Bagian
5
Integrasi
Dalam bagian 5 Integrasi, kita akan mempelajari konsep dasar integrasi, teknik-teknik dasar integrasi, dan integral tertentu. Ada delapan teknik dasar yang akan dipelajari, yaitu metode u-substitusi, integral bagian, integral sin dan cos berpangkat, integral sec dan tan berpangkat, integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, integral fungsi hiperbolis, dan integral dengan berbagai macam substitusi.Penguasaan teknik integrasi yang sempurna akan membantu Anda dalam mengikuti mata kuliah lain, yaitu Matematika II, Matematika III, Matematika IV, Analisa Struktur, dan Hidrolika.
Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 5 Integrasi adalah Anda akan mampu :
1. Menjelaskan kembali prinsip anti turunan
2. Menyelesaikan soal integral tak tentu dengan menggunakan delapan teknik dasar integrasi.
3. Menghitung integral tertentu.
5.1 Konsep Anti Turunan
Isaac Newton (1669) mengemukakan permasalahan integrasi dalam De Analysi per Aequetiones Numero Terminorum Infinitas yang dipublikasikan tahun 1711. Leibniz menemukan tahun 1673 dan dipublikasikan 11 November 1675.
Seperti telah dikemukan pada bagian sebelummnya, konsep integral dibangun dari permasalahan menghitung luas.
Kita pandang suatu masalah:
A’(x) =
h
x
A
h
x
A
h
)
(
)
(
0
lim
+
−
→
Secara sederhana, pandang kasus dimana h > 0. Pembilang pada sisi kanan persamaan dibedakan atas dua luasan. Luasan antara a dan (x + h) dikurangi luasan antara a dan x. Jika dimisalkan c adalah titik tengah antara x dan (x + h) maka perbedaan luasan ini dapat diperkirakan dengan luasan segiempat dengan dasar h dan tinggi f(c). Jadi
=
−
+
h
x
A
h
x
A
(
)
(
)
h
h
c
f
(
).
Hal ini kelihatannya masuk akal, bahwa kesalahan dalam memprkirakan persamaan tersebut akan mendekati nol sebagaimana h→0 .
Al’(x) =
h
x
A
h
x
A
h
)
(
)
(
0
lim
+
−
→
h c f h ) ( lim 0 → =Karena c adalah titik tengah antara x dan (x + h), hal tersebut menyatakan bahwa c→0 sebagaiman h→0. Tapi kita mempunyai asumsi f akan menjadi sebuah fungsi yang kontinu, jadi f(c)→f(x) sebagaimana c→x. Oleh karena itu:
0 h
lim
(x)
A1'
→=
f(x)
h
f(c)
=
Sebuah fungsi dinamakan anti turunan dari fungsi f dalam selang yang diberikan jika F’(x) = f(x) untuk semua nilai x pada interval tersebut.
Contoh 5.1
Carilah antiturunan fungsi x2
Penyelesaian
Fungsi-fungsi x3/2 + 1, x3/3 – π, x3/3 – C adalah anti turunan pada interval (-≈,
+≈) untuk fungsi f(x) = x2.
Contoh-contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah fungsi dapat mempunyai banyak anti turunan. Dalam kenyataannya, jika F(x) adalah sembarang anti turunan f(x) dan C adalah sembarang konstanta, maka:
F(x) + C
adalah juga anti turunan fungsi f(x). Dengan kata lain setiap anti turunan f(x) pada suatu interval dinyatakan dalam bentuk seperti di atas dengan C adalah konstanta.
Proses untuk mendapatkan anti turunan ini dinamakan antidifferensiasi atau integrasi yang biasanya ditulis sebagai berikut:
∫
adalah lambang integrasi, f(x) dinamakan integran, dan C konstanta Pernyataan di atas dibaca: Integrasi tak tentu f(x) sama dengan F(x) + C.Rumus-rumus Integral Tak Tentu
Rumus Differensiasi Rumus Integrasi
[ ]
x
=
1
dx
d
∫
dx
=
x
+
C
r
x
r
r
x
dx
d
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
1
1
∫
+
+
+
=
C
r
r
x
dx
r
x
1
1
[
x
]
x
dx
d
cos
)
sin(
=
∫
cos(
x
)
dx
=
sin(
x
)
+
C
[
cos(
x
)
]
sin(
x
)
dx
d
−
=
∫
sin(
x
)
dx
=
sin(
x
)
+
C
[
tan(
x
)
]
sec
2
(
x
)
dx
d
=
∫
sec
2
(
x
)
dx
=
tan(
x
)
+
C
[
cot
g
(
x
)
]
cos
ec
2
(
x
)
dx
d
=
−
∫
cos
ec
2
(
x
)
dx
=
−
cot
g
(
x
)
+
C
[
sec(
x
)
]
sec(
x
).
