Pelajari tentang Fungsi Berkelanjutan

BAB V

F U N G S I K O N T I N U

Pada bab ini akan diawali dengan pengkajian terhadap kelas fungsi yang sangat penting di dalam analisis real, yaitu kelas fungsi kontinu. Pertama akan didefinisikan pengertian kekontinuan di titik dan kekontinuan pada himpunan, dan menunjukkan beberapa macam kombinasi dari fungsi kontinu.

5.1 Fungsi Kontinu

Pada subbab ini akan dijelaskan pengertian suatu fungsi kontinu di suatu titik atau pada suatu himpunan. Pengertian kekontinuan ini merupakan pengertian sentral dari analisis matematika dan akan digunakan dalam hampir semua dari materi buku ini.

Definisi 5.1.1 Misalkan A  , f : A  , dan c A . Fungsi f dikatakan kontinu di c jika untuk sebarang  0 terdapat    ( , ) 0c  sehingga untuk setiap x A dengan x c  berlaku

|f(x) – f(c)| < 

Fungsi yang tidak kontinu di c, dikatakan tak kontinu (discontinuous) di c.

Catatan (a) Jika c A . adalah titik limit dari A, dari Definisi 4.1.4 dan 5.1.1 dapat disimpulkan bahwa f kontinu di titik c jika dan hanya jika

( ) lim ( ) f c x c f x

  . (5.1) Jadi, jika c titik limit dari A, maka agar (5.1) terpenuhi, tiga syarat harus dipenuhi : (i) f c( ) ada, (ii) lim ( )

x c f x

 ada di dalam , (iii) f c( ) harus sama dengan lim ( )

x c f x

 .

(b) Jika c A . bukan titik limit dari A, maka terdapat persekitaran V c_δ( ) dari c sehingga A V c _δ( ) { } c . Jadi disimpulkan bahwa fungsi f secara otomatis kontinu di c. Titik c semacam ini disebut titik terasing dari A. Karena kekontinuan otomatis untuk titik yang demikian, untuk selanjutnya kita akan membahas kekontinuan hanya di titik limit.

Definisi 5.1.2 Misalkan A  , f : A  , dan BA. Fungsi f dikatakan kontinu pada B jika f kontinu di setiap titik dari B.

Sebagaimana pada pengertian limit fungsi yang dapat didekati dengan konsep barisan, kekontinuan ini juga berlaku kriteria barisan.

Teorema 5.1.3 Misalkan A  , f : A  , dan c A . Kedua pernyataan berikut ekuivalen:

(a) f kontinu di c.

(b) Jika ( )x_n sebarang barisan bilangan real di dalam A yang konvergen ke c, maka ( ( ))f x_n konvergen ke f c( ).

Dengan mengambil kontraposisi dari Teorema 5.1.3 di atas, maka diperoleh kriteria ketakkontinuan berikut.

Teorema 5.1.4 (Kriteria Ketakkontinuan) Misalkan A  , f : A  , dan c A . Fungsi f tak kontinu di c jika dan hanya jika terdapat barisan ( )x_n di dalam A yang konvergen ke c tetapi barisan ( ( ))f x_n tidak konvergen ke f c( ).

Contoh 5.1.5 (a) f x( )b kontinu pada .

Seperti yang telah ditunjukkan pada Contoh 4.1.6 (a), jika c  , maka lim ( )

x cf x b

  .

Selanjutnya karena f c( )b, maka f kontinu di setiap titik di c  . Jadi, f kontinu pada .

(b) g x( )x kontinu pada .

Sebagaimana yang telah ditunjukkan pada Contoh 4.1.6 (b), jika c  , maka lim ( )

x cg x c

  . Karena g c( )c maka g kontinu di setiap titik di c  . Jadi, g kontinu pada c  .

(c) h x( ) 1/ x kontinu pada A(0, ).

Dari Contoh 4.1.6 (d) telah ditunjukkan bahwa jika c A, maka  lim ( ) 1/

x ch x c

  .

Karena g c( ) 1/ , c ini menunjukkan bahwa g kontinu di setiap c A . Jadi h kontinu pada A.

(d) Fungsi signum tidak kontinu di 0.

Fungsi signum telah didefinisikan di dalam Contoh 4.1.9 (b) dan lim sgn( )₀

x x

 tidak

ada di dalam . Oleh karena itu fungsi sgn tidak kontinu di 0, meskipun sgn (0) terdefinisi.

