terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

BAB 1.

BILANGAN KOMPLEKS

1.1. Definisi Bilangan Kompleks

Sebelum mendefinisikan bilangan kompleks, pembaca diingatkan kembali pada permasalah dalam sistem bilangan yang telah dikenal sebelumnya.

Yang pertama adalah bilangan bulat. Diberikan masalah: Berapa nilai bilangan a sehingga 2a = 6? Jawabnya adalah 3. Kemudian jika diberikan pertanyaan, berapa nilai bilangan a sehingga 2a = 7, maka tidak ada bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut. Selanjutnya perhatikan bahwa 2(3) = 6 dan 2(4) = 8, dan 7 terletak diantara dua bilangan bulat 6 dan 8. Dengan demikian kita perlu mengenalkan bentuk “pecahan”.

Bentuk “pecahan” atau bilangan rasional didefinisikan sebagai pasangan terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain

2

7 ) adalah bilangan

rasional. Bilangan rasional (m,n) dan (p,q) dikatakan sama jika bilangan yang seletak dalam pasangan itu bernilai sama, yaitu m = p dan n = q atau dengan kata lain mq = np. Jumlah dan hasil kali dua bilangan rasional tersebut adalah

) ,

(m n + (p,q) = (mq+np,nq)dan )(m,n (p,q)= )(mp,nq .

Menggunakan notasi bilangan rasional, maka bilangan bulat n dapat dinyatakan dengan (n,1). Jadi semua bilangan rasional dengan koordinat keduanya satu merupakan bilangan bulat. Pada permasalahan di atas, 2a = 7 dapat dituliskan sebagai (2,1)(m,n) = (7,1), dan penyelesaiaannya adalah a = (m,n)= (7,2).

Paradigma seperti di atas selanjutnya akan digunakan untuk mengkonstruksi bilangan kompleks. Euclid menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan x² =2. Dengan demikian perlu didefinisikan bilangan baru, yaitu bilangan real, yang termasuk didalamnya bilangan rasional.

Pada tingkatan selanjutnya, dihadapkan pada permasalahan, berapa nilai x yang memenuhi x² =−1. Ternyata tidak ada bilangan real yang memenuhi

kompleks. Bilangan kompleks merupakan pasangan terurut bilangan real (x,y), seperti halnya bilangan rasional yang merupakan pasangan bilangan bulat. Dua bilangan kompleks (x,y)dan )( vu, dikatakan sama jika x = u dan y = v.

Penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks, didefinisikan sebagai berikut : )

,

(x y + )( vu, = (x+u,y+v) dan (x,y)( vu, )=(xu−yv,xv+yu).

Perhatikan operasi aritmatika pada bilangan kompleks dengan koordinat kedua bernilai nol berikut :

) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 ,

(x + u = x+u dan (x,0)(u,0)=(xu,0).

Keadaan ini analog dengan keadaan pada bilangan rasional dengan koordinat kedua bernilai 1.

Notasi Bilangan Kompleks

Secara umum, setiap bilangan kompleks dinotasikan dengan z =(x,y) dan dapat dinyatakan dengan

y x

y x

y x

y x z

α +

= +

=

+

=

=

) 1 , 0 )(

0 , ( ) 0 , (

) , 0 ( ) 0 , ( ) , (

dengan α =(0,1).

Untuk dua bilangan kompleks z =(x,y)dan w =( vu, ), diperoleh

. )

(

) )(

(

2yv yu

xv xu

v u y x zw

α α

α α

+ + +

=

+ +

=

Perhatikan bahwa α² =αα =(0,1)(0,1)=(−1,0)=−1, sehingga )

( )

(xu yv xv yu

zw= − +α + .

Dengan demikian kita telah mendapatkan penyelesaian dari persamaan

2 =−1

x , yaitu α.

Catatan : Hampir semua orang di seluruh dunia, kecuali orang teknik elektro, menggunakan notasi i untuk menuliskan bilangan kompleks α. Jadi bilangan

+

= ² =−

iv u

iy x iv u

iy x w

z

+

= + +

= +

iv u

iv u

−

−

( )₂ (₂ ) v

u

xv yu i yv xu

+

− +

= +

2 2 2

2

) (

) (

v u

xv i yu v u

yv xu

+ + − +

= + .

