TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT (Skirpsi)
Oleh
KHAIRIL WALID
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT
Oleh
KHAIRIL WALID
Barisan bilangan bulat dengan suku pertama 1 terdiri dari suatu grup terhadap suatu operasi konvolusi yang disebut sebagai grup appell dan matriks bilangan bulat tak berhingga segitiga bawah dengan semua elemen diagonal 1 yang terdiri dari sebuah grup terhadap pergandaan matriks. Jika dan , maka . Pada penelitian ini dikaji grup dan beserta jenis jenis subgrupnya dalam hal ini termasuk grup dari matriks dengan kolom sama kecuali untuk nilai awal nol dan juga grup dari matriks yang kolom bilangan ganjil sama kecuali untuk nilai awal nol dan sama untuk kolom genap. Syarat syarat tersebut ditentukan sebagai perkalian dua matriks dalam menjadi dalam . Syarat syarat tersebut juga ditentukan oleh dua matriks dalam operasi pada
ABSTRACT
MATRIX TRANSFORMATIONS OF INTEGERS SEQUENCES
By
KHAIRIL WALID
The integer sequences with first term 1 comprise a group under convolution, namely, the appell group, and the lower triangular infinite integer matrices with all diagonal entries 1 comprise a group under matrix multipication. If and , then . The groups and and various subgroups are discussed. These include the group of matrices whose columns are identical except for initial zeros, and also the group of matrices in which the odd-numbered columns are identical except for initial zeros and the same is true for even-numbered columns. Conditions are determined for the product of two matrices in to be in . Conditions are also determined for two matrices in
to commute
RIWAYAT HIDUP
Penulis adalah anak keempat dari empat bersaudara, dari bapak Alm. Muhammad Nasir dan Ibu Masnawati yang dilahirkan pada 18 Agustus 1993 di Krui, Kabupaten Pesisir Barat, Lampung.
Sekolah kanak-kanak telah diselesaikan di TK Aisyah Krui pada tahun 1999. Pendidikan dasar diselesaikan di SD N 1 Krui pada tahun 2005. Selanjutnya, pendidikan diselesaikan di SMP N 2 Krui pada tahun 2008 dan dilanjutkan ke sekolah menengah kejuruan di SMK N 1 Liwa Lampung Barat pada tahun 2011.
Penulis melanjutkan pendidikan S1 Matematika di Universitas Lampung melalui jalur PMPAP. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai sekretaris bidang eksternal pada periode 2013-2014 serta aktif di UKMF Natural sebagai layouter pada periode 2012-2013.
“Karena sesunggunhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.”
(QS. Al-Insyirah : 5)
“Apabila anda berbuat kebaikan kepada orang lain, maka anda telah berbuat baik terhadap diri anda sendiri.”
(Benyamin Franklin)
“Pekerjaan yang paling menyenangkan di dunia ini adalah hobi yang dibayar.”
Persembahan
Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan ridho nya sehingga Segala sesuatu nya yang berkaitan dengan
proses menimba ilmu di Universitas Lampung ini dapat dilancarkan.
Kupersembahkan karya sederhana ini untuk (Alm) ayah dan amak yang selalu dan tak henti memberikan doa, motivasi, dan kasih sayangnya. Tanpa kalian aku bukan apa apa. Dan
juga untuk kakak serta ponakan-ponakanku yang selalu menjadi motivasiku.
Teruntuk semua guru, dosen dan rekan rekan yang telah memberikan banyak ilmu dan pengalaman yang luar biasa.
Tanpa kalian, aku tidak dapat berdiri, berjalan dan berlari menelusuri detik demi detik, selangkah demi selangkah, dan nafas kehidupan ini. Semoga apa yang telah diperjuangkan
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas ridho dan karunianya karya ilmiah ini dapat diselesaikan.
Skripsi dengan “Transformasi Matriks pada Barisan Bilangan Bulat”
merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Prof. Suharso, Ph,D. selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung beserta jajarannya. 2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph,D. selaku ketua Jurusan
Matematika beserta staff, terkhusus untuk Bunda Lusiana.
3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku pembimbing utama atas kesediaan memberi ilmu, waktu, bimbingan, saran dan kritik dalam proses menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si selaku pembimbing kedua atas waktu, saran dan koreksi yang telah diberikan
6. Alm. Ayah Muhammad Nasir dan Amak Masnawati yang selalu
memberikan motivasi, semangat, do’a, kasih sayang dan materi yang
tak henti-hentinya.
