Turunan Fungsi Kompleks

Turunan Fungsi

Kompleks

Turunan

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menggunakan definsi untuk menentukan turunan suatu fungsi

2. Menggunakan rumus-rumus turunan untuk mencari turunan suatu fungsi 3. Memeriksa apakah suatu fungsi dapat diturunkan atau tidak pada suatu titik Materi Ajar

Misal f adalah fungsi yang daerah asal definisinya memuat lingkungan dari titik z . Turunan dari f pada titik 0 z , ditulis ₀ f'(z₀) didefinisikan dengan

(1) jika limit ini ada. Fungsi f dikatakan dapat diturunkan pada z₀ jika turunannya ada pada z₀. Dengan menyatakan peubah z dalam peubah baru,

kita dapat menuliskan (1) sebagai

(2) catat bahwa, karena f terdefinisi diseluruh lingkungan z₀ ,

selalu terdefinisi untuk z cukup kecil.

Gambar 1

Jika menggunakan (2) , seringkali indeks dari z₀ tidak digunakan dan menggunakan bilangan baru

yang menunjukkan perubahan pada nilai f yang berkaitan dengan perubahan z pada titik di mana f dievaluasi. Jika kita menuliskan

dz

dw untuk f' z( ), maka (2) menjadi

(3) Contoh 1 :

Misal f(z)= z². Pada sebarang titik z

Karena 2z+zadalah polinomial dalam z. Sehingga z dz

dw=2 atau f'(z)=2z Contoh 2 :

Tinjau kasus fungsi f(z)= z², dalam hal ini

Gambar 2 Jika limit dari

z w



 ada, maka seharusnya z =(x,y) mendekati titik asal pada bidang

z dalam berbagai cara. Secara khusus, jika z mendekati titik asal secara horizontal melalui titik-titik ( x ,0) pada sumbu riil

Dalam hal ini

Sehingga, jika limit

z w



 ada, nilainya haruslah z + . Tetapi, jika z z mendekati titik asal secara vertikal melalui titik (0, pada sumbu imajiner, sehingga y)

kita peroleh

Sehingga, jika

z w



 ada, nilainya haruslah z − . Karena nilai limit tunggal, maka z

atau z=0, jika dz

dwada. Sebaliknya jika z=0 maka , z z w =



 , sehingga

z w dz

dw

z 

= 

→

lim0

ada dan nilainya sama dengan nol. Kita simpulkan dz

dwada jika dan hanya jika z =0 dan nilainya sama dengan nol.

Contoh 2 menunjukkan bahwa suatu fungsi dapat diturunkan pada suatu titik tertentu tetapi tidak dimanapun pada sebarang lingkungan dari titik tersebut. Karena bagian riil dan imajiner dari f(z)= z²adalah

juga dapat ditunjukkan bahwa bagian riil dan bagian imajiner dari fungsi variabel kompleks dapat memiliki turunan parsial yang kontinu untuk semu tingkatan pada titik tersebut tapi fungsinya tidak dapat diturunkan di sana.

Fungsi f(z)= z² kontinu pada setiap titik di bidang kompleks, karena bagian riil dan bagian imajinernya kontinu pada setiap titik. Jadi kekontinuan dari fungsi pada suatu titik tidak menjamin adanya turunan titik tersebut. Tetapi, adalah benar bahwa eksistensi turunan dari suatu fungsi pada suatu titik mengakibatkan kekontinuan dari fungsi pada titik tersebut. Untuk melihat hal tersebut, misalkan f'(z₀) ada sehingga

Ini berarti

atau f kontinu pada z₀.

Interpretasi geometris dari turunan suatu fungsi kompleks tidak bisa dengan mudah dijelaskan seperti pada fungsi variabel riil. Ini akan di bahas pada tingkat lanjut, dan kita tidak akan membahasnya di sini.

Definisi turunan identik dalam bentuknya dengan fungsi variabel kompleks bernilai kompleks. Kenyataannya, rumus yang diberikan berikut ini dapat diturunkan

dari definsi dengan langkah-langkah seperti pada kalkulus. Dalam rumus ini, turunan dari fungsi f pada titik z dinyatakan dengan

tergantung notasi mana yang dianggap lebih nyaman untuk digunakan.

