Sifat Fungsi Analitik Pada Fungsi Peubah Kompleks Ditinjau dari Persamaan Cauchy Riemann

(1)

ABSTRAK

SIFAT FUNGSI ANALITIK PADA FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS

DITINJAU DARI PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN

Oleh

YOHANES AGUNG PRASETIAWAN

Suatu fungsi dikatakan analitik jika fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan

di suatu titik. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks, digunakan

syarat Cauchy Riemann. Jika syarat Cauchy Riemann terpenuhi maka dapat

disimpulkan apakah suatu fungsi analitik atau tidak. Suatu titik di mana fungsi

tidak analitik disebut titik singular. Beberapa jenis singularitas antara lain:

singularitas terpencil, pole, titik cabang, singularitas yang dapat dihapuskan,

singularitas esensial dan singularitas di tak hingga.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

✁✂✄☎✄✆✝ ✁ ✞✟✠

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 15 Mei 1987, penulis

merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan bapak Al. Sutiyono

dan ibu Wariyanti.

Penulis menyelesaikan Taman Kanak-kanak Xaverius Bandar Lampung pada

tahun 1993, Sekolah Dasar Fransiskus Bandar Lampung pada tahun 1999,

Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Fransiskus Bandar Lampung pada tahun 2002,

Sekolah Menengah Umum Fransiskus Bandar Lampung pada tahun 2005.

(7)

MOTO

Semua yang riil bersifat rasional dan semua yang rasional bersifat riil

(Hegel)

Keberhasilan adalah kemampuan untuk melewati dan mengatasi dari satu

kegagalan ke kegagalan berikutnya tanpa kehilangan semangat

(Winston Churchill)

(8)

PERSEMBAHAN

✡☛☞ ✌✍ ☞✎ ☛✌✍ ✏✍✑✒☞✓✍✔✍ ☞✕✍✎✒ ✖✎ ✍ ✗✍ ☞ ✌✕✘ ✙ ☛✚✎ ☛✛✜✍✖✕✍ ☞✕✍ ✚✗✍✕ ☛✑✒ ✏✕✘✒ ☞✒✘ ☞✓✘ ✕ ✢✚✍ ☞ ✌✣ ✢✚✍ ☞ ✌✗✍ ☞ ✌✍ ✕✍ ☞✎ ☛✏✍ ✏✘✜☛✚✖✍ ✚ ✌✍✔✍ ✏✍ ✛✖✒✔✘ ✙ ✕✘✤

Tuhan Yesus Kristus

Yang menjadi kekuatanku ketika putus asa

Bapak, ibu, Adik-adikku, semua teman, dan keluarga besarku

Yang selalu memberikan canda dan tawa, selalu berdoa untuk keberhasilanku, dan

selalu memberikan kasih sayang yang tidak ternilai.

Para pendidikku

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, atas bimbingan dan

ajarannya.

(9)

SANWACANA

Pu

ji

syu

k

u

r

pen

u

l

is pan

jatk

an kepad

a

✥

llah

✦

apa d

i

S urga

✧

yang

tel

ah

m

em

b

erik an kasih

karun

✧

ia

an

u

g

era

★✧

dan berkat

✩✪

ya

✧

seh

i ngga pen

u

l

is dapat

m

e nyelesaik

an

pen

u

l

isan sk

rip

si d

en

g an

b ai

✫ ✬

S krip

si

dengan ju

d

u

l

Sifat Fungsi Analitik Pada Fungsi Peubah Kompleks

Ditinjau dari Persamaan Cauchy Riemann

d

isu

su

n

s

ebagai salah

satu syarat

u

n

tu

k

m

em

p

ero

l eh gelar Sa rj an

a S ain

s

✭

S

✬

S i

✬

) d

i

U

n

i

v

✮✯✰ ✱✲✳✰✴✳✵✶ ✷✸ ✹

.

✺✫✯✱✶✰ ✱ ✱✸✱ ✻ ✳✶ ✳✲ ✻✱✰ ✮✼ ✮✰ ✳✱✫✳✸ ✽ ✮✯✫ ✳✲ ✽✳✸ ✲✷✳✸ ✻ ✳✸ ✽✱✵✽✱✸✹ ✳✸ ✻ ✳✯✱✽✮✯✽✳✹ ✳✱ ✶ ✱★✳✫✬

Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima

kasih banyak kepada:

1.

Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2.

Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing

utama dan juga selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang

telah membimbing dan mengarahkan penulis dari awal hingga akhir.

3.

Bapak Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

(10)

pengarahan dalam

p

ro

ses

penyu

s unan

s krip

si

in

i

✾

4.

Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan juga

selaku

dosen

pembimbing

akademik

yang

membimbing

dan

mengarahkan penulis selama kuliah.

5.

Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang

telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

6.

Untuk Bapak, Ibu, dan kedua adikku yang selalu memberikan

semangat, doa, serta canda tawa dalam menyelesaikan skripsi ini.

7.

Sahabat-sahabatku Ade Gultom, Henoh Bayu, Fransiska, Rara, Asri dan

teman-teman matematika 07.

8.

Almamaterku tercinta Universitas Lampung.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan dari skripsi

ini. Oleh karena itu, segala kritik dan saran yang bersifat membangun sangat

penulis harapkan. Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat

bagi penulis maupun pembaca.

Bandar Lampung,

Agustus 2014

Penulis

(11)

✿ ❀❀ ❁

A

❂❃

A

❄❅ ❆❅

❇❈❉❈❊❈ ❋

❁

A

❂❃

A

❄●

A

❍

BA

❄

...xiii

I.

