Fungsi f(x) dikatakan
•
pada interval I jika untuk
( )
( )
<
⇒
<
∀
∈
1 2 1 2
,
1,
2•
pada interval I jika untuk
•
pada interval I jika untuk
( )
( )
<
⇒
>
∀
∈
1 2 1 2
,
1,
2.
f(x2) f(x1) f(x ) f(x1) f(x2)
x1 x2 x1 x2
Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :
> ∀ ∈
'( ) 0
ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:
ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:
< ∀ ∈
'( ) 0
Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik
dan turun jika :
=
1 3−
2−
+
3
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya.
Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c
∈
I.• f(c) disebut nilai maksimum
buka yang memuat c sehingga ≥
≤
( ) ( )
Min
Max
global Min
global Max Min
lokal
global Max
lokal
a b c d e f
Titik pada daerah definisi dimana
kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi
disebut
titik kritis
.
Ada
tiga jenis
titik kritis
:
Ada
tiga jenis
titik kritis
:
a. Titik ujung selang I
b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana
'( )
=
0
)
Min lokal
Max
global Min
global Max
lokal
Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang
Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner
Titik x = e merupakan titik singular
lokal
Jika >
maka f(c) merupakan nilai maksimum
minimum lokal f.
f(c)
c
Disebelah kiri c monoton naik (f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)
f(c)
Misalkan '( ) = 0 Jika <
Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner
Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.
3 merupakan nilai maksimum lokal
• Pada selang ( 1,3) , − '( ) < 0 Pada selang (3, ) , ∞ '( ) > 0
Jadi (3) = −5 merupakan nilai minimum lokal
•
Fungsi f(x) dikatakan
pada interval I
bila
'( )
naik pada interval I.
•
Fungsi f(x) dikatakan
pada interval I
bila
'( ) turun pada interval I
bila
'( ) turun pada interval I
1.
Jika
"( )
>
0 ,
∀ ∈
maka f(x) cekung ke atas pada I
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) )
disebut
titik belok
dari kurva f(x) jika terjadi
perubahan kecekungan di x = b, yaitu di
sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di
sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di
sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau
sebaliknya.
f(c) f(c)
c
(c,f(c)) titik belok
c
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
c f(c)
c
(c,f(c)) bukan titik belok
Karena disekitar c tidak
Terjadi perubahan kecekungan
Walaupun di sekitar c
Terjadi perubahan
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a.
( )
=
2
3−
1
b.
( )
=
4b.
( )
=
a.
Dari ( ) = 2 3 −1 maka "( ) 12 . =• Bila "( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
• Fungsi f kontinu di x = 0.
• Untuk x < 0 maka Untuk x < 0 maka "( )"( ) < 0 , sedangkan untuk x > 0 maka 0 , sedangkan untuk x > 0 maka
>
"( ) 0 .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = &1. Jadi
b.
Dari ( ) = 4 maka " ( ) 12= 2 .•
Bila " ( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok•
Fungsi f kontinu di x = 0•
Untuk x < 0 dan x > 0 maka " ( ) > 0 .•
Untuk x < 0 dan x > 0 maka " ( ) > 0 .Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi
c.
( ) = 13 +1 maka = −• Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
