BILANGAN KOMPLEKS. Contoh 1.2 Buktikan bahwa. jika a bilangan ganjil, maka a 2 bilangan ganjil. Penyelesaian. Bukti : sehingga

BILANGAN KOMPLEKS 1.1 Sistem Bilangan Kompleks

Sistem bilangan seperti yang dikenal sekarang ini merupakan suatu hasil dari perkembangan secara bertahap yang ditunjukkan dalam daftar berikut.

1. Bilangan asli, 1, 2, 3, ..., juga dinamakan bilangan bulat positif, yang pertama kali digunakan untuk menghitung. Lambang tersebut berubah sesuai dengan waktu, misalnya bangsa Romawi menggunakan I, II, III, IV, .... Jika a dan b bilangan asli maka jumlah a + b dan hasil kali a.b, (a)(b) atau ab juga merupakan bilangan asli. Dalam hal ini bilangan asli dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat ketertutupan terhadap operasi ini.

2. Bilangan bulat negatif dan nol, berturut-turut dinyatakan dengan, -1, -2, -3, ... dan 0, yang merupakan penyelesaian persamaan x + b = a dimana a dan b bilangan asli. Hal ini memberikan operasi pengurangan atau lawan penjumlahan dan kita menuliskannya sebagai x = a − b.

Himpunan bilangan bulat positif, negatif, dan nol dinamakan bilangan bulat dan tertutup terhadap operasi penjumlahan, perkalian dan pengu- rangan.

Contoh 1.2 Buktikan bahwa

jika a bilangan ganjil, maka a ² bilangan ganjil.

Penyelesaian

jika a bilangan ganjil, maka a ² bilangan ganjil.

Bukti :

Misalkan a = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, ...., sehingga

a ² = (2k + 1) ²

= 4k ² + 4k + 1

= 2(2k ² + 2k) + 1, k = 0, 1, 2, 3, ....

Contoh 2.1 Buktikan bahwa

jika a ² adalah bilangan genap, maka a adalah genap.

Penyelesaian

jika a ² adalah bilangan genap, maka a adalah genap.

Bukti:

membuktikan

jika a ² adalah bilangan genap, maka a adalah genap.

sama saja kita membuktikan kontraposisinya yakni membuktikan jika a bilangan ganjil, maka a ² bilangan ganjil.

Bukti :

Misalkan a = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, ...., sehingga

a ² = (2k + 1) ²

= 4k ² + 4k + 1

= 2(2k ² + 2k) + 1, k = 0, 1, 2, 3, ....

3. Bilangan rasional atau pecahan seperti misalnya ³ ₄ , − ⁸ ₃ , ..., merupakan penyelesaian persamaan bx = a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b 6= 0. Hal ini memberikan operasi pembagian atau kebalikan dari perkalian dan kita menuliskannya sebagai x = a/b atau a : b [dinamakan hasil bagi a dan b] di mana a pembilang dan b penyebut.

Himpunan bilangan bulat merupakan suatu bagian atau himpunan bagian dari bilangan rasional karena setiap bilangan bulat berkaitan dengan bi- langan rasional a/b dimana b = 1.

Himpunan bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian selama pembagian dengan nol tidak disertakan.

Contoh 3.1 Buktikan bahwa

jika a > 0, maka ¹ _a > 0.

Penyelesaian

jika a > 0, maka ¹ _a > 0.

Bukti :

Akan dibuktikan dengan pengandaian, andaikan _a ¹ ≤ 0, sehingga

1 a ≤ 0 a. 1

a ≤ a.0 1 ≤ 0

jadi tidak mungkin 1 ≤ 0 dan sekaligus dari pakta 1 > 0.

4. Bilangan irasional, seperti misalnya √

2 = 1, 41423... dan π = 3, 14159...

adalah bilangan yang bukan rasional; yaitu tidak dapat dinyatakan se- bagai a/b dimana a dan b bilangan bulat dan b 6= 0.

Contoh 4.1

Tunjukkan bahwa √

2 adalah bilangan irasional.

Penyelesaian

√ 2 bilangan irasional Bukti :

Andaikan √

2 bilangan rasional.

