Bab 1-E,F,G,H. Bilangan Bulat

(1)

35 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

E. Bilangan Bulat

a. Oprerasi Hitung pada Bilangan Bulat

Bilangan bulat (integer) memuat semua bilangan cacah dan lawan (negatif) bilangan asli, yaitu: …, 5,

4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Bilangan bulat disajikan dalam garis bilangan sebagai berikut.

1. Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan bilangan bulat dapat diselesaikan menggunakan garis bilangan. Bilangan bulat positif sepadan dengan langkah ke arah kanan dan bilangan bulat negatif sepadan dengan langkah ke arah kiri.

Contoh:

Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah

a. 2 + 3 c. 3 + (– 2) e. 2 + (– 5) b. 5 + (– 3) d. 3 + 5 f. 5 + 3 Solusi:

a. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan 2 + 3 adalah sebagai berikut ini.

Langkah 1: Langkahkan 2 satuan ke kanan mulai dari 0.

Langkah 2: Langkahkan 3 satuan ke kanan mulai dari ujung langkah 1.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu 5. Jadi, 2 + 3 = 5.

b. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan 5 + (– 3) adalah sebagai berikut ini.

Langkah 2: Langkahkan 3 satuan ke kiri mulai dari ujung langkah 1.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu 2. Jadi, 5 + (– 3) = 2.

0 1 2 3 4

1

2

4 3

Bilangan bulat positif (bilangan asli) Bilangan cacah Bilangan bulat negatif

1 2 3 4 5

1 0

3 2

2 3

5

1 2 3 4 5

1 0

3 2

2 3

5

(2)

36 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

c. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan –3 + (– 2) adalah sebagai berikut ini.

Langkah 1: Langkahkan 3 satuan ke kiri mulai dari 0.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu –5. Jadi, –3 + (– 2) = –5.

d. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan 3 + 5 adalah sebagai berikut ini.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu 2. Jadi, 3 + 5 = 2.

e. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan 2 + (5) adalah sebagai berikut ini.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu 3. Jadi, 2 + (5) = 3.

f. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan 5 + 3 adalah sebagai berikut ini.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu 2. Jadi, 5 + 3 = 2.

1 0 1 2 3

3 2

5 4

2 5 3

1 2 3 4 5

1 0

3 2

3 2 5

1 2 3 4 5

1 0

3 2

3 2 5

1 0 1 2 3

3 2

5 4

3 2 5

(3)

37 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Berdasarkan uraian di atas dapat dikemukakan bahwa:

Jika a dan b adalah bilangan cacah, maka penjumlahan yang melibatkan bilangan bulat a, b, a, dan

b dapat dilakukan sebagai berikut.

1. abba

2. a(b)(ab)

3. a(b)abba, jika a > b 4. a(b)ba0, jika a = b 5. a(b)ba(ba), jika a < b Contoh:

Hitunglah

a. 4(7) b. 12(8) c. 6(6) d. 5(9) Solusi:

a. 4(7)(47)11 c. 6(6) 660 b. 12(8)1284 d. 5(9)(95)4 1) Invers Jumlah atau Lawan Suatu Bilangan

Jika a adalah bilangan rasional, maka a adalah lawan atau invers jumlah dari a dan sebaliknya

a lawan atau invers jumlah dari a.

Contoh:

1. Tentukanlah lawan (invers) dari 5 dan 19.

Solusi:

Lawan (invers) dari 5 adalah 5.

Lawan (invers) dari 19 adalah 19.

2. Tentukanlah pengganti n dari setiap persamaan berikut ini.

a. 5n9 b. n(17)26 Solusi:

a. 5n9 (tambahkan kedua ruas/sisi dengan 5, agar ruas kiri tersisa n) 5(5)n9(5)

0n4 n4

b. n(17)26(tambahkan kedua ruas/sisi dengan 17, agar ruas kiri tersisa n) n(17)172617

n043 n43

(4)

38 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2) Sifat-sifat Operasi Penjumlahan

1. Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka terdapat hanya satu bilangan bulat yang dinyatakan dengan a + b.

Contoh:

a. 15 + (7) = 15 – 7 = 8

Perhatikan 15 dan 7  B (B adalah himpunan bilangan bulat) dan 15 + (7) = 8 B . Operasi penjumlahan bilangan bulat memberikan solusi tertutup (pada bilangan bulat) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

b. 23 + (59) = –(59 – 23) = 36

Perhatikan 23 dan 59  B (B adalah himpunan bilangan bulat) dan 23 + (59) = 36

B . Operasi penjumlahan bilangan bulat memberikan solusi tertutup (pada bilangan bulat) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

2. Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku a + b = b + a.

Contoh:

Periksalah apakah 29 + (31) = 31 + 29? Berilah komentarmu!

Solusi:

29 + (31) = (31 – 29) = 2 dan 31 + 29 = (31 – 29) = 2.

Jelaslah bahwa 29 + (31) = 31 + 29.

Jadi, dalam operasi bilangan bulat berlaku sifat komutatif.

