx ... r           Maka:  Untuk n = m L a p  

Contoh: Contoh:  Untuk n > m   L  Untuk n < m  L 0 1. ₃3 2 x 2x x 5 lim ... x 5x 6       Jawab:        3 2 3 x 2x x 5 2 lim 2 x 5x 6 1 2 x x lim 1 x 1 x  _{  }  ... Jawab:        x x lim

1 x 1 x digunakan dalil L’Hospital, sehingga:

             x x 1 1 lim lim 1 1 1 1 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 1 1 2 2 1

3. Bentuk tak tentu   

Rumus cepat:



2 2



x b p lim ax bx c ax px q 2 a         1. 2 2 x lim 4x 3x 2 4x 2x 4 ...        Jawab: Cara Cepat:          2 2 x lim 4x 3x 2 4x 2x 4 3 2 2 4 5 4 Cara Biasa:



 







      _{    }           _{    }      _{    }                               2 2 2 2 _{2 2} x x 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 x 4x 3x 2 4x 2x 4 lim 4x 3x 2 4x 2x 4 lim _{4x 3x 2 4x 2x 4} 4x 3x 2 4x 2x 4 4x 3x 2 4x 2x 4 lim 4x 3x 2 4x 2x 4 4x 3x 2 4x 2x 4 lim 4x 3x 2 4x 2x 4 5x 6 lim 4x 3x 2 4x                             2 2 2 x 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2x 4 5x 6 x x lim 4x 3x 2 4x 2x 4 4x 4x 4x 4x 4x 4x 6 5 x lim 3 2 2 4 4 4 x x x x 5 0 4 0 0 4 0 0 5 4 4 5 4 2.



2



x lim x(4x 5) 4x 3      ... Jawab: Catatan: 2 2 x b p lim ax bx c ax px r 2 a        





     2  2  2    x x 5 0 5 lim x(4x 5) 4x 3 lim 4x 5x 4x 0x 3 4 2 4 3.



2



x lim x x 2x     ... Jawab:









     2  2 2   x x 0 ( 2) lim x x 2x lim x x 2x 1 2 1 4.



2 2



x lim 2x 5x 8 2x 2x 1        ... Jawab:



2 2



x

lim 2x 5x 8 2x 2x 1

      

dengan menggunakan cara cepat diperoleh: b q  5 2  3  3 2 4 2 a 2 2 2 2 Latihan: hitunglah! 1. 2 2

6

lim

...

2

x

x

x

x



 





2. 4

6

lim

...

8

2

x

x

x







 

3. 2 2 2

3

2

lim

...

4

x

x

x

x











4. 1

1

lim

...

1

x

x

x





_



5. 3 4 2

8

lim

...

16

x

x

x





_



6. 3

3

lim

...

12

3

x

x

x





_

 

7. 2 6

2

72

lim

...

6

x

x

x





_



8. 2 4

16

lim

...

2 8

4

x

x

x





_

 

9. 2 2

4

4

8

lim

...

2

x

x

x

x







_



10. 2 2 4

3

4

lim

...

16

x

x

x

x







_



11. 0

4

lim

...

4

4

x

x

x

x



_{ }

_



12. 3 2

8

lim

...

3

6

x

x

x









13. 2 0

4

lim

...

1

1

x

x

x

x

x

x



 





14. 3 2 3 2 0

7

6

lim

...

4

3

x

x

x

x

x

x

x













15. 2 2 7

2

35

lim

...

49

x

x

x

x







_



16. 6

6

lim

...

3

2

2

4

x

x

x

x





_

 



17. ₂ 2

2

1

lim

...

4

2

x

x

x

x







_



_



_

_







18.  ₂ ₂ 2 2

1

1

2

lim

...

2 2

3

x 

_x

_x

_x

_x

_x



_



_









 





19. 2 2 0

lim

...

1

1

x

x

x



_

_



20. 2 3

2

2

12

lim

...

1

5

1

x

x

x

x













Contoh:

F. Limit Trigonometri

Beberapa rumus bantu:

1. sin2_{x + cos}2_{x = 1}

2. sin 2x = 2 sin x cos x 3. cos 2x = cos2_{x - sin}2_x

4. 1 - cos 2x = 2 sin2_x 5. 1 + cos2x = 2cos2_x 1.   x 0 sin2x lim ... 3x Jawab:           _{ } _{ }       x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

sin2x sin2x 2 sin2x 2 sin2x 2 2 2

lim lim . lim . lim .lim 1.