Latihan :

1. Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + iy : a. (2 – 5i)(3 + i) b.

i i

− + 5

3

2 c. (1+i)³

2. Tunjukkan bahwa jika wz = 0, maka w = 0 atau z = 0.

1.2. Penyajian Bilangan Kompleks

Geometri. Secara geometri, bilangan kompleks dapat disajikan dalam sebuah bidang. Bidang ini disebut bidang kompleks, yang mengacu pada koordinat kartesius, yang terdiri dari sumbu real (sumbu x) dan sumbu imajiner ( sumbu y), seperti terlihat pada gambar 1.1.

Sumbu imajiner y

z = (x,y)

x sumbu real

Gambar 1.1.

Secara geometri, terdapat korespondensi satu-satu antara hasil penjumlahan dua bilangan kompleks z + w dengan diagonal segiempat yang dibentuk oleh z dan w seperti terlihat pada gambar 1.2

Gambar 1.2

Modulus atau nilai mutlak suatu bilangan kompleks z = x + iy, didefinisikan sebagai bilangan real non negatif yang merupakan panjang vektor posisi dari z atau jarak z dari sumbu koordinat, dan dinyatakan dengan z = x²+ y² . Jika z = x + iy dan w = u + iv, maka z−w = (x−u)²+(y−v)².

Selanjutnya dapat ditunjukkan sifat berikut :

• wz = w z

• z

w w = . z

Konjugat (sekawan) dari bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan sebagai bilangan kompleks yang diperoleh dari pencerminan z terhadap sumbu real, dan dinotasikan dengan z=x−iy.

Selanjutnya silakan tunjukkan sifat-sifat berikut :

• z+w= z+w.

• zw= zw.

• zz= z².

• Re z = 2

z z+

dan

Im z2z z= − .

Contoh : Tentukan bagian real, bagian imajiner, konjugat, dan modulus dari

i

z i

2 2

3 1

+ +

= − .

) )(

( ) )(

2 (

w z w z w z w z w

z+ = + + = + +

2 2 2

2 2

) (

2

) Re(

2

) (

w z w w z z

w z w z

w w z w z w z z

+

= + +

≤

+ +

=

+ + +

=

w z w z+ ≤ +

⇔ ;

yang dikenal sebagai pertidaksamaan segitiga.

Koordinat Kutub. Bilangan kompleks dapat juga dinyatakan dalam peubah polar, yaitu r dan θ dan ditulis dengan z = r(cosθ+isinθ). Notasi r adalah modulus dari z, sedangkan θ merupakan sudut yang dibentuk oleh z dengan sumbu real positif yang disebut argumen dari z, dan biasa ditulis θ = arg z = acr tg x

y. Dengan demikian setiap bilangan kompleks mempunyai tak hingga

argumen, yang masing-masing selisihnya 2π . Nilai argumen yang terletak pada interval ](−π,π dinamakan argumen utama dari z.

Contoh : Tentukan bentuk kutub dari z = 1 – i.

Dalam hal ini r = 2 , sehingga

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

− 2

2 2 1 2 2 1

1 i i

atau

)

4 sin 7 4

(cos 7 2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

− π π

i i

4 ) sin 399 4

(cos 399 2

4 ) 4 sin

(cos 2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

π π

π π

i i

Bilangan

4 ,399 , 4 4

7π ₋π π

merupakan argumen dari z = 1 – i dan argumen π

Hasilkali antara dua bilangan kompleks z dan w akan menghasilkan bilangan kompleks dengan modulus merupakan hasilkali kedua modulus bilangan kompleks tersebut dan argumennya merupakan jumlah argumen kedua bilangan kompleks. (Tunjukkan !). Hal ini diperlihatkan dalam gambar 1.3.

Gambar 1.3.

Contoh : Tentukan bentuk kutub dan argumen dari

i z i

2 2

3 1

+ +

= − .

Selanjutnya dengan memperhatikan rumus euler, θ θ

θ cos isin

eⁱ = + ,

Maka bentuk kutub di atas dapat ditulis sebagai z = r e . ^iθ

Pembaca dipersilahkan untuk menunjukan sifat-sifat berikut :

• e^iθ e^iξ =e^i(θ+ξ).

• Arg w

z = arg z – arg w.

1.3. Pangkat dan akar bilangan kompleks

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z

= r(cos θ + i sin θ).