tan(
x
)
dx
d
=
∫
sec(
x
).
tan(
x
)
dx
=
sec(
x
)
+
C
[
cos
ec
(
x
)
]
cos
ec
(
x
).
cot
g
(
x
)
dx
d
−
=
∫
cos
ec
(
x
).
cot
g
(
x
)
dx
=
−
cos
ec
(
x
)
+
C
Integrasi tak tentu mempunyai sifat-sifat:
∫
C
.
f
(
x
)
dx
=
C
∫
f
(
x
).
dx
[
]
∫
f
(
x
)
±
g
(
x
)
dx
=
∫
f
(
x
).
dx
±
∫
g
(
x
)
dx
Contoh 5.2 Evaluasi∫
x
3.
dx
dan∫
.
dx
Penyelesaian:C
x
dx
x
=
+
∫
3 44
1
.
C
x
dx
=
+
∫
.
Bentuk lain integrasi dapat dinyatakan sebagai berikut.
Contoh 5.3 Evaluasi
∫
dx
x
.
1
3 Penyelesaian:∫
dx
x
.
1
3C
x
C
x
C
x
dx
x
+
=
−
+
−
=
+
+
−
=
−+ − −∫
2 2 1 3 32
1
2
1
3
.
Contoh 5.4 Evaluasi∫
(
x
3+
x
2+
1
).
dx
Penyelesaian:∫
(
x
3+
5
x
2+
1
).
dx
=
∫
x
3.
dx
+
5
∫
x
2.
dx
+
∫
1
.
dx
(
x
C
)
C
x
C
x
⎟
+
+
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
4 33
1
.
5
4
1
C
x
x
x
+
+
+
=
4 33
5
4
1
Latihan Soal 5.1
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integrasi di bawah ini.
1.
∫
x
6.
dx
2.dx
x
.
1
7∫
3.∫
x
5/9.
dx
4.∫
x
3.
x
.
dx
5.
∫
(
u
3−
3
u
+
7
.)
du
6.∫
sec
x
(sec
x
+
tan
x
.)
dx
7.
dx
x
x
.
cos
2
sin
∫
8. dt t t . 2 1 3 3∫
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −5.2 Integrasi U-substitusi
Integrasi u-substitusi merupakan teknik yang paling mudah dalam menyelesaikan persoalan integral. Kita memilih fungsi permisalan u dari sebuah integran. Jika fungsi u sudah dipilih, selanjutnya semua unsur yang mengandung nilai x kita gantikan dengan nilai u. Langkah-langkah penyelesaian teknik integrasi u-substitusi adalah:
a. Pilih fungsi yang diganti, misalkan u = g(x)
b. Hitung du/dx = g’(x)
d. Evaluasi proses integrasi
e. Gantikan u oleh g(x) untuk jawaban akhir dalam x.
Contoh 5.5 Evaluasi
∫
(x2+1)502xdx Penyelesaian :∫
(x2+1)502xdx misal : u = x2 + 1 du = 2x dx(
)
∫
x
2+
1
502xdx
= u .d u50∫
=C
51
u
15+
=(
)
C 51 1 x2 51 + + Contoh 5.6(
)
∫
Sin
x
+
9
.dx
Evaluasi Penyelesaian :(
)
∫
Sin
x
+
9
.dx
misalkan : u = x + 9 du = dx(
)
∫
Sin
x
+
9
.dx
=∫
Sin(u).du
= - Cos (u) + C = - Cos (x + 9) + C Contoh 5.7 .dx x x Cos∫
Evaluasi Penyelesaian : .dx x x Cos∫
misalkan : u = √x 2du = dx x 1∫
.dx x x Cos =∫
Cos(u).2du
= 2Sin(u) + C = 2Sin √x + CLatihan Soal 5.2
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Selesaikan soal integral di bawah ini dengan menggunakan teknik integral u-substitusi. 1.
∫
x
dx
x
sin
.