(e) Misalkan A =  dan f fungsi Dirichlet didefinisikan dengan ( ) 1 ; jika rasional

= 0 ; jika irrasional.

f x x

x



Fungsi f tak kontinu di setiap titik di dalam . (Fungsi ini dikenalkan oleh P.G.L, Dirichlet pada Tahun 1829).

Jika c rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional ( )x_n yang konvergen ke c. Eksistensi barisan ini dijamin oleh Teorema Kerapatan 2.5.5.

Karena f x( ) 0_n  untuk setiap n  N, maka lim ( ) 0_n

n f x

  , sementara f c( ) 1 . Oleh karena itu, ( ( ))f x_n tidak konvergen ke f c( ). Jadi f tidak kontinu di bilangan rasional c.

Di pihak lain, jika b bilangan irrasional, maka terdapat barisan bilangan rasional ( )y_n sehingga konvergen ke b. Karena f y( ) 1_n  untuk setiap n  N, maka

lim ( ) 1_n

n f y

  , sementara f b( ) 0 . Oleh karena itu, ( ( ))f y_n tidak konvergen ke ( )

f b . Jadi f tidak kontinu di bilangan irrasional b.

Karena setiap bilangan real adalah rasional atau irrasional, maka disimpulkan bahwa f tidak kontinu di setiap titik dari .

(f) Misalkan A(0, ). Untuk sebarang bilangan irrasional x0 didefinisikan dengan h x( ) 0 . Untuk bilangan rasional x m n di dalam A, m dan n relatif prima, didefinisikan dengan h m n( ) 1 n. Fungsi h kontinu di setiap bilangan irrasional di dalam A, dan tak kontinu di setiap bilangan rasional di dalam A. (Fungsi ini dikenalkan oleh K.J. Thomae pada Tahun 1875).

Jika c rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional ( )x_n di dalam A yang konvergen ke c. Karena lim ( ) 0_n

n h x

  , sementara h c( ) 0 , maka h tidak kontinu di c.

Di pihak lain, jika b bilangan irrasional dan  0, maka (dengan Sifat Archimides) terdapat bilangan asli K sehingga 1 K . Terdapat berhingga bilangan rasional dengan penyebut yang lebih kecil dari K di dalam interval (b1,b1). Akibatnya dapat dipilih  0 yang kecil sehingga persekitaran (b,b) yang tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih kecil dari K . Oleh karena itu, untuk x b  , x A berlaku

( ) ( ) ( ) 1

h x h b  h x  K  . Jadi Fungsi Thomae h kontinu di bilangan irrasional b.

Catatan (a) Kadang suatu fungsi f : A   tidak kontinu di c, dikarenakan ia tidak terdefinisi di c. Akan tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c, maka dapat didefinisikan F pada A{ }c dengan

( ) ; jika = ( ) ; jika ,

F x L x c

f x x A

 

 yang kontinu di c.

(b) Jika fungsi g : A   tidak mempunyai limit di c, maka tidak dapat dibentuk fungsi G pada A{ }c yang kontinu di c dengan mendefiniskan

( ) ; jika = ( ) ; jika .

G x L x c

g x x A

 

 Untuk meyakini ini, perhatikan bahwa jika lim ( )

x cG x

 ada dan sama dengan C, maka lim ( )

x cg x

 harus ada dan sama dengan C juga.

Contoh 5.1.6 (a) Fungsi ^{g x( ) sin 1}

 

^x untuk x0 tidak mempunyai limit di x0 (lihat Contoh 4.1.9 (c)). Jadi tidak ada nilai yang dapat dikawankan di x0 untuk memperoleh perluasan kontinu dari g di x0.

(b) Misalkan f x( )xsin(1 )x untuk x0. Karena f tidak terdefinisi di x0, maka fungsi f tidak kontinu di titik ini. Akan tetapi, menurut Contoh 4.2.8 (d)

lim sin(1/ ) 00

x x x

  . Oleh karena itu, dapat didefinisikan fungsi F pada A{ }c dengan ( ) 0 ; jika 0

= sin(1 ) ; jika 0,

F x x

x x x

 

 yang kontinu di x0.

Latihan 5.1

1. Buktikan Teorema 5.1.3.

2. Misalkan a b c  , f kontinu pada [ , ]a b , g kontinu pada [ , ]b c dengan ( ) ( )

f b g b . Didefinisikan h pada [ , ]a c dengan h x( ) f x( ) untuk x[ , ]a b dan ( ) ( )

h x g x untuk x( , ]b c . Buktikan bahwa h kontinu pada [ , ]a c !