7. Uni Aang, Uda Imen, Uni Nova, dan Uda Febi yang telah memberikan dukungan dalam bentuk semangat atau materi kepada penulis
8. Sahabat sahabat penulis Gusti, Haidir, Heizlan, Wesly, Farid, Mimi, Charissa, Dhia, Arifah, Udya, Anissa, Triani, Ayu, Novia, dan teman teman Asrama Insan Cendikia yang selalu memberikan semangat, dukungan, dan motivasi dalam menyelesaikan skripsi ini.
9. Keluarga Matematika angkatan 2011 dan HIMATIKA yang terus memberi semangat dan dukungan, terimakasih atas kebersamaan dan pengalaman yang tak terlupakan.
10.Semua pihak yang telah membantu penulis baik selama masa studi maupun dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa tulisan sederhana ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi terselip harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi masyarakat luas. Aamiin.
Bandar Lampung, Agustus 2015
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Batasan Masalah ... 2
1.3 Tujuan Penelitian ... 2
1.4 Manfaat Penilitian ... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat ... 3
2.2 Barisan ... 4
2.3 Sigma ... 7
2.4 Matriks ... 8
2.5 Operasi Operasi Matriks ... 9
2.6 Sifat Sifat Operasi Matriks ... 11
2.7 Grup ... 12
2.8 Riordan Matriks ... 14
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16
3.2 Metode Penelitian ... 16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pendahuluan ... 17
4.2 Grup Appell ... 20
4.3 Grup ( ) ... 25
4.4 Grup ... 26
DAFTAR NOTASI
Himpunan bilangan bulat Operasi Konvolusi Operasi Biner Floor
∑ Sigma
[ ] Matriks
Matriks Barisan
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan bidang ilmu yang sangat penting dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Berbagai macam fenomena dan kejadian yang sangat erat kaitannya dengan dunia matematika. Bidang lain seperti fisika, kimia, bahkan biologi tidak terlepas dari dunia matematika. Dalam penggunaannya matematika, tidak hanya terpaku pada sebuah rumus-rumus yang telah ada.
Suatu barisan disebut baris aritmatika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selisih tersebut dinamakan beda (b) dan rumus umum untuk suku ke-n nya adalah dengan a adalah suku pertama pada barisan tersebut dan b adalah beda yaitu .
2 1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini akan diselidiki bagaimana metode ataupun cara mentransformasi matriks pada barisan bilangan bulat.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dilakukannya penelitian ini, yaitu mengkaji bagaimana cara transformasi matriks pada barisan bilangan bulat.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memeperluas dan memperdalam pengetahuan ilmu matematika Transformasi Matriks khususnya pada barisan bilangan bulat.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan Bulat
Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,… Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z atau Ƶ. Himpunan Z tertutup terhadap operasi penjumlahan, operasi pengurangan dan operasi perkalian.
4 terhingga (Infinite Sequence) adalah fungsi yang daerah asal (domain)-nya adalah himpunan bilangan bulat positif dan daerah hasil (range)-nya adalah himpunan bilangan real. Sebuah barisan dapat dinotasikan dengan atau sederhana dengan {an}. Kadangkala, kita juga dapat sedikit diperluas batasan tersebut dengan membuat daerah asalnya terdiri dari seluruh bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan bulat tertentu, seperti dan
yang masing masing dilambangkan dengan dan
Sebuah barisan dapat ditentukan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk sebuah pola, seperti pada
1, 4, 7, 10, 13, . . .
5
2.2.1 Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci diambil dari nama Leonardo of Pisa yang dikenal sebagai Fibonacci.
Definisi 2.2.1
Barisan Fibonacci adalah relasi rekurensi linear homogen orde 2 berikut :
Barisan Fibonacci dituliskan sebagai berikut :
2.2.2 Barisan Lucas
Barisan Lucas adalah perumuman khusus dari barisan Fibonacci. Didefinisikan dengan :
{
Barisan Lucas dituliskan sebagai berikut
Barisan Lucas jika dikaitkan dengan barisan Fibonacci dituliskan :
6
2.2.3 Barisan Catalan
Suku ke-n Barisan catalan didefinisikan dengan :
(
)
Barisan Catalan dituliskan sebagai berikut :
2.2.4 Fungsi Pembangkit
Definisi 2.2.4
Fungsi pembangkit untuk sebuah barisan tak hingga :
Adalah
Contoh 2.2.4
Contoh 2.2.5
7
2.3 Sigma
Digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan. Simbol
8
2.4 Matriks
Matriks merupakan suatu susunan angka berbentuk segiempat. Bilangan Bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks. Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan kolom (garis vertikal) yang dikandungnya. Misalkan pada contoh matriks dibawah ini, matriks pertama mempunyai tiga baris dan dua kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 2 (ditulis ). Dalam suatu uraian ukuran, angka pertama selalu menyatakan jumlah baris dan angka kedua menyatakan jumlah kolom. Matriks matriks lainnya pada contoh dibawah ini masing masing mempunyai ukuran dan . Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris.