1
2.∫
+ dx x x . 5 4 3 2 2.∫
(
2
x
+
7
)(
x
2+
7
x
+
5
)
4/5.
dx
4.∫
x
21
+
x
.
dx
3.∫
x
1
+
2
x
2.
dx
6.∫
−
3
x
)
.
dx
1
(
1
25.3 Integrasi Bagian
Teknik integrasi bagian umumnya dilakukan jika kita menjumpai integran terdiri dari dua fungsi yang berbeda. Untuk integran yang terdiri dari dua buah fungsi, ada bagian integran yang dimisalkan sebagai fungsi u=g(x) dan unsur yang lain dimisalkan sebagai dv. Rumus umum untuk menyelesaikan soal integrasi bagian adalah:
∫
u
.
dv
=
u
.
v
−
∫
v
.
du
Dalam hal ini kita harus hati-hati menentukan mana fungsi permisalan u dan mana bagian yang merupakan dv.
Contoh 5.8 Evaluasi
∫
e
x.Cos(x).dx
Penyelesaian:∫
e
x.Cos(x).dx
misal u = ex du = ex dx dv = Cos (x) dx v = Sin (x)∫
e
x.Cos(x).dx
∫
=
u
.
dv
=u
.
v
−
∫
v
.
du
( )
−
∫
=
e
x.
Sin
x
Sin
(
x
).
e
x.
dx
misal u = du = ex dx dv = Sin (x).dx v = -Cos (x)[
−
−
∫
−
]
−
∫
e
x.Cos(x).dx
= 0,5ex.Sin (x) + 0,5ex.Cos (x) + C Contoh 5.9 Evaluasi∫
x.e
x.dx
Penyelesaian:∫
x.e
x.dx
misal: u = x du = dx dv = ex.dx v = ex∫
x.e
x.dx
=
∫
u.dv
∫
−
=
u
.
v
v.du
∫
−
=
x
.
e
xe
x.
dx
C
e
e
x
x−
x+
=
.
Berdasarkan dua contoh di atas, dapat dibuat kesimpulan, bahwa penyelesaian soal integral dengan menggunakan teknik integrasi bagian akan menjumpai 3 (tiga) kemungkinan jawaban, yaitu:
1. Jika integral hasil (
∫
v
.
du
) lebih sederhana dari integral soal (∫
u
.
dv
), maka permisalan fungsi u dan dv sudah betul. Penyelesaian dapat diteruskan untuk mendapatkan jawaban akhir.2. Jika integral hasil (
∫
v
.
du
) setara dengan integral soal (∫
u
.
dv
), maka permisalan fungsi u dan dv sudah betul. Penyelesaian dapat diteruskan untuk mendapatkan jawaban akhir. Pada langkah selanjutnya akan ada hasil integrasi yang digabungkan dengan soal.3. Jika integral hasil (
∫
v
.
du
) lebih rumit dari integral soal (∫
u
.
dv
), maka permisalan fungsi u dan dv salah. Gantilah permisalan fungsi u dan dv untuk mendapatkan penyelesaian yang benar.Untuk bentuk soal seperti contoh 5.9 dengan xn, dapat digunakan rumus
reduksi:
∫
∫
=
−
−dx
e
x
n
e
x
dx
e
x
n x.
n x n 1 x.
Latihan Soal 5.3
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral berikut dengan menggunakan teknik integral bagian.
1.
∫
xe
−x.
dx
2.∫
x
2e
−2x.
dx
3.∫
x
ln
x
.
dx
4.∫
x
sin
x
.
dx
5.
∫
x
sin
4
x
.
dx
6.∫
ln(
2
x
+
3
).
dx
7.
∫
x
2sin
x
.
dx
8.∫
sin(ln
x
).
dx
5.4 Integrasi Sin dan Cos Berpangkat
Teknik integrasi sin dan cos berpangkat digunakan untuk menyelesaian persoalan integrasi fungsi sinus dan cosinus berpangkat banyak yang mempunyai bentuk
∫
sin
nx
.
dx
,∫
cos
nx
.
dx
, dan∫
sin
mx
.
cos
nx
.
dx
. Dalam hal membuat penyelesaian, kita kadang-kadang memerlukan bantuan persamaan identitas trigonometri.))
