FUNGSI DAN SIFATNYA. Penyusun: Bevina D. Handari. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

(1)

FUNGSI DAN SIFATNYA

(2)

DAFTAR ISI

1. Mengapa karakteristik grafik penting?

2. Fungsi Naik, Fungsi Turun

3. Titik Maksimum, Titik Minimum

4. Titik Maksimum Relatif, Titik Minimum Relatif

5. Titik Balik

6. Rasio Laju Perubahan

(3)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1

Fungsi berguna untuk memodelkan relasi antara dua

peubah. Misalnya relasi antara waktu dan jumlah penduduk. Dengan menggunakan fungsi, kita dapat mengetahui sifat spesifik dari sebuah relasi, bahkan dengan fungsi kita mungkin dapat melakukan

prediksi dari sebuah perubahan.

Seringkali data divisualisasikan dalam bentuk grafik

garis. Informasi yang dapat kita amati secara

langsung dari grafik garis misalnya: titik maksimum, titik minimum, laju perubahan dan lain-lain.

(4)

Representasi grafik garis (grafik) dari fungsi

merupakan alat yang penting untuk dapat

menganalisis karateristik fungsi yang mungkin dijumpai pada masalah.

_{Karena itu lingkup subpokok bahasan adalah}

mengenai karakteristik grafik dan fungsi, khususnya karakteristik grafik.

Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari

(5)

x T 1 30 2 60 3 90 4 120 5 150 Tem er a tur ( C elc ius )

Tabel Pengaruh Kedalaman Bumi (x) pada Temperatur (T)

Representasi fungsi dengan grafik

1 2 3 4 5

Pengaruh Kedalaman Bumi pada Temperatur 160 140 120 100 80 60 40 20 0

(6)

T em er a tur (Celc ius ) 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 Kedalaman Bumi (km)

Titik (3,90) adalah salah satu titik pada grafik. Grafik

terdiri dari sejumlah tak hingga titik.

Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Grafik dari fungsi terdiri dari semua titik koordinat

(a,b) dimana b adalah nilai peubah terikat dan a adalah nilai peubah bebas yang terkait dengan b.

Pengaruh Kedalaman Bumi

pada Temperatur 160 140 120 100 (3,90)

(7)

2 0 4 14 12 10 8 6

Kenapa karakteristik grafik penting?

Jika kita memahami karakteristik grafik, akan

memudahkan kita mengidentifikasi sifat-sifat penting sebuah fungsi. Misalnya kapan fungsi naik atau

turun, mencapai nilai maksimum, dan lain-lain.

Tingkat Inflasi Tahun 2005-2010

18 16 Tingkat inflasi Titik absolut maksimum Titik absolut minimum Fungsi naik Tahun 2007-2008 Fungsi Turun Tahun 2005-2006

(8)

Jika diberikan sebuah grafik fungsi, dapatkah anda menentukan dengan cepat apakah grafik tersebut merepresentasikan sebuah fungsi atau bukan?

6 4 2 0 18 16 14 12 10 8 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Tingkat Inflasi Tahun 2005-2010

Tingkat inflasi

Untuk menentukan suatu grafik adalah sebuah fungsi gunakan tes garis

vertikal

Jika sebarang garis vertikal pada fungsi

memotong grafik hanya di satu titik

(9)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Fungsi Naik Peubah bebas

berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal

Makin ke kanan nilai peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat juga makin besar

Fungsi naik

(10)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Fungsi Turun Peubah bebas berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal

Makin ke kanan nilai peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat makin kecil

Fungsi turun

(11)

Titik tertinggi dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai maksimum (absolut) dari fungsi.

-1 -1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Titik Maksimum Pada titik maksimum, nilai peubah terikat terbesar

(12)

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4

Titik terendah dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai minimum (absolut) dari fungsi.

0.2 Pada titik minimum, nilai peubah terikat terkecil Titik Minimum

(13)

Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah

dari naik ke turun adalah sebuah nilai maksimum

relatif/maksimum lokal dari fungsi.

Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah

dari turun ke naik adalah sebuah nilai minimum

relatif/minimum lokal dari fungsi.