3. Misalkan f didefinisikan untuk x  , x2, dengan f x( ) ( x²2x8) (x2). Dapatkah f didefinisikan kembali di x2 sehingga f kontinu di titik ini?

4. Misalkan A  , f : A   kontinu di c A . Tunjukkan bahwa untuk sebarang

 0 terdapat  0 sehingga untuk x y  , x y A,  berlaku f x( ) f y( ) . 5. Misalkan f :    kontinu di c dan misalkan f c( ) 0. tunjukkan bahwa

terdapat persekitaran V c_δ( ) sehingga jika x V c _( ), maka f x( ) 0.

6. Misalkan f :    kontinu pada  dan S = {x   : f(x) = 0} adalah himpunan nol dari f. Jika ( )x_n S dan lim( )_n ⁰

n x x

  , tunjukkan bahwa x0S.

7. Misalkan A  B  , f : B   dan g pembatasan dari f terhadap A (yaitu ( )

g x  f x( ) untuk x A ).

(a) Jika f kontinu di c A , tunjukkan bahwa g kontinu di c.

(b) Tunjukkan dengan contoh bahwa jika fungsi g kontinu di c, tidak perlu fungsi f kontinu di c.

8. Tunjukkan bahwa fungsi harga mutlak f x( ) x kontinu pada !

9. Misalkan K0 dan f :    memenuhi kondisi f x( ) f y( ) K x y , x, y 

. Tunjukkan bahwa f kontinu pada !

10.

Misalkan f :    kontinu pada  dan misalkan

^{f r( ) 0}

untuk setiap bilangan r rasional. Buktikan bahwa

^{f x( ) 0}

untuk semua x  !

11.

Misalkan didefinisikan fungsi g :    dengan

^{g x( ) 2 x}

untuk x rasional dan

^{g x( ) x 3}

untuk x irrasional. Carilah titik-titik dimana g kontinu!

12. Misalkan f : (0,1)   terbatas tetapi sehingga lim ( )₀

x f x

 tidak ada. Tunjukkan bahwa terdapat dua barisan ( )x_n dan ( )y_n di dalam (0,1) dengan

lim( ) 0 lim( )_{n n}

n x n y

    , sehingga lim ( )_n

n f x

 dan lim ( )_n

n f y

 ada tetapi tidak sama.

5.2 Kombinasi dari Fungsi Kontinu

Pada subbab sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi aljabar terhadap kelas fungsi, kemudian juga telah dikaji limit dari fungsi-fungsi baru itu.

Hasil-hasil tersebut dapat dielaborasi untuk kekontinuan fungsi.

Teorema 5.2.1 Misalkan A  , f dan g fungsi pada A, dan b  . Jika c A dan fungsi f dan g kontinu di c, maka

(a) f g f, g fg, , dan bf kontinu di c.

(b) Jika h : A   kontinu di c A dan jika  h x( ) 0 untuk setiap x A , maka hasil bagi f h/ kontinu di c.

Bukti: Jika c A bukan titik limit dari A, maka kesimpulan akan terbukti dengan sendirinya. Oleh karena itu diasumsikan bahwa c A adalah titik limit dari A.

(a) Karena f dan g kontinu di c, maka

( ) lim dan ( ) lim .

 

 

x c x c

f c f g c g

Sehingga dengan Teorema 4.2.4(a) diperoleh

( )( ) ( ) ( ) lim( ).

     

f g c f c g c x c f g

Jadi f g kontinu di c. Untuk yang lain dapat dibuktikan dengan cara serupa.

(b) Karena c A maka h c( ) 0. Tetapi karena ( ) lim ,

 

h c x ch maka dengan Teorema 4.2.4(b) diperoleh

( ) lim

( ) lim .

( ) lim







      

x c

x c x c

f f c f f

h c h c h h

Jadi f h/ kontinu di c. ∎

Berikut ini diberikan akibat dari Teorema 5.2.1.

Teorema 5.2.2 Misalkan A  , f, g fungsi kontinu pada A, dan b  , maka (a) f g f, g fg, , dan bf kontinu pada A.

(b) Jika h : A   kontinu pada A dan jika h x( ) 0 untuk setiap x A , maka hasil bagi f h/ kontinu pada A.

Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ∎ Contoh 5.2.3 (a) Fungsi polinomial kontinu pada .

Misalkan p x( )a x_n ⁿa x_n1 ^n1a x a₁  ₀ untuk semua x  . Dari Contoh 4.2.5 (c) bahwa lim ( ) ( )

x cp x p c

  untuk sebarang c  . Jadi fungsi polinomial kontinu pada .

(b) Fungsi rasional.

Jika p dan q fungsi polinomial pada , maka terdapat berhingga bilangan 1, ,_m akar real dari q. Jika x{ , ,₁ _m}, maka q x( ) 0 . Akibatnya dapat didefinisikan fungsi rasional r dengan

( ) ( ) ( ) r x p x

 q x untuk x{ , ,₁_m}. Jika q c( ) 0 , maka

( ) ( )

( ) lim lim ( )

( ) ^{x c} ( ) ^{x c}

p c p x

r c r x

q c ^ q x ^

   .

Dengan kata lain, r kontinu di c. Karena c sebarang bilangan real yang bukan akar dari q, kita simpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di setiap bilangan untuk mana ia terdefinisi.

(c) Fungsi sinus kontinu pada .

Dalam pelajaran kalkulus untuk x, y, z  , diperoleh sinz  z , cosz 1,



¹2

 

¹2



sinxsiny2sin (x y ) cos (x y ) . Sehingga, jika c  , maka

1

sinxsinc  2 2 x c   1 x c .

Oleh karena itu sin kontinu di c. Karena c   sebarang, maka sin kontinu pada .

(d) Fungsi cosinus kontinu pada .

Untuk x, y, z  , berlaku

sinz  z , sinz 1,

cos x – cos y = 



 



  



 



  

sin 2 sin 2

2 x y x y

. Sehingga, jika c  , maka

1

cosxcosc   2 1 2 x c  x c .

Oleh karena itu cos kontinu di c. Karena c   sebarang, maka cos kontinu pada .

(e) Fungsi tan, cot, sec, csc adalah fungsi-fungsi kontinu dimana ia terdefinisi.

Sebagai contoh, fungsi tangen yang didefinisikan dengan tan sin

cos x x

 x

apabila cosx0 (yaitu apabila x ≠/2 + n, n  N). Karena sin dan cos kontinu pada

, maka fungsi tan kontinu pada domainnya.

Teorema 5.2.5 Misalkan A  R, f : A   dan f didefiniskan f x( ) f x( ) , untuk

 . x A

(a) Jika f kontinu di c A, maka  f kontinu di c A (b) Jika f kontinu pada A maka f kontinu pada A.

Bukti: Ini akibat langsung dari Latihan 4.2.13. ∎ Teorema 5.2.6 Misalkan A  , f : A   dan f x( ) 0 untuk semua x A . Selanjutnya misalkan f didefinisikan sebagai

 

^{f ( )x  f x( )untuk x A .}

(a) Jika f kontinu di c A, maka  f kontinu di c A (b) Jika f kontinu pada A maka f kontinu pada A.

Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ∎ Komposisi dari Fungsi Kontinu

Berikutnya akan ditunjukkan, jika fungsi f : A   kontinu di titik c dan jika g : B   kontinu di b f c( ), maka komposisi g f juga kontinu di c, dengan syarat f A( )B.

Teorema 5.2.7 Misalkan A, B  , dan misalkan f : A   dan g : B   adalah fungsi-fungsi dengan f A( )B. Jika f kontinu di c A dan g kontinu di b f c( ), maka fungsi komposisi g f : A   juga kontinu di c.

Bukti: Diberikan sebarang  0. Misalkan W adalah persekitaran g b( ). Karena g kontinu di b, maka terdapat  0 sehingga jika y b , y B , maka

( ) ( )

g y g b  . (5.2) Karena f kontinu di c, maka untuk  di atas terdapat  0 sehingga untuk

x c  , x A , berlaku

( ) ( ) f x  f c .

Dengan kondisi terakhir ini dan (5.2) berlaku g f x( ( ))g f c( ( )) . Jadi, jika x c  , x A , maka dipenuhi

(g f x )( ) ( g f c )( )  .

Karena  0 sebarang, maka g f kontinu di c. ∎

Teorema 5.2.8 Misalkan A, B  , misalkan f : A   kontinu pada A dan g : B

  kontinu pada B. Jika f A( )B maka fungsi komposisi g f : A   kontinu pada A.