2
cos(
1
(
2
1
)
(
sin
2x
x
=
−
(
1
cos(
2
))
2
1
)
(
cos
2x
x
=
+
Contoh 5.10 Evaluasi∫
Sin
4x
.
dx
Penyelesaian:∫
Sin
4x
.
dx
[
]
∫
=
Sin
2x
2.
dx
∫
⎢⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤
=
(
1
Cos
(
x
))
.
dx
2
1
2(
)
∫
−
+
=
1
2
Cos
(
2
x
)
Cos
(
2
x
)
.
dx
4
1
2dx
x
Cos
x
Cos
(
4
)
.
2
1
2
1
)
2
(
2
1
4
1
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
C
x
Sin
x
Sin
x
−
+
+
=
(
4
)
32
1
)
2
(
4
1
8
3
Untuk fungsi sinus dan cosinus yang berpangkat lebih banyak, penyelesaian tidak menjadi sederhana lagi. Untuk memudahkan dalam mencari jawaban, kita menggunakan formula reduksi.
∫
∫
=
−
−+
−
−dx
x
n
n
x
x
n
dx
x
n n n.
sin
1
cos
.
sin
1
.
sin
1 2∫
∫
=
−+
−
−dx
x
n
n
x
x
n
dx
x
n nn
.
1
cos
.
sin
1
cos
.
cos
1 2Untuk persoalan integral yang dinyatakan dalam bentuk , prosedur penyelesaian sangat bergantung kepada nilai m dan nilai n. Tabel di bawah ini memperlihatkan kepada Anda tentang langkah-langkah penyelesaian.
ian Persamaan identitas Kondisi Langkah penyelesa
Jika n gan = sin x
x
x
2 21
sin
cos
=
−
jil • Pisahkan faktor cos x • Gunakan persamaan
identitas yang sesuai • Buatlah permisalan u Jika m ganjil cos x
x
x
2 21
cos
sin
=
−
• Pisahkan faktor sin x • Gunakan persamaan
identitas yang sesuai • Buatlah permisalan u = Jika n dan
genap
urangi pangkat sin dan n akan formula reduksi
m • Gunakan persamaan identitas yang sesuai untuk meng cos. • Sederhanakan persoala dengan menggun
(
1
cos(
2
)
)
sin
2 12x
x
=
−
(
1
cos(
2
)
)
cos
2 12x
x
=
+
Contoh 5.11valuasi
∫
sin
4x
cos
5x
.
dx
Penyelesaian:n bernilai 5 (ganjil), jadi penyelesaian menggunakan alternatif satu.
E
∫
sin
4x
cos
5x
.
d
x
∫
sin
4x
cos
5x
.
dx
=
∫
sin
4x
(
1
−
sin
2x
)
2cos
x
.
dx
∫
−
=
u
4(
1
u
2)
2.
du
∫
−
+
=
(
u
42
u
6u
8).
du
C
u
u
u
−
+
+
=
5 7 99
1
7
2
5
1
C
x
x
x
−
+
+
=
5 7sin
99
1
sin
7
2
sin
5
1
Latihan Soal 5.4
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! gral berikut dengan menggunakan teknik integral sin dan cos pangkat.
Evaluasi inte ber
1.
∫
cos
5x
sin
x
.
dx
2.∫
cos
23
x
.
dx
3.∫
cos
2x
sin
2x
.
dx
4.∫
sin
4x
cos
3x
.
dx
5.∫
sin
ax
cos
ax
.
dx
6.∫
sin
x
cos
2
x
.
dx
5.5 Integrasi Tan dan Sec Berpangkat
Teknik integrasi tan dan sec berpangkat digunakan untuk menyelesaian persoalan integrasi fungsi tangen dan secant berpangkat banyak yang mempunyai bentuk
∫
tan
nx
.
dx
,∫
sec
nx
.
dx
, dan∫
tan
mx
.
sec
nx
.
dx
. Dalam membuat penyelesaian, kita kad)
(
tan
2=
x
a entitas trigonometrik memudahkan dalam mencari jawaban, ita menggunakan formula reduksi.
ng-kadang me
1
)
(
2−
x
.
merlukan bantuan persamaan
sec
id
Untuk fungsi tangen dan secant yang berpangkat lebih banyak, penyelesaian tidak menjadi sederhana lagi. Untu
k
∫
∫
− −−
−
+
−
=
x
dx
n
n
n
x
x
dx
x
n n nsec
.