Misal c konstanta kompleks, dan misal f fungsi yang turunannya ada pada suatu titik . Dapat ditunjukkan dengan menggunakan definisi bahwa

(4) juga jika n bilangan bulat positif maka

(5)

rumus ini juga benar untuk n bilangan bulat negatif asalkan z0. Jika turunan dari dua fungsi f dan F ada pada titik z , maka

(6) (7) dan jika F(z)0

(8) Seperti pada fungsi peubah riil pada fungsi peubah kompleks juga berlaku aturan rantai dalam menurunkan fungsi komposit. Misal f memiliki turunan pada z₀ dan gmemiliki turunan pada f(z₀). Maka fungsi F(z)=g[f(z)] memiliki turunan pada z₀ dan

(9) Jika kita tuliskan w = f(z) dan W = g(w) sehingga W =F(z), aturan rantai menjadi

Contoh 3 :

Untuk mencari turunan dari (2z +² i)⁵, tulis w=2z² +i dan W =w⁵ . Maka

Latihan :

1. Gunakan aturan pencarian turunan untuk mencari f' z( ), jika

2. Tunjukkan bahwa (a) Polinomial

yang berderajat n , ( n 1) , dapat diturunkan di mana-mana dengan turunan

(b) Koefisien polinomial P(z) pada bagian (a) , dapat ditulis sebagai

3. Dengan menggunakan definisi (3) , untuk membuktikan

4. Misal f(z₀)=g(z₀)=0 dan f'(z₀), g'(z₀) ada dengan g'(z₀)0. Gunakan definisi (1) untuk menunjukkan bahwa

5. Buktikan aturan pencarian turunan jumlah dari dua fungsi

6. Buktikan pernyataan (2) untuk turunan dari zⁿ jika n bilangan bulat positif menggunakan :

(a) Induksi matematika dan aturan pencarian turunan hasil kali dari dua fungsi (b) Definsi (3) untuk turunan dan rumus binomial

7. Buktikan pernyataan (2) untuk turunan dari zⁿ jika n bilangan bulat negatif ( ,...

2 ,

−1 −

=

n , asalkan z0

8. Tunjukkan bahwa f' z( ) tidak ada pada sebarang titik z jika jika

9. Misal f adalah fungsi yang nilainya ditentukan oleh aturan pengaitan

Tunjukkan bahwa jika z=0, maka =1



 z

w pada setiap titik pada sumbu riil dan

imajiner dalam z atau bidang xy. Kemudian tunjukkan =−1



 z

w pada titik

) ,

(x y pada garis y =x. Simpulkan dari hal tersebut bahwa f'(0) tidak ada ( Catat bahwa untuk mendapatkan hasil ini tidak cukup dengan hanya memperhatikan pendekatan horizontal dan vertikal ke titik asal pada bidang z )

Persamaan Cauchy Riemann

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Memeriksa apakah suatu fungsi memenuhi persamaan Cauchy-Riemann 2. Memeriksa apakah suatu fungsi dapat diturunkan

3. Menentukan titik-titik di mana suatu fungsi dapat diturunkan dan tidak dapat diturunkan

Materi Ajar

Pada bagian ini mendapatkan sepasang persamaan yang pasti dipenuhi oleh turunan parsial pertama dari bagian riil u dan bagian imajiner v dari fungsi

pada titik z =₀ (x₀,y₀) jika turunan dari f ada di sana. Kita juga dapat menyatakan )

( ' z₀

f dalam suku-suku dari turunan parsialnya.

Teorema 1 : Misal

dan f' z( ) ada pada titik z₀ =x₀ +iy₀. Maka turunan-turunan parsial pertama dari udan v ada pada (x₀,y₀) dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann

di titik tersebut. Selanjutnya f'(z₀)dapat ditulis sebagai

dimana nilai turunan parsialnya dievaluasi pada titik (x₀,y₀)

Contoh 1 :

Kita pernah menunjukkan bahwa fungsi

dapat diturunkan pada setiap titik di bidang kompleks dan f'(z)=2z, sehingga menurut teorema 1 maka turunan-turunan parsial pertamanya memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di mana-mana. Perhatikan

sehingga

dan

dan

Dipenuhinya Ppersamaan Cauchy-Riemann adalah syarat perlu untuk melihat apakah suatu fungsi dapat diturunkan pada suatu titik, karenanya seringkali digunakan untuk melihat pada titik mana suatu fungsi tidak dapat diturunkan.