Misalkan

√ 2 = ^p _q , FPB dari p, q = 1, p, q bilangan bulat.

sehingga

√ 2 = p

q ( √

2) ² = ( p q ) ² 2 = p ²

q ² 2q ² = p ² p ² = 2q ²

terlihat bahwa p ² , adalah bilangan bulat, kemudian

jika p ² adalah bilangan genap, maka p adalah genap.

Bukti:

membuktikan

jika p ² adalah bilangan genap, maka p adalah genap.

sama saja kita membuktikan kontraposisinya yakni membuktikan jika p bilangan ganjil, maka p ² bilangan ganjil.

Bukti :

Misalkan p = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, ...., sehingga

p ² = (2k + 1) ²

= 4k ² + 4k + 1

= 2(2k ² + 2k) + 1, k = 0, 1, 2, 3, ....

Misalkan

p = 2l, l = 1, 2, 3, ..., sehingga

p ² = 2q ² (2l) ² = 2q ² 4l ² = 2q ² 2l ² = q ²

q ² = 2l ²

terlihat bahwa q ² , adalah bilangan bulat, kemudian

jika q ² adalah bilangan genap, maka q adalah genap.

Bukti:

membuktikan

jika q ² adalah bilangan genap, maka q adalah genap.

sama saja kita membuktikan kontraposisinya yakni membuktikan jika q bilangan ganjil, maka q ² bilangan ganjil.

Bukti :

Misalkan q = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, ...., sehingga

q ² = (2k + 1) ²

= 4k ² + 4k + 1

= 2(2k ² + 2k) + 1, k = 0, 1, 2, 3, ....

jadi p dan q bilangan genap, tentunya FPB 6= 1.

Tidak mungkin FPB p, q 6= 1 dan sekaligus FPB p, q = 1.

Himpunan bilangan rasional dan irasional dinamakan himpunan bilangan real. Disini diandaikan bahwa para mahasiswa telah terbiasa dengan berbagai operasi pada bilangan real.

Contoh 5.1

Tentukan penyelesaian dari

x ² − 4 = 0 Penyelesaian

x ² − 4 = 0 (x − 2)(x + 2) = 0

x − 2 = 0,x + 2 = 0 x ₁ = 2,x ₂ = −2

1.2 Penyajian Secara Grafik Dari Bilangan Real

Bilangan real dapat dinyatakan dengan titik-titik pada suatu garis yang dina- makan sumbu real, seperti dinyatakan pada gambar 1.1. Titik yang dikaitkan dengan nol dinamakan asal (origin).

Sebaliknya, pada setiap titik di garis tersebut terdapat satu dan hanya satu bilangan real. Jika suatu titik A yang dikaitkan dengan bilangan a terletak disebelah kanan titik B yang dikaitkan dengan bilangan b, maka kita meny- atakan bahwa a lebih besar dari b, atau b lebih kecil dari a dan berturut turut ditulis a > b dan b < a.

Himpunan semua nilai x sehingga a < x < b dinamakan selang terbuka pada sumbu real sedangkan a ≤ x ≤ b yang juga memuat titik ujung a dan b dinamakan selang tertutup. Lambang x yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan real dinamakan suatu peubah real.

Nilai mutlak suatu bilangan real a, dinyatakan dengan |a| adalah sama

dengan a jika a > 0, sama dengan −a jika a < 0 dan sama dengan jika a = 0.

Jarak di antara dua titik a dan b pada sumbu real adalah |a − b|.

1.3 Sistem Bilangan Kompleks

Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan suku banyak x ² + 1 = 0. Untuk memperbolehkan adanya jawaban dari persamaan ini dan yang sejenisnya. Maka himpunan bilangan kompleks diperkenalkan.

Kita dapat memandang suatu bilangan kompleks sebagai bilangan yang berbentuk a + bi di mana a dan b bilangan real dan i, yang dinamakan satuan khayal (imaginari unit) bersifat i ² = −1. Jika z = a + bi, maka a dinamakan bagian real dari z dan b dinamakan bagian khayal dari z berturut-turut diny- atakan dengan Re{z} dan Im{z}. Lambang z, yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan kompleks dinamakan peubah kompleks.