1
2
1
tan
.
sec
.
sec
2 2∫
− −−
−
=
x
dx
n
x
dx
x
n n ntan
.
1
tan
.
tan
1 2 12∫
Contoh 5. valuasi∫
sec
3x
.
dx
Penyelesaian: n bernilai 3 E∫
sec
3x
.
dx
∫
sec
3x
.
dx
=
x
x
+
∫
sec
x
.
dx
2
1
2
tan
sec
C
x
x
x
x
+
+
+
=
ln
sec
tan
2
1
tan
sec
2
1
Contoh 5.13 valuasi∫
tan
5x
.
dx
Penyelesaian: E∫
tan
5x
.
dx
=
x
−
∫
tan
x
.
dx
4
tan
4 3 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = x x∫
tanx.dx 2 2 tan 4 tan4C
x
x
x
+
+
−
=
ln
sec
2
tan
4
tan
4 2Untuk persoalan integral yang dinyatakan dalam bentuk
∫
tan
mx
.
sec
nx
.
dx
, prosedur penyelesaian sangat bergantung kepada nilai m dan nilai n. Tabel dibawah ini memperlihatkan kepada Anda tentang langkah-langkah penyelesaian.
Kondisi Langkah penyelesaian Persamaan
identitas
Jika n genap • Pisahkan faktor sec2 x
• Gunakan persamaan identitas yang sesuai
• Buatlah permisalan u = tan x
1
tan
sec
2=
2+
x
x
Jika m ganjil • Pisahkan faktor sec x tan x • Gunakan persamaan identitas
yang sesuai
• Buatlah permisalan u = sec x
1
sec
tan
2=
2−
x
x
Jika m genapdan n ganjil • Gunakan persamaan identitas yang sesuai untuk mengurangi pangkat sec x
• Sederhanakan persoalan dengan menggunakan formula reduksi
1
sec
tan
2=
2−
x
x
Contoh 5.14Evaluasi
∫
tan
2(
x
).
sec
4(
x
).
dx
Penyelesaian :∫
tan
2(
x
).
sec
4(
x
).
dx
=
∫
tan
2(
x
).
sec
2(
x
).
sec
2(
x
).
dx
(
)
∫
+
=
tan
2(
x
).
tan
2(
x
)
1
sec
2(
x
).
dx
misalkan : u = tan (x) du = sec2 (x) dx
∫
+
=
u
2(
u
21
).
du
C
u
u
+
+
=
5 33
1
5
1
C
x
Tan
x
Tan
+
+
=
(
)
3
1
)
(
5
1
5 3Latihan Soal 5.5
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral berikut dengan menggunakan teknik integral tangen dan secant berpangkat.
1.
∫
sec
2(
3
x
+
1
).
dx
2.∫
tan
2x
sec
2x
.
dx
2.∫
tan
5x
sec
4x
.
dx
4.∫
sec
5x
tan
3x
.
dx
5.
∫
tan
5x
sec
x
.
dx
6.∫
tan
4sec
x
.
dx
5.6 Integr
aimana mengevaluasi integral akan dalam bentuk:
asi Substitusi Trigonometri
ada bagian ini kita akan memperlihatkan bag Pyang integrannya dinyat
(
a
2−
x
2)
(
a
2+
x
2)
(
x
2−
a
2)
dengan membuat substitusi dari fungsi trigonometri.
Tabel di ba membantu Anda dalam mempelajari bagian ini.
Ungkapan
Integral P
wah ini akan
Substitusi embatasan θ Identitas
Trigonometri
(
a
2−
x
2)
x = a Sin θ -π/2 < θ < π/2 a2 – a2 Sin2θ = a2Cos2θ(
a
2+
x
2)
x = a Tan θ -π/2 < θ < π/2 a2 + a2 Tan2θ = a2Sec2θ(
x
2−
a
2)
x = a Sec θ π0 < θ /2 if x > a < θ < 3π/2 if x <-a a 2 Sec2θ - a2 = a2Tan2θ < π Contoh 5.15∫
x
2(
dx
4
−
x
2)
Evaluasi integrasi Penyelesaian:∫
x
2(
dx
4
−
x
2)
misalkan : x = 2 Sin θ dx = 2 Cos θ dθ∫
x
2(
dx
4
−
x
2)
=
∫
(
)
(
−
)
)
(
4Sin
4
)
2Sin(
.d
2cos
θ θ
2 2θ
θ
)
(
) (
∫
= ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2θ θ
2θ
θ
Cos Sin d Cos∫
=
Csc
2θ
.d
θ
(
)
C
x
x
+
−
=
4
4
2 Contoh 5.16(
)
∫
x
2+
a
2dx
Evaluasi integral Penyelesaian:(
)
∫
x
2+
a
2dx
misalkan : x = a Tan θ …. dx = a Sec2θ dθ
(
)
∫
x
2+
a
2dx
(
)
∫
+
=
2 2 2)
(
).