_{Titik pada grafik dengan nilai peubah terikatnya}

maksimum lokal/minimum lokal dari fungsi

(14)

M2 M1 m1 m2

m1, m2: nilai minimum relatif dari

fungsi M1, M2: nilai maksimum relatif dari fungsi A B C D

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Titik A,B,C,D adalah titik balik

Grafik fungsi dengan 2 nilai maksimum relatif dan 2 minimum relatif

(15)

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Jateng 14.21 13.28 12.59 11.76 11.38 10.76 10.54

Bali 15.56 14.48 13.78 14.21 14.02 13.06 12.78

Berikut data persentase penduduk buta huruf

menurut kelompok umur tahun 2003-2009:

Relatif maksimum dan relatif minimum data ini

dapat ditentukan dengan mudah melalui grafik garis berikut.

(16)

P er sent a se 15.56 14.21 14.48 13.28 13.78 12.59 14.21 11.76 14.02 11.38 13.06 10.76 12.78 10.54 8 6 4 2 0 16 14 12 10 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Tahun

Persentase Penduduk Buta Huruf menurut Kelompok Umur 15+ Tahun

2003-2009

18

Jawa Tengah Bali

(17)

Nilai persentase 13.78 penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2005 adalah relatif

minimum, karena pada

tahun 2004 nilai persentase 14.48,

tahun 2005 nilai persentase 13.78, dan

tahun 2006 nilai persentase 14.21.

Relatif Minimum 2004 14.48% 2005 13.78% 2006 14.21%

(18)

Nilai persentase 14.21 pada tahun 2006 adalah relatif maksimum, karena pada

tahun 2005 nilai persentase 13.78,

tahun 2006 nilai persentase 14.21, dan

tahun 2007 nilai persentase 14.02.

2005 13.78%

2006 14.21%

(19)

Pada tahun 2003, 15.58 adalah nilai persentase

maksimum (absolut) penduduk buta huruf

kelompok umur 15+ di Bali. Sedangkan tahun 2008, 12.78 adalah nilai persentase minimum (absolut).

_{Grafik Jawa Tengah adalah grafik fungsi turun dan}

tidak memiliki nilai maksimum relatif dan minimum relatif. Grafik hanya memiliki nilai persentase

maksimum (absolut) 14.21 dan nilai persentase minimum (absolut) 10.54.

(20)

Dengan kata lain, persentase penduduk buta huruf

menurut kelompok umur 15+ di Jawa Tengah dari tahun 2003 hingga tahun 2009 menurun.

Persentase penduduk buta huruf menurut kelompok

umur 15+ di Bali pada tahun 2003-2005 menurun, meningkat sesudah tahun 2005 hingga 2007, dan menurun kembali sesudah tahun 2007.

(21)

Laju perubahan nilai-nilai peubah terikat terhadap satuan perubahan nilai peubah bebas dapat

menjelaskan apakah nilai-nilai fungsi

bertambah/berkurang dengan cepat atau lambat.

Nilai Fungsi naik dengan cepat Nilai Fungsi naik lebih lambat

(22)

---

---KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1

Laju perubahan y dari 𝑥1 hingga 𝑥2 dinyatakan sebagai

rasio _,𝑥₁_dan𝑥₂_{adalah 2 nilai peubah bebas dan}

𝑦1 , 𝑦2 adalah nilai-nilai peubah terikat yang bersesuaian

dengan 𝑥₁ dan 𝑥2 . 𝑦2--- 𝑦1--- 𝑦2- 𝑦1bernilai negatif 𝑥2- 𝑥1bernilai positif Rasio negatif

Laju perubahan negatif

𝑥1 𝑥 Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Fungsi turun

(23)

---KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1

Fungsi naik 𝑦2- 𝑦1bernilai positif 𝑥2- 𝑥1bernilai positif

Rasio positif

𝑦2 ---

Laju perubahan positif

𝑦1 ---

𝑥

Rasio adalah laju

perubahan y dari 𝑥1ke 𝑥2.

(24)

Tahun Kopi Teh 1995 49.3 81 1996 46.7 88.8 1997 61.8 89.3 1998 62.5 91.2 1999 63.2 91.6 2000 63.2 90 2001 62.5 83.3 2002 58.2 84.4 2003 57.4 83.3 2004 52.6 83.3 2005 52.9 81.7 2006 53.6 78.4 2007 52.5 77.6 2008 58.3 78.9

Berikut data tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008:

(25)

Grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha). Grafik kiri periode

1995-2000, grafik kanan periode 2000-2005.

