TURUNAN FUNGSI (3)
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:
Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa contoh.
Contoh:
1) x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)
dy
dx=2x+2y dy dx=0 2x+2ydy
dx=0 2ydy
dx=−2x
dy
dx
=−
2
x
2
y
dy
dx
=−
x
y
2) jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0
tentukan dy dxdan
d2y dx2
di titik
x
=
3
y
=
2
Jawab :
x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0
2x + 2y dy dx−2−6
dy dx=0
(2y - 6) dy
2 (y-3) dy
dx =2(1-x)
dy dx =
1
−
x
y
−
3
di (3,2)
dy dx=
−2
−1=2
d
2y
dx
2=
d
dx
(
1
−
x
y
−
3
)
=(y−3)(−1)−(1−x)(1)
dy dx
(y−3)2
¿(3−y)−(1−x)
dy dx
(2−3)2
¿(3−2)−(1−3).2
(2−3)2
¿1−(−2)
2
1 =5
3) f(x,y)= x + xy2 – x sin y
(atau, x + xy2 = x sin y)
cari dy dx dan
d2y dx2
Jawab : (Coba sendiri yah, buat latihan .... )
Penurunan dengan Bantuan Logaritma
Untuk menurunkan Fungsi yang berpangkat Fungsi, dapat digunakan penurunan dengan bantuan logaritma.
Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka
df
dx dapat
ln z = ln uv
ln z = v ln u diturunkan ke-x: 1 z dz dx= dv
dx . lnu+ v u
du dx dz
dx=u
v
(
dv dx lnu+v u
du dx
)
2. z = uvz = elnu
v
=evlnu
dz dx=e
vlnu
(
dv dxlnuv u
du dx
)
uv
(
dv dxlnu+v u
du dx
)
contoh:
Diketahui z = xx
Cara pertama: z = xx
ln z = ln xx
ln = x ln x 1
z dz
dx=1 . lnx+ x x dz
dx =xx (ln x +1)
Cara kedua: z = xx
z = elnX
X
=exlnx
dz dx=e
xlnx
(
1 lnx+xx
)
e
xlnx(
ln
x
+1)
TURUNAN FUNGSI (4)
Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter
x
=
f
(
t
)
y
=
g
(
t
)
t = parameterdy
dx
=
Δxlim
−0Δy
Δx
=
Δtlim
−0Δy
/
Δ t
Δx
/
Δ t
=lim Δt−0
Δy/Δt
lim Δt−0Δx/Δt
=dy/dt
dx/dt
Jika
dy
dx
=
y'
dy
dt
=
Y
¿
dx
dt
=
X
¿
y’=
Y
¿X
¿ makad2y dx2=
d dx
(
dy dt dx dt)
=d dt(
dy dt dx dt)
.dt dx = dx dtd2y dt2−
dy dt
d2x dt2 1 dx dt (dx dt) 2 =
y
= { { {x} cSup { size 8{ cdot } } {y - {}} cSup { size 8{ cdot cdot } } {y} cSup { size 8{ cdot } } {x} cSup { size 8{ cdot cdot } } } over { left ( {x} cSup { size 8{ cdot } } right ) rSup { size 8{3} } } } } {
¿
y'
=
y
¿
x
¿Contoh:
maka y’ =
dy
dx
=
y
¿x
¿dx
dt
=
y
¿
=
2
t
−
6
dx
dt
=
x
∘
=−
1
y'
=
dy
dx
=
2
t
−
6
−
1
=
6
−
2
t
=
2
(
2
−
t
)+
2
= 2x+2= 2(x+1)
Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu
Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2,
u3, …, un adalah fungsi dari x, maka
dz dx=
∂z
∂u1.
du1 dx +
∂z
∂u2.
du2 dx +. ..+
∂z
∂un.
dun dx
∂z
∂u = derifatif parsiil pertama dari z ke u
artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.
