UJI KETERBAGIAN PADA BILANGAN BULAT GAUSSIAN DAN BILANGAN BULAT EISENSTEIN

(1)

Marta Simbolon

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

ABSTRACT

This article discusses the divisibility test for Gaussian integers a+bi and Eisenstein integers a+bρ with a and b integers. That is solved by the properties of division, conjugate and norm of Gaussian integers and Eisenstein integers. The properties used aim to obtain the quotient which is a Gaussian integer and an Eisenstein integer. This final project is an extension an article from Arriola and Chavez [1]

with the title”Divisibility test for Gaussian integers”.

Keywords: Divisibility test, Gaussian integers, Eisenstein integers ABSTRAK

Artikel ini membahas uji keterbagian untuk bilangan bulat Gaussian a +bi dan bilangan bulat Eisenstein a+bρ dengan a dan b bilangan bulat. Dalam penyele- saiannya digunakan sifat-sifat dari pembagian, konjugat dan norm suatu bilangan bulat Gaussian dan bilangan bulat Eisenstein. Sifat-sifat yang digunakan bertujuan untuk memperoleh hasil bagi yang merupakan suatu bilangan bulat Gaussian dan bilangan bulat Eisenstein. Skripsi ini merupakan pengembangan dari artikel Arriola dan Chavez [1] dengan judul ”Divisibility test for Gaussian integers”.

Kata kunci: Uji keterbagian, bilangan bulat Gaussian, bilangan bulat Eisenstein

1. PENDAHULUAN

Bilangan bulatZdapat diperluas dengan penambahan bagian imajiner sepertii,5i,7i.

Bilangan bulat diperluas mencakup semua bilangan berbentuk a+bi dengan adan b adalah bilangan bulat dan i² = −1. Himpunan bilangan bulat yang diperluas ini membentuk bilangan bulat Gaussian, dinamai sesuai nama matematikawan Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dan disimbolkan dengan Z[i], dinyatakan sebagai {Z[i] = a+bi|a, b∈ Z dan i =√

−1} [1]. Bilangan bulat juga dapat diperluas lagi menjadi bilangan berbentuk a+bρ yang disebut sebagai bilangan bulat Eisenstein,

(2)

dinotasikan dengan Z[ρ] atau dapat dinyatakan sebagai {Z[ρ] =a+bρ|a, b∈Zdan ρ=−1/2 +√

3i/2} [4].

Pada tahun 1983, Cross [2] membuktikan fungsi ϕ euler di bilangan bulat Gaus- sian. Selanjutnya, Rosen [6] menjelaskan keterbagian dari bilangan bulat Gaus- sian, unit, bilangan prima Gaussian, dan algoritma pembagian untuk bilangan bulat Gaussian.Kemudian pada tahun 2005 Dresden dan Dymacek [3] menunjukkan faktor-faktor ring dari bilangan bulat Gaussian.

Pada tahun 2017, Arriola dan Chavez [1] menunjukkan bahwa sifat dapat dibagi pada bilangan bulat berlaku untuk bilangan bulat Gaussian, karena bilangan bulat Gaussian dibentuk dari bilangan bulat. Pembagian dua buah bilangan bulat Gaus- sian sekarang dapat dengan mudah diuji, dengan menggunakan bagian real dan imajinernya akan digeneralisasikan uji keterbagian untuk sebarang bilangan bulat Gaussian. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mendetailkan teorema-teorema uji keterbagian bilangan bulat Gaussian dan selanjutnya akan dikembangkan juga dengan menambahkan uji keterbagian pada unit bilangan bulat Eisenstein.

Artikel ini disusun dalam empat bagian. Pada bagian kedua dibahas teori yang mendukung artikel ini. Kemudian pada bagian ketiga dibahas uji keterbagian bilangan Bulat Gaussian dan bilangan bulat Eisenstein, dan bagian keempat diberikan kesimpulan.

2. TEORI PENDUKUNG

Pada bagian ini dibahas mengenai bilangan bulat Gaussian dan bilangan bulat Eisenstein. Berikut diberikan definisi dari bilangan bulat Gaussian dan bilangan bulat Eisenstein.

Definisi 1 [6, h. 579] Bilangan kompleks dengan bentuk a+bi dengan a dan b adalah bilangan bulat disebut bilangan bulat Gaussian. Himpunan bilangan bulat Gaussian didefinisikan sebagai

Z[i] ={a+bi|a, b∈Z dan i=√

−1}.

