MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BILANGAN BULAT DAN BILANGAN RASIONAL
Sarta Meliana1∗, Mashadi2, Sri Gemawati2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗sarta meliana@yahoo.co.id ABSTRACT
This article discusses the derivative of an integer and a rational number, and also find the solution for the differential equation of an integer and a rational number for some cases that use Leibniz rule and factorization in prime powers.
Keywords: Leibniz rule, prime number, factorization in prime powers.
ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang turunan bilangan bulat dan bilangan rasional serta menentukan solusi persamaan differensial bilangan bulat dan bilangan rasional un-tuk kasus-kasus tertentu dengan menggunakan aturan Leibniz dan faktorisasi prima dari bilangan bulat.
Kata kunci: aturan Leibniz, bilangan prima, faktorisasi prima.
1. PENDAHULUAN
Turunan dari bilangan bulat didefinisikan sebagai pemetaan dari setiap bilangan prima ke 1 dan memenuhi aturan Leibniz. Sifat dasar dari pemetaan inilah yang dikembangkan sehingga dapat digunakan pada kasus bilangan rasional dan sebarang bilangan real [8]. Persamaan differensial adalah setiap persamaan yang di dalam-nya terdapat turunan atau differensial, dan suatu fungsi dari variabel bebas yang memenuhi persamaan diferensial itu disebut solusi dari persamaan differensial terse-but [3]. Solusi dari persamaan differensial bilangan juga dapat ditemukan, sebagai contoh, dapat dicari solusi dari persamaan differensial n′ = 5 dengan n adalah bilangan bulat.
Artikel ini membahas tentang bagaimana menyatakan turunan bilangan bulat dan bilangan rasional serta menyelesaikan persamaan differensial bilangan bulat dan bilangan rasional pada kasus tertentu. Artikel ini merupakan tinjauan sebagian dari artikel yang ditulis oleh Ufnarovski dan Ahlander yang berjudul How to Differentiate
2. BILANGAN BULAT
Teori pendukung yang berkaitan dengan pembahasan mengenai turunan pada bi-langan bulat dan rasional serta persamaan differensialnya dibahas pada bagian ini.
2.1 Postulat Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat didefinisikan dengan Z := {0, ±1, ±2, ±3, · · · } dan memenuhi postulat berikut ini [4, h. 49].
1. Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. 2. Penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat bersifat assosiatif dan
komu-tatif.
3. HimpunanZ memuat elemen 0 yang merupakan identitas untuk penjumlahan dan elemen 1 yang merupakan identitas untuk perkalian.
4. Hukum distributif a· (b + c) = a · b + a · c berlaku untuk setiap a, b, c ∈ Z.
2.2 Induksi Matematika
Prinsip induksi matematika merupakan salah satu metode yang dapat digunakan un-tuk pembuktian dalam bidang kalkulus maupun aljabar. Prinsip induksi matematika diberikan dalam teorema berikut [6, h. 18].
Teorema 1 Misalkan P (n) dengan n ∈ Z merupakan pernyataan yang memenuhi
kondisi berikut.
1. P (n0) benar untuk suatu bilangan bulat n0.
2. Jika P (k) benar untuk sebarang bilangan bulat k ≥ n0, maka P (k + 1) juga
benar.
Selanjutnya, P (n) benar untuk setiap bilangan bulat n≥ n0. Bukti. Lihat [6, h. 18].
2.3 Faktor Prima dan Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi 2 [4, h. 59] Misalkan a dan b bilangan bulat. Bilangan bulat a dikatakan
membagi b jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
Definisi 3 [4, h. 66] Bilangan bulat p merupakan bilangan bulat prima jika p > 1
Bilangan bulat positif yang lebih besar daripada 1 yang bukan prima disebut bilangan komposit. Setiap bilangan komposit yang dapat difaktorkan ke dalam bi-langan prima disebut faktorisasi prima [6, h. 175].
Teorema 4 Setiap bilangan bulat n ≥ 2 merupakan bilangan prima atau dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan prima, dan faktorisasi prima ini berben-tuk tunggal.
Bukti. Lihat [6, h. 174-175].
Berdasarkan Teorema 4, faktorisasi prima dapat dikembangkan untuk bilangan rasional karena bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk ab dengan a, b∈ Z dan b ̸= 0. Himpunan dari bilangan rasional dinotasikan dengan Q [2, h. 25]. Faktorisasi prima dapat dikembangkan untuk bilangan rasional dengan cara berikut. Pertama, faktorisasi prima dari bilangan bulat dituliskan sebagai pa1
1 p a2 2 · · · p ak k dan pb1 1 p b2 2 · · · p bk k , dengan ai, bi ∈ Z + ∪ {0} dan p
i menotasikan bilangan prima ke-i.