3. Sifat Asosiatif

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh:

Hitunglah dengan cara yang paling mudah.

a. 254 + 789 + (54) b. 125 + (39) + (261) Solusi:

a. 254 + 789 + (54) = (254 – 54) + 789 = 200 + 789 = 989

b. 125 + (39) + (261) = 125 – (39 + 261) = 125 – 300 = – (300 – 125) = –175 4. Unsur Identitas

Jika a adalah bilangan bulat sebarang, maka berlaku a + 0 = 0 + a = a. Bilangan 0 dinamakan unsur identitas atau elemen netral.

Contoh:

1. a. 13 + 0 = 0 + 13 = 13

(5)

39 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

b. 0 + (5) = 5 + 0 = 5

c. 0 + 0 = 0 2. Sederhanakanlah

a. n67(n) b. 52 + (73) + 48 + 73 Solusi:

a. n67(n) =



n(n)



67= 0 + 67 = 67

b. 52 + (73) + 48 + 73 = (52 + 48) + [(73) + 73] = 100 + 0 = 100 2. Operasi Pengurangan

Operasi pengurangan bilangan bulat dapat diselesaikan menggunakan garis bilangan. Bilangan bulat positif sepadan dengan langkah ke arah kanan dan bilangan bulat negatif sepadan dengan langkah ke arah kiri.

Contoh:

Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah a. 6 – 4 b. 5 – (– 3) Solusi:

a. Prosedur yang ditempuh untuk menentukan 6 – 4 adalah sebagai berikut ini.

Langkah 3: Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah 2, yaitu 5. Jadi, 2 + 3 = 5.

1) Pengurangan Sebagai Penjumlahan dengan Lawan Pengurangan

Untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku hubungan a – b = a + (b).

Contoh:

Hitunglah

a. 7 – 2 b. – 9 – 5 c. 5 – (–3) d. –6 – (– 2) Solusi:

a. 7 – 2 = 7 + (2) = 5 c. 5 – (–3) = 5 + [– (–3)] = 5 + 3 = 8

b. – 9 – 5 = –(9 + 5) = –14 d. –6 – (– 2) = –6 + [– (– 2)] = –6 + 2 = –(6 – 2) = –4 Berdasarkan uraian di atas dapat dikemukakan bahwa jika a dan b adalah bilangan cacah, maka penjumlahan yang melibatkan bilangan bulat a, b, a, dan b dapat dilakukan sebagai berikut.

1 2 3 4 5

1 0

3 2

2 3

5

(6)

40 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

1. aba(b)

2. a(b)ab 3. a(b)ab

4. aba(b)(ab)

Sejalan dengan uraian di atas, kita sepakat mengatakan bahwa mengurangi suatu bilangan rasional dengan bilangan rasional yang lain adalah ekuivalen (sama artinya) dengan menambah bilangan yang pertama dengan lawan atau invers jumlah dari bilangan kedua.

2) Sifat-sifat Operasi Pengurangan 1. Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka terdapat hanya satu bilangan bulat yang dinyatakan dengan a  b.

Contoh:

a. 5 – 12 = – (12 – 5) = –7

Perhatikan 5 dan 12  B (B adalah himpunan bilangan bulat) dan 5 – 12 = – (12 – 5) = –7  B . Operasi penjumlahan bilangan bulat memberikan solusi tertutup (pada bilangan bulat) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

b. 3 – (5) = 3 + 5 = 8

Perhatikan 3 dan 5  B (B adalah himpunan bilangan bulat) dan 3 – (5) = 3 + 5 = 8

 B . Operasi penjumlahan bilangan bulat memberikan solusi tertutup (pada bilangan bulat) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

2. Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku a  b ≠ b  a.

Contoh:

Periksalah apakah 7 3 = 3  7? Berilah komentarmu!

Solusi:

7  3 = 4 dan 3  7 = (7 – 3) = 4.

Jelaslah bahwa 7 3 ≠ 3  7.

Jadi, dalam operasi bilangan bulat berlaku sifat komutatif.

3. Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat asosiatif

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku (a  b)  c ≠ a  (b  c).

Contoh:

Periksalah apakah (19 5) – 20 = 19 – (5 – 20)? Berilah komentarmu!

Solusi:

(19 5) – 20 = 14 – 20 = – (20 – 14) = –6

(7)

41 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

19 – (5 – 20) = 19 – {– (20 – 5)}= 19 – (–15) = 19 + 15 = 34 Jelaslah bahwa (19 5) – 20 ≠ 19 – (5 – 20).

Jadi, dalam opersai pengurangan bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif.

3. Operasi Perkalian

1) Pengertian Perkalian Bilangan Bulat

Pada perkalian bilangan asli (bilangan bulat positif) dengan bilangan bulat negatif berlaku pengertian yang sejalan dengan operasi perkalian pada bilangan cacah , yaitu sebagai penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama.

Contoh:

a. 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

b. 5 × (2) = (2) + (2) + (2) + (2) + (2) = 10

Secara umum, jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka perkalian menyertakan bilangan- bilangan bulat a, b, –a, dan –b dapat diartikan sebagai berikut.