3x 3x 2 2x 3 2x 3 3 3 2. ₂ x 0 1 cos2x lim ... 3x    Jawab:        2     2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

1 cos2x 2sin x 2sinx sinx 2 sinx sinx 2 2

lim lim lim lim .lim .1.1

3x 3x 3x.x 3 x x 3 3 3. ₂ x 4 1 sin2x lim cos 2x     ... Jawab:                         2 2 x ₄ x ₄ x ₄ x ₄ 2

1 sin2x 1 sin2x (1 sin2x) 1 1 1 1

lim lim lim lim

cos 2x 1 sin 2x (1 sin2x)(1 sin2x) (1 sin2x) 1 sin 1 1 2

4. x 1 1 1 sin 1 cos 1 x x lim (x 1)   _   _         _{ }  ... Jawab: x 0 x 0 x 0 x 0 sin x x lim 1 lim 1 x sin x tgx x lim 1 lim 1 x tg x         x 0 sin mx m lim nx n  

;

x a sin m(x-a) m lim n(x-a) n  

           _   _  _{ }          _{ } _{ }    _        _          _{ }  _{ } _{ }        _   _     x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 _{2sin 1 cos 1} sin 1 cos 1 2 x x x x lim lim (x 1) (x 1) 1 _{sin2 1} 1 1 _sin2 x 1 2 x 2 x 1 1

lim lim lim 2 1

(x 1) (x 1) 2 x 5. 2 2 x 0 x(cos 6x 1) lim sin3x tan 2x     ... Jawab:                 2 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x(cos 6x 1) x( sin 6x) 1 ( 1) (6) 36 lim lim 3

sin3x tan 2x sin3x tan 2x 3 (2) 12

6. x 0 cot x lim cot2x   ... Jawab:        1 tanx 1 x 0 x 0 x 0 tan2x cot x tan2x 2

lim lim lim 2

cot2x tanx 1 7.





2 x 1 (x 1)(x 3)sin(x 1) lim (x 1)(x 2)     _   ... Jawab:





                  2 2 x 1 x 1 (x 1)(x 3)sin(x 1) x 3 sin(x 1) 2 2 lim lim 1 (x 2) (x 1) 9 9 (x 1)(x 2) 8. Nilai ₂ x 0 tan2x tan3x lim 5x         adalah ... Jawab:      _{  }        2 x 0 x 0 x 0

tan2x tan3x tan2x tan3x

lim lim lim

5x x 5x 2 3 1 5 6 5 9. 2 x 0 x sinx tanx lim 1 cos2x    ... Jawab: Dengan L’Hospital:     x 0 4x 4 lim 2sin2x 2 2 1 Cara lain:





       _  _  _{    }        2 2 2 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0

x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx 1 1

lim lim lim lim 1

1 cos2x 1 1 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2 2

10. Nilai dari x 0 1 cos x lim x sin 2x   adalah ... Jawab:      2 12   12  12     x 0 x 0 x 0

1 cos x 2sin x sin x sin x 1 1 1

lim lim lim 2 2

x sin 2x x sin 2x x sin2x 2 4 4

Latihan: Hitunglah! 1. 0

sin 5

lim

...

tan 3

x

x

x





2. 0

sin 7

lim

...

2

x

x

x





3. 0

sin 5

lim

...

x

x

x





4. 0

3

lim

...

2sin 2

x

x

x





5. 0

lim

...

sin 4

x

x

x





6. 2

sin

2

lim

...

2

x

x

x











_









_{ }



7. 2

3sin

2

lim

...

tan

2

x

x

x











_









_{ }



_











8. 0

3sin 5

3sin 3

lim

...

3

x

x

x

x





_

9. 0

sin10

sin 4

lim

...

x

x

x

x





_

10. ₂ 0

cos10

cos 2

lim

...

5

x

x

x

x





_

11. ₂ 0

cos

cos 3

lim

...

2

x

x

x

x





_

12.









2

1 cos 2

lim

...

4

2

sin

2

x

x

x

x























_



_





13.







 



2

2 2 cos

lim

...

2

2

sin

x

x

x

x





















14. 8

cos 4

lim

...

cos 2

sin 2

x

x

x

x

 





15. 16

3cos8

lim

...

cos 4

sin 4

x

x

x

x

 





16. 0

1 cos 2

lim

...

1

tan

2

x

x

x

x





_

17. ₃ 0

sin 3

sin 3 cos 2

lim

...

3

x

x

x

x

x





_

18.





2 2 0

1 cos

2

lim

...

3

12

12

x

x

x

x













19. 2

cos 3

cos

lim

...

sin 2 cos 2

x

x

x

x

x

 





20. 0

sin 2

lim

...

3

2

9

x

x

x









G. Kontinuitas

Perhatikan gambar fungsi pada himpunan bilangan real berikut!