Selanjutnya, pandang bilangan rasional r = ab sedemikian sehingga a = pa1
1 p a2 2 · · · p ak k dan b = pb1 1 p b2 2 · · · p bk
k . Kemudian, faktorisasi prima dari bilangan rasional r = a b
didefinisikan sebagai berikut:
r = a b = p a1−b1 1 p a2−b2 2 · · · p ak−bk k = p c1 1 p c2 2 · · · p ck k ,
dengan pi adalah bilangan prima ke-i dan ci ∈ Z.
Definisi 5 [4, h. 63] Bilangan bulat d adalah faktor persekutuan terbesar dari a dan b jika kondisi berikut terpenuhi.
1. d merupakan bilangan bulat positif. 2. d| a dan d | b.
3. c| a dan c | b mengimplikasikan c | d.
3. MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BILANGAN BULAT DAN BILANGAN RASIONAL
Rumus turunan dari sebuah perkalian dan pembagian dari dua fungsi pada kalkulus ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang disebut aturan Leibniz [7, h. 210]. Aturan Leibniz yaitu jika dua buah fungsi f dan g dapat diturunkan, maka
(f g)′ = f g′+ f′g, (1)
dan jika g ̸= 0, maka
( f g )′ = gf ′− fg′ g2 . (2)
Sifat aturan Leibniz pada persamaan (1) dan persamaan (2) inilah yang digunakan dalam mendefinisikan fungsi turunan pada bilangan.
3.1. Turunan Bilangan Bulat Positif
Fungsi turunan bilangan dikemukakan pada saat kompetisi olimpiade matematika
Putnam Prize dan didefinisikan dalam Definisi 6 [5, h. 469].
Definisi 6 Misalkan n′ menyatakan fungsi turunan bilangan bulat positif n. Fungsi
n′ :Z+∪ {0} → Z+∪ {0} didefinisikan dengan aturan: 1′ = 0′ = 0,
p′ = 1 untuk setiap p bilangan prima,
(ab)′ = ab′+ a′b untuk setiap a dan b bilangan bulat positif (aturan Leibniz).
Contoh 7 15′ = (3· 5)′ = 3′· 5 + 3 · 5′ = 1· 5 + 3 · 1 = 8.
Aturan Leibniz pada Definisi 6 dapat diperluas untuk k suku [1, h. 117], seperti yang dinyatakan dalam lema berikut.
Lema 8 Misalkan m = u1u2· · · uk, dengan u1, u2, . . . , ukadalah bilangan bulat
posi-tif dan m′ adalah fungsi turunan bilangan yang memenuhi Definisi 6, maka untuk setiap k bilangan bulat positif berlaku
(u1u2· · · uk)′ u1u2· · · uk = (u1) ′ u1 +(u2) ′ u2 +· · · + (uk) ′ uk . (3)
Bukti. Induksi matematika digunakan untuk menunjukkan bahwa persamaan (3)
benar untuk setiap k bilangan bulat positif. Pertama-tama, persamaan (3) ditun-jukkan benar untuk k = 2. Berdasarkan aturan Leibniz pada Definisi 6, maka
(u1u2)′ = u′1u2+ u1u′2, (4)
dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (4) dengan u1
1u2 diperoleh (u1u2)′ u1u2 = u ′ 1 u1 +u ′ 2 u2 .
Selanjutnya, asumsikan persamaan (3) benar untuk k = j, yaitu (u1u2· · · uj)′ u1u2· · · uj = (u1) ′ u1 +(u2) ′ u2 +· · · + (uj) ′ uj .
Persamaan (3) akan ditunjukkan benar untuk k = j + 1. Misalkan b = u.uj+1,
dengan u = u1u2· · · uj. Berdasarkan Definisi 6 diperoleh
kalikan kedua ruas persamaan (5) dengan u.u1 j+1 sehingga diperoleh (u1u2· · · ujuj+1)′ u1u2· · · ujuj+1 = (u1) ′ u1 +(u2) ′ u2 +· · · +(uj) ′ uj + (uj+1) ′ uj+1 .
Jadi, persamaan (3) benar untuk setiap k bilangan bulat positif.