Contoh 2 :

Jika f(z)= z², kita punyai

Persamaan Cauchy-Rieman dipenuhi hanya pada titik (x,y) dengan 2 =x 0 dan 2 =y 0 yakni pada titik (0,0). Dengan demikian kita bisa mengatakan bahwa f terdiferensial pada titik (0,0), dengan f'(0)=0 dan tidak terdiferensial pada sebarang titik tak nol pada bidang kompleks.

Catat bahwa berdasarkan teorema di atas dipenuhinya persamaan Cauchy- Riemann di suatu titik tidak menjamin adanya turunan di titik tersebut , tetapi dengan syarat kekontinuan tertentu kita mendapatkan teorema berikut :

Teorema 2 : Misal

Terdefinisi pada seluruh titik disuatu lingkungan- dari z₀= x₀ +iy₀ dan misal turunan parsial pertama dari fungsi u dan v terhadap x dan y ada di mana-mana dalam lingkungan tersebut. Jika turunan parsial pertamanya kontinu pada (x₀,y₀) dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann

pada (x₀,y₀), maka f'(z₀)ada.

Contoh 3 :

Tinjau fungsi eksponensial

Dengan menggunakan rumus Euler fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai

di mana ydihitung dalam radian jika cosy dansin dievaluasi. Karena y u =_x v_y dan

x

y v

u =− dimana-mana dan karena turunan parsialnya kontinu di mana-mana, maka syarat dari teorema 2 dipenuhi di setiap titik di bidang kompleks , sehingga f' z( )ada di mana-mana dan

Perhatikan bahwa f'(z)= f(z)

dan

Contoh 4 :

Berdasarkan teorema 2, fungsi f(z)= z², yang komponennya

memiliki turunan pada z =0 dan f'(0)=0+0i=0i

Misal z₀ 0, selanjutnya kita akan menggunakan transformasi koordinat dan menyatakan teorema 2 dalam koordinat polar seperti berikut

Teorema 3 : Misal

didefinisikan pada setiap titik di suatu lingkungan  pada suatu titik z =₀ r₀exp(i), dan anggap turunan parsial pertama dari fungsi udan v terhadap r dan  ada dimanapun pada lingkungan tersebut. Jika turunan parsial pertamanya kontinu pada (r₀,₀) dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann dalam bentuk polar

’ pada titik (r₀,₀) maka f'(z₀) ada.

) ( ' z₀

f dalam hal ini dapat dituliskan sebagai

yang dievaluasi di (r₀,₀)

Contoh 5 : Tinjau fungsi karena

syarat pada teorema 3 dipenuhi pada setiap titik z =re^i pada bidang. Khususnya persamaan Cauchy-Riemann

sehingga turunan dari f ada jika z0 dan

dan

dan

dan

Contoh 6 :

Teorema 3 dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jika ditetapkan suatu bilangan riil  , fungsi

memiliki turunan disetiap daerah asal definisinya. Hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Karena

dan

syarat lainnya dari teorema (3) dipenuhi, maka f' z( )ada pada setiap titik di mana f(z) didefinisikan dan

dan

Catat dalam hal ini bahwa jika suatu titik tertentu z di ambil pada daerah asal definsi dari f , maka nilai f(z)adalah satu nilai dari z^1/3, sehingga pada nilai yang diambil tersebut

Latihan :

1. Gunakan teorema 1 untuk menunjukkan bahwa f' z( ) tidak ada pada setiap titik, jika

2. Gunakan teorema 2 untuk menunjukkan f' z( )dan turunannya f" z( ) ada di mana-mana dan cari f" z( ), jika

3. Periksa apakah f' z( )ada dan cari nilainya, jika dan

dan

4. Gunakan teorema 3 untuk menunjukkan bahwa setiap fungsi berikut dapat diturunkan pada daerah definisi dan kemudian gunakan (21) untuk mencari f' z( )

