BEBERAPA SIFAT DARI BILANGAN KURANG SEMPURNA KARYA ILMIAH OLEH VIRA ANANDA NIM

BEBERAPA SIFAT DARI BILANGAN KURANG SEMPURNA

KARYA ILMIAH

OLEH

VIRA ANANDA NIM. 1703113279

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2021

BEBERAPA SIFAT DARI BILANGAN KURANG SEMPURNA

Vira Ananda

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

viraananda28@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses some properties of deficient perfect numbers that is, every odd perfect numbers have a deficient perfect numbers. Then, there are odd perfect numbers and Descartes numbers from the deficient perfect numbers. This is a review of article from Holdener dan Rachfal [The American Mathematical Monthly, 126 (2019), 541-546]

Keywords: Prime numbers, sigma function, perfect numbers, deficient perfect num- bers

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang beberapa sifat dari bilangan kurang sempurna yaitu, setiap bilangan sempurna ganjil memiliki pembagi yang kurang sempurna. Ke- mudian terdapat bilangan sempurna ganjil dan bilangan Descartes dari bilangan kurang sempurna. Artikel ini merupakan review dari artikel Holdener dan Rachfal [The American Mathematical Monthly, 126 (2019), 541-546]

Kata kunci: Bilangan prima, fungsi sigma, bilangan sempurna, bilangan kurang sempurna

1. PENDAHULUAN

Teori bilangan merupakan cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat- sifat bilangan bulat dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan bu- lat itu sendiri terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.

Burton [3, h. 234] menyatakan konsep numerik dalam sejarah berawal dari bi- langan amicable yang ditemukan di Yunani. Setiap bilangan bulat positif sama dengan jumlah faktor sejati dari bilangan yang lain, tetapi tidak terhitung bilangan itu sendiri disebut amicable. Kemudian Koshy [7, h. 374] menyatakan pada masa

zaman Yunani kuno, Pythagoras mengamati bahwa ada bilangan sempurna yaitu bilangan bulat positif x yang jumlah faktor sejatinya sama dengan x. Kemudian Das dan Saikia [4] menyatakan contoh bilangan sempurna terkecil adalah 6 karena 6 = 1+2+3. Bilangan 6 sama dengan jumlah faktor-faktornya tetapi tidak terhitung bilangan itu tersendiri. Semua bilangan sempurna yang sudah diketahui tersebut adalah bilangan genap. Kemudian Burton [3, h. 232] menyatakan sejauh ini tidak ada bilangan sempurna ganjil, namun dimungkinkan untuk menemukan kondisi tertentu untuk keberadaan bilangan sempurna ganjil.

Selanjutnya dari bilangan sempurna terdapat juga bilangan kurang sempurna.

Holdener dan Rachfal [6] menyebutkan bilangan bulat positif n dikatakan bilangan kurang sempurna jika jumlah pembagi sejatinya sama dengan x, kemudian dijum- lahkan dengan pembagi sejati yang merupakan faktor persekutuan terbesar dari n dan penjumlahan semua bilangan bulat positif yang membagi n supaya jumlah pem- bagi sejatinya sama dengan x. Tang dan Feng [9] mengatakan bahwa pembagi sejati tersebut disimbolkan dengan d dan disebut sebagai pembagi berkurang dari n.

Holdener dan Rachfal [6] menunjukkan beberapa sifat dari bilangan kurang sem- purna, yaitu setiap bilangan sempurna ganjil memiliki pembagi yang merupakan bilangan kurang sempurna. Sifat selanjutnya, terdapat bilangan sempurna ganjil dan bilangan Descartes dari bilangan yang kurang sempurna.

Didalam artikel ini dibahas lebih lanjut beberapa sifat dari bilangan kurang sempurna. Artikel ini merupakan kajian ulang dari artikel Holdener dan Rachfal [6].

Pada artikel ini, di Bagian 2 dan 3 dijelaskan beberapa teori pendukung. Ke- mudian di Bagian 4 dan 5 dijelaskan tentang beberapa sifat dari bilangan kurang sempurna, dan diakhiri dengan Bagian 6 yang berisi kesimpulan.

2. FUNGSI TAU DAN FUNGSI SIGMA

Fungsi τ (n) menyatakan banyaknya pembagi bilangan bulat positif d dari n dan fungsi σ(n) menyatakan penjumlahan semua bilangan bulat positif yang membagi n, dengan n merupakan bilangan bulat positif [7, h. 365]. Selanjutnya, digunakan teorema berikut untuk memperoleh pembagi positif dari bilangan bulat positif n setelah faktorisasi prima diketahui.