Rumus eksplisit untuk turunan bilangan diperoleh dengan menggunakan Definisi 6 dan Lema 8, seperti dinyatakan dalam teorema berikut [8, h. 2].
Teorema 9 Jika n = ∏ki=1pni
i adalah faktorisasi dalam pangkat prima, maka n′ = n k ∑ i=1 ni pi .
Bukti. Misalkan pα = pp· · · p, dengan p adalah bilangan prima. Berdasarkan
Definisi 6 dan Lema 8 diperoleh
(pα)′ pα =
α
p. (6)
Sekarang, misalkan n = ∏ki=1pni
i = p n1 1 p n2 2 · · · p nk
k , dengan pi adalah bilangan prima
dan ni bilangan bulat positif untuk 1≤ i ≤ k. Berdasarkan persamaan (3), n′ n = (pn1 1 )′ pn1 1 + (p n2 2 )′ pn2 2 +· · · +(p nk k )′ pnk k ,
dengan menggunakan persamaan (6) diperoleh
n′ = n k ∑ i=k ni pi . Contoh 10 (60)′ = (22.3.5)′ = 60(22 +13 +15)= 92.
Aturan perkalian (ab)′ = a′b + ab′ untuk a dan b bilangan bulat positif pada turunan bilangan berlaku secara umum. Namun, kelinieran (a + b)′ = a′ + b′ pada turunan bilangan tidak terpenuhi secara umum. Untuk beberapa a, b ∈ Z+
diper-oleh bahwa (a + b)′ ̸= a′ + b′, sebagai contoh, (7 + 10)′ ̸= 7′ + 10′. Namun, ada beberapa a, b ∈ Z+ yang memenuhi (a + b)′ = a′ + b′. Secara umum dinyatakan dalam teorema berikut [8, h. 2-3].
Teorema 11 Jika ada a dan b bilangan bulat positif yang memenuhi (a+b)′ = a′+b′, maka
Hal yang sama terpenuhi untuk ketaksamaan:
Jika (a + b)′ ≥ a′+ b′ maka (ka + kb)′ ≥ (ka)′ + (kb)′. Jika (a + b)′ ≤ a′+ b′ maka (ka + kb)′ ≤ (ka)′ + (kb)′.
Bukti. Definisi 6 dan postulat bilangan bulat digunakan untuk membuktikan
Teo-rema 11.
Akibat 12 Untuk k ∈ Z+, berlaku
(3k)′ = k′+ (2k)′ ; (2k)′ ≥ 2k′ ; (5k)′ ≤ (2k)′+ (3k)′ ; (5k)′ = (2k)′+ 3(k)′. Bukti. Akibat 12 dibuktikan dengan menggunakan Teorema 11 dan fakta bahwa
3′ = 1′+ 2′ ; 2′ = (1 + 1)′ ≥ 1′ + 1′ ; 5′ = (2 + 3)′ ≤ 2′+ 3′ ; 5′ = 2′+ 3.1′.
Teorema 13 [8, h. 3] Jika n′ ≥ n maka (kn)′ > kn untuk setiap bilangan
bu-lat positif k > 1.
Bukti. Misalkan k, n ∈ Z+ dan misalkan n′ ≥ n, dengan k > 1. Berdasarkan
Definisi 6,
(kn)′ = k′n + kn′ > kn′ ≥ kn.
Teorema berikut ini menunjukkan bahwa untuk setiap n > 4 yang dapat dibagi oleh 4 memenuhi kondisi n′ > n dan turunan bilangan ke-k akan menuju tak hingga
bila k semakin besar menuju tak hingga, yaitu limk→∞n(k)=∞ [8, h. 4].
Teorema 14 Jika n = pp · m untuk suatu bilangan prima p dan bilangan bulat
positif m > 1, maka n′ = pp(m + m′) dan lim
k→∞n(k) =∞. Bukti. Berdasarkan aturan Leibniz dan Teorema 9, maka
n′ = (pp· m)′ = (pp)′m + ppm′ = pp(m + m′) > n.
Selanjutnya, induksi matematika akan digunakan untuk menunjukkan bahwa n(k) merupakan barisan naik yang tidak terbatas.
Teorema 15 Misalkan pk adalah pangkat tertinggi dari bilangan prima p yang membagi bilangan asli n. Jika 0 < k < p, maka pk−1 adalah pangkat tertinggi dari p yang membagi n′. Khususnya, semua bilangan n, n′, n′′, . . . , n(k) berbeda.
Bukti. Berdasarkan Teorema 9,
n′ = (pkm)′ = (pk)′m + pkm′ = p(k−1)km + pkm′ = p(k−1)(km + pm′).