PENDAHULUAN

■ ❏■❑❈▲❈▼◆❖❉❈P❈ ❋◗❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏■ ■ ❏❘◆❈▲❈❙❈ ❋❚❈❙❈❉❈❯ ❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏❘ ■ ❏❱❲❳❨❳❈ ❋❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❘ ■ ❏❩❚❈ ❋❬❈❈▲❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏❘

II. TINJAUAN PUSTAKA

❘ ❏■❭❀❙ ▲❖❊ ◆❀❉❈ ❋◗❈ ❋❪❫❊ ❴❉❖P ❙❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❱ ❘ ❏❘❭❀❬❈▲❵❙ ❀❬ ❈▲❛❉❨❈❜❈▼◆ ❀❉❈ ❋◗❈ ❋❪❫ ❊❴ ❉❖P❙❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏❩ ❘ ❏❱❝❖❫ ❊❖ ▲▼❀ ◆❀❉❈ ❋◗❈ ❋❪❫ ❊❴ ❉❖P ❙❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❞ ❘❏❱❏■❚❫❡❳❉❳ ❙❡❈▼❀◆❀❉❈ ❋◗❈ ❋❪❫ ❊❴❉❖P ❙❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❢ ❘❏❱❏❘◆❖❋▲❳ P❣❫❉❈▼❡❈ ❋❤P ❙❴❫❋❖❋❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ✐ ❘ ❏❩❑❀❊❀▲❥❳❋◗❙ ❀❪❫ ❊❴ ❉❖ P❙❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏ ■ ❦ ❘ ❏❧❥❳❋◗❙ ❀❣❈ ❋◗P❈▲◆ ❀❉❈ ❋◗❈ ❋❪❫❊ ❴❉❖P❙❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏ ■❧ ❘ ❏ ❞❥❳❋◗❙ ❀❛ ❋❈❉❀▲❀P❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏■ ❢ ❘ ❏ ❢❣❖ ▼❙❈❊ ❈❈ ❋♠❈❳♥❯♦♣❀❖❊❈ ❋ ❋❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏❏❏ ❏❏ ■q

III. METODE PENELITIAN

(12)

s tt

IV. PEMBAHASAN

✉ ✈✇①②③④ ③⑤⑥ ③⑦ ⑧⑨ ②⑩t❶❷ ③❸❸✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈ ❹✇ ✉ ✈❹①t❺③⑤❻⑦❸❼❽ t❾❸ ③❿t⑤t➀✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈ ❹➁ ✉ ✈➂①t❸❼⑦❿③④t⑤ ③❽✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈✈✈ ✈✈ ➂ ➃

V. KESIMPULAN

(13)

➄➅➆TAR GAMBAR

Halaman

(14)

➐

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

➑➒➓➔ →➣ ↔➣ ↕ ➒➙ ↔➣ ➛ ↔➣ ➜↔➣➛➝➞➟ ↕➞➠ ↔➟➡ ➒➡ ↔➙ ↔➓➓↔➝➞ ➓ ↔➝ ➒➢ ↔ ↔➡↔➙↔➤➤ ➒➓➔ →➣ ↔➣ ↕➒➙ ↔➣ ➛ ↔➣ ➢ ➥ ➓➔➙➞➢ ➠

(

➦

).

➑➒➓➔→➣↔➣ ↕➒➙ ↔➣➛↔➣ ➟➞ ↔➙

(



)

➜↔➣➛ ↕➒↔➠ ↔ ➡ ➒➔ ↔➢↔➒ ➠➞ ➤ ↔➟ ➒

-

➤↔➟ ➒ ➓➞➟ →➔↔➢ ↔➣ ➤➒➓➔→➣↔➣ ↕↔➛ ➒↔➣ ➡↔➟➒ ➤ ➒➓➔ →➣ ↔➣ ↕➒➙↔➣ ➛ ↔➣ ➢ ➥ ➓➔➙➞➢ ➠➧ ➨➞➩↔

r

↔

u

m

u

m

↕ ➒

l

↔➣ ➛ ↔

n

k

➞

m

p

l

o

k

s t

➞

r

➡➒

r

➒➡ ↔

r

➒ ➡→ ↔ ↕↔➛ ➒↔➣ ➫

y

↔➒

tu

↕↔➛ ➒↔

n

r

➞ ↔

l

➡ ↔

n

↕ ↔➛➒↔

n

➒

m

↔➭➒➣ ➞

r

(

➢➤↔➜↔➙

),

➜↔➣ ➛ ➠ ➞➩↔

r

↔

m

↔➞

t

m

↔

t

➒

s

↕➞

r

↕➞

n

tu

k

➳



➯ ➲ ➡➞➣➛↔

n

➵ ➡↔

n

b

↔➡↔

l

↔➤

↕ ➒

l

↔➣ ➛ ↔

n

-

↕➒➙ ↔➣➛↔➣ ➟➞ ↔➙

.

➸↔➛➒↔➣ ➒➓↔➭➒➣ ➞➟ ↕➞➟➩➒

r

➒

k

↔

n

↔➡↔↔

n

y

↕ ➒

l

↔

n

➛↔

n

➒

m

↔➭➒➣➞

r

i

y

↔

n

➛➡➒➡➞➺ ➒➣➒➠ ➒➢↔

n

➠ ➞ ↕↔➛ ↔➒

i





➻

.

➼➥ ➣➠ ➞➔ ➺ →➣➛➠ ➒ ↔➣↔➙ ➒➝ ➒➢ ➓➞➟ →➔ ↔➢↔➣ ➤ ↔➙ ➔➞➣ ➝ ➒➣➛ ➡↔➙ ↔➓ ➝➞➥ ➟ ➒ ➺ →➣ ➛➠ ➒ ➽ ↔➟ ➒↔↕➞➙ ➢ ➥ ➓➔➙➞➢ ➠➧ ➾↔➔↔➝ ➡➒➢↔➝ ↔➢ ↔➣ ↕↔➤➚↔➤↔➓➔➒➟➠➞➙ →➟ →➤ ➔ ➞ ➓↕ ↔➤ ↔➠ ↔➣ ↔➣ ↔➙ ➒➠ ➒➠ ➢➥➓➔ ➙➞➢ ➠ ➝➞➟➝ → ➭→➔↔➡↔➢ ➞ ↔➣↔➙ ➒➝ ➒➢↔➣ ➺→➣➛➠ ➒ ➢ ↔➟ ➞➣ ↔ ➡ ↔➟ ➒ ➢➥ ➣➠ ➞➔ ➒➣ ➒ ↕ ➒➠ ↔ ➡ ➒➢➞ ➓ ↕↔➣➛➢ ↔➣ ➙➞ ↕ ➒➤ ➭↔→➤ ➡↔➙ ↔➓ ➝➞➥ ➟ ➒ ➓↔→➔→➣ ➔➞➣ ➞➟ ↔➔↔➣➣➜↔

.