Bukti: Teorema ini sebagai akibat langsung Teorema 5.2.7. ∎ Contoh 5.2.9 (a) Misalkan g x1( ) x untuk x  .

Dengan Ketaksamaan Segitiga

1( ) 1( )

g x g c  x c

untuk semua x, c  . Jadi, g1 kontinu di c  . Jika f : A   sebarang fungsi kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa g1f  f kontinu pada A. Hasil ini memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.2.5.

(b) Misalkan g x₂( ) x untuk x0.

Mudah difahami bahwa g2 kontinu di sebarang c0. Jika f : A   sebarang fungsi kontinu pada A dan f x( ) 0 untuk semua x A , maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa g₂ f  f kontinu pada A. Hasil ini memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.2.6.

(c) Misalkan g x3( ) sin x untuk x  .

Pada Contoh 5.2.3 (c) telah ditunjukkan bahwa g3 kontinu pada . Jika f : A   kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa g3 f kontinu pada A.

Khususnya, jika f x( ) 1 x untuk x0, maka fungsi g x( ) sin(1 ) x kontinu di setiap titik c0. Lihat kembali Contoh 5.1.6 (a).

Latihan 5.2

1. Tunjukkan bahwa jika f : A   kontinu pada A   dan n  N, maka fungsi fⁿ yang didefinisikan sebagai ^{f xn( )}



^{f x( )}



^{n untuk x A} , kontinu pada A.

2. Berikan contoh fungsi f dan g yang keduanya tak kontinu di c  , tetapi penjumlahannya f g dan perkaliannya fg kontinu di c.

3. Misalkan g didefinisikan pada  dengan g(1) 0 , dan g x( ) 3 jika x1, dan misalkan f x( ) x 1 untuk semua x  . Tunjukkan bahwa

lim(0 )( ) ( )(0)

x g f x g f

    . Apakah hal ini bertentangan dengan Teorema 5.2.7.?

4. Misalkan f , g didefinisikan pada  dan c  . Misalkan lim ( )₀

x g x b

  dan g kontinu di b. Tunjukkan bahwa lim(₀ )( ) ( )

x g f x g b

   . (Bandingkan hasil ini dengan Teorema 5.2.7 dan hasil sebelumnya).

5. Berikan suatu contoh fungsi f : [0,1]   yang tak kontinu di setiap titik dari [0,1]

tetapi f kontinu pada [0,1].

6. Tentukan konstanta a dan b sehingga fungsi yang diberikan kontinu pada .

(a) ( ) 3 7 ; jika 4 = 1 ; jika 4,

f x x x

bx x

  

  (b)

( ) 2 ; jika 2 = 3 ; jika 2 1

3 2 ; jika 1 .

f x x a x

ax b x

x b x

   

   

  

7. Misalkan f, g fungsi-fungsi yang kontinu dari  ke  dengan f r( )g r( ) untuk semua bilangan rasional r. Apakah berlaku f x( )g x( ) untuk semua x   ? 8. Misalkan f :    kontinu pada  dan memenuhi f m( 2 ) 0ⁿ  untuk semua m

 N, n  N. Tunjukkan bahwa f x( ) 0 untuk semua x  .

9. Misalkan f terdefinisi pada  sebagai

(1 sin( )) 1 ( ) lim

(1 sin( )) 1

n n n

f x x

x







 

   .

Tunjukkan bahwa f tak kontinu di setiap bilangan bulat.

10. Misalkan f :    kontinu pada R dan P = {x  R : f(x) > 0}. Jika c P tunjukkan bahwa terdapat persekitaran V c_( )P.

11. Misalkan f, g :    kontinu pada  dan S = {x  R : f(x) ≥ g(x)}. Jika ( )x_n S dan lim( )_n ⁰

n x x

  , tunjukkan bahwa x0S.

12. Fungsi f :    dikatakan aditif jika f x y(  ) f x( ) f y( ) untuk semua x, y 

. Buktikan bahwa jika f kontinu di satu titik x0, maka f kontinu di setiap titik dari .

13. Misalkan f aditif dan kontinu pada . Jika c f(1), tunjukkan bahwa f x( )cx untuk semua x  .

14. Misalkan f kontinu pada  dan memenuhi ( ) ( )

2 2

x y f x f y

f     untuk semua x, y  . Tunjukkan bahwa f x( )cx a untuk semua x  , untuk suatu a.