Oleh karena (km + pm′) tidak habis dibagi oleh p, maka p(k−1) adalah pangkat tertinggi dari p yang membagi n′.
Akibat 16 Bilangan bulat positif n bebas kuadrat jika dan hanya jika gcd(n, n′) = 1.
Bukti. =⇒ Misalkan n bebas kuadrat, yaitu n = p1p2· · · pk, dengan p1, p2, . . . , pk
merupakan bilangan prima berbeda. Berdasarkan Teorema 9,
n′ = p2p3· · · pk+ p1p3· · · pk+· · · + p1p2· · · pk−1.
Oleh karena sebarang bilangan prima p1, p2, . . . , pk tidak habis membagi n′ maka gcd(n, n′) = 1.
⇐= Andaikan n tidak bebas kuadrat. Jika p2 | n, maka berdasarkan Teorema 15, p| n′, artinya gcd(n, n′) > 1. Jadi, n mestilah bebas kuadrat.
3.2 Persamaan Differensial Bilangan Bulat Positif
Penyelesaian persamaan differensial dalam bilangan bulat positif telah dibahas se-belumnya oleh Ufnarovski dan Ahlander dalam [8] yang dipaparkan dalam Teorema (17), Teorema (18), Teorema (19), Teorema (20), Akibat (21), dan Teorema (22) sebagai berikut.
Teorema 17 Persamaan n′ = n terpenuhi jika dan hanya jika n = pp, dengan p adalah sebarang bilangan prima. Khususnya, persamaan n′ = n mempunyai tak hingga banyaknya solusi dalam bilangan bulat positif.
Bukti.=⇒ Misalkan n = pα1
1 p α2
2 · · · p αk
k , dengan p1, p2, . . . , pk sebarang bilangan
prima berbeda dan α1, α2, . . . , αk ∈ Z+ dan misalkan n′ = n. Berdasarkan
Teo-rema 9 dan oleh karena n′ = n, maka [ α1 p1 +α2 p2 +· · · +αk pk ] = 1, (7)
kemudian dengan mengalikan persamaan (7) dengan p1p2· · · pk−1 diperoleh p2· · · pk−1α1+ p1p3· · · pk−1α2+· · · + p1p2· · · pk−1
αk pk
= p1p2· · · pk−1.
Dengan menggunakan postulat bilangan bulat diperoleh bahwa n yang memenuhi persamaan n′ = n adalah n = pα1
1 = p p1
1 atau n = pp.
⇐= Misalkan p sebarang bilangan prima dan n = pp = ∏p i=1p
ni
i , dengan n1 = n2 =· · · = np = 1 dan p1 = p2 =· · · = pp = p. Berdasarkan Teorema 9,
n′ = np
p = n.
Dengan demikian, bila n = pp maka n′ = n.
Oleh karena ada tak terhingga banyaknya bilangan prima, maka persamaan n′ = n mempunyai tak hingga banyaknya solusi dalam bilangan bulat positif.
Teorema 18 Persamaan differensial n′ = 0 hanya mempunyai satu solusi bi-langan bulat positif n = 1.
Bukti. Teorema 18 akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan n̸= 1.
Kasus 1. Misalkan n = p, dengan p sebarang bilangan prima. Berdasarkan Definisi 6, diperoleh n′ = 1. Hal ini kontradiksi dengan n′ = 0. Jadi, n bukan bilangan prima.
Kasus 2. Misalkan n = ∏ki=1pqi
i , dengan pi sebarang bilangan prima dan αisebarang
bilangan bulat positif. Berdasarkan Teorema 9,
n′ = n k ∑ i=1 ni pi ̸= 0.
Hal ini kontradiksi dengan n′ = 0. Jadi, n bukan faktorisasi dari bilangan prima. Dengan demikian, n yang memenuhi agar n′ = 0 adalah n = 1.
Teorema 19 Persamaan differensial n′ = 1 dalam bilangan asli hanya mem-punyai solusi bilangan prima.
Bukti. Andaikan n bilangan komposit. Menurut aturan Leibniz dan Teorema 9, turunan n′ dapat ditulis sebagai jumlah dari beberapa bilangan bulat positif, artinya, n′ > 1. Jadi, n tidak mungkin bilangan komposit. Dengan demikian, persamaan differensial n′ = 1 hanya mempunyai solusi dalam bilangan prima.