➪➣➝ →➢ ➓➞➣ ➛→ ➭➒ ➠ → ↔➝ → ➺ →➣➛➠ ➒ ➢ ➥➓➔ ➙➞➢➠ ↔➔↔➢ ↔➤ ➺ →➣➛➠ ➒ ➝➞➟➠ ➞ ↕ →➝ ↔➣↔➙ ➒➝ ➒➢ ↔➝ ↔→ ➝ ➒➡ ↔➢ ➫ ➡ ↔➔ ↔➝ ➡ ➒➛→ ➣ ↔➢↔➣ ➠➜↔➟ ↔➝ ➶ ↔→➩➤

y

➹➒➞ ➓↔➣ ➣➧ ➨

y

↔

r

↔

t

➶↔→➩➤

y

➹➒➞ ➓↔

n

➓➞↔

y

n

t

↔➢ ↔

n

↕↔➤➚↔

tu

↔

n

ru

n

➔ ↔➠ ➒↔➙

r

➔ ➞

rt

↔➓↔

(15)

➘

➴➷➬➮➱ ➬✃ ❐✃ ❒❮❰ Ï❰ Ð❮❰ Ñ Ò➬Ò ❐➮❐Ò❒ ➷➬✃❒ ➮ Ò ➬ÐÓ ❐➷❐Ò

,

Ò ❐Ñ❐Ô ➬Õ➷❰ Ó❒✃ ❐➮ ❐➱ Ô➬Õ➱ ❐Ò❐❐Ð Ö❐❰×➮ØÙ❒ ➬Ò ❐ÐÐ❰Ð❮❰ÑÒ ➬ÐÚ❰Û❒ Ñ ➬❐Ð ❐➷❒❮❒Ñ ❐ÐÔ ❐Ó ❐Ü❰ ÐÚ➱ ❒Ô➬❰✃❐➮ÑÝÒÔ ➷➬Ñ➱Þ

1.2 Batasan Masalah

ß➬ÕÓ ❐➱ ❐Õ Ñ❐Ð ➷❐❮ ❐Õ ✃➬➷❐Ñ❐ÐÚ ❮ ➬ Õ➱ ➬✃❰ ❮

,

Ô➬Ð➬➷❒❮❒ ❐Ð Ó❒✃ ❐❮ ❐➱ ❒ Ô❐Ó❐ ❮❰ Õ❰Ð❐Ð Ô❐Õ➱ ❒ ❐➷ Ô➬Õ❮ ❐Ò❐

.

1.3 Tujuan

à➬Ð ➬➷❒❮❒ ❐Ð❒ Ð❒ ✃ ➬Õ❮❰Û❰ ❐Ð❰ Ð❮❰ Ñ Ò➬ÐÚ➬❮ ❐➮❰❒➱ ❒Ü❐❮ Ü❰ ÐÚ➱ ❒ ❐Ð ❐➷❒❮❒ ÑÔ❐Ó❐Ü❰ÐÚ➱ ❒Ô➬❰✃❐➮ ÑÝÒÔ ➷➬Ñ➱Þ

1.4 Manfaat

(16)

3

á áâã áä

JAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Bilangan Kompleks

åæçè

st

é æêëì íëì î ï èðê çî ñ òë ðë

t

ò æìë

y

ëîëì

t

ñ ç

cara

rm

fo

al d

en

g

an

m

en

g

u

n

ak

an

k

o

n

sep

p

g

an

teru

asan

ru

t

(ordered pair)

an

riil

b

g

ilan

(a,b)

ó ôæè ðõìëì ñ çèõë ðëñëìíëì æ

tu

ò çìíëì ïð çëñ æ

r

-

ïð çëñ æ

r

t

ç

rt

çì ö

u

y

ëìí ñ ç

s

õë æ ðëò ëìë

y

òë ðë

t

òæò ç÷æìæñ æîëìñ çéë íë æ

sy

st

çèéæêëìíëìî ï èðê çîñ

(

øæéæñ ïìïùú ûü ý

).

Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975)

Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan besaran yang berbentuk

ib

a



atau

a



bi

,

dengan a dan

b

bilangan-bilangan riil dan

i

2

þ



1

.

ÿæî ë

z

ð

(

a

,

b

)

ð

a



ib

èç

r

õðëî ëì ñõë

tu

éæêëìíëì î ï èðê çîñù èëî ë

a

ò æìë èëîëì

éë íæëì

r

ææê

(real part)

ò ë

r

æ

z

ò ëì

b

ò æì ë èëî ëì éë íæëì æèë æì ç

r

(imaginary part)

ò ë

r

æ

z

ëìí

y

s

ç

cara b

ru

t

ertu

-tu

ru

t

òæìë

y

t

ëî ëìòçìíëì

R

e

(

z

)

òëì ✁✂

(

z

)

.

✄ë è éëìí

z

ëìí

y

ò ë ðë

t

òæ

t

çèðë

t

îëì õìöõî ñ ç

s

ë

u

tu

ò ë

r

æ ☎ æèðõì ëì é æêëìíëì î ï è ðê çî ñ

(17)

4

✆✝✞✟✠ ✡✟✠ ☛✝✝✞ ☞✟✌✟ ✍ ☞✝✌ ✟✠ ☞✟✠ ✡ ✎ ✏✑✟ ✡✟✝ ✑✟ ✡✝✟✠ ☞✟☛ ✝ ✒✝✓✌ ✔✠ ✟✠ ✑✝✞✟✠ ✡✟✠ ✕ ✖✓✌ ✞ ✏✕ ✎ ☞ ✏✠ ✡✟✠

b

✗

0

.