1. ab(ab) 2. a(b)(ab)

3. ab(ab) 4. a(b)(ab)

Kita dapat mengatakan bahwa, hasil operasi perkalian dua buah bilangan bertanda positif, jika bilangan-bilangan yang dikalikan bertanda sama sedangkan bertanda negatif, jika bilangan-bilangan yang dikalikan bertanda berbeda.

Contoh:

Hitunglah

a. 15 × 12 b. 26 × (8) c. 136 × 17 d. 150 × (86) Solusi:

a. 15 × 12 = 180 c. 136 × 17 = (136 × 17) = 2.312 b. 26 × (8) = +(28 × 8) = + 208 atau 208 d. 150 × (86) = (150 × 86) = 12.900 Catatan:

Tanda “+” di depan suatu bilangan dapat dihilangkan, misalnya +5 dapat ditulis 5. Tetapi tanda

“+” pada konteks penjumlahan 2 + 3 tidak boleh dihilangkan.

2) Sifat-sifat Operasi Perkalian

1. Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)

Jika a, b  B (B adalah himpunan bilangan cacah), maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a × b atau ab.

Contoh:

1. + × + = + 2.  ×  = + 3.  × + =  4. + ×  =  Untuk mudah

diingat

(8)

42 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

12  (9) = 108

Perhatikan 12 dan 9  B dan 12  (9) = 108  B . Operasi perkalian pada bilangan bulat memberikan solusi tertutup (pada bilangan bulat) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

2. Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku abba. Contoh:

Periksalah apakah 5 × (18) = (18) × 5? Berilah komentarmu!

Solusi:

5 × (18) = (5 × 18) = 90 dan 18 × 5 = (18 × 5) = 90 Jelaslah bahwa 5 × (18) = (18) × 5.

Jadi, dalam operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat komutatif.

3. Sifat Asosiatif

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku hubungan (ab)ca(bc). Contoh:

Periksalah apakah [5 × (7)] × 9 = 5 × (7 × 9)? Berilah komentarmu!

Solusi:

[5 × (7)] × 9 = +(5 × 7) × 9 = 315

5 × (7 × 9) = 5 × [(7 × 9)] = 5 × (63) = +(5 × 63) = +315 atau 315.

Jelaslah bahwa [5 × (7)] × 9 = 5 × (7 × 9).

Jadi, dalam operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif.

4. Sifat Distributif

Pada operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Untuk bilangan-bilangan bulat a, b, dan c berlaku a(bc)abac atau a

c a b a c

b )    

( .

Contoh:

Periksalah apakah 6 × {4 + (9)} = 6 × 4 + 6 ×(9)? Berilah komentarmu!

Solusi:

6 × {4 + (9)} = 6 × [(9  4)] = 6 × (5) = +(6 × 5) = +30 atau 30.

6 × 4 + 6 ×(9) = (6 × 4) + (6 × 9) = 24 + 54 = 30 Jelaslah bahwa 6 × [4 + (9)] = 6 × 4 + 6 ×(9).

Jadi, dalam operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif.

3) Unsur Identitas

Untuk setiap bilangan bulat a sebarang berlaku a11aa.

(9)

43 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Setiap perkalian bilangan bulat dengan 1 atau sebaliknya hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Bilangan 1 dinamakan unsur (elemen) identitas.

Contoh:

Hitunglah

a. 5 × 1 b. 1 × (17) Solusi:

a. 5 × 1 = (5 × 1) = 5 b. 1 × (17) = +( 1 × 17) = +17 atau 17 4) Sifat Bilangan Nol

Untuk setiap bilangan bulat a sebarang berlaku a00a0.

Setiap perkalian bilangan bulat dengan 0 atau sebaliknya hasilnya adalah 0.

Contoh:

a. 5 × 0 = 0 b. 0 × (17) = 0 4. Operasi Pembagian

1) Pengertian Operasi Pembagian pada Bilangan Bulat

Pembagian bilangan bulat diartikan sebagai operasi kebalikan dari perkalian.

Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b, dengan b ≠ 0, berlaku

1. b

b a a b

a: ( : ) , karena a b ba  .

2. b

b a a b

a  

 : ( : ) , karena a

b b a



 



 .

3. b

b a a b

a:( )( : ) , karena a b b a



 





 .

4. b

b a a b

a   

 :( ) ( : ) , karena a

b ba 

 .

Contoh:

Hitunglah

a. 20 : 5 b. 6 : (3) c. 54 : 9 d. 90 : (15) Solusi:

a. 20 : 5 = + 4 atau 4, karena 5 4 20 5

520  

b. 6 : (3) = + (6 : 3) = +2, karena 3 2 6 3

3 6  







c. 54 : 9 = (54 : 9) = 6, karena 9 6 54 9

954  

d. 90 : (15) = (90 : 15) = 8, karena 15 ( 8) 90 15

15 90    





1. + : + = + atau 



 2.  :  = + atau 



 3.  : + =  atau 



 4. + :  =  atau 



 Untuk mudah diingat

(10)

44 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2) Sifat-sifat Operasi Pembagian

1. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat ketertutupan (ketunggalan).