Teorema 1 [3, h. 105] Jika n = p^k₁¹p^k₂²· · · p^k_r^r adalah faktorisasi prima dari n > 1 maka

τ (n) = (k₁+ 1)(k₂+ 1)· · · (ki+ 1)

σ(n) = p₁^k1+1− 1

p₁− 1 ·p₂^k2+1− 1

p₂− 1 · · ·p_i^ki+1− 1 p_i− 1

dengan setiap ki untuk i = 1, 2, . . . , r, adalah bilangan bulat positif dan setiap pi

adalah bilangan prima dengan p₁ < p₂ <· · · < pr.

Rosen[8, h. 53] menjelaskan suatu definisi mengenai bilangan bulat yang tidak memiliki pembagi bersama lebih besar dari l.

Definisi 2 [8, h. 53] Bilangan bulat m dan n disebut relatif prima jika m dan n memiliki fpb(m, n) = 1.

Kemudian dapat diperoleh definisi berikut ini.

Definisi 3 [3, h. 107] Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif. Sebuah fungsi f dikatakan multiplikatif, jika

f (mn) = f (m)f (n), dengan fpb(m, n) = 1.

Teorema 4 [3, h. 108] Fungsi τ dan σ adalah multiplikatif.

Dari Teorema 4, misalkan m dan n adalah relatif prima. Asumsikan bahwa m > 1 dan n > 1. Jika

m = p^k₁¹p^k₂²· · · p^kr^r dan n = q₁^t1q₂^t2· · · q^tj^j,

adalah faktorisasi dari m dan n dengan setiap k_i dan t_u, i = 1, 2, . . . , r dan u = 1, 2, . . . , j adalah bilangan bulat positif dan setiap pi dan qu adalah prima dengan p₁ < p₂ < · · · < pr dan q₁ < q₂ < · · · < qj maka fpb(m, n) = 1. Oleh karena itu faktorisasi prima dari mn diperoleh

mn = p^k₁¹p^k₂²· · · p^kr^rq₁^t1q₂^t2· · · qj^tj. Kemudian berdasarkan Teorema 1 diperoleh

σ(mn) =

[p₁^k1+1− 1

p₁− 1 ·p_i^ki+1− 1 p_i− 1

] [q₁^t1+1− 1

q₁ − 1 · q_i^tj+1− 1 q_j − 1

] ,

σ(mn) = σ(m)σ(n). (1)

Andrews[1, h. 82] menyatakan, jika pi adalah bilangan prima maka pembagi positif dari p_i adalah 1 dan p_i, sehingga σ(p_i) = p_i + 1. Secara umum, pembagi positif dari p^k_iⁱ adalah 1, p_i, p²_i, . . . , p^k_iⁱ. Oleh karena itu

σ(p^k_iⁱ) = 1 + p_i+ p²_i +· · · + p^k_iⁱ = p_i^ki+1− 1

p_i− 1 . (2)

3. BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN KURANG SEMPURNA

Pada bagian ini dijelaskan tentang bilangan sempurna dan bilangan kurang sem- purna.

Definisi 5 [3, h. 221] Sebuah bilangan bulat positif n dikatakan sempurna jika n sama dengan jumlah semua pembagi positifnya, tidak termasuk n itu sendiri.

Dengan demikian, n adalah sempurna jika σ(n)− n = n, yaitu

σ(n) = 2n. (3)

Sierpinski [10, h. 182] mengatakan bahwa ada 30 bilangan sempurna yang sudah diketahui. Semua bilangan sempurna yang sudah diketahui tersebut adalah bilangan genap dan tidak tahu apakah ada bilangan sempurna yang ganjil. Kemudian Holde- ner [5] menyatakan, teori bilangan sempurna ganjil masih kurang dipahami, namun dimungkinkan menemukan kondisi tertentu untuk keberadaan bilangan sempurna ganjil dengan terdapat banyaknya hasil mengenai ukuran dan bentuknya.

Akibat 6 [3, h. 234] Jika n adalah bilangan sempurna ganjil, maka n adalah bentuk dari

n = p^αm², (4)

di mana p adalah bilangan prima, p - m, dan p ≡ α ≡ 1(mod 4). Khususnya untuk n ≡ 1(mod 4).