15. Fungsi f :    memenuhi f x y(  ) f x f y( ) ( ) untuk semua x, y  .

Tunjukkan bahwa jika f kontinu di x0, maka f kontinu di setiap titik dari .

Juga, jika f a( ) 0 untuk suatu a  , maka f x( ) 0 untuk semua x  .

16. Misalkan f, g :    kontinu di suatu titik c, dan ^{h x( ) maks}



^{f x g x( ), ( )}



untuk x  . Tunjukkan bahwa h x( )¹2



f x( )g x( )



¹2 f x( )g x( ) untuk semua x 

. Gunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwa h kontinu di c.

5.3 Fungsi Kontinu pada Interval

Fungsi yang kontinu pada suatu interval mempunyai sejumlah sifat-sifat penting yang tidak dimiliki oleh fungsi-fungsi kontinu pada umumnya. Pada subbab ini akan dibicarakan sifat-sifat penting tersebut.

Definisi 5.3.1 Fungsi f : A   dikatakan terbatas pada A jika terdapat konstanta 0

M  sehingga f x( ) M untuk semua x A .

Dengan kata lain, suatu fungsi dikatakan terbatas jika jangkauannya terbatas di dalam .

Teorema 5.3.2 (Teorema Keterbatasan) Misalkan I [ , ]a b interval tertutup terbatas dan misalkan f : I  . Jika f kontinu pada I, maka f terbatas pada I.

Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada I, maka untuk sebarang n  N terdapat bilangan x_nI sehingga f x( )_n n. Karena I terbatas maka barisan X ( )x_n terbatas. Oleh karena itu dengan Teorema Bolzano Weierstrass akan terdapat subbarisan ' ( )

nr

X  x yang konvergen ke bilangan real x. Karena I tertutup dan anggota dari ' ( )

nr

X  x berada di dalam I, maka dengan Latihan 3.2.14 diperoleh .

x I Oleh karena f kontinu di x, maka ( )

nr

f x konvergen ke f x( ). Selanjutnya dari Teorema 3.2.3 disimpulkan bahwa barisan ( ( ))

nr

f x terbatas. Tetapi hal ini kontradiksi karena

r n x

f( _nr)  _r  , r  .

Jadi pengandaian harus diingkari menjadi f terbatas pada I. ∎ Definisi 5.3.3 Misalkan A  , f : A  . Fungsi f dikatakan mempunyai maksimum mutlak pada A jika terdapat titik x^*A sehingga

( )* ( ) untuk semua ,

f x  f x x A

dan f dikatakan mempunyai minimum mutlak jika terdapat titik x_*A sehingga ( )* ( ) untuk semua .

f x  f x x A

Selanjutnya x^* disebut titik maksimum mutlak bagi f pada A dan x_* titik minimum mutlak bagi f pada A.

Teorema 5.3.4 (Teorema Maksimum-Minimum) Jika I[ , ]a b interval tertutup terbatas dan f : I   kontinu pada I, maka f mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada I.

Bukti: Perhatikan himpunan ^{f I( )}



^{f x x I( ); }



yang merupakan jangkuan dari f pada I. Pada Teorema 5.3.2 telah ditunjukkan bahwa f I( ) himpunan terbatas.

Misalkan s^*sup ( )f I dan s_*inf ( ).f I Akan ditunjukkan bahwa terdapat titik x^* dan x_* sehingga s^* f x( )^* dan s_* f x( )._* Akan ditunjukkan eksistensi dari x^*, sedangkan eksistensi dari x_* ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca.

Karena s^* sup ( )f I maka s^* - 1/n untuk n  N bukan batas atas bagi f I( ). Akibatnya terdapat bilangan x_nI sehingga

s^* - n

1 < f(xn) ≤ s^* untuk n  N (5.3) Karena I terbatas maka barisan X ( )x_n terbatas. Oleh karena itu dengan Teorema Bolzano-Weierstrass 3.3.8 terdapat subbarisan ' ( )

nr

X  x yang konvergen ke bilangan x^*. Karena anggota dari X' berada di dalam I, maka dari Latihan 3.2.14, diperoleh bahwa x^*I. Tetapi karena f kontinu di x^*, maka lim( ( )) ( )^*

nr

r f x f x

  .

Akibatnya dari (5.3) diperoleh s^* -

nr

1 < f(xn_{r ) ≤ s}^* untuk r  N.