Contoh:

Hitunglah

a. 45 : (9) b. 4 : 12 Solusi:

a. 45 : (9) = (45 : 9) = 5 b. 4 : 12 = (4 : 12) = 3

1

Pada contoh a, 45 dan 9  B (B adalah himpunan bilangan bulat) dan (9) = (45 : 9)

= 5  B . Dalam kasus ini operasi pembagian pada bilangan bulat memberikan solusi tertutup (pada bilangan bulat) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal). Tetapi pada contoh b, 4 dan 12  B dan 4 : 12 = = (4 : 12) =

3

  Q (Q adalah himpunan 1 bilangan rasional). Dalam kasus ini operasi pembagian pada bilangan bulat memberikan solusi yang tidak tertutup pada bilangan bulat (bilangan rasional).

2. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , maka berlaku a:bb:a(tidak komutatif).

Contoh:

Periksalah apakah 36 : 9 = 9 : (36)? Berilah komentarmu!

Solusi:

36 : 9 = (36 : 9) = 4 dan 9 : (36) = (9 : 36) = 4

1 Jelaslah bahwa 36 : 9 ≠ 9 : (36).

Jadi, dalam operasi bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif.

3. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat asosiatif.

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka berlaku (a:b):ca:(b:c)(tidak asosiatif).

Contoh:

Periksalah apakah (48 : 6) : (2) = 48 : [6 : (2)]? Berilah komentarmu!

Solusi:

(48 : 6) : (2) = (48 : 6) : (2) = 8 : 2 = +(8 : 2) = 4

48 : [6 : (2)]= 48 : [(6 : 2)] = 48 : (3) = +(48 : 3) = 12 Jelaslah bahwa (48 : 6) : (2) ≠ 48 : {6 : (2)}.

Jadi, dalam operasi bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.

(11)

45 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

5. Operasi Hitung Campuran

1. Tanda Kurung dalam Operasi Hitung Campuran

Dalam operasi hitung sering kali digunakan tanda kurung yang meliputi tanda kurung kecil atau tanda kurung biasa (parentheses) “( )”, tanda kurung kurawal (braces) “{ }”, tanda kurung besar atau kurung siku atau kurung siku (brackets) “[ ]”, dan tanda ikatan (bar) digunakan untuk tujuan yang sama.

Tanda kurung dalam operasi hitung dipergunakan apabila kita hendak menyimpang dari urutan yang biasa. Sebagai ilustrasi (a + b) : c berarti bahwa jumlah a dan b harus dibagi dengan c, akan tetapi a + b : c, berarti a harus dijumlahkan dengan hasil bagi b : c. Dengan demikian, tanda kurung itu menunjukkan bahwa a + b harus dipandang sebagai kesatuan terhadap tanda bagi yang terdapat di belakangnya atau menunjukkan urutan pengerjaan yang harus dilaksanakan.

Contoh:

Hitunglah

  

⁵⁷⁹^⁶²⁸^:¹³



^⁹



^⁹^³



^:³⁰

Solusi:

 

 



⁵⁷⁹^⁶²⁸^:¹³^⁹ ^⁹^³



^:³⁰^

  

¹²⁶¹^:¹³



^⁹



^²⁷



^:³⁰



   

97 9



27



:30 

  

979

 

27



:30 



87327



:30 900:30 = 30

2. Perioritas pada Operasi Hitung Campuran

Dalam operasi hitung terdapat perioritas-perioritas operasi sebagai berikut.

1. Perpangkatan atau akar.

2. Perkalian atau pembagian dikerjakan dari kiri ke kanan.

3. Penjumlahan atau pengurangan dikerjakan dari kiri ke kanan.

Sebagai ilustrasi:

a. 11 + 5 × 6 maksudnya 11 + (5 × 6) = 11 + 30 = 41.

b. 16 : 8 – 7 maksudnya (16 : 8) – 7 = 2 – 7 = –(7 – 2) = –5.

c. 9 × 5 – 3 × 4 maksudnya (9 × 5) – (3 × 4) = 45 – 12 = 33.

d. 36 : 9 × 25 maksudnya (36 : 9) × 25 = 4 × 25 = 100.

Contoh:

Hitunglah

a. {[(83 + 75 : 3) : 27]  21} × (19  23)

(12)

46 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

b. (16 : 4 × 8) : (16 × 8 : 4)

Solusi:

a. {[(83 + 75 : 3) : 27]  21} × (19  23) = {[(83 + 25) : 27]  21} × ( 4) = [(108 : 27)  21] × ( 4)

= (4  21) × ( 4) = (17) × ( 4) = 68 b. (16 : 4 × 8) : (16 × 8 : 4) = (4 × 8) : (128 : 4) = 32 : 32

= 1

b. Menaksir Hasil Operasi Hitung Bilangan Bulat 1) Pendekatan

Membilang adalah mengatakan bilangan asli berurutan dari satu sampai dengan banyaknya benda yang akan dibilang. Jadi, hasilnya besaran yang pasti atau eksak, tetapi mengukur tidak demikian.