0 50 40 30 20 10 100 90 80 70 60 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Kopi Teh 0 50 40 30 20 10 100 90 80 70 60 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Kopi Teh

(26)

Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan

besar kopi (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah

bertambah sebesar ribu Ha.

besar teh (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah

(27)

Rata-rata pertambahan luas tanaman kopi pada

periode 1995-2000,yaitu 2.78 ribu Ha, lebih besar dari rata-rata pertambahan luas tanaman teh

sebesar 1.8 ribu Ha.

_{Jika laju perubahan bernilai positif, maka semakin}

curam grafik berarti laju perubahannya juga semakin besar.

(28)

Laju perubahan dua grafik ini positif.

Grafik B

Grafik A

Grafik A lebih curam dari grafik B pada selang yang sama, maka laju perubahan grafik A lebih besar dari

(29)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

besar kopi (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah

sebesar ribu Ha. Tanda minus

berarti luas tanaman kopi berkurang.

besar teh (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah

sebesar ribu Ha. Tanda minus

berarti luas tanaman teh berkurang.

Pada periode tersebut luas tanaman kopi berkurang

lebih banyak dari luas tanaman teh.

(30)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

Laju perubahan dua grafik ini negatif.

Grafik A

Grafik B

Grafik B lebih curam dari grafik A pada selang yang sama, maka laju perubahan grafik B lebih besar dari

laju perubahan grafik A

(31)

Observasi lain pada grafik fungsi adalah melihat

bagaimana grafik melengkung, ke atas atau ke

bawah, mengindikasikan apakah laju perubahan

fungsi meningkat atau menurun.

Sebuah fungsi adalah cekung ke atas jika grafik fungsi

(32)

Sebuah fungsi naik yang cekung ke atas berarti laju

perubahan dari fungsi tersebut meningkat.

Fungsi turun yang cekung ke atas berarti laju

perubahan yang tadinya negatif akan semakin besar atau menjadi kurang negatif karena grafik berkurang kecuramannya (laju perubahan menurun).

(33)

50 40

Berikut grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008:

100 90 80 70 60 Kopi Teh 30 20 10 0

(34)

20 10 0

Namun dalam pembahasan laju perubahan biasa

digunakan grafik garis.

50 40 30

Grafik di atas dapat juga dinyatakan dalam grafik

batang berikut. 100 90 80 70 60 Kopi Teh

(35)

Pada grafik luas tanaman perkebunan besar menurut

jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 1996-1999 naik dan melengkung ke atas.

Berarti laju perubahan luas tanaman teh meningkat

namun peningkatannya melambat sesudah tahun 1999.

_{Dilihat dari sisi laju pertumbuhan, laju pertumbuhan}

(36)

Sebuah fungsi adalah cekung ke bawah jika grafik

fungsi tersebut melengkung ke bawah.

Grafik dengan cekung ke bawah, laju perubahannya

menurun.

(37)

Grafik fungsi naik yang cekung ke bawah maka laju

perubahannya positif dan semakin menurun. Bentuk grafik naik namun kecuramannya makin lama makin berkurang.

_{Grafik fungsi turun yang cekung ke bawah, maka laju}

perubahannya yang negatif akan semakin negatif, grafik semakin lama makin curam.

(38)

Pada grafik garis luas tanaman perkebunan besar

menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 2004-2007 turun dan melengkung ke keatas. Berarti laju perubahan luas tanaman teh

menurun namun penurunannya melambat

mendekati tahun 2007. Dari sisi laju perubahan, laju perubahan bernilai negatif namun penurunannya makin berkurang pada tahun 2007.

Pada grafik garis kopi tidak terlihat jelas bagian grafik

(39)

Apa yang sudah kita pelajari? Karakteristik Grafik KESIMPULAN

Fungsi naik dan fungsi turun Titik maksimum, titik minimum, titik balik Rasio laju perubahan Fungsi cekung

(40)

SARAN

Tentukan informasi terkait dengan titik maksimum,

titik minimum, titik maksimum relatif, titik minimum relatif, dan titik balik dari grafik garis yang anda

gunakan.

_{Tentukan informasi pada saat grafik garis merupakan}

fungsi naik atau fungsi turun.

_{Tentukan apakah laju perubahan yang ada pada}

(41)

DAFTAR PUSTAKA

 Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of

Mathematics with Applications, Pearson Addison

Wesley, 8Ed, 2009.

 Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey,

Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.

 Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison

Wesley, 3Ed, 2006.

 Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools

For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing,

(42)