Fungsi

 

2

4

2

x

f x

x







seperti pada gambar grafik di atas, untuk x = 2 akan diperoleh bahwa

 

0

2

0

f



(bentuk tak tentu) sehingga grafiknya terputus di x = 2. Dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi f(x) diskontinu di x = 2. Sedangkan untuk interval



x



|

x



2



dan



x



|

x



2



grafiknya berkesinambungan, dan dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi f(x) kontinu di

x



2

.

Selanjutnya, secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di titik x = c, jika dipenuhi: a)

lim

 

xc

f x

ada

b) Nilai

f c

 

ada c)

lim

 

 

xc

f x



f c

Jika pada suatu fungsi f(x) diskontinu di titik x = c dan dapat dibuat sedemikian hingga

 

 

lim

xc

f x



f c

, maka dikatakan bahwa diskontinuitas di titik x = c ini dapat dihapuskan. Contoh:

Tentukan dikontinuitas fungsi bilangan real berikut: a)

 

3 2

8

4

x

f x

x







b)

 

3 2

1

1

x

f x

x







Penyelesaian: a) Fungsi rasional

 

3 2

8

4

x

f x

x







akan diskontinu jika penyebutnya adalah nol. Perhatikan bahwa







2

4

0

2

2

0

2

2

x

  

x



x



     

x

x

sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -2 atau x = 2. Selanjutnya, perhatikan bahwa:























2 3 2 2 2 2 2

2

2

4

8

lim

lim

4

2

2

2

4

lim

2

12

4

3

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  









_



















yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 2 dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi f(2) = 3. Di lain pihak, untuk x = -2 dapat diperoleh bahwa:























2 3 2 2 2 2 2

2

2

4

8

lim

lim

4

2

2

2

4

lim

2

4

0

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  









_





















 

sedangkan

   

 

3 2

2

8

16

2

0

2

4

f

 













tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x =

-2 tidak dapat dihapuskan.

b) Analog dengan a) di atas, fungsi rasional

 

3 2

1

1

x

f x

x







akan diskontinu jika penyebutnya adalah nol. Perhatikan bahwa







2

1 0

1

1

0

1

1

x

  

x



x

      

x

x

sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -1 atau x = 1. Selanjutnya, perhatikan bahwa:























2 3 2 2 2 2 2

1

1

1

lim

lim

1

1

1

1

lim

1

3

2

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  



 



_







 







yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 1 dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi

 

1

3

2























2 3 2 1 1 2 1

1

1

1

lim

lim

1

1

1

1

lim

1

1

0

x x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  



 



_







 











 

sedangkan

   

 

3 2

1

1

2

1

0

1

1

f

 













tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -1

tidak dapat dihapuskan.

Latihan:

Selidikilah sifat kontinuitas fungsi-fungsi berikut ini: 1. f(x) = x2 _{+ x di titik x = -1} 2. f(x) = 4x2 _{- 2x +12 di titik x = 2} 3.

 

1

x

f x

x





di titik x = -1 4.

f x

 

x

₂

2

x





di titik x = 2 5.

 

6

9

3

x

f x

x







di titik x = 3 6.

f

 

x





_3_2, x3, _xx_₂2 di titik x = 2 7. Di mana saja titik

 

₂

5

4

3

10

x

f x

x

x









diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya! 8. Di mana saja titik

 

3 2

27

9

x

f x

x







diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya! 9. Tentukan di titik mana saja diskontinuitas fungsi berikut dapat dihapuskan atau tidak dapat

dihapuskan beserta alasannya!

a)

 

3 2

64

16

x

f x

x







b)

 

3 2

1

3

2

x

f x

x

x









c)

 

3 2

8

2

x

f x

x

x





 

d)

 

3 2

27

2

3

x

f x

x

x









e)

 

3 2

125

4

5

x

f x

x

x









10. Dengan grafik, di titik mana saja (jika ada) fungsi berikut diskontinu:

x untuk x < 0 f(x) = x2 _untuk

0

 

x

1

2 – x untuk x > 1

11. Tentukan nilai a dan b agar fungsi

x2 _{– x + 3 untuk x < 0}

f(x) = a untuk

0

 

x

1

bx + 1 untuk x > 1

1. 2 x a x (3 a)x 3a lim x a     _  ... Jawab:

Akan dicari nilai 2

x a x (3 a)x 3a lim x a     

Turunkan pembilang dan penyebutnya, maka didapat hasil:

        x a 2x 3 a lim 2a 3 a a 3 1 2. Jika f(x) 1₂ 2x  , maka t 0 f(x t) f(x) lim t    _{adalah ...} Jawab: Diketahui f(x) 1₂ 2x