Misalnya panjang suatu benda logam adalah 5 cm, kalau panjang benda itu diukur seteliti mungkin tidak persis 5 cm, kemungkinannya adalah 4,5 cm sampai 5,5 cm. Bilangan seperti ini dinamakan pendekatan atau aproksimasi. Perhitungan pendekatan dilakukan dengan pembulatan.

Pembulatan dapat dikelommpokkan menjadi 3 macam, yaitu pembulatan ke ukuran satuan terdekat, pembulatan ke angka desimal, dan pembulatan ke angka signifikan.

1. Pembulatan ke Ukuran Satuan Terdekat

Aturannya, bilamana angka yang dibuang lebih besar atau sama dengan 5, maka angka di depannya ditambah 1, sedangkan bilamana angka yang dibuang kurang dari 5, maka angka di depannya tetap. Sebagai ilustrasi 37,57 dibulatkan menjadi 37 dan 8,49 dibulatkan menjadi 8.

2. Pembulatan ke Angka Desimal

Pembulatan ini dapat dilihat pada pembahasan bilangan pecahan.

3. Pembulatan ke Angka Signifikan

Pembulatan ke angka signifikan menyatakan ketelitian pendekatan berdasarkan angka yang terpakai. Sebagai ilustrasi: 70,4 mempunyai 3 angka signifikan; 56,92 mempunyai 4 angka signifikan; 9,50 mempunyai 3 angka signifikan; dan 0,0067 mempunyai 2 angka signifikan.

2) Menaksir

Sebuah nilai taksiran mungkin lebih besar sedikit atau lebih kecil sedikit dari nilai sebenarnya. Kita menaksir suatu bilangan bila kita menyebutkan bilangan lain yang mendekati bilangan pertama tadi.

Hasil penaksiran ada 2 macam, yaitu taksiran rendah dan taksiran tinggi.

(13)

47 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Menaksir tidak sama dengan menerka. Dalam menaksir menggunakan fakta-fakta yang diketahui untuk menentukan bahwa hasil suatu pengerjaan mendekati atau kira-kira sama dengan suatu bilangan tertentu.

1. Menaksir Jumlah atau Selisih Dua Bilangan Bulat dengan Menggunakan Kelipatan 10 Contoh:

Taksirlah nilai n berikut ini.

a. 10764n b. 10337n Solusi:

a. Taksiran rendah untuk n adalah 100 + 60 = 160.

Taksiran tinggi untuk n adalah 110 + 70 = 180.

Jadi, 160n180.

Taksiran manakah yang baik?

Kelipatan 10 yang terdekat ke 107 adalah 110.

Jadi, taksiran yang baik untk n adalah 110 + 60 = 170.

Dengan demikian, n kira-kira 170.

b. Kelipatan 10 yang terdekat ke 103 adalah 100.

Jadi, taksiran yang baik untuk n adalah 100  40 = 60.

Dengan demikian, n kira-kira 60.

2. Menaksir Hasil Kali Menggunakan Kelipatan 10 Contoh:

Taksirlah nilai n dari 7854n.

Kelipatan 10 yang terdekat ke 78 adalah 70 atau 80.

Kelipatan 10 yang terdekat ke 54 adalah 50 atau 60.

Taksiran rendah untuk n adalah 7050350. Taksiran tinggi untuk n adalah 8060480. Jadi, 350n480.

Taksiran yang baik untk n adalah 8050400. 3. Menaksir Hasil Bagi Menggunakan Kelipatan 10

Contoh:

Taksirlah nilai n dari 148 : 24.

Solusi:

Kelipatan 10 yang dekat dengan 148 adalah 140 atau 150.

Kelipatan 10 yang dekat dengan 24 adalah 20 dan 30.

(14)

48 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Taksiran rendah untuk n adalah 140 : 20 = 7 Taksiran tinggi untuk n adalah 150 : 30 = 5 Jadi, 5n7

Taksiran yang baik untuk n adalah 150 : 20 = 7,5.

F. Sifat Operasi Bilangan Bulat Berpangkat Definisi Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan real (nyata) dan n adalah bilangan asli (bilangan bulat positif), maka



 



 



a n

n a a a a

a

faktor sebanyak

...





dengan n = pangkat atau eksponen a = bilangan pokok/dasar/basis

aⁿ= bilangan berpangkat (n ditulis di sebelah kanan atas a) andibaca: “a pangkat n“ atau “a dipangkatkan n”.

Misalanya 5²dibaca 5 pangkat 2 atau 5 dipangkatkan 2 atau 5 kuadrat; 7³dibaca 7 pabgkat 3 atau 7 dipangkatkan 3.

a a a

a  ... = hasil perpangkatan Dalam kasus n = 1, maka a¹a. Contoh:

Tulislah setiap bilangan 64 dan 2.250 dalam bentuk pangkat bilangan prima.

Solusi:

1. Nilai Bilangan Berpangkat

Nilai bilangan berpangkat adalah hasil dari suatu perpangkatan.