Definisi 2 [6, h. 580] Misalkanαdanβadalah bilangan bulat Gaussian. Dikatakan α membagi β jika terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sehingga β = αφ.

Ketika α membagi β dinyatakan dengan α|β dan ketika α tidak dapat membagi β dinyatakan dengan α∤β.

Definisi 3 [4] Bilangan bulat Eisenstein dinotasikanZ[ρ] adalah subring dari bilangan kompleks C didefinisikan sebagai

Z[ρ] ={a+bρ|a, b∈Z dan ρ=e^2πi³ }.

Definisi 4 [4]

(i) Jikaθ =a+bρ∈Z[ρ] maka konjugat dariθ dinotasikanθdidefinisikan sebagai

(3)

θ=a+bρ² = (a−b)−bρ.

(ii) Jika θ =a+bρ∈Z[ρ] maka norm dari θ diberikan N(θ) =θθ=a²−ab+b².

3. UJI KETERBAGIAN PADA BILANGAN BULAT GAUSSIAN DAN BILANGAN BULAT EISENSTEIN

Teorema 5 [1] Diberikan α = (a+bi) ∈ Z[i]. Jika norm dari α adalah bilangan bulat genap maka (1 +i)|α.

Bukti. Diberikan α = a+bi. Akan ditunjukkan (1 +i) | α yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussianφsedemikian sehingga α= (1 +i)φataua+bi = (1 +i)φ.

Berdasarkan hipotesis,N(α) adalah bilangan bulat genap sehinggaN(α) = a²+b² = 2n dengann∈Z.

Kasus 1: Untuk a dan b bilangan genap

Misalkan a dan b sebarang bilangan bulat genap sehinggaa = 2k dan b = 2l untuk suatu k, l ∈Z. Selanjutnya pilih

φ= a+bi

1 +i . (1)

Dengan mensubstitusikan nilaia = 2k danb = 2l ke dalam persamaan (1) diperoleh φ=2k+ 2li

1 +i

φ=(k+l) + (l−k)i. (2)

Karena k dan l adalah bilangan bulat maka persamaan (2) adalah bilangan bulat Gaussian. Jadi terdapat persamaan (2) sehingga

(1 +i)((k+l) + (l−k)i) =a+bi.

Kasus 2: Untuk a dan b bilangan ganjil

Misalkan a dan b sebarang bilangan bulat ganjil sehinggaa= 2k+ 1 danb = 2l+ 1 untuk suatu k, l ∈Z. Dengan mensubstitusikan nilai a = 2k+ 1 dan b = 2l+ 1 ke dalam persamaan (1) diperoleh

φ=(2k+ 1) + (2l+ 1)i 1 +i

φ=(k+l+ 1) + (l−k)i. (3)

Karena k dan l adalah bilangan bulat maka persamaan (3) adalah bilangan bulat Gaussian. Jadi terdapat persamaan (3) sehingga

((k+l+ 1) + (l−k)i)(1 +i) =a+bi.

Berdasarkan kedua kasus benar bahwa terdapat φsehingga (1 +i)|α. 2

(4)

Teorema 6 [1] Misalkanζ ∈ {1,−1, i,−i}danα,β ∈Z[i]. Jikaα|βmaka αζ |β.

Bukti. Akan ditunjukkan αζ | β yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sehingga β =αζ ·φ.

Karena α | β maka ada bilangan bulat Gaussian γ = x+yi sehingga β = αγ mengakibatkan γ =β/α, atau dapat ditulis β/α=γ. Selanjutnya pilih

φ= β

αζ. (4)

Lalu dengan mensubstitusikan β/α=γ ke dalam persamaan (4) diperoleh φ=γ· 1

ζ φ=γ

ζ. (5)

Dengan mensubstitusikan nilaiζ ke dalam persamaan (5) untukζ = 1 diperoleh

φ=x+yi. (6)

Jadi terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (6) sehingga (x+yi)(1)α=β.

Untuk ζ =−1 diperoleh

φ=−x−yi. (7)

Jadi terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (7) sehingga (−x−yi)(−1)α=β.

Untuk ζ =idiperoleh

φ=y−xi, (8)

Jadi terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (8) sehingga (y−xi)(i)α =β.