✘✝✕ ✟

a

✙

0

,

✓ ✟✕✟

0



ib

✟ ✍✟

u

ib

☞✝✠ ✟✓✟✕ ✟✠ ✑✝✞✟✠✡✟✠ ✝✓ ✟✚✝✠ ✏☛ ✓ ✔☛✠ ✝

(

✛✌ ✝ ✏✡✏✞

, 1

✜ ✜✢

).

2.2 Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks

✣✌✏☛✟ ✎✝ ✌ ✏✠ ✚✔✓ ✞✟ ✒✟✠☞✟✠ ✌ ✏☛✕ ✟✞✝✟✠ ☞✔ ✟ ✑✝✞✟✠✡✟✠✕✖✓ ✌✞ ✏✕✎ ☞✝ ☞ ✏✤✝✠ ✝ ✎✝✕ ✟✠ ✎ ✏✑✟ ✡✟✝ ✑ ✏☛✝✕✔✍✥

Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008)

Jika

z

1

✦

a

1



ib

1

dan

2

a

ib

z

✧



adalah bilangan kompleks, maka:

i.

z

1



z

2

★

(

a

1



ib

1

)



(

a

2



ib

2

)

★

(

a

1



a

2

)



i

(

b

1



b

2

)

ii.

z

1

z

2

✩

(

a

1



ib

1

)(

a

2



ib

2

)

✩

(

a

1

a

2



b

1

b

2

)



i

(

a

1

b

2



a

2

b

1

)

✪✟ ☞✟ ✑✝✞✟✠ ✡✟✠ ✕ ✖✓✌ ✞ ✏✕ ✎ ✚✔✡✟ ☞✝✌✏☛✕✏✠✟✞✕ ✟✠ ✎✔✟ ✍

u

✖✌✏☛✟ ✎✝

y

✟✠✡ ☞✝✎ ✏✑✔ ✍ ✕✏✎✏✕ ✟✟✠ ✟✠

w

(conjugation)

, y

✟✠✡☞✝ ☞✏✤✝✠✝ ✎✝✕✟✠✎ ✏✑✟ ✡✟✝✑ ✏☛✝✕✔✍✥

Jika

z

✫

(

a

,

b

)

✫

a



ib

, maka bilangan kompleks sekawan dari

z

ditulis

z

dan

didefinisikan sebagai

z

✬

(

a

,



b

)

✬

a



ib

.

✣✌✏☛✟ ✎✝ ✟✞✚✟ ✑✟ ☛ ✑✝✞✟✠✡✟ ✠ ✕✖✓ ✌✞ ✏✕✎ ✎ ✏✕✟✟✠

w

☞✝ ☞✟✞✟✓ ✒✝✓ ✌✔ ✠✟✠ ✑✝✞✟✠ ✡✟✠ ✕✖✓ ✌✞ ✏✕✎✓ ✏✓✏✠✔✒✝✎✝✤✟ ✍

-

✎✝✤✟ ✍✑✏☛ ✝✕✔✍✥

Teorema 2.2.3 (Sardi,2008)

(18)

✭

1.

z

✮

z

2.

z





R

e

(

z

)

 

2



✯ ✰

(

z

)



2

ii. Jika

z

1

,

z

2

bilangan kompleks, maka

1.

z

1



z

2



z

1



z

2

2.

z

1

z

2



z

1

z

2

3.

,

2

1

2

1

z















0

2



z

✱✲ ✳✴✵✶

i

✷ ✸✵✹ ✺✻ ✳✺ ✼

z



a



ib

,

✽✺ ✳✺

z



a



ib

,

✽✺ ✳✺

1.

z



a



ib



a



ib



z

2.

z



(

a



ib

)(

a



ib

)



a

2



b

2





R

e

(

z

)

 

2



✾ ✿

(

z

)



2

ii. Misalkan

z

1



a

1



ib

1

dan

z

2



a

2



ib

2

, maka

1.

z

1



z

2



(

a

1



ib

1

)



(

a

2



ib

2

)

(

)

(

a

1



a

2



i

b

1



b

2



)

(

)

(

a

1



a

2



i

b

1



b

2



)

(

)

(

a

1



ib

1



a

2



ib

2



2

1

z





2.

z

1

z

2



(

a

1



ib

1

)(

a

2



ib

2

)

(

)

(

a

1

a

2



b

1

b

2



i

a

1

b

2



a

2

b

1



)

(

)

(

a

1

a

2



b

1

b

2



i

a

1

b

2



a

2

b

1



)

(

)

(

a

1

a

2



b

1

b

2



i



a

1

b

2



a

2

b

1



)

)(

(

a

1



ib

1

a

2



ib

2

(19)

6

1

z

❀

2

z

3.





























2

1

2

1

ib

a

ib

a

z























)

)(

(

)

)(

(

2

1

ib

a

ib

a

ib

a

ib

a





















2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

b

a

b

a

b

a

i

b

a

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

b

a

b

a

b

a

i

b

a









2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

b

a

b

a

b

a

i

b

a









)

)(

(

)

)(

(

2

1

ib

a

ib

a

ib

a

ib

a









)

(

)

(

2

1

ib

a

ib

a





,

2

1

z



z

2



0

2.3 Geometri Bilangan Kompleks

Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami sebagai vektor

di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut dinamakan

sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks

a



ib

pada bidang datar

xy

dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik

(

a

,

b

)

(20)

7

2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks

Untuk sebarang bilangan kompleks

z

❁

a



i

b

, modulus (nilai mutlak) dari

bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor

z

didefinisikan sebagai

berikut:

Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008)

Jika

z

❁

a



ib

bilangan kompleks, maka modulus dari

z

, ditulis z didefinisikan

sebagai

z

❂

a



ib

❂

a

2



b

2

.

Definisi ini menunjukkan bahwa

z

merupakan bilangan riil positif atau nol. Arti

geometri

z

menyatakan panjang vektor

(

a

,

b

)

, yaitu jarak dari titik asal

)

0

,

0

(

❃

O

terhadap titik

z

❄

(

a

,

b

)

.

Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai

mutlak dari bilangan kompleks, yaitu:

Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008)

i. jika

z

1.

z

2

❅

(Re(

z

))

2



(Im(

z

))

2

2.

z

❆

z

3.

z

❇

z

2

ii. Jika

z

1

,

z

2

(21)

8

2.

2

1

2

1

z

❉

,

0

2



z

Bukti:

i. Misalkan

z



a



ib

, maka

1.

z

2





a

2



b

2



2



a

2



b

2



(Re(

z

))

2



(Im(

z

))

2

2.

z



a



ib

,

sehingga

z



a

2



(



b

)

2



a

2



b

2



z

3.

z

2



a

2



b

2



(

a



ib

)(

a



ib

)



z

ii. Misalkan

z

1

,

z

2

1.

z

1

z

2



(

z

1

z

2

)

(

z

1

z

2

)



z

1

z

2

z

1

z

2



(

z

1

z

1

)(

z

2

z

2

)



z

1

2

z

2

Jadi,

z

1

z

2



z

1

z

2

2.

2

1

2

1

z





, sehingga:



































2

1

2

1

2

1

2

1

(22)

9

Jadi,

2

1

2

1

z

❊

,

0

2



z

2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen

Dalam koordinat polar, bilangan kompleks

z



(

a

,

b

)

dinyatakan dalam

r

dan



yaitu

z



(

r

,



)

. Pada gambar 2.1 diperoleh hubungan sebagai berikut:



cos

r

a



;

b



r

sin



, dengan:

r



a

2



b

2



z



: sudut antara sumbu

x

positif dengan

Oz

.

Gambar 2.1

Untuk

z



0

, sudut



dihitung dari

a

b





tan

dan untuk

z



0

maka

r



0

dan



dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks

z



a



ib

dapat

dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:

)

sin

(cos



i



r

z





Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008)

Diberikan bilangan kompleks

z



r

(cos





i

sin



)

. Sudut



disebut argumen dari

z

, ditulis





arg

z

. Sudut



dengan

₀







2



atau













disebut

)

,

(

a

b

z



a

b

x

y

O

r

(23)

10

a

rg

u

m

en

u

ta

m

a

dari

z

, ditulis



❋

arg

z

. Pembahasan untuk

a

●

r

cos



tersebut

dipilih salah satu saja.

Dengan menggunakan rumus Euler



sin

cos

i

e

i



❍

,

maka bentuk polar bilangan kompleks

z

dapat diubah menjadi



i

re

i

r

z

■

(cos



sin

)

■

Penulisan

z

❏

re

i



merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks

z

.

Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari

z

adalah:

)

sin

(cos



i



r

z

❑



))

sin(

)

(cos(











▲

r

i



i

re



▼

2.4 Limit Fungsi Kompleks

Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks

f

(z

)

ditulis sebagai

berikut:

Diberikan fungsi

f

:

C



C

dan misalkan fungsi

w



f

(

z

)

terdefinisi pada

daerah D kecuali di

z

₀

(titik

z

₀

di dalam D atau batas D). Limit dari

f

(z

)

adalah

w untuk

₀

z

menuju

z , jika untuk setiap

₀





0

terdapat





₀

sehingga







₀

)

(

z

w

f

, apabila









0

z

ditulis

₀

0

)

(

lim

f

z

w

z





(24)

11

Teorema 2.4.2 (Saff, 2003)

Diketahui

f

z

A

z

◆



0

)

(

lim

dan

g

z

B

z





0

)

(

lim

, maka

1.



f

z

g

z



f

z

g

z

A

B

z

lim



0

(

)



(

)



lim



0

(

)



lim



0

(

)





2.



f

z

g

z



f

z

g

z

A

B

z

lim



0

(

)



(

)



lim



0

(

)



lim



0

(

)





3.

f

z

g

z

f

z

g

z

AB

z

lim



0

(

)

(

)



lim



0

(

)



lim



0

(

)



4.

B

A

z

g

z

f

z

g

z

f

z





lim

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

0

, jika

B



0

Bukti:

1. Jika



sebarang bilangan positif yang diberikan, maka

2



adalah positif.

Karena

f

z

A

z





0

)

(

lim

, maka terdapat suatu bilangan positif



1

sedemikian

sehingga

2

)

(

0



z



z

₀





1



f

z



A





Karena

g

z

B

z





₀

)

(

lim



2

sedemikian

sehingga

2

)

(

0



z



z

₀





2



g

z



B





Pilih





min{



1

,



2

}

; yaitu pilih



sebagai yang terkecil di antara

1



dan

2



, maka









0

z

menunjukkan

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

z

g

z

A

B

f

z

A

g

z

B

f















B

z

g

A

z

f







(25)

12



❖





2

Jadi,

lim



(

)

(

)



lim

(

)

lim

(

)

0

z

g

z

f

B

A

z

g

z

f

z

















2. Berdasarkan bukti 1, maka dapat ditunjukkan



(

)

(

)



lim



(

)

(

1

)

(

)



lim

0

z

g

z

f

z

g

z

f

z













)

(

)

1

(

lim

)

(

lim

0

z

g

z

f

z









dengan sifat bahwa

lim

(

)

lim

(

)

0

z

g

k

z

kg

z







;

k

konstanta yang dapat

dibuktikan sebagai berikut:

Jika



1



k



adalah

positif.