Contoh:

Hitunglah

a. 5⁴ b. 3² + 2² + 3³ Solusi:

a. 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 a. 2 64

2 32 2 16 2 8 2 4 2

Karena banyak angka 2 ada 6 buah, maka 64 = 2⁶

b. 2 2.250 3 1.125 3 375 5 125 5 25 5

Karena banyak angka 2 ada 1 buah, angka 3 ada 2 buah, dan 5 ada 3 buah, maka 2.250 = 2 × 3² × 5³

(15)

49 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

b. 3² + 2³ + 10³ = 3 × 3 + 2 × 2 × 2 + 10 × 10 × 10 = 9 + 8 + 1.000 = 1.017 2. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Jika m, n, dan p adalah bilangan bulat positif (bilangan asli), a dan b adalah bilangan-bilangan real (nyata), maka

1. a^maⁿ a^m^ⁿ

2. ^m ⁿ ^m ⁿ

n m

a a a a

a  :  _ , jika m > n dan a  0

3. n m

n m n m

a a a a

a

 

 1

: , jika m < n dan a  0 4.

 

â^m ⁿ^â^m^ⁿ^â^mn

5.



^a^m^^bⁿ



^p ^^a^m^^p^^bⁿ^^p ^^a^mp^b^np

6. np

mp p n

p p m n m

b a b

a b

a   

 







, b0 Contoh:

Sederhanakanlah

a. 2³2⁶ c. 7⁶:7⁴ e.

 

¹⁰³ ² g.

10 9 4

7 6 



 





b. 5⁸5¹² d. 3⁴:3⁷ f.



²⁶^⁵¹⁰



⁵

Solusi:

a. 2³2⁶ 2³^⁶ 2⁹ 512 e.

 

¹⁰³ ² ^¹⁰³^²^¹⁰⁶^¹^.⁰⁰⁰^.⁰⁰⁰

b. 5⁸5¹² 5⁸^¹²5²⁰ f.



²⁶^⁵¹⁰



⁵^²⁶^⁵^⁵¹⁰^⁵^²³⁰⁵⁵⁰

c. 7⁶:7⁴ 7⁶^⁴ 7² 49 g.

90 40 10 9

10 10 4 9 4

7 6 7

6 7

6   

 







d.

27 1 3

1 3

3 1 :

3 7 4 3

7

4  _  

G. Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan 1. Kuadrat Suatu Bilangan

Bilangan kuadrat diungkapkan (diekspresikan) sebagai a² yang artinya perkalian berulang dari a sebanyak dua kali, ditulis a² aa. Ekspresi a² dibaca a kuadrat (a dikuadratkan) atau a pangkat 2 (a dipangkatkan 2). Misalnya 7² dibaca 7 kuadrat, 10² dibaca 10 kuadrat.

Nilai kuadrat dari suatu bilangan adalah nilai yang dihasilkan dari perkalian bilangan sebanyak dua kali.

Nilai daria² adalah aa.

(16)

50 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Bilangan kuadrat mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang dipangkatkan dengan angka akhir hasil perpangkatan.

Bilangan yang dipangkatan dua dengan angka akhir

Bilangan hasil perpangkatan dua dengan angka akhir

0 0

1 1

2 4

3 9

4 6

5 5

6 6

7 9

8 4

9 1

Contoh:

Hitunglah

a. 7² b. 9² c. 10² d. 54² e. 253² f. 1.502² Solusi:

a. 7² = 7 × 7 = 49 d. 54² = 54 × 54 = 2.916 b. 9² = 9 × 9 = 81 e. 253² = 253 × 253 = 64.009

c. 10² = 10 × 10 = 100 f. 1.502² = 1.502 × 1.502 = 2.256.004 2. Akar Kuadrat Suatu Bilangan

Jika n adalah bilangan asli dengan n > 1 dan apabila a dan b sedemikan rupa sehingga aⁿ b, maka dikatakan bahwa a adalah akar pangkat n dari b, ditulis aⁿ b, dengan n adalah indeks (tingkat akar) dari bentuk akar (radikal), b adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), dan lambang

dinamakan tanda akar kuadrat.

Dalam kasus n = 2, maka indeksnya dihilangkan, sehingga b mempunyai arti ²b . Ekspresi b dibaca “akar pangkat dua dari b” atau “akar kuadrat dari b”. Perlu diperhatikan bahwa, nilai dari

b

a hanya ada satu nilai. Sebagai ilustrasi: 93, karena 3² 9. Walaupun (3)²9, tetapi 3

9 . Peristiwa memperoleh 3 dari 9 biasa dinamakan menarik akar (kuadrat).

Bilangan yang ditarik akarnya mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang ditarik akarnya dengan angka akhir hasil menarik akar itu.

(17)

51 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Bilangan (kuadrat) yang ditarik

akarnya dengan angka akhir

Bilangan hasil penarikan akar dengan angka akhir

0 0

1 1 atau 9

4 2 atau 8

5 5

6 4 atau 6

9 1 atau 3

1. Menarik Akar dari Bilangan yang Hasilnya Rasional atau Bentuk Akar Untuk menarik dari akar kuadrat dapat digunakan konsep rumus-rumus berikut ini.