5. Tunjukkan bahwa jika f(z)=x³ +i(1−y)³, maka kita boleh menuliskan

hanya jika z =i

6. Misal u dan v menyatakan bagian riil dan bagian imajiner dari fungsi f yang didefinisikan dengan persamaan

Periksa apakah persamaan Cauchy-Riemann u =_x v_y dan u_y =−v_x dipenuhi pada titik asal tetapi f'(0) tidak ada

7. Selesaikan persamaan

dalam u_x dan v_x untuk menunjukkan

Kemudian gunakan persamaan tersebut dan yang serupa untuk u dan _y v untuk _y menunjukkan persamaan Cauchy-Riemann dalam koordinat Cartesius dipenuhi pada titik z₀, jika persamaan Cauchy-Riemann dalam koordinat polar dipenuhi.

8. Misal fungsi f(z)=u+iv dapat diturunkan pada suatu titik z =₀ r₀exp(i₀). Gunakan pernyataan untuk u_x dan v_x seperti pada soal no 7 dan dengan persamaan Cauchy Riemann dalam bentuk polar untuk menuliskan pernyataan

dalam bentuk

jika jika

di mana u_r dan v_r di evaluasi di (r₀,₀).

9. (a). Dengan persamaan Cauchy-Riemann dalam bentuk polar, turunkan bentuk alternatif

dari pernyataan f'(z₀) pada soal no 8

(b). Gunakan ekspresi f'(z₀)pada (a) , untuk menunjukkan bahwa turunan dari fungsi

z z

f 1

)

( =

(

^z0

)

^{adalah '( ) 1}₂

z z f =− 10. (a) Ingat kembali bahwa jika z =x+iy, maka

Dengan menerapkan aturan rantai pada fungsi dua variabel riil F(x,y) , dapatkan

(b) Definisikan operator

Seperti yang disarankan pada bagian (a) untuk menunjukkan bahwa turunan parsial orde pertama dari bagian riil dan imajiner fungsi

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) memenuhi persamaan Cauchy Riemann, maka

dan

Fungsi Analitik

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Memeriksa apakah suatu fungsi adalah analitik di suatu titik

2. Menentukan titik-titik di daerah asal definisi di mana suatu fungsi analitik dan tidak analitik

Materi Ajar

Pada bagian ini kita akan membicarakan fungsi analitik. Suatu fungsi peubah kompleks f adalah analitik pada suatu himpunan buka jika f memiliki turunan pada setiap titik pada himpunan tersebut. Jika kita harus berbicara tentang keanalitikan f pada suatu himpunan S yang tidak tutup, maka itu mestinya dipahami sebagai f analitik pada suatu himpunan buka yang memuat S . Secara khusus, f analitik pada suatu titik z₀ jika f analitik pada setiap titik dari suatu lingkungan dari z₀.

Sebagai contoh fungsi f(z)=1/z adalah analitik pada setiap titik pada bidang hingga. Tetapi fungsi f(z)= z² tidak analitik pada setiap titik karena turunannya ada hanya ada pada z =0 tapi tidak ada pada setiap titik disebarang lingkungannya.

Fungsi utuh adalah fungsi yang analitik pada setiap titik di bidang. Karena turunan dari fungsi polinomial adalah ada di mana-mana, maka polinomial adalah fungsi utuh.

Jika suatu fungsi gagal analitik pada suatu titik z₀, tapi analitik pada beberapa titik pada setiap lingkungan dari z₀, maka z₀ disebut titik singular atau singularitas dari f . Sebagai contoh , titik z=0 adalah titik singular dari fungsi

f = 1z , di sisi lain fungsi z2

f = tidak memiliki titik singular karena tidak analitik di manapun.

Perlu, tapi tidaklah cukup, untuk mensyaratkan f kontinu di dalam domain D agar fungsi f analitik di dalam domain D. Dipenuhinya persamaan Cauchy-Riemann juga perlu, tapi tidaklah cukup untuk menjamin keanalitikan f di dalam domain D . Syarat cukup untuk keanalitikan di dalam domain D berkaitan dengan teorema syarat cukup ( lihat Teorema 2 dan Teorema 3 pada pembahasan tentang Persamaan Cauchy- Riemann )

Syarat cukup yang juga berguna diperoleh dari aturan pencarian turunan.