(
a
aTan
d
aSec
θ
θ
θ
(
)
∫
+
=
1
)
(
.
d
2 2 2θ
θ
θ
Tan
a
aSec
∫
=
Se
c
(
θ
).
d
θ
= ln |Sec
(
θ
)
+
Tan
(
θ
)
| + C’(
x
+
a
2)
+
x
= ln | | + CLatihan Soa
l 5.6
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih ban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! knik in grasi substitusi trigonometri.
diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawa
Evaluasi integral di bawah ini dengan menggunakan te te
1.
∫
4
−
x
2dx
2.∫
−
x
dx
x
2 23
9
∫
2 16− 2 x x dx 4.∫
+25 2 2 x x dx 3. 5.∫
− 2 2 16 x x dx 6.∫
+25 2 2 x x dx5.7 Integr
da dua macam bentuk persamaan rasional yang harus diperhatikan dalam persamaan fungsi rasional dengan
aktor Linier, bentuk : (ax
+
b)
mUntuk fungsi rasional yang faktor-faktornya linier, maka pecahan dari faktor tersebut ditulis dalam bentuk:
asi Fungsi Rasional
Amenyelesaikan persoalan integrasi, yaitu
faktor linier dan persamaan fungsi rasional dengan faktor kuadrat.
F
(
1)
2 2 3 3(
ax
mb
)
mA
...
)
b
ax
(
A
)
b
ax
(
A
b
ax
A
+
+
+
+
+
+
+
+
Contoh 5.17 Evaluasi
∫
−
+
x
2
x
enyelesaian:dx
2 P∫
x
2+
dx
x
−
2
tegran dapat juga ditulis dalam bentuk berikut : In
)
2
x
(
B
)
1
x
(
A
1
1
=
=
x
2+
x
−
2
(
x
+
2
)(
x
−
1
)
−
+
+
1 = (x + 2)A 1)B ………….. A = 1/3 dan B = -1/3 lis menjadi :Bilangan A dan B yang kita cari : + (x –
Sehingga soal dapat ditu
∫
x
2+
dx
x
−
2
=∫
−
+
∫
x
+
2
dx
B
dx
1
x
A
=∫
∫
+
−
−
x
2
dx
3
1
1
x
dx
3
1
=C
2
x
1
x
ln
3
1
+
+
−
ontoh 5.18 C Evaluasi∫
−
+
dx
x
2
x
4
2 3 enyelesaian:x
2
P∫
2
x
−
+
4
dx
x
2
x
3 2tegran dapat ditulis menjadi: In
2
x
C
x
B
A
4
x
2
4
x
2
=
+
+
x
)
2
x
(
x
x
2
2 2−
2−
3+
=
+
x
−
2x + 4 = (A + C)x2 + (- + B)x – 2C …… A = -2 B = -2 C = 2 lis menjadi : 2x + 4 = Ax(x – 2) + B(x -2) + Cx2 2A Sehingga soal dapat ditu∫
2
3x
−
+
4
2dx
=∫
∫
∫
−
+
−
−
2
x
dx
2
x
dx
x
dx
2
2x
2
x
=2
ln
|
x
2
|
C
x
2
|
x
|
ln
2
+
+
−
+
=
C
x
ln
2
x
+
+
2
x
2
−
2+
bx
+
c)
mUntuk fungsi rasional yang faktor-faktornya kuadrat, maka pecahan dari faktor tersebut ditulis dalam bentuk:
Faktor kuadrat, bentuk : (ax
(
21 1) (
1 22 2)
2 23 3 3(
2m m)
m c bx ax ax bx c B x A ... ) c bx ax ( B x A c bx ax B x A B x A + + + + + + + + + + + + + + ontoh 5.19 + + C Selesaikan∫
−
+
−
−
+
dx
1
x
3
x
x
3
2
x
x
2 3 2 Penyelesaian :∫
−
+
+
−
−
dx
1
x
3
x
x
3
2
x
x
2 3 2Integran dapat ditulis dalam bentuk :
1 x 1 x 3 ) 1 x )( 1 x 3 ( 1 x 3 x x 3 − + − − + − + C 2 2 2 2 3 = − C)(3x – 1) + 3C)x + (A – C) diperoleh A = -7/5 4/5 C = 3/5
Sehingga soal dapat ditulis menjadi:
Bx A 2 x x x x2 2 + + = − + + x2 + x -2 = A(x2 +1) + (Bx + = (A + 3B)x2 + (-B B =
∫
x
−
2+
x
+
−
2
−
dx
1
x
3
x
x
3
3 2 =∫
∫
+
+
+
−
−
dx
1
x
5
3
x
5
4
1
x
3
dx
5
7
2 =(
)
Tan
(
x
)
C
5
3
1
x
ln
5
2
|
1
x
3
|
ln
15
7
−
+
2+
+
1+
−
− Catatan:ungsi rasional dengan pangkat penyebut lebih besar dari pangkat pembilang F
inamakan fungsi rasional yang tidak umum (inproper rational functions).