Contoh 2.4.1
[
]
, [ ], [ ], , [ ]
Untuk menyatakan matriks, biasanya dengan menggunakan huruf besar, dan huruf kecil untuk menyatakan bilangan.
Contoh 2.4.2
A =
atau C = [ ]
Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai
. Jadi sebuah matriks umum dapat ditulis sebagai
[
9 berorde n, dan anggota anggota m11, m22, ... mnn disebut sebagai diagonal utama. (bisa dilihat pada matriks A diatas). (Anton, 2000)
2.5Operasi Operasi Matriks Definisi 2.5.1
Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota naggotanya yang berpadanan sama. adalah matriks dengan ukuran yang berbeda.
Definisi 2.5.3
10
berpadanan. Matriks Mtriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan.
Ungkapan A+C, B+C, A-C, dan B-C tidak terdefinisi. Definisi 2.5.5
11
sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris dan kolom dari AB, pilih baris dari matriks A dan kolom secara bersama – sama dan kemudian jumlah hasilnya sama. (Anton, 2000)
2.6 Sifat-sifat Operasi Matriks
Pada bagian ini akan dibahas beberapa sifat operasi aritmatika pada matriks. Kita akan melihat bahwa banyak aturan dasar aritmatika untuk bilangan bilangan yang berlaku untuk matriks tetapi ada beberapa yang tidak.
Teorema 2.6.1
12
Untuk lebih memahami definisi grup, berikut diberikan contohnya.
Contoh 2.7.1
Diberikan bilangan bulat positif dan | Akan ditunjukkan bahwa merupakan grup.
(i) Akan ditunjukkan bahwa bersifat tertutup terhadap operasi +.
Diberikan sebarang dengan dan untuk suatu
.
Jadi, bersifat tertutup terhadap operasi +.
(ii) Akan ditunjukkan bahwa bersifat tertutup terhadap operasi +.
Diberikan sebarang dengan dan dan
13
Jadi, terbukti bahwa elemen di nZ bersifat assosiatif terhadap operasi +. (iii) Akan ditunjukkan setiap elemen di memiliki elemen identitas.
Untuk setiap , terdapat 0 sehingga untuk suatu
Jadi, elemen identitas pada yaitu 0.
(iv) Akan ditunjukkan setiap elemen di memiliki invers.
Diberikan sebarang dengan , akan ditentukan invers
14 adalah matriks segitiga bawah dengan diagonal utamanya adalah 1. Perkalian pada R adalah ( )( ) ( ) ( ) Identitasnya
adalah . Invers dari adalah
( ) , dimana
15
2.9 Fungsi Floor (Gaussian Function) Definisi 2.9.1
Untuk sebarang bilangan real x, bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x dinotasikan dengan
x . Selanjutnya f(x)
x disebut fungsi Gaussian (Gaussian Function/Floor Function).Definisi 2.9.2
Untuk sebarang bilangan real x, nilai x -
x dinotaskan dengan
x , disebut bagian desimal dari x (the decimal part of x).Sifat-Sifat dari
x dan
x jika dan hanya jika x adalah bilangan bulat.
Untuk setiap
{
. Pada umumnya, untuk
. Pada umumnya, untuk
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan dengan baris, matriks.
2. Mempelajari dan memahami definisi dan/atau teorema yang berkaitan dengan penelitian ini
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 2000. Elementary Linear Algebra. First Edition. Interaksara, Batam
Burton, D. M. 1980. Elementry Number Theory. University Of New Hampshire. United State of Africa.
Dummit, D.S and Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra. Third Edition. John Wiley & Sons,Inc.United States America.
Fraleigh, J.B. 2000. A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addision Wesley Publishing Company, Inc. Philippines.
Purcell, Edwin J. 2003. Calculus. Eighth Edition. Addision Wesley Publishing Company, Inc. Philippines.
TRANSFORMASI MATRIKS PADA BARISAN BILANGAN BULAT
Oleh
KHAIRIL WALID
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains
pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