Holdener dan Rachfal [6] menjelaskan, bilangan sempurna ganjil disebut bilangan Descartes jika memiliki salah satu bilangan komposit.

σ(m)(k + 1) = 2mk,

dengan k adalah bilangan komposit dan n merupakan bilangan bulat ganjil positif yang memiliki faktorisasi n = mk. Banks et al. [2] menyatakan bahwa bilangan Descartes dilambangkan dengan D.

Selanjutnya, dari bilangan sempurna terdapat juga bilangan kurang sempurna Definisi 7 [6] Sebuah bilangan bulat positif n dikatakan kurang sempurna jika

σ(n)

n = 2x− 1

x , (5)

untuk suatu x ∈ N.

Menurut Holdener dan Rachfal [6] terdapat bentuk lain dari bilangan kurang sempurna. Jika n disebut bilangan kurang sempurna maka pembagi sejati d meru- pakan fpb(n, σ(n)) yang memenuhi

σ(n) = 2n− d, (6)

dengan d disebut sebagai pembagi berkurang dari n. Kemudian dapat ditemukan dua kesetaraan mengenai definisi dari bilangan kurang sempurna, yaitu pada Definisi 7 dan persamaan (6) dengan menggunakan

x = n

d. (7)

Jika persamaan (7) disubstitusiksn ke dalam persamaan (5) diperoleh

σ(n)

n =

2 (n

d )− 1 n d

,

σ(n) = 2n− d.

Selanjutnya, dapat dilihat bahwa persamaan (7) memenuhui persamaan (5) yang dapat menghasilkan persamaan (6).

4. BILANGAN SEMPURNA MEMILIKI PEMBAGI YANG KURANG SEMPURNA

Pada bagian ini diberikan teorema tentang bilangan kurang sempurna memiliki pem- bagi yang kurang sempurna.

Teorema 8 Jika n adalah bilangan sempurna ganjil dengan bentuk n = p^4α+1m² dan p ≡ 1 (mod 4), maka pembagi p^2αm² adalah bilangan kurang sempurna dengan pembagi berkurangnya d = 2p^2αm²

1 + p^2α+1.

Bukti. Diketahui n adalah bilangan sempurna ganjil. Kemudian dengan menggu- nakan persamaan (4) terhadap n sehingga ditulis

n = p^4α+1m², (8)

untuk suatu bilangan prima p≡ 1 (mod 4), m ∈ N, α ≥ 0 dan p - m. Jika persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan (3), maka diperoleh

σ(p^4α+1m²) = 2p^4α+1m². (9) Oleh karena p^4α+1m²̸= 0 maka dari persamaan (9) diperoleh

σ(p^4α+1m²)

p^4α+1m² = 2. (10)

Selanjutnya, jika fpb(p^4α+1, m²) = 1 dipenuhi, maka Definisi 3 terpenuhi yang mengakibatkan sifat fungsi multiplikatif σ dapat digunakan. Karena p merupakan bilangan prima dan α ≥ 0 maka nilai dari p^4α+1 selalu prima. Dengan p - m dan m ∈ N sehingga dapat diperoleh fpb(p^4α+1, m²) = 1.

Oleh karena σ adalah fungsi multiplikatif di Teorema 4, maka dari persamaan (10) diperoleh

σ(p^4α+1)σ(m²)

p^4α+1m² = 2. (11)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2) maka persamaan (11) ditulis (p^4α+2− 1

p− 1 )

σ(m²) p^2α+1p^2αm² = 2, (1 + p^2α+1)σ(p^2α)σ(m²)

p^2α+1p^2αm² = 2. (12)

Oleh karena p^2α+1 ̸= 0, maka dari persamaan (12) diperoleh (1 + p^2α+1)σ(p^2α)σ(m²)

p^2αm² = 2p^2α+1. (13)

Kemudian karena 1 + p^2α+1 ̸= 0, maka dari persamaan (13) diperoleh σ(p^2α)σ(m²)

p^2αm² = 2p^2α+1

1 + p^2α+1. (14)

Persamaan (14) ditulis

σ(p^2α)σ(m²) p^2αm² =

2

(p^2α+1 2

)

(1 + p^2α+1 2

),

atau

σ(p^2α)σ(m²) p^2αm² =

2

(1 + p^2α+1 2

)

− 1 (1 + p^2α+1

2

) . (15)

Dengan memperhatikan pembagi pada ruas kiri persamaan (15) dimisalkan

D = p^2αm². (16)

Selanjutnya, jika fpb(p^2α, m²) = 1 dipenuhi, maka Definisi 3 terpenuhi yang menga- kibatkan sifat fungsi multiplikatif σ dapat digunakan. Karena p merupakan bilangan prima dan α≥ 0 maka nilai dari p^2αselalu prima. Dengan p- m dan m ∈ N sehingga dapat diperoleh fpb(p^2α, m²) = 1.