Contoh:
z = x2+y3+x2y3
dz
dx
=
z '
=
2
x
+
3
y
2
dy
dx
+
2
xy
3
+
3
y
2x
2dy
dx
∂
z
∂
x
=
z
x=
2
x
+
2
xy
3∂
z
∂
y
=
zy
=
3
y
2)
x
=
t
−
sin
t
y
=
1
−
cos
t
0<t<x
∘=
dx
dt
=
1
−
cos
t
y
∘=
dy
dt
=
sin
t
y'
=
sin
t
1
−
cos
t
=
sin
t
y
sin t dinyatakan dalam y y= 1 – cos t
cos t = 1 – y (sin2t + cos2t = 1)
sin t =
√
1
−
cos
2t
√
1
−(
1
−
y
)
2 =√
1
−(
1
−
2
y
+
y
2)
√
1
−
1
+
2
y
−
y
2 =√
2
y
−
y
2y’=
1
y
√
2
y
−
y
TURUNAN FUNGSI: BEBERAPA APLIKASI (5)
FUNGSI NAIK DAN TURUN
Definisi :
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan
bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang
terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .
Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan
bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang
terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .
Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.
Skema :
x0-h x1 x0 x2 x0+h
x0-h x1 x0 x2 x0+h
Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Dalil :
fs naik
Jika f'(x0) >0 y = f (x) naik di x = x0
f'(x0) <0 y = f (x) turun di x = x
0
f'(x0) =0 titik stasioner dari fungsi f tercapai
} } \( x rSub { size 8{0} } \) `<`0} {
¿
f¿
¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum
} } \( x rSub { size 8{0} } \) `>`0} {
¿
f¿
¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum
Contoh :
f
(
x
)=
2
x
4−
4
x
2+
3
Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f
Jawab :
f (x) = 2x4 – 4x2 + 3
f’ (x) = 8x3 – 8x
= 8x (x2 – 1)
f” (x) = 24x2 – 8
Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0
f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0
= 8x (x+1) (x-1) = 0 x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1
f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1
-1 0 1
f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum
+
-f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum
Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.
Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan
Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)
1. Jika
} } \( x \) `>`0} {
¿
f¿
¿ Grafik f cekung ke atas pada I
2. Jika
} } \( x \) `<`0} {
¿
f¿
¿ Grafik f cekung ke bawah pada I
Definisi Titik Belok (Ekstrim)
f fungsi kontinu pada selang terbuka I
a
∈
I
. Titik ( a , f ( a )) dikatakantitik belok jika dipenuhi 2 syarat berikut :
1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x = a
2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di ( a , f ( a ))
Contoh :
f
(
x
)=
5
x
3−
3
x
5+
2
f
'(
x
)=−
15
x
4+
15
x
2=
0
x
2(
15
−
15
x
2)
(a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah (b) Tentukan semua titik ekstrimnya
Jawab :
f
(
x
)=
5
x
3−
3
x
5+
2
, x
∈
R
f
'(
x
)=
15
x
2−
15
x
4, x
∈
R
} } \( x \) ``= 30 x - 60 x rSup { size 8{3} } ~,`x` in `R} {
¿
f¿
¿
= −60x(x
2−1
= −60x(x+ 1
2
√
2) (x− 1 2√
2x1=0 x2=−
1
2
√
2 x3=1 2
√
2f(0)=2 ; f (− 1
2
√
2)=2− 78
√
2 ; f ( 12
√
2)=2+ 7 8√
20
−1
2
√
21 2
√
2 x<−12
√
2 −1
2
√
2<x<0 x> 1 2√
2(a) f cekung ke atas :
(
−n , −12
√
2)
;(
0 , 1 2√
2)
f cekung ke bawah :(
−12
√
2 , 0)
;(
12
√
2 , n)
(b) Karena f”(x) ada di
x
∈
R
dan disekitarx=−1
2
√
2 , x=0 , x= 12
√
2 ada perubahan kecekungan, maka titikekstrimnya
(
−1
2
√
2 ,2− 78
√
2)
; (0 ,2) ;(
1-Garis singgung dan -Garis Normal
Untuk menentukan garis singgung suatu kurva, dapat menggunakan teorema-teorema berikut ini :
a. Teorema Rolle
Misalkan f memenuhi syarat :
a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)
b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b) c) f (a) = f (b)
Maka terdapat suatu c∈ (a , b) Э f’ (c) = 0
(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0 atau garis singgung mendatar).
