Matematika Diskrit : Teori Bilangan
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.
Teknik Informatika Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya
Rencana Presentasi
1 Teori Bilangan
Pendahuluan
Pembuktian Langsung dan Penyangkal Pendahuluan
Bilangan Rasional Pembagian
Pendahuluan
Teori Bilangan
Berkaitan dengan bilangan bulat :
Bilangan rasional→berbentuk pecahan a b. Bilangan real→berbentuk desimal.
Membahas tentang kebenaran dan kesalahan dari pernyataan matematis.
Evaluasi pernyataan →analisa makna dari pernyataan tersebut secara cermat.
Misal :
5x+ 3 = 33→x = 3
Pendahuluan
Definisi
Bilangan bulatn adalah genap jika dan hanya jikan sama dengan dua kali bilangan bulat. Bilangan bulatn adalah ganjil jika dan hanya jikan sama dengan dua kali bilangan bulat ditambah 1. Secara simbolis sebagai berikut :
n adalah genap ↔ ∃bilangan bulat k yaitun = 2k n adalah ganjil ↔ ∃bilangan bulat k yaitu n= 2k+ 1
Contoh :
Jika adanb bilangan bulat, apakah 6a2b genap ?
Pendahuluan
Pembuktian Eksistensi Pernyataan Sebuah pernyataan dengan aturan
∃x∈D memenuhi Q(x)
adalah benar, jika dan hanya jika
Q(x) adalah benar untuk setiap x didalam D
Contoh :
Diketahui r dans adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa∃ bilangan bulat
Pendahuluan
Penyanggah Pernyataan Umum dengan Penyangkal
Diberikan sebuah pernyataan penyanggah dengan aturan sebagai berikut :
∀x didalam D, jikaP(x) maka Q(x)
tunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah, yang sama dengan
menunjukkan negasi dari kebenarannya. Negasi dari pernyataan tersebut :
∃x didalam D memenuhiP(x) dan bukanQx
Contoh :
Carilah penyangkal dari pernyataan berikut :
Pendahuluan
Pembuktian Pernyataan Umum
Secara umum, pernyataan matematis dapat dibuktikan secara luas. Dalam aturan standar, pembuktian pernyaan umum ini :
∀x∈D, jikaP(x) maka Q(x)
dimana jikaD pada daerah terbatas maka hanya pada daerah terbatas yang memenuhi kondisi p(x).
Contoh :
Buktikan pernyataan berikut :
∀n∈Z, jikan adalah genap dan 4≤n≤30 makan dapat ditulis sebagai jumlahan dari dua bilangan prima !
Pendahuluan
Prosedur Penulisan Pembuktian Pernyataan Umum
Tulis kembali teorema pernyataan untuk pembuktian.
Awali pembuktian dengan pembuktian kata.
Buat pembuktian secara individu.
Tulis pembuktian dalam pernyataan komplit.
Berikan alasan untuk setiap langkah pembuktian.
Buat pernyataan kecil untuk membuat logika sesuai dengan pernyataan.
Beberapa Kesalahan dalam Pembuktian
Berdebat dari contoh-contoh yang ada.
Penggunaan arti yang sama padahal arti berbeda.
Langsung menuju kesimpulan.
Meminta banyak pernyataan.
Bilangan Rasional
Definisi
Bilangan real adalah rasional jika dan hanya jika dapat diekspresikan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat tanpa pembagi nol. Bilangan real bukan rasional adalah irrasional. Secara simbolik, jikar adalah bilangan real, maka
r adalah rasional ↔ ∃bilangan bulatadanbmemenuhir= a
b denganb6= 0
Contoh :
Apa 0,281 adalah bilangan rasional ?
Apa 0 adalah bilangan rasional ?
Apa 2/0 adalah bilangan irrasional ?
Bilangan Rasional
Pembuktian Bilangan Rasional
Buktikan penjumlahan dari dua bilangan rasional adalah rasional ! Buktikan perkalian dari dua bilangan rasional adalah rasional !
Pembagian
Definisi
Jikandand adalah bilangan bulat maka
nhabis dibagi dengand jika dan hanya jikan=dk untuk beberapa bilangan bulatk
Secara alternatif, dapat dikatakan
nperkalian darid atau
d faktor darinatau
d pembagi darinatau
d membagin
Notasid|ndibaca ”d membagin”. Secara simbolik, jikandand adalah bilangan bulat dand6= 0
Pembagian
Pembuktian Pembagian
Buktikan untuk seluruh bilangan bulat a,b,danc, jikaa membagib
danb membagic, makaa membagic !
Buktikan perkalian dari dua bilangan rasional adalah rasional !
Buktikan beberapa bilangan bulat n>1 habis dibagi dengan bilangan
prima !
Penyangkalan Pembagian
Buktikan penyangkalan untuk seluruh bilangan bulata danb, jikaa|b
danb|amaka a=b !
Teorema Sisa Hasil Bagi
Definisi
Diberikan beberapa bilangan bulat n dan bulat positif d, ada bilangan bulat unik q dan r maka
n=dq+r dan 0≤r <d
Contoh :
Tentukan nilai q danr dari
n= 54, d = 4
n=−54, d = 4
Teorema Sisa Hasil Bagi
Definisi
Diberikan bilangan bulat tak negatif n dan bulat positif d,
n divd = hasil bagi yang diperoleh ketikan dibagi dengan d n modd = sisa bagi yang diperoleh ketikan dibagi dengan d
Secara simbolis, jika n dand adalah bulat positif, maka
n div d =q dann mod d =r ↔n=dq+r
dimanaq danr bilangan bulat dan 0≤r <d.
Contoh :
Pernyataan Tidak Langsung
Metode Pembuktian Kontradiksi
Diberikan pernyataan dibuktikan adalah salah (negasi dari kebenaran). Tunjukkan pernyataan mengarah secara logis adalah kontradiksi. Berikan kesimpulan bahwa pernyataan harus dibuktikan benar.
Contoh :
Pernyataan Tidak Langsung
Metode Pembuktian Kontraposisi
Diberikan pernyataan dibuktikan dalam bentuk :
∀x didalamD, jikaP(x) makaQ(x)
Tulis kembali pernyataan tersebut dalam aturan kontrapositif.
Berikan kesimpulan bahwa pernyataan harus dibuktikan benar.
∀x didalamD, jikaQ(x) adalah salah makaP(x) adalah salah
Buktikan kontrapositif secara langsung
Berikanx adalah elemenD memenuhiQ(x) adalah salah. Tunjukkan bahwaP(x) adalah salah.
Contoh :
Aplikasi
Algoritma
Poin-poin pembuktian ini memiliki peran pengembangan pola berpikir langkah demi langkah.
Penyelesaian langkah demi langkah yang sistematis→Algoritma.
Tugas Kelompok
Intruksi
Buatlah beberapa Algoritma sertakan pembuktiannya/proses langkah algortimanya (step-by-step) :
Algoritma Pembagian
Algoritma Faktor Persekutuan Terbesar (FPB(m
,n))
Algoritma Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK(m
,n))
Algoritma Faktorial (n!)
Algoritma Perkalian (an
)
Batas pengumpulan terakhir pada ... paling lambat pukul ... WIB.
Laporan kelompok wajib diupload di SIAKAD oleh seluruh mahasiswa (meskipun laporan isi sama satu kelompok).
Format laporan : Cover (Judul tugas, Logo Untag, Nama Anggota Kelompok) + Isi Penyelesaian setiap Algoritma + Kesimpulan.
Catatan
Seluruh materi presentasi dapat didownload pada SIAKAD masing-masing atau link berikut :