Semua persamaan n′ = a lainnya, dengan a bilangan bulat positif, mempunyai solusi terbatas, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 20 Untuk sebarang bilangan bulat positif n, n′ ≤ n log2n
2 .
Jika n bukan bilangan prima, maka
n′ ≥ 2√n.
Secara umum, jika n merupakan hasil kali dari k faktor yang lebih besar daripada 1, maka
n′ ≥ knk−1k .
Bukti. Misalkan n =∏ki=1pni
i , dengan pi sebarang bilangan prima dan ni sebarang
bilangan bulat positif. Oleh karena p ≥ 2 ≥ 0, maka pm ≥ 2m dengan m ∈ Z+.
Dengan demikian, n = k ∏ i=1 pni i = p n1 1 p n2 2 · · · p nk k ≥ 2 n12n2· · · 2nk = 2n1+n2+···+nk = k ∏ i=1 2ni.
Oleh karena n≥ 2∑ki=1ni, maka log n≥ log 2∑ki=1ni =∑k
i=1nilog 2. Jadi, k ∑ i=1 ni ≤ log n log 2 = log2n. Berdasarkan Teorema 9 dan oleh karena
k ∑ i=1 ni pi = n1 p1 + n2 p2 +· · · +nk pk ≤ n1 2 + n2 2 +· · · + nk 2 = k ∑ i=1 ni 2, maka diperoleh n′ = n k ∑ i=1 ni pi ≤ n k ∑ i=1 ni 2 ≤ n log2n 2 .
Misalkan n = n1n2· · · nk. Berdasarkan Teorema 9 dan pertidaksamaan dari
rata-rata Aritmatika-Geometri, n′ = n [ 1 n1 + 1 n2 +· · · + 1 nk ] ≥ nk [ 1 n1 1 n2 · · · 1 nk ]1 k = nk [ 1 n ]1 k = knk−1k .
Akibat 21 Jika persamaan differensial n′ = a mempunyai sebarang solusi dalam bilangan asli, maka persamaan differensial n′ = a hanya mempunyai solusi terbatas jika a > 1.
Bukti. Misalkan persamaan differensial n′ = a mempunyai sebarang solusi dalam bilangan asli, dengan a > 1. Berdasarkan Teorema 20, a ≥ 2√n atau n ≤ a42. Dengan demikian, n terbatas oleh a42.
Teorema 22 Misalkan a = p + 2 dengan p bilangan prima, maka 2p adalah
so-lusi untuk persamaan n′ = a.
Bukti. Misalkan a = p + 2 dengan p bilangan prima. Berdasarkan Definisi 6
diperoleh
(2p)′ = 2′p + 2p′ = 1· p + 2 · 1 = p + 2.
Dengan demikian, terbukti bahwa 2p adalah solusi untuk n′ = a.
3.3 Turunan Bilangan Bulat Negatif
Turunan untuk bilangan bulat negatif hampir sama dengan turunan
untuk bilangan bulat positif dengan menggunakan aturan (−a)′ =−a′ seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut [8, h. 10].
Teorema 23 Turunan didefinisikan secara tunggal terhadap bilangan bulat dengan
aturan
Bukti. Oleh karena (−1)2 = 1, maka diperoleh (
(−1)2)′ = (−1)′(−1) + (−1)′(−1) = 2(−1)(−1)′ = 0. Dengan demikian, (−1)′ = 0. Kemudian,
(−a)′ = ((−1) · a)′ = (−1)′a + (−1)a′ = 0· a + (−1) · a′ =−a′. 3.4 Turunan Bilangan Rasional
Sifat turunan pada bilangan rasional telah dibahas sebelumnya oleh Ufnarovski dan Ahlander dalam [8] yang diberikan dalam Teorema (24) dan Teorema (25) berikut.
Teorema 24 Misalkan terdapat a, b ∈ Z+ sedemikian sehingga ab ∈ Q+. Maka, (a b )′ = a ′b− ab′ b2 .
Bukti. Misalkan a, b ∈ Z+. Kita nyatakan a′sebagai(b· a b )′ . Kemudian, berdasarkan Definisi 6 diperoleh a′ = ( b.a b )′ = b (a b )′ + (a b ) b′ (a b )′ = a ′b− ab′ b2 .
Rumus eksplisit untuk bilangan rasional dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 25 Turunan dari bilangan rasional r dengan faktorisasi primanya adalah pc1 1 p c2 2 · · · p ck k diberikan oleh r′ = r k ∑ i=1 ci pi . Bukti. Misalkan a = pa1 1 p a2 2 · · · p ak k dan b = p b1 1 p b2 2 · · · p bk k , dengan pi untuk 1≤ i ≤ k
menotasikan sebarang bilangan prima, dan ai, bi ∈ Z+∪ {0}. Misalkan r = ab ∈ Q+.