Untuk ζ =−idiperoleh

φ=−y+xi. (9)

Jadi terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (9) sehingga (−y+xi)(−i)α=β.

(5)

Dengan demikian benar bahwa terdapat φ sehingga αζ |β. 2 Teorema 7 [1] Jika 5|(b−3a) atau 5|(a−2b) maka (2 +i)|(a+bi).

Bukti. Akan ditunjukkan (2 +i) | (a+bi) yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sehingga a+bi = (2 +i)φ. Berdasarkan hipotesis diperoleh dua kasus yaitu 5|(b−3a) atau 5|(a−2b). Untuk 5 |(b−3a) ada bilangan bulatmsehingga b−3a= 5m diperoleh b= 5m+ 3a. Selanjutnya pilih

φ= a+bi

2 +i (10)

Dengan mensubstitusikan nilaib = 5m+ 3a ke persamaan (10) diperoleh

φ=(a+m) + (2m+a)i. (11)

Karena m, n∈ Z maka persamaan (11) adalah bilangan bulat Gaussian. Jadi terdapat persamaan (11) sehingga

(a+m) + (2m+a)i(2 +i) = a+bi.

Selanjutnya untuk 5|(a−2b) terdapat suatu bilangan bulatn sehinggaa−2b= 5n diperoleh a = 5n + 2b. Dengan mensubstitusikan nilai a = 5n+ 2b ke dalam persamaan (10) diperoleh

φ=(2n+b)−ni. (12)

Karena m, n∈ Z maka persamaan (12) adalah bilangan bulat Gaussian. Jadi terdapat persamaan (12) sedemikian sehingga

((2n+b)−ni)(2 +i)(2 +i) = a+bi.

Berdasarkan kedua kasus benar bahwa terdapat φsehingga (2 +i)|(a+bi) 2 Teorema 8 [1] Jika 5|(a−3b) atau 5|(b−2a) maka (1 + 2i)|(a+bi).

Bukti. Akan ditunjukkan (1 + 2i) | (a+bi) yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussianφsehingga (a+bi) = (1 + 2i)φ. Berdasarkan hipotesis diperoleh dua kasus yaitu 5 |(a−3b) atau 5|(b−2a). Untuk 5|(a−3b) terdapat suatu bilangan bulat m sehingga a−3b= 5m, atau dapat ditulis a = 5m+ 3b. Selanjutnya pilih

φ= a+bi

1 + 2i. (13)

Dengan mensubstitusikan nilai a= 5m+ 3b ke dalam persamaan (13) diperoleh

φ=(m+b) + (−2m−b)i. (14)

(6)

Karena m, n∈ Z maka persamaan (14) adalah bilangan bulat Gaussian. Jadi terdapat persamaan (14) sedemikian sehingga

((m+b) + (−2m−b)i)(1 + 2i) =a+bi.

Selanjutnya untuk 5|(b−2a) terdapat suatu bilangan bulatn sehinggab−2a= 5n, atau dapat ditulis b = 5n+ 2a. Dengan mensubstitusikan nilai b = 5n+ 2a ke dalam persamaan (13) diperoleh

φ=(2n+a) +ni. (15)

Karena m, n ∈ Z maka terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (15) sedemikian sehingga

((2n+a) +ni)(1 + 2i) =a+bi.

Berdasarkan kedua kasus benar bahwa terdapatφsehingga (1 + 2i)|(a+bi). 2 Teorema 9 [1] Jika 13|(a−8b) atau 13|(b−5a) maka (3 + 2i)|(a+bi).

Bukti. Akan ditunjukkan (3 + 2i) | (a+bi) yaitu terdapat sebuah bilangan bulat Gaussian φ sehingga a+bi = (3 + 2i)φ. Berdasarkan hipotesis terdapat dua kasus yaitu 13 | (a−8b) atau 13 | (b−5a). Untuk 13 | (a−8b) terdapat suatu bilangan bulat m sehingga (a−8b) = 13m, atau dapat ditulis a = 13m+ 8b. Selanjutnya pilih

φ= a+bi

3 + 2i (16)

Dengan mensubstitusikan nilaia= 13m+ 8b ke dalam persamaan (16) diperoleh

φ=(3m+ 2b) + (−2m−b)i. (17)

((3m+ 2b) + (−2m−b)i)(3 + 2i) =a+bi.