Jika z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) & z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1sin θ2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg(z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z …c z = zⁿ ?

Jika diketahui:

z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

zn = rn(cos θn + i sin θn), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 ... zn = r1 r2 ...rn[cos (θ1 + θ2+ c+θn) + i sin (θ1 + θ2+ c+θn)] .

Perhatikan perkalian dua bilangan kompleks z dan w dalam bentuk kutub.

Selanjutnya jika z = w, secara induksi untuk sejumlah n bilangan kompleks diperoleh

(

nθ i nθ

)

r

zⁿ = ⁿ cos + sin . Dan untuk r = 1, diperoleh rumus D’Moivre, yaitu

(

cosθ+isinθ

)

ⁿ =cosnθ+isinnθ. Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos θ2 - i sin θ2), maka diperoleh :

[cos (θz =¹ r¹ 1 - θ2 ) + i sin (θ1 - θ2)]

) sin (cos

) sin (cos

2 2

2

1 1

1 2

1 θ θ

θ θ

i r

i r

z z

+

= +

Dari rumus di atas diperoleh:

arg = θ1-θ2 = arg z1 – arg z2.

Akibat lain jika z = r(cos θ + i sin θ), maka:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat :

Diperoleh Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh:

Hitunglah :

Jawab :

Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

2 1

z z

( )

(

θ θ

)

θ θ

n i n r z

r i z

n

n cos sin

1 1

) sin(

) 1 cos(

1

= +

− +

−

=

(

cos( ) sin( )

)

1

1 nθ i nθ

r

zⁿ = ⁿ − + −

) sin(

)

cos(nθ i nθ r

zⁿ = ⁿ +

(

^{3− i}

)

⁻⁶

3 tan 1

2 1 3 , 3

= −

= +

=

=

−

=

θ z r

i z

30o

− θ =

( )

( ) ( )

6 6 6

) 0 1 ( 2

180 sin 180 cos 2 3

30 sin 30 cos 2 3

−

− −

+

−

=

− +

−

=

−

− +

−

=

−

o o

o o

i i

i i

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zⁿ = w, dan ditulis

Jika z = ρ(cosφ +i sinφ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r (cosθ+i sinθ), maka dari zⁿ = w diperoleh: ρⁿ(cosnφ +i sinnφ) = r(cosθ+i sinθ), sehingga ρⁿ = r dan nφ= θ+2kπ , k bulat.

Akibatnya

dan

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cosθ+i sinθ) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zⁿ = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persa- maan itu. Ke-n buah akar tersebut terletak pada sebuah lingkaran dengan pusat titik asal dan jari-jari ⁿ r yang membentuk suatu poligon beraturan dengan n buah sisi.

Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0 ≤ < 2π, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

Contoh :

Hitunglah (-81)^1/4 Jawab :

Misalkan z = (-81)^1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z⁴ = -81.

Tulis

z = ρ(cosφ +i sinφ) dan

–81 = 81(cos180⁰+i sin180⁰), sehingga

wn

z

1

=

rn 1

ρ =

n kπ φ =θ⁺²

rn 1

n kπ θ+2

n kπ θ+2

n kπ θ+2

diperoleh ρ⁴ = 81, atau ρ = 3 dan .

Jadi zk = 3[cos ( ) + i sin( )].

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

Contoh : Tentukan akar pangkat 3 dari z = 1.

Latihan :

1. Nyatakan dalam bentuk kutub .

a. i b. 1 + i c. – 2 d. 3+ 3i e. – 3i f.

i i

− + 1

1 g.

3 1

2 +i

− h. (1 + i) (1 + i 3 ).

2. Tentukan bagian real, bagian imajiner, modulus, dan argumen dari

i z i

2 2

3 1

+ +

= − .

3. Buktikan bahwa jika z dan w bilangan kompleks ,maka

2 2 2

2 z w 2z 2w

w

z− + + = + .

4. Diberikan z = 1 + i, maka

a. Nyatakan z dalam koordinat kutub, b. Tentukan akar pangkat tiga dari z, dan

c. Gambarkan akar-akar tersebut di bidang kompleks.

5. Tentukan semua z sedemikian sehingga a. z⁴ =16i. b. z³ =−1 c. z⁶ =8

4 2 π φ=π ^{+ k}

4 2 π π + k

4 2 π π+ k