1. ² ¹ ² ¹⁰ ² ¹⁰

20 2 4 2 2 20 4

2b c a b c ab c ab c

a   

2. a²b a b 3. a⁴b¹⁵ a²b⁷ b Contoh:

Sederhnakanlah

a. 196 b. 5184 c. 72 d. 648 Solusi:

a. Strategi 1:

Strategi 2:

Nilai dari 196 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Kelompokkan bilangan-bilangan itu (radikan) dari kanan ke kiri, dengan tiap kelompok terdiri dari dua angka.

 Pilih dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 1.

 Jumlahkan dua angka yang sama itu (1 + 1 = 2), kemudian pilih angka yang sama lagi, kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasangan 2 yang jika dikalikan sama atau mendekati 96, yaitu 4, sehingga 24 × 4 = 96.

 Jawabannya adalah dua angka yang sama yang dipilih itu.

196 = 14 1 × 1 = 1 96 24 × 4 = 96 0

Jadi, 19614 2 196 196 = 2² × 7²

2 98 7 49

7

Jadi, 196 2²7² 2714

(18)

52 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

b. Strategi 1:

Strategi 2:

Nilai dari 5184 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 2: Pilih dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 51.

 Langkah 3: Jumlahkan dua angka yang sama itu (7 + 7 = 14), kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasangan 14 yang jika dikalikan sama atau mendekati 284, yaitu 2, sehingga 142 × 2 = 284.

 Langkah 4: Jawabannya adalah dua angka yang sama yang dipilih itu.

c. 72 2³3² 23 26 2 d. 432 2⁴ 3³ 2²3 312 3

2. Menarik Akar dari Bilangan yang Hasilnya Dinyatakan Dalam Desimal Contoh: Hitunglah 5 dan 837

Solusi:

a. Nilai dari 5 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Tuliskan angka nol dibelakang tanda koma sesuai kebutuhan.

 Langkah 3: Pilihlah dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 5, yaitu 2, sehingga 2 × 2 = 4.

5184 = 72 7 × 7 = 49 284 142 × 2 = 284 0

Jadi, 518472 2 5184 5184 = 2⁵ × 3⁴

2 2592 2 1296

2 648 2 324 2 162 3 81 3 27 3 9 3

Jadi, 5184 2⁶3⁴ 2³3² 8972

(19)

53 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

 Langkah 4: Jumlahkan dua angka yang sama itu (2 + 2 = 4), kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasngan 4 yang jika dikalikan sama atau mendekati 100, yaitu 2 sehingga 42 × 2 = 84.

 Demikian seterusnya, sampai desimal yang diminta.

 Langkah 5: Jawabannya adalah angka-angka yang sama yang dipilih itu.

b. Nilai dari 837 dapat dicari dengan prosedur sebagai berikut ini.

 Langkah 1: Tuliskan angka nol dibelakang tanda koma sesuai kebutuhan.

 Langkah 3: Pilihlah dua angka yang sama yang hasil kalinya sama atau mendekati 8, yaitu 2, sehingga 2 × 2 = 4.

 Langkah 4: Jumlahkan dua angka yang sama itu (2 + 2 = 4), kemudian pilih angka yang sama lagi sebagai pasngan 4 yang jika dikalikan sama atau mendekati 437, yaitu 8 sehingga 48 × 8 = 384.

 Demikian seterusnya sesuai dengan kebutuhan, sampai decimal yang diminta terpenuhi.

 Langkah 5: Jawabannya adalah angka-angka yang sama yang dipilih itu.

5,000000= 2,236….

2 × 2 = 4

100 (mulai diberi tanda koma, karena sudah ada 42 × 2 = 84 penambahan nol)

1600 443 × 3 = 1329 27100 4466 × 6 = 26796 304 Jadi, 52,236....

837,000000= 28,93….

2 × 2 = 4 437 48 × 8 = 384

5300 (mulai diberi tanda koma, karena sudah 569 × 9 = 5121 ada penambahan nol)

17900 5783 × 3 = 17349 551 Jadi, 83728,93....

(20)

54 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika H.

Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan

1. Pangkat Tiga Suatu Bilangan

Arti pangkat tiga suatu bilangan adalah hasil perkalian tiga factor yang masing-masing bilangan itu sendiri. Jadi, a³ aaa. Ekspresi a³dibaca “a pangkat tiga” atau “a kubik”. Nilai pangkat tiga dari suatu bilangan adalah nilai yang dihasilkan dari perkalian bilangan sebanyak tiga kali. Nilai daria³ adalah aaa.

Bilangan pangkat tiga mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang dipangkatkan dengan angka akhir hasil perpangkatan.