Dengan Teorema Apit 3.2.6, disimpulkan bahwa lim( ( )) ^*

nr

r f x s

  . Jadi diperoleh

* *

( ) lim( ( _nr)) sup ( ) f x  f x s  f I

yang berarti bahwa x^* adalah titik maksimum mutlak dari f pada I. ∎ Selanjutnya akan diberikan sebuah teorema yang memberikan cara mencari akar-akar dari fungsi kontinu.

Teorema 5.3.5 (Teorema Akar) Misalkan I adalah interval dan f : I   kontinu pada I. Jika    adalah bilangan-bilangan di dalam I sehingga f( ) ( ) 0 f   , maka terdapat bilangan c( , )  sehingga f c( ) 0.

Bukti: Misalkan f( ) 0   f( ) . Misalkan I₁[ , ]  dan  ¹2(  ). Jika ( ) 0

f   , maka diambil c dan bukti selesai. Jika f( ) 0  , maka diambil

2 , 2

    , sementara jika f( ) 0  , maka diambil 2 , 2 . Dalam kedua kasus jika I2[ , 2 2], maka f( ) 0 2 dan f( ) 0 2 . Proses biseksi ini diteruskan.

Misalkan interval-interval I I1, , ,2  I_k [ , _{k k}] yang ditentukan dengan proses biseksi sehingga f( ) 0 _k dan f( _k) 0. Misalkan _k ¹2(_k _k). Jika

( ) 0_k

f   , maka diambil ck dan bukti selesai. Jika f( ) 0 _k diambil

1 , 1

k k k k

 _   _  , sementara jika f( ) 0 _k diambil _k1 _k, _k1_k. Dalam hal ini jika I_k [ , _{k k}], maka

( _k 1) 0

f  _  dan f(_k1) 0 .

Jika proses berakhir dengan melokalisasi titik n sehingga f( ) 0 _n , bukti selesai.

Jika proses belum berakhir, kita peroleh barisan interval tersarang I_n [ , _{n n}], n  N. Karena interval-interval ini ditentukan dengan cara biseksi, maka

( ) 2ⁿ1

n n

     ^ . Akibatnya dengan Sifat Interval Tersarang 3.2.7 terdapat titik c sehingga c I n untuk semua n  N. Karena n c n untuk semua n  N, maka

0 c _n_n_n (  ) 2^n1 dan 0_n c _n_n(  ) 2^n1. Hal ini memberikan lim( )_n lim( )_n

n  c n 

    . Karena f kontinu di c, maka lim( ( ))_n ( ) lim( ( ))_n

n n

f  f c f 

    .

Di pihak lain, karena f( ) 0 _n untuk semua n  N, maka menurut Teorema 3.2.5 ( )

f c  lim( ( )) 0_n

n

f 

  . Juga karena f( ) 0 _n untuk semua n  N, maka ( ) lim( ( )) 0_n

f c n f 

   . Dari kedua hal ini, maka haruslah f c( ) 0. ∎ Teorema 5.3.5 di atas dapat dibuat generalisasinya sebagai berikut.

Teorema 5.3.6 (Teorema Nilai Antara Bolzano) Misalkan I interval dan f : I   kontinu pada I. Jika a b I,  dan k   memenuhi f a( ) k f b( ), maka terdapat titik

c I yang terletak di antara a dan b sehingga f c( )k.

Bukti: Jika a b dan g x( ) f x( )k, maka g a g b( ) ( ) 0 . Dengan Teorema 5.3.5 terdapat bilangan c dengan a c b  sehingga 0g c( ) f c( )k , atau f c( )k.

Tetapi jika b < a ambil h x( ) k f x( ) sehingga h a h b( ) ( ) 0 . Akibatnya terdapat titik c dengan b c a  sehingga 0h c( ) k f c( ), yang berarti f c( )k. ∎ Akibat 5.3.7 Misalkan I [ , ]a b interval tertutup terbatas dan f : I   kontinu pada I. Jika k   memenuhi

inf ( )f I  k sup ( ),f I maka terdapat bilangan c I sehingga f c( )k.

Bukti: Dari Teorema 5.3.4 terdapat titik c^* dan c_* sehingga

* *

inf ( )f I  f c( ) k f c( )sup ( ).f I

Selanjutnya dengan Teorema 5.3.6, maka Akibat Teorema terbukti. ∎ Teorema 5.3.8 Jika I interval tertutup terbatas dan f : I   kontinu pada I, maka himpunan ^{f I( )}



^{f x x I( ); }



juga merupakan interval tertutup terbatas.