Oleh karena σ adalah fungsi multiplikatif di Teorema 4, maka dari persamaan (16) diperoleh

σ(D) = σ(p^2α)σ(m²), (17)

dan dengan memperhatikan ruas kanan pada persamaan (15) dimisalkan x = 1 + p^2α+1

2 . (18)

Selanjutnya persamaan (17) dan persamaan (18) disubstitusikan ke dalam per- samaan (15) diperoleh

σ(D)

D = 2x− 1

x . (19)

Kemudian persamaan (19) memenuhi definisi bilangan kurang sempurna, yaitu Definisi 7, sehingga dapat diketahui bahwa D merupakan bilangan kurang sempurna untuk suatu x∈ N.

Oleh karena itu, persamaan (6) ditulis

σ(D) = 2D− d, (20)

dengan d adalah salah satu bilangan pembagi yang berkurang (selain 1 dan D) dari D, yang dikenal sebagai pembagi berkurang dari D.

Jika digunakan kesetaraan Definisi 7, persamaan (6) dan persamaan (7), maka diperoleh

σ(D)

D =

2 (D

d )

− 1 D

d ,

σ(D) = 2D− d. (21)

Selanjutnya dapat dilihat bahwa persamaan (20) sama dengan persamaan (21) se- hingga persamaan (7) ditulis

d = D

x. (22)

Lalu disubstitusikan persamaan (16) dan persamaan (18) ke dalam persamaan (22), maka diperoleh

d = p^2αm² 1 + p^2α+1

2 ,

d = 2p^2αm²

1 + p^2α+1. (23)

Jadi, terbukti bahwa setiap bilangan sempurna ganjil dengan bentuk n = p^4α+1m² untuk suatu bilangan prima p ≡ 1 (mod 4), m ∈ N, α ≥ 0 dan p - m memiliki pembagi D = p^2αm² yang merupakan bilangan kurang sempurna dengan pembagi

berkurangnya d = 2p^2αm²

1 + p^2α+1. 2

Proposisi 9 Jika n bilangan ganjil dan σ(n)

n = 2x− 1

x untuk suatu x ∈ N, maka n adalah bilangan berpangkat.

Bukti. Dengan menggunakan persamaan (5), maka ditulis

σ(n)

n = 2x− 1 x ,

σ(n)x = (2x− 1)n. (24)

Apabila persamaan (24) dengan n adalah bilangan ganjil, maka dapat diketahui bahwa (2x−1)n adalah ganjil, sehingga mengakibatkan σ(n)x juga ganjil. Kemudian diberikan faktorisasi n yang ditulis sebagai berikut:

n =

∏r i=1

p^k_iⁱ, (25)

dengan p_i adalah bilangan prima dan k_i ∈ N. Jika persamaan (25) disubstitusikan ke σ(n)diperoleh

σ(n) = σ ( _r

∏

i=1

p^k_iⁱ )

. (26)

Dengan menggunakan sifat fungsi multiplikatif σ pada persamaan (1) ke dalam persamaan (26) diperoleh

σ(n) =

∏r i=1

σ(p^k_iⁱ), (27)

untuk menyelesaikan persamaan (27) disubstitusikan persamaan (2) sehingga dipero- leh

σ(n) =

∏r i=1

p_i^ki+1− 1 pi− 1 , σ(n) = p₁^k1+1− 1

p₁− 1 ·p₂^k2+1− 1

p₂− 1 · · ·p_r^kr+1− 1

p_r− 1 . (28)

Selanjutnya dengan menggunakan modulo 2 pada persamaan (28), maka dapat disetarakan menjadi

σ(n)≡ (ki+ 1)(mod 2).

Hal ini menunjukkan σ(n) adalah ganjil ketika semua eksponen ki genap untuk semua i yaitu ketika n bilangan berpangkat. Dengan demikian terbukti bahwa, jika n bilangan ganjil dan σ(n)

n = 2x− 1

x , maka n adalah bilangan berpangkat. 2

5. BILANGAN SEMPURNA GANJIL DAN BILANGAN DESCARTES DARI BILANGAN YANG KURANG SEMPURNA Pada bagian ini diberikan teorema tentang bilangan sempurna ganjil dan bilangan Descartes dari bilangan yang kurang sempurna.