i dapat dilakukan dengan cara membagi penyebut dengan pembilang
Latihan Soal 5.7
d
Integras
terlebih dahulu baru dilakukan proses pengintegralan.
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!
Evaluasi int wah ini dengan menggunakan teknik integra ras egral di ba si fungsi ional.
∫
2+
3
−
4
x
x
dx
1. 2.∫
−
−
dx
x
x
x
4
5
24
dx
x
x
x
∫
2
11
2+
+
7
17
−
4
3. 4.∫
−
−
−
dx
x
x
x
x
2 22
1
2
. 3∫
(
x
−
1
)(
x
dx
+
2
)(
x
−
3
)
6.∫
+
−
−
dx
x
x
x
)
5
)(
2
(
1
3
55.8 Integr
bersifat oba-coba dan tidak ada cara khusus. Setiap persoalan dipandang secarategral yang menyangkut nilai x berpangkat rasional dapat disederhana kan engganti
u = x(1/n)
20
asi Dengan Bermacam-macam Substitusi
Integrasi dengan bermacam-macam substitusi tidak terlalu relevan dengan materi terdahulu. Hal itu disebabkan teknik integrasi yang dilakukan
c
terpisah. Dengan kata lain tidak ada aturan penyelesaian yang baku. In dengan m Contoh 5. valuasi
∫
+ 1 3 E dx x x Penyelesai an :∫
1+3 xdx x misalkan u = x1/6 x = u6 dx = 6u5Sehingga soal da ap t diubah menjadi :
∫
1+3 xdx x =( )
( )
∫
+
u
6
u
du
1
u
5 3 / 1 6 2 / 1 6 =∫
+
u
6
du
1
u
2 8 =x
2
x
6
x
6
Tan
(
x
)
C
5
6
x
7
6
7/6−
5/6+
1/2−
1/6+
−1 1/6+
Contoh 5.21 Evaluasie
xdx
Penyelesai∫
1
+
an:dx
e
x∫
1
+
dimisalkan=
1
+
...
=
2−
1
...
=
ln(
2−
1
)
u
x
u
e
e
u
x xdu
u
u
dx
u
u
du
dx
1
2
...
1
2
2 2−
=
−
=
Sehingga soal menjadi:
dx
e
x∫
1
+
du
u
u
u
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
2
2 du u u∫
⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ = 1 2 2 2du
u
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
1
2
2
2du
u
u
u
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
=
1
1
1
1
2
C u u u+ − − + + =2 ln 1 ln 1C
e
e
e
x x x+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
+
+
+
=
1
1
1
1
ln
1
2
Latihan Soal 5.8
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral di bawah ini.
1.
∫
x
x
−
2
.
dx
2.∫
+
dx
x
x
.
9
3.∫
+
x
.
dx
3
1
4.∫
+
dx
x
x
.
1
5.∫
+
x
dx
x
.
1
3 6.∫
−
3/5x
x
dx
5.9 Integrasi Fungsi Hiperbolis
Teknik integrasi fungsi hiperbolis digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral dimana integrannya dinyatakan oleh fungsi hiperbolis. Rumus-rumus dasar yang digunakan untuk mengevaluasi persoalan integral adalah:
1.