 , akan dicari nilai

t 0 f(x t) f(x) lim t    _{, maka:}     _{  } 3 _{ } 3 t 0 f(x t) f(x) 1 lim f '(x) x t x 3. 2 2 x 2 2x 8 x 2x lim x 2 2x 4         _{ }    ... Jawab:      _  _    _  _  _{ } _{  }  _{ }   _{ }  _ _     2 2 x 2 x 2 x 2 2x 8 x 2x 2(x 2)(x 2) x(x 2) x

lim lim lim 2(x 2) 8 1 9

x 2 2x 4 x 2 2(x 2) 2 4. 2 x 0 x sinx tanx lim 1 cos2x    ... Jawab:

Karena merupakan bentuk 0

0, maka dengan L’Hospital dapat kita peroleh:

    x 0 4x 4 lim 2sin2x 2 2 1 Cara lain:





            _  _      _{ } 2 2 2 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0

x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx 1 1

lim lim lim lim 1

1 cos2x 1 1 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2 2

5.     x 3 x 3 lim ... x 3

Jawab:











    _{  }    x 3 x 0 x 3 x 3 1 3 lim lim x 3 x 3 x 3 2 3 6 6. Nilai 1 x 2 2x 1 lim 2 4x 6   _   ... Jawab:            _{ }  _{ }  _{ }   1 1 x x 2 2 2x 1 2 2 2 lim lim _{2 2} 2 1 2 4x 6 ₀ 4x 6 1 4 6 2 7. Nilai ₂ x 0 1 cos x lim 5x    ... Jawab:

Digunakan dalil L’Hospital:

2 x 0 x 0 1 cos x sinx 1 lim lim 5x 10x 10      8.









x lim (2x 1)(x 2) x 2 1       ... Jawab:













            2 2 x x lim (2x 1)(x 2) x 2 1 lim 2x 3x 2 2x 2 2x 1

Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:

 

 

 _  _ 2 _  _{ } b q 3 2 2 3 2 4 3 _{2 1} 4 4 2 a 2 2 2 9. x 0 sinax lim sinbx   ... Jawab: x 0 sinax a lim sinbx b   10.







x ~ lim x a x b x     = ... Jawab:







          2 2 x x lim x a x b x lim x (a b)x ab x

Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:  b p (a b) 0  a b

2 2 a 2 1

1. Jika 2 1 x f(x) 2 x 3     maka limf(x)x 1 … 2.











2 x 1 2x 3 x 1 x 1 lim x 1       … 3. x x lim x x x    sama dengan ... 4. 2x_x x 1 3 9 lim 2 3 6   _   … 5. x 0 sin2x tg3x lim 1 cos2x cos 4x     sama dengan ... 6. x 0 1 cos3x lim ... 1 cos 4x   _  7. 2 2 2 x 0 7x sin2x lim ... tg 2x sinx tg5x      8. 2 x 2x 1 lim 5x 3   _  … 9. Agar x 1 p(x 1) q 3 3 lim x 1 2        maka nilai p + 2q = … 10. x 0 xtg5x lim cos2x cos7x   … 11.



2



x lim 4x 4x 5 (2x 3)      … 12. Nilai    x 0 1 cos2x lim ₁ xtg x 2 … 13. Nilai 2 x 3 x x 6 lim 4 5x 1       … 14. x 1 x 2x 1 lim ... x 1    _  15. Nilai dari



2 2



x lim 2x 3x 1 2x 2x 5 ...        16. Nilai dari x 0 xtgx lim ... 1 cos2x    17.









4 2 t 2 4t 4t 72 lim t 2 t 3t 2    _    18. x 0 sin8x sin6x lim ... 4x cos8x   _ 19.





x 0 1

lim ctg2x cos4x cos2x ... x     20. 2 2 2 2 x ax 3x 1 9x 3x 1 lim 1 4x 2x 2 4ax 2x 2       _      ,

maka nilai a sama dengan 21. x k 2x 2k lim sin2(x k) 4k 4x   _    … 22. 2 2 x 0 sin3x tg 5x lim 5x tg3x     … 23. ₂ x 1 5x 1 4x lim x 1    _  … 24. 3 2 x 2 t 8 lim t t 6    

= ...

25. 2 2 x 2 2x 8 x 2x lim x 2 2x 4    _    _{ }    = ... 26. Nilai



2



x 2 x 2 lim x x 6     = ... 27. x 0 x x lim x x    = ... 28. ₂ x 0 tan x lim x 2x   = ... 29. 2 2 x 3 3x 5x 12 lim x 9     = ... 30.













x ~ 4 5x 2 x lim 2 x 1 x      = ...