Teorema 10 Jika d bilangan kurang sempurna ganjil dengan σ(d)

d = 2x− 1

x dan

fpb(d, 2x − 1) = 1, maka n = d(2x − 1) adalah bilangan sempurna ganjil atau bilangan Descartes. Khususnya, jika 2x− 1 adalah prima, maka n adalah bilangan sempurna ganjil. Sebaliknya, jika 2x − 1 bukan prima, maka n adalah bilangan Descartes.

Bukti. Diketahui d adalah bilangan kurang sempurna ganjil dengan σ(d)

d = 2x− 1

x , (29)

dan fpb(d, 2x− 1) = 1. Jika disubstitusikan n = d(2x − 1) ke dalam persamaan (3) diperoleh

σ(d(2x− 1)) = 2d(2x − 1). (30)

Oleh karena d(2x− 1) ̸= 0, maka persamaan (30) diperoleh

σ(d(2x− 1)) · 1

d(2x− 1) = 2d(2x− 1) · 1 d(2x− 1), σ(d(2x− 1))

d(2x− 1) = 2. (31)

Untuk menyelesaikan persamaan (31) digunakan sifat fungsi multiplikatif σ pada persamaan (1) sehingga diperoleh

σ(d)

d · σ(2x− 1)

2x− 1 = 2. (32)

Jika persamaan (29) disubsitusikan ke dalam persamaan (32), maka diperoleh

(2x− 1)

x · σ(2x− 1) 2x− 1 = 2, σ(2x− 1)

x = 2. (33)

Oleh karena bentuk pada persamaan (33), maka diperoleh n = d(2x − 1) adalah bilangan sempurna ganjil dengan 2x− 1 adalah bilangan prima.

Jika 2x− 1 bukan bilangan prima, maka persamaan (29) ditulis menjadi σ(d) = d(2x− 1)

x . (34)

Kemudian untuk memperoleh 2x− 1 bukan bilangan prima, maka ditulis

σ(d)((2x− 1) + σ(d) = σ(d)((2x − 1) + 1), (35) dengan mensubstitusikan persamaan (34) ke dalam persamaan (35) sehingga dipero-

leh d(2x− 1)

x · 2x = 2d(2x − 1). (36)

Oleh karena bentuk pada persamaan (36), maka diperoleh n = d(2x − 1) adalah bilangan Descartes dengan 2x− 1 bukan bilangan prima. 2

6. KESIMPULAN

Dari pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, diperoleh kesimpulan menge- nai sifat bilangan kurang sempurna bahwa bilangan sempurna ganjil dengan bentuk n = p^4α+1m² memiliki pembagi D = p^2αm² yang merupakan bilangan kurang sem- purna dengan pembagi berkurangnya d = 2p^2αm²

1 + p^2α+1. Selanjutnya, bilangan sem- purna ganjil dan bilangan Descartes dapat dibentuk menggunakan bilangan kurang sempurna ganjil.

Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M.Si.

yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] G. E. Andrews, Number Theory, W. B. Saundres Company, Philadelphia, 1971.

[2] W. D. Banks, A. M. G¨ulo˘glu, C. W. Nevans, dan F. Saidak, Descartes Numbers, Anatomy of Integers, 46 (2008), 167-173.

[3] D. M. Burton, Elementary Number Theory, Seventh Edition, McGraw Hill Com- panies, New York, 2011.

[4] B. Das dan K. Saikia, Some aspects of certain form of near perfect numbers, International Journal of Discrete Mathematics, 2 (2017), 64-67.

[5] J. A. Holdener, A theorem of touchard on the form of odd perfect numbers, The American Mathematical Monthly, 109 (2002), 661-663.

[6] J. Holdener dan E. Rachfal, Perfect and deficient perfect numbers, The Ameri- can Mathematical Monthly, 126 (2019), 541-546.

[7] T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, Second Edition, Else- vier Academic Press, London, 2007.

[8] K. H. Rosen, Elementary Number Theory and Its Applications, First Edition, Addison-Wesley Publishing Company, London, 1984.

[9] M. Tang dan M. Feng, On deficient-perfect number, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 90(2014), 186194.

[10] W. Sierpinski, Elementary Theory of Numbers, PWN-Polish Scientific Publish- ers, Warszawa, 1988.