INTEGRAL OLEH : WILDAN SUHARTINI (KELAS L)

(1)

1 Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.

INTEGRAL

OLEH :

WILDAN SUHARTINI 125100301111024

(KELAS L)

A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU

Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.

1. INTEGRAL TAK TENTU

Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau

dx dy

, sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah

dx x f dx

y ( ) yang dibaca “ integral y terhadap x ”.

Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya diwakili oleh notasi c.

(2)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. Rumus umum integral dari n

ax y adalah x c n a n 1 1 atau ditulis :

x

c

n

a

dx

ax

n n 1

1

untuk n 1 Contoh :

F (x) anti derivativ dari (x) G (x)

F (x) = 4 x3 + x2 + 7 F’ (x) = 12 x2 + 2 x = (x) G (x) = 4 x3 + x2 9 G’ (x) = 12 x2 + 2 x = (x Fungsi 4 x3 + x2 + c adalah anti derivatif dari atau

12 x2 + 2x dx = 4x3 + x2 + c

Disebut integral tak tentu karena adanya konstanta c Rumus – rumus integral tak tentu:

 Rumus integral tak tentu dari fungsi Al jabar 1. dx = x + c

2. k dx = k d x = k x + c, k = konstanta

3. (u + v) dx = u dx + v dx, u dan v fungsi dari x 4. u dx = u dx, = konstanta, u fungsi dari x

5. xn dx =

1

1 n

n

x

+ c, n 1 6. un du =

1

1 n

n

u

+ c, n 1, u fungsi dari x

(3)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. 7.

u

du

= ln u + c 8. au du =

a

u

a

ln

+ c, a > 0, a 1 9. eu du = eu + c

 Rumus Integral tak tentu fungsi Trigonometri: 10. sin u du = cos u + c 11. cos u du = sin u + c 12. tg u du = ln sec u + c 13. ctg u du = ln sin u + c 14. sec u du = ln sec u + tg u + c 15. cosec u du = ln cosec u ctg u + c 16. sec2 u du = tg u + c 17. cosec2 u du = ctg u + c 18. sec u . tg u du = sec u + c 19. cosec u . ctg u du = cosec u + c 20.

2

2 _u

a

du

= arc sin

a

u

+ c 21.

2

2 _u

a

du

=

a

1

arc tg

a

u

+ c 22.

2

2 _a

u

du

=

a

1

arc sec

a

u

+ c

2

1

u

a

2 u

2

+

2

1

a2 arc sin

a

u

+ c 28.

u

2 a

2

du =

2

1

u

2 a

2

2

1

u

2 a

2

1

a2 ln u +

u

2 a

2

+ c

2

1 x

+ c 3. (2 + x)

x

. dx = 2

x

+ x

x

. dx

(5)

= 2x1/2 + x3/2. dx =

2

3

2

x3/2 +

2

5

1

x5/2 + c =

3

4

_.

_x

3

₊

5

2 ₅

x

+ c =

3

4

_{. x}

_x

₊

5

2

x2

x

+ c 4. 2x

1 x

2

dx metoda substitusi Misalnya u = 1 + x2 du = 2x dx I = 2x

u

x

du

2

=

(

lim

ada, selanjutnya

b

a

dx

x

f

(

)

disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan

(6)

b a

dx

x

f

(

)

= n i i i P

x

f

1 0

)

(

lim

. b a

dx

x

f

(

)

menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x

dalam selang [a,b], jika

b

a

dx

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka b a

dx

x

f

(

)

= F(b) – F(a)

(7)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =

[

F

(

x

)]

b_a

Contoh :

1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

1

1 1

r

a

r

b

dx

x

r r b a r Jawab : Karena F(x) =

1

r

x

r

suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,

1

1 )

(

)

(

1 1

r

a

r

b

a

F

b

F

dx

x

r r b a r

dx

x

2 1 2 2 1 2 1 2

₎

₄

₆

6

4 (

= 4 2 1 3 2 1 2

3

6

2 x

x

b

a

dx

x

f

(

)

dx

x

g

x

f

b

a

)]

(

)

(

[

b

a

dx

x

f

(

)

(8)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. = 4

3

1

3

8

6

2

1

2

4

= 12

Sifat-Sifat Integral Tentu

x

dx

x

dx

x

dx

2 3 2 3 0 2 2 0 2 3.

x

dx

x

dx

x

dx

2 1 2 1 0 2 2 0 2

2. Sifat Simetri Teorema :

Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka

f

x

dx

a a

)

(

= 2

f

x

dx

a 0

)

(

dan

Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka

f

x

dx

a a

)

(

= 0. Contoh : 1. 0

4 cos

2

4 cos

x

dx

x

dx

4

2

4

1 .