Selanjutnya untuk 13|(b−5a) terdapat suatu bilangan bulatnsehinggab−5a= 13n, atau dapat ditulis b= 13n+ 5a. Dengan mensubstitusikan nilai b = 13n+ 5a ke dalam persamaan (16) diperoleh

φ=(a+ 2n) + (3n+a)i. (18)

((a+ 2n) + (3n+a)i)(3 + 2i) = a+bi.

Dengan demikian benar bahwa terdapat φsehingga (3 + 2i)|(a+bi). 2

(7)

Teorema 10 [1] Misalkan α = (a +bi) dan β = (c+di) dengan c > d. Jika a(c−1)/d ∈ Z dan N(β) | (b −(N(β)−c)a/d) dengan N(β) adalah prima di Z maka β |α.

Bukti. Akan ditunjukkan β | α yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sehingga α=βφ. Karena α=a+bi dan β =c+di maka a+bi = (c+di)φ.

Berdasarkan hipotesis N(β)| (b−(N(β)−c)/d) maka terdapat suatu bilangan bulat n sehingga berlaku

b−

(N(β)−c)a d

=N(β)n

b = N(β)dn+N(β)a−ac

d . (19)

Selanjutnya pilih

φ= a+bi

c+di. (20)

Dengan mensubstitusikan persamaan (19) ke dalam persamaan (20) diperoleh

φ= a+

N(β)dn+N(β)a−ac d

i c+di

φ= (dn+a) +

cn+ a(c−1) d

i. (21)

Karena a(c−1)/d adalah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (21) sehingga

(dn+a) +

cn+a(c−1) d

i·(c+di) =a+bi.

Dengan demikian benar bahwa terdapat φ sehingga β |α. 2 Teorema 11 [1] Misalkan α = (a +bi) dan β = (c+di) dengan c > d. Jika b(1−c)/d∈ Z dan N(β)|a−(N(β)(d−1) +c)b/d dengan N(β) adalah prima di Z maka β|α.

Bukti. Akan ditunjukkan β | α yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sehingga α=βφ atau a+bi= (c+di)φ.

Berdasarkan hipotesis N(β) | a −(N(β)(d −1) +c)b/d maka terdapat suatu

(8)

bilangan bulat n sehingga a−

(N(β)(d−1) +c)b d

=N(β)n

a= N(β)dn+N(β)(bd−b) +bc

d . (22)

Selanjutnya pilih

φ= a+bi

c+di. (23)

φ=

N(β)dn+N(β)(bd−b) +bc d

+bi c+di

φ=

cn+bc+b(1−c) d

+ (b(1−d)−dn)i. (24) Karena b(1−c)/d adalah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (24) sehingga

cn+bc+b(1−c) d

+ (b(1−d)−dn)i·(c+di) =a+bi,

Dengan demikian benar bahwa terdapat φ sehingga β |α. 2 Teorema 12 [1] Misalkan α = (a +bi) dan β = (c+di) dengan c > d. Jika b(d−1)/c∈Z dan N(β)|a−(N(β)−d)b/cdenganN(β) adalah prima diZmaka β |α.

Bukti. Akan ditunjukkan β | α yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sehingga berlaku α=βφ atau a+bi = (c+di)φ.

Berdasarkan hipotesisN(β)|(a−(N(β)−d)b/c) maka terdapat suatu bilangan bulat n sehingga berlaku

a−

(N(β)−d)b

c

=N(β)n

a= N(β)cn+N(β)b−db

c . (25)

Selanjutnya pilih

φ= a+bi

c+di. (26)

(9)

φ=

N(β)cn+N(β)b−db c

+bi c+di

φ= (cn+b) +

dn+b(1−d) c

i. (27)

Karena b(d− 1)/c bilangan bulat maka terdapat suatu bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (27) sedemikian sehingga

((cn+b) + (dn+b(1−d)/c)i)·(c+di) =a+bi.

Dengan demikian benar bahwa terdapat φ sehingga β |α. 2 Teorema 13 [1] Misalkan α = (a +bi) dan β = (c+di) dengan c > d. Jika a(1−d)/c ∈Z dan N(β)| b−(N(β)(c−1) +d)a/cdengan N(β) adalah prima di Z maka β|α.

Bukti. Akan ditunjukkan β | α yaitu terdapat suatu bilangan bulat Gaussian φ sedemikian sehingga α=βφ atau a+bi = (c+di)φ.