Turunan dari jumlah dan hasilkali dua fungsi ada jika masing-masingnya memiliki

turunan. Jadi jika dua fungsi analitik di dalam domain D, maka jumlah dan hasil bagi mereka juga analitik di dalam D. Serupa dengan hal itu, hasil baginya juga analitik di dalam domain Dselama fungsi pada bagian penyebutnya tidak pernah nol di sebarang titik di dalam D. Khususnya hasil bagi dari dua polinomial

) (

) (

z Q

z

P analitik dalam sebarang domain di mana Q(z)0.

Dari aturan rantai untuk fungsi komposisi, kita bisa tunjukkan bahwa komposisi dari dua fungsi analitik juga analitik. Secara persisnya, misal f(z) analitik dalam suatu domain D dan bayangan dari D dibawah transformasi w = f(z) termuat dalam daerah definisi dari fungsi g(w). Komposisi g[f(z)] adalah analitik di dalam D, dengan turunannya

Teorema 1 :

Jika f'(z)=0 di mana-mana di dalam domain D maka f(z) konstan di dalam D Contoh 1 :

Fungsi

adalah analitik pada seluruh bidang z kecuali pada titik singular z= 3 dan z =i. Keanalitikan juga dapat dilihat dengan melihat eksitens turunan dengan menggunakan aturan pencarian turunan, jika ekspresi f' z( )diminta.

Contoh 2 :

Jika f(z)=coshxcoshy+isinhxsinhy, misal

Karena

dipenuhi di mana-mana, maka f adalah fungsi utuh.

Contoh 3 : Misal fungsi

dan konjugatnya

keduanya analitik pada domain D. Maka f(z) konstan diseluruh D. Hal tersebut dapat ditunjukkan seperti penjelasan berikut ini.

Tulis f(z) sebagai

dengan

(1) Karena keanalitikan dari f(z)maka teorema Cauchy Riemann berlaku

(2) di dalam D. Keanalitikan dari f(z) mengatakan pada kita

Berdasarkan (1), persamaan terakhir dapat ditulis sebagai

(3) Dari (2) dan (3) kita dapatkan u_x =0 dan v_x =0 di dalam D, sehingga

berdasarkan teorema 1 , maka f konstan di dalam D. Latihan :

1. Tunjukkan bahwa fungsi berikut adalah fungsi utuh

2. Tunjukkan bahwa fungsi berikut tidak analitik di mana-mana :

3. Jelaskan mengapa komposisi dari dua fungsi utuh adalah fungsi utuh. Jelaskan juga mengapa kombinsi linier dari dua fungsi utuh c₁f₁(z)+c₂f₂(z), dengan c₁ dan c₂ konstanta kompleks adalah utuh.

4. Dalam setiap kasus berikut, tentukan juga titik singular dari fungsi dan jelaskan mengapa fungsi analitik disetiap titik kecuali pada titik-titik tersebut

5. Fungsi

analitik di daerah asal definisinya, dan

Tunjukkan bahwa fungsi komposisi G(z)=g(2z−2+i)adalah analitik pada separuh bidang x1, dengan turunan

Saran : perhatikan bahwa Re(2z−2+i)0 jika x1 6. Periksa apakah fungsi

analitik pada daerah asal definisinya, dengan turunan z z

g 1

) (

' = . Kemudian tunjukkan bahwa fungsi komposisi G(z)=g(z² +1) adalah analitik pada kuadran

0

x dan y0 dengan turunan

Saran : Perhatikan Im(z² +1)0 , jika x0 dan y0

7. Misal fungsi f(z) analitik pada domain D. Buktikan bahwa f(z) haruslah konstan pada D, jika

(a) f(z) bernilai riil pada seluruh z di dalam D (b) f(z) konstan di seluruh D

Saran : Gunakan persamaan Cauchy –Riemann dan teorema 1 untuk membuktikan (a). Untuk membuktikan (b), perhatikan bahwa

dan gunakan hasil yang diperoleh pada contoh 3