Dengan demikian, r = a b = p a1−b1 1 p a2−b2 2 · · · p ak−bk k = p c1 1 p c2 2 · · · p ck k ,
dengan ci = ai− bi ∈ Z. Berdasarkan Teorema 9 dan Teorema 18 diperoleh
r′ = a b ( k ∑ i=1 ai− bi pi ) = r k ∑ i=1 ci pi .
Turunan untuk bilangan rasional negatif dapat diproses dengan menggunakan Teo-rema 24 dan TeoTeo-rema 25 dan menggunakan aturan (−r)′ =−r′.
3.5 Solusi Rasional dari Persamaan r′ = 0
Teorema 26 [8, h. 12] Persamaan differensial r′ = 0 jika dan hanya jika
r = pa1p1
1 p a2p2
2 · · · p akpk
k dengan r ∈ Q dan ai ∈ Z, sedemikian sehingga
∑k
i=1ai = 0. Bukti =⇒ Misalkan r = ∏ki=1pαi
i ∈ Q dan r′ = 0. Berdasarkan Teorema 25
dan oleh karena r′ = 0, maka
k ∑ i=1 αi pi = 0, dengan demikian k ∑ i=1 αi pi = α1 p1 +α2 p2 +· · · +αk pk = 0 k ∑ i=1 αi ∏k j=1pj pi = 0. Oleh karena ∏k j=1pj
pi tidak dapat dibagi dengan pi maka αi dapat dibagi dengan pi.
Misalkan αi
pi = ai ∈ Z. Dengan demikian, r =
∏k i=1p
aipi
i adalah solusi dari r′ = 0. ⇐= Misalkan r =∏k i=1p aipi i ∈ Q. Berdasarkan Teorema 25 r′ = k ∏ i=1 paipi i k ∑ i=1 aipi pi = k ∏ i=1 paipi i k ∑ i=1 ai.
Oleh karena ∑ki=1ai = 0 maka r′ = 0.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dikemukakan, maka dapat diambil kesim-pulan bahwa aturan Leibniz yang dikenal di dalam Kalkulus berlaku pada turunan bilangan. Aturan Leibniz inilah yang dikembangkan sehingga memperoleh rumus eksplisit untuk turunan bilangan bulat positif. Turunan bilangan dapat dikem-bangkan untuk bilangan bulat negatif dengan menggunakan aturan (−a)′ = −a′ dengan a sebarang bilangan bulat positif. Turunan bilangan dapat dikembangkan lagi untuk sebarang bilangan rasional setelah mengetahui formula dari turunan bi-langan bulat.
Solusi persamaan differensial bilangan bulat dapat diketahui dengan pasti hanya untuk beberapa kasus khusus, seperti pada persamaan differensial n′ = n, n′ = 1,
n′ = 0, dan n′ = p + 2. Sementara, solusi persamaan differensial untuk bilangan rasional dapat ditemukan hanya untuk kasus persamaan r′ = 0 dengan r sebarang bilangan rasional.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Barbeau, E. J. 1961. Remarks on an Arithmetic Derivative. Canadian
Mathe-matical Bulletin. 4:117-122.
[2] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. 2011. Introduction to Real Analysis, fourth
edition. John Wiley & Sons, Inc., New York.
[3] Degeng, I. W. 2007. Kalkulus Lanjut: Persamaan Differensial dan Aplikasinya. Graha Ilmu, Yogyakarta.
[4] Gilbert, J. & L. Gilbert. 1992. Elements of Modern Algebra, third edition. PWS-KENT Publishing Company, Boston.
[5] Gleason, A. M., R. E. Greenwood, & L. M. Kelly. 1980. The William Lowel
Putnam Mathematical Competition: Problem and Solution 1938-1964.
Mathe-matical Association of America, Washington DC.
[6] Koshy, T. 2007. Elementary Number Theory with Application, second edition. Elsevier Academic Press, United States of America.
[7] Stewart, J. 2009. Kalkulus Edisi Kelima: Buku 1. Terj. dari Calculus, fifth
edition, oleh Sungkono, C. Penerbit Salemba Teknika, Jakarta.
[8] Ufnarovski, V. & B. Ahlander. 2003. How to Differentiate a Number. Journal