Karena

g

z

B

z

lim



0

(

)





1

sedemikian

sehingga

1

)

(

0 ₀

1















k

B

z

g

z





Dengan demikian terdapat suatu



sedemikian sehingga









0

z

yang menunjukkan

)

(

)

(

z

kB

k

g

z

B

kg







)

(

g

z

B

k





1





k





Jadi,

lim

(

)

lim

(

)

0

z

g

k

kB

z

kg

z

(26)

13

Oleh karena itu,



(

)

(

)



lim

(

)

(

1

)

lim

(

)

lim

0

z

g

z

f

z

g

z

f

z















)

(

lim

)

(

lim

0

z

g

z

f

z









B

A





3. Jika



1

)

(

2

1



z

g



adalah

positif. Karena

f

z

A

z



(

)



lim

0



1

sedemikian sehingga

1

)

(

2

1

)

(

0 ₀

1















z

g

A

z

f

z





Karena

g

z

B

z



(

)



lim

0

, maka terdapat suatu bilangan positif



2

sedemikian

sehingga

1

2

1

)

(

0 ₀

2















A

B

z

g

z





Pilih





min{



1

,



2

}

, maka









0

z

menunjukkan

AB

z

Ag

z

Ag

z

g

z

f

AB

z

g

z

f

(

)

(

)





(

)

(

)



(

)



(

)





f

z

A

 

A

g

z

B



z

g









(

)

(

)

(

)



f

z

A



A



g

z

B



z

g









(

)

(

)

(

)

B

z

g

A

z

f

z

g









(

)

(

)

(

)

1

2

1

)

(

2

)

(





A

z

g

z

g



(27)

14

Jadi,

lim

(

)

(

)

lim

(

)

lim

(

)

0

z

g

z

f

AB

z

g

z

f

z











4. Berdasarkan bukti 3, maka dapat ditunjukkan

















(

)

1

)

(

lim

)

(

)

(

lim

0

g

z

f

z

g

z

f

z

)

(

1

lim

)

(

lim

0

g

z

f

z





Dengan

)

(

lim

1

)

(

1

lim

0

g

z

g

z





, yaitu dengan diberikan bilangan positif



,

maka

g

(

z

)

B



2

1

adalah positif. Karena

g

z

B

z

lim



0

(

)



, maka terdapat

suatu bilangan positif



1

sedemikian sehingga





g

z

B

g

z

B

z

(

)

2

1

)

(

0





₀



1







Dengan demikian terdapat suatu



sedemikian sehingga









0

z

yang menunjukkan





B

z

g

B

z

g

B

z

g

z

g

B

z

g

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

1



(28)

15

Jadi,

)

(

lim

1

)

(

1

lim

0

g

z

B

g

z





Oleh karena itu,

)

(

lim

1

)

(

lim

)

(

)

(

lim

0

g

z

f

z

g

z

f

z





B

A



2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks

Fungsi pangkat didefinisikan sebagai:

)

sin

(cos

b

i

b

e

w



z



a



ib



a



,

dengan

e



2

,

71828



adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika

a

bilangan riil positif, maka didefinisikan

a

z



e

z

ln

a

, dengan

ln

a

adalah logaritma

natural (asli) dari

a

. jika

a=e

maka direduksi kembali menjadi

w

(Spiegel,1994).

Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975)

i. Untuk setiap peubah kompleks

z dan

1

z berlaku sifat-sifat berikut:

2

1.

e

z

1



z

2



e

z

1

e

z

2

2.

2

1

2

1

z

e





ii. Jika

z



a



ib

, maka

1.

e

z



e

z

(29)

16

Bukti:

i. Misalkan

z

1

P

a

1



i

b

1

dan

2

a

ib

z

◗



maka

)

sin

(cos

1

e

b

i

b

e

z

❘

a



dan

(cos

sin

)

2

e

b

i

b

e

z

❙

a



1.

e

z

1

e

z

2

e

a

1

e

a

1

(cos

b

1



i

sin

b

1

)(cos

b

2



i

sin

b

2

)

❙

)

sin

cos

sin

(cos

)

sin

cos

(cos

1

2

1

2

1

2

1

2

1

b

i

b

e

a





❚





cos(

1

2

)

sin(

1

2

)



2

1

b

i

b

e

a



❯



2

1

z

e



❱

2.

z

1



z

2

❲

(

a

1



a

2

)



i

(

b

1



b

2

)

, maka



cos(

1

2

)

sin(

1

2

)



2

1

2

1

e

b

i

b

e

z

❳

a









(cos

1

cos

2

sin

1

sin

2

)

(cos

1

sin

2

cos

1

sin

2

)



2

1

b

i

b

e

a





❙



(cos

1

sin

1

)

cos

2

(cos

1

sin

1

)

sin

2



2

1

b

i

b

i

b

i

b

e

a







❨

)

sin

)(cos

sin

(cos

1

2

1

b

i

b

i

b

e

a





❩

2

1

2

1

ib

a

e







2

1

2

1

ib

a

e





2

1

ib

a

ib

a

e





2

1

z

e



ii. Misalkan

z



a



ib

, maka

e

z



e

a

(cos

b



i

sin

b

)



e

a

cos

b



ie

a

sin

b

,

(30)

17

1. Karena

z

❬

a



i

b

maka

z

❭

a



ib

, sehingga:

ib

a

z

e

❪



ib

a

e



❫

)

sin

(cos

b

i

b

e

a



❴

b

ie

b

e

a

cos



a

sin

❵

b

ie

b

e

a

cos



a

sin

❛

)

sin

(cos

b

i

b

e

a



❴

z

e

❜

2.

e

z

❴

(

e

a

cos

b

)



(

e

a

sin

b

)

❴

(

e

a

)

(cos

b



sin

b

)

❴

e

a

2

, dan

b

e

b

e

a

z

❝ ❝















arctan(tan

)

cos

sin

arctan

)

arg(

2.6 Fungsi Analitik

Jika turunan

f



 

z

ada di semua titik

z

dari suatu daerah



, maka

f

 

z

dikatakan

analitik dalam



dan dinyatakan sebagai

fungsi analitik

dalam



.

Istilah

regular

(teratur) dan

holomorphic

(holomorfik) seringkali digunakan

sebagai pengganti istilah analitik.

Suatu fungsi

f

 

z

dikatakan

analitik

di suatu titik

z

₀

jika terdapat suatu

lingkungan







0

z

sehingga

f



 

z

ada di setiap titik pada lingkungan tersebut

(31)

18

2.7 Persamaan Cauchy Riemann

Suatu syarat perlu agar

w

❞

f

 

z

❞

u



x

,

y





iv



x

,

y



analitik dalam suatu daerah



adalah

u

dan

v

memenuhi

persamaan Cauchy Riemann

,

y

v

x

u







x

v

y

u









Jika turunan parsial diatas kontinu dalam



, maka persamaan Cauchy Riemann

adalah syarat cukup agar

f

 

z

analitik dalam



.