Berdasarkan hipotesis N(β) | (b−(N(β)(c−1) +d)a/c) maka terdapat suatu bilangan bulat n sehingga berlaku

b−

(N(β)(c−1) +d)a c

=N(β)n

b = (N(β)cn) + (N(β)a(c−1) +ad)

c . (28)

Selanjutnya pilih

φ= a+bi

c+di. (29)

φ= a+

(N(β)cn) + (N(β)a(c−1) +ad) c

i c+di

φ=

dn+ad+a(1−d) c

+ (cn+a(c−1))i. (30) Karenaa(1−d)/cadalah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat Gaussian seperti persamaan (30) sehingga

(dn+ad+a(1−d)/c) + (cn+a(c−1))i·(c+di) = a+bi φ(c+di) = a+bi.

(10)

Dengan demikian benar bahwa terdapat φ sehingga β |α. 2 Teorema 14 Misalkan ζ ∈ {1,−1, ρ,−ρ, ρ²,−ρ²}. Jika α|β maka αζ |β.

Bukti. Akan ditunjukkan αζ | β yaitu terdapat suatu bilangan bulat Eisenstein φ sehingga β = αζ ·φ. Karena α | β maka ada suatu bilangan bulat Eisenstein γ =x+ρy sehingga β =αγ mengakibatkan β

α =γ.

Selanjutnya pilih

φ= β

αζ. (31)

Lalu dengan mensubstitusikan β

α =γ ke dalam persamaan (31) diperoleh φ=γ· 1

ζ φ= γ

ζ. (32)

Dengan mensubstitusikan nilaiζ ke dalam persamaan (32) untukζ = 1 diperoleh

φ=x+yρ. (33)

Jadi terdapat bilangan bulat Eisenstein seperti persamaan (33) sehingga (x+yρ)(1)α=β.

Untuk ζ =−1 diperoleh

φ=−x−yρ. (34)

Jadi terdapat bilangan bulat Eisenstein seperti persamaan (34) sehingga (−x−yρ)(−1)α =β.

Untuk ζ =ρdiperoleh

φ= (y−x)−xρ. (35)

Jadi terdapat bilangan bulat Eisenstein seperti persamaan (35) sehingga ((y−x)−xρ)ρα =β.

Untuk ζ =−ρdiperoleh

φ= (x−y) +xρ. (36)

(11)

Jadi terdapat bilangan bulat Eisenstein seperti persamaan (36) sehingga ((x−y) +xρ)(−ρ)α=β.

Untuk ζ =ρ² diperoleh

φ=−y+ (x−y)ρ. (37)

Jadi terdapat bilangan bulat Eisenstein seperti persamaan (37) sehingga (−y+ (x−y)ρ)(ρ²)α =β.

Untuk ζ =−ρ² diperoleh

φ=y+ (y−x)ρ. (38)

Jadi terdapat bilangan bulat Eisenstein seperti persamaan (38) sehingga (y+ (y−x)ρ)(−ρ²)α =β.

Dengan demikian benar bahwa terdapat φ sehingga αζ |β. 2 4. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan bagian real dan imajiner dapat ditunjukkan apakah suatu bilangan bulat Gaussian membagi bilangan bulat Gaussian lainnya dengan syarat pada teorema yang terkait. Demikian juga berlaku untuk unit bilangan bulat Eisenstein dengan syarat pada teorema yang terkait.

Ucapan terima kasih diberikan kepada Musraini M., M.Si. yang telah mem- bimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] B. H. Arriola dan E. G. Chavez, Divisibility test for Gaussian integers, Inter- national Journal of Novel Research in Physics Chemistry and Mathematics, 4 (2017), 9-16.

[2] J. T. Cross, The euler ϕ function in the Gaussian integers, The American Mathematical Monthly, 8 (1983), 518-528.

[3] G. Dresden dan W. M. Dymacek, Finding factors of factor rings over the Gaussian integers, The American Mathematical Monthly, 112 (2005), 602-612.

[4] E. Gullerud, dan A. Mbirika,An euler phi function for the Eisenstein integers and some applications, Integers, 20 (2020), 1-28.

(12)

[5] K. Ireland dan M. Rosen, A Classical Introduction to The Modern Number Theory, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 1990.

[6] K. H. Rosen, Elementary Number Theory and Its Applications, Sixth Edition, Pearson Education Incorporation, Boston, 2011.