Dua bilangan kompleks a + bi dan c + di dikatakan sama jika a = c dan b = d. Kita dapat memandang bilangan real sebagai bagian dari himpunan bilangan kompleks dengan b 6= 0. Jadi bilangan kompleks 0 + 0i dan −3 + 0i berturut-turut menyatakan bilangan 0 dan -3. Jika a 6= 0, maka bilangan kompleks 0 + bi atau bi dinamakan bilangan khayal sejati.

Kompleks sekawan, atau disingkat kawan dari suatu bilangan komples a+bi adalah bilangan a−bi. Kompleks sekawan suatu bilangan kompleks z seringkali dinyatakan dengan z atau z ^∗ .

Contoh 6.1

Tentukan penyelesaian dari

x ³ − 8 = 0 Penyelesaian

x ³ − 8 = 0 x ³ = 8 (x − 2)(x ² + 2x + 4) = 0

x − 2 = 0x ² + 2x + 4 = 0

x ₁ = 2,x ₂ (kompleks), x ₃ (kompleks) 1.4 Operasi-operasi Dasar dengan Bilangan Kompleks

Bentuk operasi dengan bilangan kompleks dapat dikerjakan seperti pada aljabar bilangan real dengan menggantikan i ² dengan −1 bilamana ia muncul.

1. Penjumlahan

(a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i.

2. Pengurangan

(a + bi) − (c + di)ac + bi − c − di = (a − c) + (b − d)i 3. Perkalian

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi ² = (ac − bd) + (ad + bc)i

4. Pembagian

a + bi

c + di = a + bi

c + di . c − di c − di

= ac − adi + bci − bdi ² c ² − d ² i ²

= ac + bd + (bc − ad)i c ² + d ²

= ac + bd

c ² + d ² + bc − ad c ² + d ² i Contoh 7.1

Tentukan bilangan x dan y sehingga 3x + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i.

Penyelesaian

3x + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i 3x + 5y + (2y − x)i = 7 + 5i

3x + 5y = 7,2y − x = 5 3x + 5y = 7,2y − 5 = x 3(2y − 5) + 5y = 7,x = 2y − 5 6y − 15 + 5y = 7,x = 2y − 5 11y = 7 + 15,x = 2y − 5 11y = 22,x = 2y − 5

y = 22

11 ,x = 2. 22 11 − 5 y = 2,x = 4 − 5 y = 2,x = −1 x = −1,y = 2 1.5 Nilai Mutlak

Nilai Mutlak atau modulus bilangan kompleks a + bi didefenisikan sebagai

|a + bi| = √

a ² + b ² . Contoh 8.1

Tentukan nilai dari

| − 4 + 2i|

Penyelesaian

| − 4 + 2i| = p(−4) ² + (2) ² = √

20 = 2 √ 5 Jika z ₁ , z ₂ , z ₃ , ..., z _n bilangan kompleks, maka sifat ini berlaku.

1. |z ₁ z ₂ | = |z ₁ ||z ₂ | atau |z ₁ z ₂ z ₃ ...z _n | = |z ₁ ||z ₂ ||z ₃ |...|z _n |

2. | ^z _z

¹

2

= ^|z _|z

¹

^|

2

| jika z 1 6= 0

3. |z 1 +z 2 | ≤ |z 1 |+|z 2 | atau |z 1 +z 2 +z 3 +...+z n | ≤ |z 1 |+|z 2 |+|z 3 |+...+|z n | 4. |z ₁ + z ₂ | ≥ |z ₁ | − |z ₂ | atau |z ₁ − z ₂ | ≥ |z ₁ | − |z ₂ |

Contoh 9.1 Buktikan

1. z ₁ + z ₂ = z ₁ + z ₂ 2. |z ₁ z ₂ | = |z ₁ ||z ₂ |.