Fungsi

u

 

x

,

y

dan

v

 

x

,

y

seringkali dinamakan

fungsi sekawan

. Jika salah satu

dari padanya diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya (terlepas dari

suatu konstanta penjumlahan sebarang) sehingga

u



iv



f

 

z

analitik (Spiegel,

(32)

❡❢

❣ ❣ ❣❤✐❥ ❦❧ ♠❥ ♥❥♦❥ ♣ ❣ ❦ ❣q ♦

r❤s t✉✈✇① ②✉③❦④⑤ ⑥✉✇

⑦⑧⑨ ⑧⑩❶❷❶❸ ⑨ ❶ ⑨❶ ❹❶⑩❸❺ ❻❺❸ ⑨ ❹❶ ❼ ❻❽ ❻❾❸ ⑨ ❿❸❷ ⑧➀❸❷❶❺ ❸ ➁❸❺ ❻⑩❷❸❾ ❿❸❷⑧➀❸❷❶❺ ❸ ❹❸ ⑨ ➂⑩➀ ❻ ⑦⑧⑨➃⑧❷❸➄❻❸ ⑨ ➅⑩❸➀ ➆⑨❶➇⑧❽❾ ❶❷❸❾ ➈❸➀➉❻⑨➃ ➊ ➉❸❹❸ ❾ ⑧➀ ⑧❾ ❷ ⑧❽ ➃⑧⑨❸➉ ❷❸➄❻ ⑨ ❸➋❸❽❸ ⑨ ➌➍ ❡➎ ➏➌➍ ❡➐ ➑

r❤➒ ✐④✇➓ ②④ ♥④③④ ➔→✇ →✉③

❿ ⑧❷ ➣❹ ⑧ ↔❸ ⑨➃ ❹ ❶➃❻ ⑨❸❺ ❸ ⑨ ❹❸⑩❸➀ ➉⑧⑨ ⑧⑩❶❷❶❸ ⑨ ❶ ⑨❶ ❸❹❸⑩❸➄ ➀ ⑧❷ ➣❹⑧ ❾ ❷ ❻❹ ❶ ➉❻❾ ❷❸❺❸➊ ↔❸❶❷ ❻ ❹⑧⑨➃❸ ⑨ ➀⑧➀➉⑧⑩❸➋❸❽❶➊ ➀ ⑧➀ ❸➄❸➀ ❶ ❹❸ ⑨ ➀⑧⑨➃❺❸➋❶ ➀⑧⑨➃⑧⑨❸❶ ↕❻❺❻➙ ↕❻❺❻➊ ➋❻❽⑨❸⑩ ➀ ❸ ❻➉❻⑨➀❸❺ ❸⑩❸➄↔❸ ⑨➃↕⑧❽➄❻↕❻⑨➃❸ ⑨❹⑧⑨➃❸ ⑨➉⑧⑨ ⑧⑩❶❷❶❸ ⑨➑

➛❸⑩❸➀➀ ⑧⑩❸❺❻❺ ❸ ⑨➉⑧⑨ ⑧⑩❶❷❶❸ ⑨❶ ⑨❶➊❸❹❸⑩❸ ⑨➃❺ ❸➄➙⑩❸ ⑨➃❺ ❸➄↔❸ ⑨➃➄❸❽ ❻❾ ➉⑧⑨ ❻⑩❶❾ ⑩❸❺ ❻❺❸ ⑨ ❻ ⑨❷ ❻❺ ➀⑧➀➉⑧❽➀❻❹ ❸➄ ➉⑧⑨ ❻⑩❶❾ ❹ ❸⑩❸➀ ➀⑧➀➉⑧❽ ➣⑩ ⑧➄ ➀ ❸ ❻➉❻⑨ ➀ ⑧⑨↔ ⑧⑩ ⑧❾ ❸❶❺❸⑨ ➄❸❾ ❶⑩ ➉⑧⑨⑧⑩❶❷❶❸ ⑨ ➑ ➈❸ ⑨➃❺ ❸➄➙⑩❸ ⑨➃❺❸➄ ↔❸ ⑨➃ ➉⑧⑨❻⑩❶❾ ⑩❸❺❻❺ ❸ ⑨ ❹❸⑩❸➀ ➉⑧⑨ ⑧⑩❶❷❶❸ ⑨ ❶ ⑨❶ ❸❹ ❸⑩❸➄ ❾ ⑧↕❸➃❸❶↕⑧❽❶❺❻❷➜

(33)

➞➟

➞➠ ➡➢➤➥ ➦➧➨ ➩➫ ➤ ➭ ➢➯ ➧➤ ➧➨➧➲ ➭➢➯➧➤➧➨ ➧ ➭➫ ➤ ➳➢➵➸ ➢➺➫➲ ➳➢➵➸➢➺➫ ➻➫ ➤➼ ➽ ➢➸ ➾➥ ➽➥ ➤➼➫ ➤ ➭ ➢➤➼ ➫ ➤➚➢➤ ➢➦➧➳➧➫ ➤➪

➶ ➠ ➡➢➺➚➢➦➫ ➹➫➸➧ ➭➫ ➤ ➺ ➢➺➫ ➾➫ ➺➧ ➭ ➢➯ ➧➤➧➨ ➧➲ ➭➢➯➧➤ ➧➨ ➧ ➭➫ ➤ ➳➢➵➸ ➢➺➫➲ ➳➢➵➸ ➢➺➫ ➻➫ ➤➼ ➽ ➢➸ ➾➥ ➽➥ ➤➼➫ ➤ ➭➢➤➼➫ ➤➚➢➤➢➦➧➳➧➫ ➤➪