Bukti: Misalkan minf ( )f I dan M sup ( ),f I maka dari Teorema 5.3.4, m dan M berada di dalam f I( ). Lebih lanjut, f I( ) [ , m M].

Sebaliknya, jika k adalah sebarang anggota dari [ ,m M] maka akan terdapat titik c I sehingga f c( )k. Jadi, kf I( ). Karena k sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa [ ,m M] f I( ). Dari kedua ketaksamaan yang diperoleh tersebut, dapat disimpulkan bahwa [ ,m M] f I( ) yang berarti bahwa f I( ) juga

merupakan interval tertutup terbatas. ∎

Catatan: Jika I [ , ]a b interval dan f : I   kontinu pada I, maka telah dibuktikan bahwa f I( ) adalah interval [ ,m M]. Tetapi dalam hal ini tidak selalu interval [ ( ), ( )]f a f b .

Latihan 5.3

1. Misalkan I [ , ]a b dan f : I   kontinu pada I sehingga f x( ) 0 untuk setiap x I . Buktikan terdapat bilangan  0 sehingga f x( ) untuk semua x I . Tunjukkan dengan contoh bahwa hal ini tidak berlaku apabila [ , ]a b diganti dengan [0, ) atau (0,1].

2. Misalkan I[ , ]a b dan f : I   kontinu pada I sehingga untuk setiap x I terdapat y I sehingga f y( ) ¹₂ f x( ) . Buktikan terdapat titik c I sehingga

( ) 0 f c  .

3. Misalkan I [ , ]a b dan f : I   kontinu pada I. Didefinisikan g : I   dengan

 

( ) sup ( ) ;

g x  f t a t x  untuk x I . Buktikan bahwa g kontinu pada I.

4. Tunjukkan bahwa setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real mempunyai paling sedikit satu akar real.

5. Tunjukkan bahwa polinomial p x( )x⁴7x³9 mempunyai paling sedikit dua akar real. Gunakan kalkulator untuk menghitung akar-akar ini dengan ketelitian sampai dua desimal.

6. Misalkan f kontinu pada interval [0,1] sehingga f(0) f(1). Buktikan terdapat ,

x y I sehingga x y ¹₂ dan f x( ) f y( ). [Petunjuk : Definisikan g pada [0,1 2] sebagai g x( ) f x( 1 2) f x( )].

7. Misalkan I [ , ]a b , f : I   kontinu pada I, dan f a( ) 0, ( ) 0 f b  . Misalkan sup

w W dengan ^{W }



^{x I ; f x( ) 0}



. Buktikan bahwa f w( ) 0 . Ini memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.3.5).

8. Periksa pemetaan dari interval terbuka [tertutup] oleh fungsi f x( )x² untuk x  .

9. Periksa pemetaan dari interval terbuka [tertutup] oleh fungsi g x( ) 1 ( x²1) dan ( ) 3

h x x untuk x  .

10. Jika f : [0,1]   kontinu dan hanya mempunyai jangkauan rasional [irrasional]

saja, apakah f konstan?

11. Misalkan I[ , ]a b dan f : I   naik pada I, (yaitu jika x y ,x y I,  , maka ( ) ( )

f x  f y ), dan memenuhi sifat nilai antara pada I. Tunjukkan f kontinu pada I .

12. Misalkan I [ , ]a b dan f I: I kontinu pada I . Buktikan terdapat titik c I sehingga f c( )c. Titik ini disebut titik tetap untuk f. Apakah hal ini berlaku jika [ , ]a b diganti dengan [0, ) atau (0,1].

13.

Misalkan I = [a, b] dan f : I  R kontinu pada I dan x

1,

x

2

, ..., x

n

titik-titik di dalam I. Tunjukkan bahwa terdapat c  I sehingga f(c) = [f(x

1

)+ f(x

2

) + ... + f(x

n

)]/n.

14. Misalkan I [ , ]a b dan f I: I kontinu pada I dan   positif, tunjukkan terdapat  I sehingga

( ) ( )

( ) f a f b

f   

 

 

 .

15.

Jika f dan g kontinu pada

^{[ , ]a b}

sehingga

^{f a( )g a( )}

dan

( ) ( )

f b g b

, buktikan bahwa terdapat

^{c I}

sehingga

^{f c( )g c( )}

.