4 cos

8

0

dx

x

2.

dx

x

5 5 2 5

4

= 0

(9)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Teknik Subtitusi

a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu Teorema :

= 2

x

1/2

dx

2

1 sin

= 2

sin

udu

= 2cosu + c = 2cos

x

+ c b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

Teorema :

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka

du

u

f

dx

x

g

x

g

f

b g a g b a ) ( ) (

)

(

)

(

'

))

(

Contoh : Hitung 1 0

(

2

6 )

1 dx

x

Jawab :

Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi

(10)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. 1 0

(

2

6 )

1 dx

x

= 1 0

(

2

6 )

)

1 (

2

1 dx

x

=

(ln

9 ln

6 )

2

1 ln

2

1

2

1

₉ 6 9 6

u

du

=

2

3 ln

2

1

2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri a. sin n x dx, cos n x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1.

Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut sin 2 x =

2

2 cos

1 x

, cos 2 x =

2

Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.

Contoh :

(11)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. c. tg n x dx, cotg n x dx.

Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.

Contoh :

cotg 4 x dx = cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx = cotg 2 x cosec 2 x dx – cotg 2 x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec 2 x – 1) dx =

-3

1

cotg 3x + cotg x + x + c

d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x.

Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x. Contoh :

Tentukan : 1. tg –3/2 x sec 4 x dx 2. tg 3 x sec –1/2 x dx e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.

Gunakan kesamaan :

sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x] Contoh :

sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx

= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.

(12)

vdu

uv

udv

Contoh : 1. xexdx Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex xexdx = xex exdx = xex –ex + c

4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).

a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n

ax

u

du

x

3

c

4 7 3 2 3

₍

₄

₎

₍

₄

₎

7

3

3 .

)

4 (

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh : 1. Tentukan

dx

x

2 2

4

Jawab :

Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan

4 x

2 = 2 cos t , shg

dx

x

2 2

4

=

t

dt

ctg

tdt

t

2 2

(

2 cos

)

sin

4 cos

2

= - ctg t – t + c =

x

c

x

2 sin

4

2 ₁

(13)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. 5. Integral Fungsi Rasional

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

)

(

)

(

)

(

x

Q

x

P

x

F

, P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :

a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.

b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana

Contoh :

1

3

1

2

1

5

2

_x

x

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh : Tentukan

dx

x

3

2

3

5

2 3 Jawab :

3

1 )

3 )(

1 (

3

5

3

2

3

5

2 3

_x

C

x

B

x

A

x

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B =

2

3

1 ln

2

1

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : Tentukan

dx

x

2

)

3 (

Jawab : 2 2

)

3 (

3 )

3 (

x

B

x

A

x

maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga

c

x

dx

x

dx

x

dx

x

3

3 ln

)

3 (

3

1 )

3 (

2 2

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor

(

ax

b

)

k dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

k k

b

ax

A

b

ax

A

C

Bx

x

A

x

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.

(15)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. PENGGUNAAN INTEGRAL

1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA

Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan selang batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva tersebut.

Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva 2 x y !

Penyelesaian :

2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT

Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang a x b

dimana

daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah :

b a dx x f L ( ) X Y y = x y = x2 1 1

(16)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :

b a dy y f L ( )

Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 ! 3

Penyelesaian : Y -1 0 1 X 1 0 1 0 4 0 1 4 3 0 1 3 2 1 ) 0 4 1 ( ) 4 1 0 ( 4 1 4 1 x x dx x dx x L satuan luas.

3. LUAS ANTARA DUA KURVA

Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan sumbu koordinat.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y y = f(x) y = g(X)

0 a b X Luas daerah yang diarsir adalah :

(17)

b a b a b a dx x g x f dx x g dx x f L ( ) ( ) ( ( ) ( )) Jadi : b a x g x f L ( ) ( )

Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva y x2 3x

dan y = 2x + 2 ! Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva yaitu :

x2 3x 2x 2 x 2(x 1) 0 x 2atau x 1 -2 1 0 X 2 1 4 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 dx x x dx x x x L satuan luas.

4. VOLUME BENDA PUTAR

4.1 Volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat

Y

y =f(x) a b

(18)

Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah : 

b

a

dx

y

V

2

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 dan  dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya :

b a x dy

V 2

Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2

x

y , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh

 360 ! Jawab : Y 0 2 X 2 0 4 0 2 0 5 4 2 2 5 32 0 5 32 5 1 x dx x dx x V satuan volume.

4.2 Volume benda putar antara dua kurva

y y = f(x) y = g(x) 0 a b X

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 yang dibatasi  oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :

(19)

b

a y y dx

V ( 22)

2

1 dimana y1 f(x), y2 g(x)dan y1 y2

Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.

Contoh : Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

2 x

y dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !  Jawab : 2 0 2 0 5 3 4 2 2 0 2 2 2 15 64 5 1 3 4 4 ) ( ) 2 ( x x dx x x dx x x V REFERENSI:

Johan, Warsoma & Wono Setya Budi. 2008. Diktat Kalkulus 1 FMIPA ITB. Bandung: Depertemen Metematika FMIPA ITB.

Permana, Arif. 2012. Kalkulus: Integral dan fungsi integral. Yogyakarta. UGM press Wahyudi, Purwanto. 2011. Kalkulus 1 Dan Rumus-Rumus Integral. Malang. FMIPA