➘ ➠ ➡➢➤➼➥ ➸➫ ➧➩➫ ➤ ➭➫ ➤ ➺➢➤➼➼ ➥ ➤➫ ➩➫ ➤ ➭➢➯ ➧➤ ➧➨➧➲ ➭ ➢➯ ➧➤➧➨ ➧ ➭➫ ➤ ➳➢➵➸ ➢➺➫➲ ➳➢➵➸ ➢➺➫ ➨ ➢➽➫ ➼➫ ➧ ➫➴➥ ➫ ➤ ➭➫ ➦➫ ➺ ➺➢➦➫ ➩➥ ➩➫ ➤ ➚➢➤➢➦➧➳➧➫ ➤ ➥➤➳➥➩ ➺ ➢➺➚➢➸➵➦➢➾ ➾➫ ➨ ➧➦ ➚➢➤➢➦➧➳➧➫ ➤➧➤➧➪

➷➠ ➡➢➦➫ ➩➥ ➩➫ ➤➚➢➤ ➢➦➧➳➧➫ ➤➳➢➤➳➫ ➤➼➚➢➸ ➨➫ ➺➫ ➫ ➤➬➫➥➴➾➻➮➧➢➺➫ ➤ ➤➪

➱ ➠ ➡➢➤➴➫➸ ➧ ➨ ➧➯➫ ➳ ➩➢➫ ➤➫ ➦➧➳➧➩➫ ➤ ➯➥ ➤➼ ➨ ➧ ➩➵ ➺➚➦➢➩➨ ➭ ➢➤➼ ➫ ➤ ➺ ➢➤➼ ➥ ➹➧ ➚➢➸➨➫ ➺➫➫ ➤ ➬➫➥➴➾➻➮➧➢➺➫ ➤➤➪

(34)

❐ ❐

❒❮❰ ÏÐÑ Ò ÓÔÕ Ö×

ØÙÚÛÜ ÝÞ ßàá âàáã ä àÝàå äÛ àÜ æÛ ß äàçÛ ÝÙÜæàè àÚàá Û áÛ àä àßàè é ÙàáàßÛ åÛ é àá ÚÞ àåÞ êÞ áã ÚÛ éëÜ Ý ßÙéÚ äàÝ àå äÛÞìÛ äÙáã àá Ü Ùáãã Þ á àéàá Ý ÙçÚ àÜ ààá íàÞîè â ïÛÙÜ àá áñ âàÛ åÞ ìÛ éà åÞ çÞ á àá Ýàç ÚÛ àß Ý ÙçåàÜ à ä àçÛ ò ä àá ó Ü ÙÜÙáÞèÛ Ý ÙçÚ àÜ ààá íàÞîèâ ïÛ ÙÜ àá áñ Üàéà õ

(

ô

)

äÛ éàåàé àá àáàßÛ åÛ é Ýàä à ÚÞ àåÞ äëÜ àÛ á

D

ö ÷Û åÛ é äÛ Ü àá à

)

(

ô

õ åÛ äàé àáàßÛ åÛ é äÛ áàÜ àé àá åÛ åÛ é ÚÛ áãÞ ßàçö øä à æ ÙæÙçàÝ à ìÙáÛ Ú ÚÛ áãÞßàçÛ åàÚ

,

(35)

ùúûü úýþÿ üú✁ ú

✂✄☎ ✆✝✞✟ ✠✡☛ ✝☞✌ ✍ ✎✄✏✍ ✑✒✒✞✓ ✠✔ ✠✕ ✖ ✖✗ ✠✘ ✙✚✛ ✜✢✣

Variables and Applications

✠ ✤✏✥✄☛ ✆✦✧✑✒✒✞

N

★✆✩☎ ✄✪✠

✫☛ ✒✒☎✎✄☛✬✞ ✟ ✠✭✠✕✖✮✯✠

Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur

✠✰ ★✄✱★✲☛✍☛ ✝ ✡ ✑✳ ✑✬☎ ✝☎✥✎ ✝☛ ✆☛ ✠✴✄ ✒☛ ✝ ✵ ✵☛✞✶✎✄☛ ✳☛ ✷☛ ✠

✓★✝✄★✝✵✞✸✠✕ ✖ ✖✹✠

Asas-asas Metode Matematika dalam Fisika

✠✸✝ ✵✪☛✬☛✞ ✂☛ ✝ ☞✎ ✝✵ ✠

✶☛✺✺✞✴ ✠ ✂✠☞☛ ✝✸✠✭✠✶✝✑☞★✄ ✠✻ ✹ ✹✼✠

Fundamental of Complex Analysis with

Applications to Engineering and Science

✠✫★☛✄✬☎✝✴ ☞ ✎✏☛✽✑☎✝☛ ✒✾✝✽★✄ ✝☛✽✑☎ ✝☛ ✒✞

N

★✆✟★✄✬ ★✷✠

✶☛✄ ☞ ✑✞✧✠✻ ✹ ✹✿✠

Fungsi Kompleks: Teori dan Soal-soal

✠✰ ★✄✱★✲☛✍☛ ✝❀☎✪☎ ✤☛✄✽☎✝☎✠✴✄✒☛ ✝✵ ✵☛✞ ✟☛✪☛✄✽☛ ✠

✶❁ ✑★✵★✒✞✤✠✓✠✕✖✿ ✮✠

Peubah Kompleks: Teori & Soal-soal

✠✰ ★✄✱★✲☛✍☛ ✝❀☎✪☎ ✤☛✄✽☎✝☎✠✴✄✒☛ ✝✵ ✵☛✞ ✟☛✪☛✄✽☛ ✠

✶❁ ✑★✵★✒✞✤✠✓✠✕✖✖✹✠

Advanced Calculus

✠✤✏✥✄ ☛ ✆✦✧✑✒✒✞ ❂★✆✩☎✄✪✠

✶❁ ✑★✵★✒✞✤✠✓✠✕✖✖❃✠

Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal

dan Penerapannya

✠✰ ★✄✱★✲☛✍☛ ✝❀☎✪☎✤☛✄✽☎✝☎✠✴ ✄ ✒☛ ✝ ✵✵☛✞✟☛✪☛✄✽☛ ✠