Penyelesaian

1. z ₁ + z ₂ = z ₁ + z ₂ Bukti :

z ₁ + z ₂ = x ₁ + iy ₁ + x ₂ + iy ₂

= x ₁ + x ₂ + i(y ₁ + y ₂ )

= x ₁ + x ₂ − i(y ₁ + y ₂ )

= x ₁ − iy ₁ + x ₂ − iy ₂

= x ₁ + iy ₁ + x ₂ + iy ₂

= z ₁ + z ₂ 2. |z ₁ z ₂ | = |z ₁ ||z ₂ |.

Bukti :

|z ₁ z ₂ | = |(x ₁ + iy ₁ )(x ₂ + iy ₂ )|

= |x ₁ x ₂ + x ₁ iy ₂ + x ₂ iy ₁ + i ² y ₁ y ₁ |

= |x 1 x 2 − y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )|

= p

(x ₁ x ₂ − y ₁ y ₂ ) ² + (x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ ) ²

= q

x ² ₁ x ² ₂ − 2x ₁ x 2 y 1 y 2 + y ₁ ² y ₂ ² + x ² ₁ y ₂ ² + 2x 1 x 2 y 1 y 2 + x ² ₂ y ₁ ²

= q

x ² ₁ x ² ₂ + y ² ₁ y ₂ ² + x ² ₁ y ₂ ² + x ² ₂ y ₁ ²

= q

(x ² ₁ + y ² ₁ )(x ² ₂ + y ₂ ² )

= q

x ² ₁ + y ² ₁ q

x ² ₂ + y ² ₂

= |z ₁ ||z ₂ | Contoh 10.1

Buktikan

|z ₁ + z ₂ | ≤ |z ₁ | + |z ₂ |

Penyelesaian

|z ₁ + z ₂ | ≤ |z ₁ | + |z ₂ | Bukti :

|z ₁ + z ₂ | ≤ |z ₁ | + |z ₂ | p (x ₁ + x ₂ ) ² + (y ₁ + y ₂ ) ² ≤

q

x ² ₁ + y ₁ ² + q

x ² ₂ + y ² ₂ (x ₁ + x ₂ ) ² + (y ₁ + y ₂ ) ² ≤ x ² ₁ + y ₁ ² + 2

q

x ² ₁ + y ² ₁ q

x ² ₂ + y ₂ ² + x ² ₂ + y ₂ ² x ² ₁ + 2x ₁ x ₂ + x ² ₂ + y ² ₁ + 2y ₁ y ₂ + y ₂ ² ≤ x ² ₁ + y ₁ ² + 2

q

(x ² ₁ + y ₁ ² )(x ² ₂ + y ₂ ² ) + x ² ₂ + y ₂ ² 2x ₁ x ₂ + 2y ₁ y ₂ ≤ 2

q

(x ² ₁ + y ² ₁ )(x ² ₂ + y ₂ ² ) x ₁ x ₂ + y ₁ y ₂ ≤

q

(x ² ₁ + y ₁ ² )(x ² ₂ + y ² ₂ ) x ² ₁ x ² ₂ + 2x ₁ x ₂ y ₁ y ₂ + y ₁ ² y ₂ ² ≤ x ² ₁ x ² ₂ + x ² ₁ y ₂ ² + x ² ₂ y ₁ ² + y ₁ ² y ² ₂

2x ₁ x ₂ y ₁ y ₂ ≤ x ² ₁ y ² ₂ + x ² ₂ y ² ₁

0 ≤ x ² ₁ y ² ₂ + x ² ₂ y ² ₁ − 2x ₁ x ₂ y ₁ y ₂ 0 ≤ (x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ ) ²

(x 1 y 2 − x 2 y 1 ) ² ≥ 0 Tugas 1.

1. Kerjakan setiap operasi yang diberikan.

(a) (3 + 2i) + (−7 − i)

(b) (5 + 3i) + {(−1 + 2i) + (7 − 5i)}

(c) (2 − 3i)(4 + 2i) (d) _−1+i ³⁻²ⁱ

2. Buktikan jika z ₁ , z ₂ bilangan kompleks, maka |z ₁ + z ₂ | ≥ |z ₁ | − |z ₂ | atau

|z ₁ − z ₂ | ≥ |z ₁ | − |z ₂ |.