Bilangan yang dipangkatan tiga dengan angka akhir

Bilangan hasil perpangkatan tiga dengan angka akhir

0 0

1 1

2 8

3 7

4 4

5 5

6 6

7 3

8 2

9 9

Contoh:

Hitunglah

a. 5³ b. 12³ c. 234³ Solusi:

a. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 b. 12³ = 12 × 12 × 12 = 1.728 c. 234³ = 234 × 234 × 234 = 12.812.904

2.

Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan

Jika n adalah bilangan asli dengan n > 1 dan apabila a dan b sedemikan rupa sehingga aⁿ b, maka dikatakan bahwa a adalah akar pangkat n dari b, ditulis aⁿ b, dengan n adalah indeks (tingkat akar) dari bentuk akar (radikal), b adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), dan lambang

3 dinamakan tanda akar pangkat tiga.

Dalam kasus n = 3, maka a³ b. Ekspresi ³ b dibaca “akar pangkat tiga dari b” atau “akar kubik dari b”. Perlu diperhatikan bahwa, nilai dari a³ bhanya ada satu nilai. Sebagai ilustrasi: ³ 82, karena

8

2³  . Peristiwa memperoleh 2 dari ³8 biasa dinamakan menarik akar (kubik).

(21)

55 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Bilangan yang ditarik akarnya mempunyai ciri khas antara angka akhir bilangan yang ditarik akarnya dengan angka akhir hasil menarik akar itu.

Bilangan (kubik) yang ditarik akarnya dengan angka akhir

Bilangan hasil penarikan akar dengan angka akhir

0 0

1 1

2 8

3 7

4 4

5 5

6 6

7 3

8 2

9 9

Untuk menarik dari akar kuadrat dapat digunakan konsep rumus-rumus berikut ini.

1. ³ ¹ ² ⁶ ² ⁶

18 3 6 3 3

3 a3b6c18 a b c ab c ab c 2. ³ a³b⁸ a¹b²³ b² ab²³ b² Contoh:

Sederhnakanlah

a. ³ 729 b. ³ 5832 c. ³13824 d. ³162 e. ³ 648 Solusi:

a. 729 3 3³ 3² 9

6 3 6

3    

b. Strategi 1: 5832 2 3 2 3³ 2¹ 3² 2 9 18

6 3 3

3 3 6

3         

Strategi 2:

Untuk menarik akar tiga dari suatu bilangan yang lebih dari 1000 dapat digunakan prosedur sebagai berikut.

 Langkah 1: Kelompokkan tiga angka-tiga angka mulai dari belakang.

 Langkah 2: Carilah tiga bilangan yang sama yang perkaliannya sama atau mendekati angka paling depan setelah dikelompokkan. Perhatikan bahwa angka kembar ini merupakan angka puluhan dari akar kubik.

 Langkah 3: Tentukan angka satuannya dengan berdasarkan pada table di atas.

Dengan demikian,

 ³ 5832

 Angka yang sama adalah 1 × 1 × 1 = 1 yang mendekati 5. Berarti angka puluhannya 1.

 Angka terakhir dari 5832 adalah 2 yang bersesuaian pangkat kubik bilangan yang mempunyai angka akhir 8. Berarti, angka satuannya 8.

Jadi, ³ 583218.

c. Strategi 1: ³13824³ 2⁹3³ 2³324 Strategi 2:

 ³13824

 Angka yang adalah 2 × 2 × 2 = 8 yang mendekati 13. Berati angka puluhannya 2.

 Angka terakhir dari 13824 adalah 4 yang bersesuaian dengan pangkat kubik bilangan yang mempunyai angka akhir 4. Berarti angka satuannya 4.

(22)

56 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jadi, ³1382424

d. ³162³ 23⁴ 3³ 233³ 6 e. ³ 648³ 2³3⁴ 23³ 36³ 3

3.

Membandingkan Bentuk Akar

 Akar senama adalah akar-akar yang mempunyai indeks sama.

Contoh:

45, ⁴ 8, 7⁴ 2, dan ⁴ 2 3

2 adalah akar-akar senama.

 Akar sejenis adalah akar-akar yang mempunyai indeks maupun radikan (bilangan pokok) sama.

Contoh: 3 , 5 3, dan 3 2

1 adalah akar-akar sejenis; 3⁵ 7, ⁵ 7 9

2 , dan ⁵ 7 adalah akar-akar sejenis.

 Mengubah akar-akar menjadi senama adalah sebagai berikut.

Akar-akar ^mabⁿ dan ^pc^pd^r dapat diubah menjadi akar-akar sejenis ^mpa^pb^pn dan ^mpc^mpd^mr . Contoh:

Perikasalah bahwa 25 > 16 , 3 > ⁵ 7 , dan 2 <³3 . Solusi:

 255 dan 164

Karena 25 > 16, maka 25 > 16 .

 3¹⁰3⁵ ¹⁰243 dan ⁵ 7¹⁰7² ¹⁰49

Karena 243 > 49, maka ¹⁰243 > ¹⁰49 atau 3 > ⁵ 7 .

 2⁶ 2³ ⁶8 dan ³ 3⁶ 3² ⁶ 9

Karena 8 < 9, maka ⁶8 < ⁶9 atau 2 <³ 3 .