BILANGAN BULAT DAN OPERASI
+, -, x, :
BESERTA PEMBELAJARANNYA
Operasi Penjumlahan
Operasi Penjumlahan
Operasi
Pengurangan
Operasi
Pengurangan
Operasi Perkalian
Operasi Perkalian
Operasi Pembagian
Operasi Pembagian
Operasi Campuran
Operasi Campuran
Penjumlahan bilangan bulat
dapat diselesaikan
menggunakan garis bilangan
(untuk bilangan yang
sederhana). Bilangan positif
sepadan dengan langkah ke
arah kanan dan bilangan bulat
negatif sepadan dengan
6 5 4 3 2 1 7 0 -1 8 -2 -3 -4 -5 2 5 7
Gambar garis bilangan menunjukkan
sebuah penjumlahan, yaitu 2 + 5. Anak
panah ditarik ke kanan sampai angka 2,
kemudian dilanjutkan 5 langkah ke kanan
(karena operasi penjumlahan) dan
Jika
a
dan
b
adalah bilangan bulat,
maka penjumlahan yang melibatkan
bilangan bulat
a
,
b
,
-a
, dan
-b
dapat
dilakukan sebagai berikut:
1. a + b = b + a
2. -a + (-b) = -(a + b)
3. a + (-b) = a - b = -b + a, jika a
> b
4. a + (-b) = -b + a = 0, jika a =
b
invers jumlah (lawa
n suatu bilangan)
5 4
3 2
1 0
-1 -2
-3 -4
Kita dapat mengemukakan sifat-sifat pada setiap pasangan bilangan sebagai berikut:
1. Jika bilangan yang satu positif, maka pasangannya
negatif. Sebagai ilustrasi, 1 berpasangan dengan -1, 2 berpasangan dengan -2.
2. Selisih bilangan yang berpasangan itu dengan 0 menghasilkan bilangan yang berlawanan. Sebagai
ilustrasi: 0 – 1 = -1 dan 0 – (-1) = 1, 0 – 2 = -2 dan 0 – (-2) = 2
3. Jumlah kedua bilangan yang berpasangan itu sama dengan 0. Sebagai ilustrasi, 1 + (-1) = 0 dan 2 + (-2) = 0
4. Setiap anggota pasangan bilangan dinamakan lawan atau invers jumlah dari anggota yang lain di dalam pasangannya. Sebagai ilustrasi, lawan dari 1 adalah -1, karena 1 +( -1) = 0 dan lawan dari 5 adalah -5 karena 5 + (-5) = 0.
Jika a adalah bilangan bulat, maka a
adalah lawan atau invers jumlah dari – a dan sebaliknya, -a adalah lawan
sifat penjumlahan
Ketertutupan
Jika a dan b bilangan bulat sebarang, maka a + b juga bilangan bulat. Contoh: -8 + 7 = -1
Komutatif
Jika a dan b masing-masing bilangan bulat sebarang, maka berlaku hitungan: a + b = b + a.
Asosiatif
Untuk a, b, dan c
bilangan bulat sebarang, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
Contoh: (5 + 6) + 8 = 5 + (6 + 8)
Unsur
Identitas
Jika a adalah bilangan bulat sebarang maka
berlaku: a + 0 = 0 + a = a dan bilangan 0
dinamakan unsur
6 5 4 3 2 1 7 0 -1 8 -2 -3 -4 -5 8 4 4
Gambar garis bilangan menunjukkan
sebuah pengurangan, yaitu 8 - 4.
Anak panah ditarik ke kanan sampai
angka 8, kemudian dilanjutkan 5
pengurangan dua bilangan bulat
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan
bulat, maka pengurangan yang
melibatkan bilangan-bilangan bulat
a, b,
-a, dan –b
dapat dilakukan sebagai
berikut:
1. a – b = a + (-b)
2. a – (-b) = a + b
3. –a – (-b) = -a + b
Ketertutupan
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka hasil dari a – b selalu bilangan bulat.
Contoh: 8 – (-12) = 20
sifat pengurangan
Komutatif
Jika a dan b sebarang
bilangan bulat, maka tidak berlaku hubungan a – b = b – a
Asosiatif
Jika a, b, dan c adalah
bilangan bulat, maka tidak berlaku hubungan (a – b) – c = a – (b – c)
Perkalian-perkalian itu memiliki
pengertian sebagai penjumlahan
berulang (tidak berlaku untuk
bilangan bulat < 0), sehingga
dapat kita jabarkan sebagai
berikut :
5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25
-4 20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20
-3 15 12 9 6 3 0 -3 -6 -9 -12 -15
-2 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
-1 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15
4 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20
5 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
Dari tabel di atas, maka dalam
perkalian bilangan bulat a, b, -a,
dan -b dapat diartikan sebagai
berikut:
1. a x b = +(a x b)
2. -a x (-b) = +(a x b)
Ketertutupan
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka hasil dari a x b selalu bilangan bulat.
Contoh: 12 x 6 = 72
sifat perkalian
Komutatif
Hasil kali dari dua bilangan bulat selalu tetap
walaupun urutannya dipertukarkan. Untuk
setiap bilangan bulat a x b
berlaku a x b = b x a.
Asosiatif
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku:
(a x b) x c = a x (b x c).
Contoh: (5 x 7) x 4 = 5 x (7 x 4)
Distributif
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku a x (b + c) = (a x c) = ab + ac
Unsur
Identitas
Perkalian suatu bilangan bulat dengan 1 atau
sebaliknya akan
menghasilkan bilangan itu sendiri. Untuk setiap bilangan bulat a
sembarang berlaku a x 1 = 1 x a = a
Contoh: (-15) x 1 = -15
Bilangan
Nol
Setiap perkalian bilangan 0 dengan bilangan bulat dan sebaliknya hasilnya adalah 0.
Untuk setiap bilangan bulat a sembarang berlaku a x 0 = 0 x a = 0
Pembagian bilangan bulat diartikan
sebagai operasi kebalikan dari perkalian.
Jika a, b, c
bilangan bulat, b ≠ 0 dan
memenuhi a : b = , maka:
1. Untuk a, b berlainan tanda, c adalah
bilangan bulat negatif.
2. Untuk a, b bertanda sama, c adalah
bilangan bulat positif.
Ketertutupan
Pembagian bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat. Jadi,
pembagian pada bilangan bulat bersifat tidak
tertutup.
Contoh: (-28 : 4) : 2 = -3,5
sifat pembagian
Komutatif
Jika a,b dan c sebarang bilangan bulat dan tidak sama dengan nol, maka berlaku a : b ≠ b : a.
Dengan begitu pembagian
tidak bersifat komutatif
Asosiatif
Jika a,b dan c sebarang bilangan bulat dan tidak sama dengan nol, maka berlaku (a : b) : c ≠ a (b : c). Dengan demikian,
pembagian tidak bersifat asosiatif.
Dalam operasi hitung campuran pada bilangan bulat terdapat prioritas-prioritas operasi:
1. Perpangkatan atau akar
2. Perkalian atau pembagian dikerjakan terlebih dahulu dari sebelah kiri
3. Penjumlahan atau pengurangan dikerjakan dari kiri ke kanan
Operasi hitung campuran pada bilangan bulat adalah suatu
perhitungan yang menggunakan bermacam-macam operasi.
1. 6 x 3 + (5 – 2) maksudnya 6 x 3 + (3) = 18 + 3 = 21
2. [{(579 + 682) : 13) x 9} + 9 x 3 ]: 30
maksudnya
= [(1261 : 13) x 9} + 27 ]: 30 = [{97 x 9} + 27 ]: 30
= [900]: 30 = 30