Skema :
f’(c) = 0 f (c)
f
f (a) = f (b)
a c b
Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle.
b. Teorema Nilai Rata-rata
Misalkan f memenuhi syarat :
d) Kontinu pada selang tertutup (a, b)
e) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)
Maka terdapat suatu c∈ (a , b) sehingga f '(c)=
f(b)−f(a)
(b, f (b))
Skema :
f’(c) f (c)
f (b) f (a)
a c b b – a
Gambar 3.3 Skema Teorema Nilai Rata-rata.
c. Teorema, Rumus Tayor
Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :
f(x)=
f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {2!} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis ~+{}} { ¿
f(x0)+
f '(x0)
1! (x−x0)+¿ ¿
f(n)
(x0)
n ! (x−x0)n+
f(n+1)(c)
(n+1)! (x−x0)n+1
c terletak antara x dan x0 .
Dapat ditulis :
f(x)=Pn(x)+Rn(x)
Dimana :
Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n
Rn(x) =
f(n+1)(c)
(n+1)! (x−x0)
n+1
= suku sisa uraian Taylor
Contoh :
Jawab :
f(x) = sin x f (0) = 0 f’(x) = cos x f’(0) = 1 f”(x) = -sin x f”(0) = 0 f3(x) = -cos x f3(0) = -1
f4(x) = sin x f4(0) = 0
f5(x) = cos x f5(0) = 1
f(x) =
f \( 0 \) } over {2!} } x rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis } { ¿
f(0)+f '(0)
1! x+¿
¿
= 0+1 .x+0+
(−1)
3! x
3+ ⋯
= x− x3 3!+
x5 5!− ⋯
Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.
Contoh :
Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5
Tentukan semua titik ekstrimnya.
Jawab:
f'(x) = 3x2-18x+15
Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15=0 atau x2-6x+5 = 0.
Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1.
f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.
Bentuk-bentuk Tidak Tertentu
Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut: 0
0 ; ∞∞ ; 0 .∞ ; ∞−∞ ; 1
∞ ; 00 ; ∞0
Aturan dari de l’ Hospital :
1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali disekitar x = a.
f(a)=f '(a)=f \( a \) =` dotsaxis `=f rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿
g(a)=g'(a)=g \( a \) =` dotsaxis `=g rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿
Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :
lim
x→a
f(x)
g(x) =
f(n)(a)
g(n)(a)
2. Kecuali untuk bentuk 0
0 , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk
bentuk
∞
∞
.f
(
a
)=
f'
(
a
)=
f
\( a \) = dotsaxis =f rSup { size 8{n - 1} } \( a \) = infinity } {} # g \( a \) =g' \( a \) =g
(
a
)=⋯=
g
n−1(
a
)=∞
¿
Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka
:
lim
x→a
f(x)
g(x) =
f(n)(a)
g(n)
(a)
Contoh:
1.
lim
x→2x2−x−2
2−x →
0 0
=
lim
x→22x−1 −1 =−3
2.
lim
x→0sinx2
sin2x→
=
lim
x→02x cosx2
2sinx cosx→
0 0
=
lim
x→02x cosx2
sin 2x →
0 0
=
lim
x→02cosx2−(2x) (2x)sinx2
2 cos 2x
= 2.1
2 =1
3.
lim
x→∞x2+x
3x2+1→∞∞
=
lim
x→∞2x+1
6x →∞∞ =
lim
x→∞ 2 6= 1 3 =
lim
x→∞ 2x x + 1 x 6x x =2 6= 1 3 Contoh: 1.lim
x→Π 2
ln(x−Π 2) tanx
= lim
x→π
2
1 x−π/2 sec2x
= lim
x→π
2
cos2x x−π/2 = lim
x→π
2
1/2(cos 2x+1)
x−π/2 = lim
x→π
2
1/2(−2sin 2x)
1 = 0
2. limx→0
ex−1
x2 = limx→0
ex 2x=limx→0
ex 2 =1/2
3.
lim
x→∞ x2 ℓx−1= xlim→ ∞
2x
ex = xlim→ ∞
DAFTAR PUSTAKA
[1] Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus S., Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1995
[2] Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1978.
[3] Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.
[4] Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.