∫
Sinh
(
u
).
du
= Cosh (u) + C 2.∫
Cosh
(
u
).
du
= Sinh (u) + C 3.∫
Tanh
(
u
).
du
= ln | Cosh (u) | + C 4.∫
Cosh
(
u
).
du
= ln | Sinh (u) | + C5.
∫
Sech
2(
u
).
du
= Tanh (u) + C 6.∫
Csch
2(
u
).
du
= - Cotgh (u) + C 7.∫
Sech
(
u
).
Tanh
(
u
).
du
= -Sech (u) + C 8.∫
Csch
(
u
).
Cotgh
(
u
).
du
= - Csch(u) + C 9.∫
+
2 2a
u
du
= Sinh-1C
a
u
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
10.∫
−
2 2a
u
du
=C
a
u
Cosh
1⎟
+
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− u > a > 0 11.∫
−
2 2u
a
du
=C
a
u
Tanh
a
1
1⎟
+
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− u2 < a2 12.∫
−
2 2a
u
du
=C
a
u
Cotgh
a
1
1⎟
+
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
− u2 > a2 Contoh 5.22 Evaluasi∫
tanh
x
.
dx
Penyelesaian:∫
tanh
x
.
dx
=∫
dx
x
x
.
cosh
sinh
Dimisalkan u = cosh x…du = sinh x dx
∫
dx
x
x
.
cosh
sinh
= lncoshx +CLatihan Soal 5.9
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral di bawah ini.
1.
∫
cosh(
2
x
−
3
).
dx
2.∫
sinh
6x
cosh
x
.
dx
5.10 Integral Tertentu
Fungsi Kontinu Dengan Nilai Tidak Negatif
sb. y
(xk , f(xk))
y = f(x)
sb. x
Jika fungsi f(x) adalah kontinu pada selang [a , b] dan jika f(x) > 0 untuk semua nilai x pada [a , b] maka luas (Area) di bawah kurva y = f(x) dan di atas selang [a , b] didefinisikan : A = limmax. x 0 k → Δ
∑
=Δ
n 1 k k k).
x
x
(
f
Definisi di atas jika ditulis:
0 x . max lim k → Δ
∑
=Δ
n 1 k k k).
x
x
(
f
=∫
b a dx ). x ( fPernyataan pada sisi kanan dari persamaan dinamakan integral tertentu fungsi f(x) dari a ke b. Bilangan a dan b disebut batas atas dan batas bawah integral. Contoh 5.23 Hitunglah integral
∫
−
4 2)
1
(
x
dx
Penyelesaian :4
2
6
dx
dx
.
x
dx
)
1
x
(
4 2 4 2 4 2=
−
=
−
=
−
∫
∫
∫
sb. y
f(x) = x - 1
sb. x
Fungsi Kontinu Dengan Nilai Positif dan Negatif
x
3x
4a x
1x
2x
…x
nb
sb. x
Jika fungsi f(x) adalah kontinu pada selang [a , b] dan dapat diasumsikan keduanya bernilai positif dan negatif, maka luas sebenarnya (net signet area) A antara y = f(x) dan selang [a , b] didefinisikan :
= 0 x . max lim k → Δ
∑
=Δ
n 1 k k kx
).
x
(
f
∫
b a dx ). x ( fLuas sebenarnya antara y = f(x) dan [a , b] dapat bernilai positif, negatif atau kosong.
Contoh 5.24
Hitunglah integral pada contoh 5.23 dengan syarat batas bawah dan atas masing-masing x = 0 dan x = 2
Penyelesaian :
Perhatikan gambar pada Contoh 5.23
∫
2 − =∫
−∫
= − = 0 2 0 2 0 0 2 2 dx dx . x dx ) 1 x (Sifat-sifat Integral Tertentu
a.
∫
a = a 0 dx ). x ( fb.
∫
b =−∫
a a b dx ). x ( f dx ). x ( fc.
∫
b =∫
a a b dx ). x ( f . C dx ). x ( f. Cd.
∫
[
±]
=−∫
±∫
b a b a a b dx ). x ( g dx ). x ( f dx . ) x ( g ) x ( fe.
∫
=∫
+∫
b c b a c a dx ). x ( f dx ). x ( f dx ). x ( fLatihan Soal 5.10
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Hitunglah integral di bawah ini dan buatlah sketsa gambarnya.
1.
