BEBERAPA KEKONGRUENAN BILANGAN HARMONIK DAN BILANGAN BERNOULLI KARYA ILMIAH OLEH ARIANTO DANDRES NIM

(1)

BEBERAPA KEKONGRUENAN BILANGAN HARMONIK DAN BILANGAN BERNOULLI

KARYA ILMIAH

OLEH

ARIANTO DANDRES NIM. 1403115054

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

(2)

BEBERAPA KEKONGRUENAN BILANGAN HARMONIK DAN BILANGAN BERNOULLI

Arianto Dandres

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

arianto.dandres@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This articel discusses some congruences on harmonic numbers and Bernoulli numbers. The study is completed using several harmonic identities, congruence modulo properties and algebraic calculations. Futhermore it can be proven that the congruence of the multiplication of the binomial sums and harmonic numbers with Bernoulli numbers. This is a review of article of He [Periodica Mathematica Hungarica, 74 (2017), 67-72].

Keywords: Bernoulli numbers, harmonic numbers, congruence modulo, binomial sum

ABSTRAK

Artikel ini membahas beberapa kekongruenan bilangan harmonik dan bilangan Ber- noulli. Pembuktian diselesaikan dengan menggunakan beberapa identitas bilangan harmonik, sifat-sifat kongruen modulo dan perhitungan secara aljabar. Selanjut- nya dapat dibuktikan kongruensi perkalian jumlah binomial dan bilangan harmonik dengan bilangan Bernoulli. Artikel ini merupakan kajian ulang dari artikel He [Pe- riodica Mathematica Hungarica, 74 (2017), 67-72].

Kata kunci: Bilangan Bernoulli, bilangan harmonik, kongruen modulo, penjumlahan binomial

1. PENDAHULUAN

Matematika adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, akurat dan direpresentasinya dengan simbol. Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung masalah terbuka yang dapat dengan mudah untuk dimengerti.

Pada pengantar teori bilangan terdapat banyak pembahasan, diantaranya keter- bagian, algoritma Euclidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, fak- torisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, serta tentang bilangan sempurna dan

(3)

kongruensi. Teori bilangan juga membahas mengenai bilangan harmonik, bilangan bernoulli dan bilangan lainnya. Menurut Chu dan Donno [2] bilangan harmonik merupakan suatu penjumlahan parsial berupa deret harmonik yang dinyatakan dengan:

H₀(x) = 0 dan H_n(x) =

∑n k=1

1

x + k untuk setiap n = 1, 2, . . . .

Untuk keadaan tertentu, yaitu jika x = 0 maka bilangan harmonik dapat dinyatakan sebagai berikut:

H0 = 0 dan Hn =

∑n k=1

1

k untuk setiap n = 1, 2, . . . .

Selain penjumlahan parsial pada bilangan harmonik dapat juga mengguna-kan notasi faktorial yang disebut koefisien binomial. Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua variabel yang dipangkatkan. Yaqaubi dan Mirzavaziri [11] menjelaskan bahwa koefisien binomial merupakan golongan penting dari bilangan yang muncul secara natural dalam matematika, yang dinamakan koefisien dari ekspansi polinomial (x + y)ⁿ. Koshy [5, h. 33] menjelaskan istilah koefisien binomial diperkenalkan oleh seorang aljabarwan Jerman bernama Michel Stifel dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Integra.

Salah satu pembahasan yang penting dalam teori bilangan adalah kongruensi.

Kongruensi diperkenalkan oleh ahli matematika Jerman, yaitu Karl Friedrich Gauss dalam bukunya yang berjudul Disquistiones Arithmeticae [1, h. 61]. Kongruensi memiliki banyak sifat-sifat menarik yang berkaitan dengan kesetaraan, sehingga bukan kebetulan kongruensi dinotasikan dengan ≡.

Beberapa penulis telah banyak mengembangkan artikel-artikel yang membahas kongruen, bilangan harmonik dan bilangan bernoulli. Sun dan Zhao [9] menjelaskan tentang kongruen tertentu yang tidak dapat diubah. Sun [7, 8] juga membahas dan mempelajari sifat aritmatika dari sistematis bilangan harmonik. Termotivasi oleh karya Sun, He [3] menulis sebuah artikel yang menyebutkan bahwa ia menemukan kongruensi baru pada bilangan harmonik dan kongruensi dari bilangan binomial yang ditegaskan oleh Swisher [10].

Didalam artikel ini dibahas lebih lanjut beberapa kekongruenan pada bilangan harmonik dan bilangan bernoulli. Artikel ini merupakan kajian ulang dari artikel He [3]. Secara umum artikel ini terdiri dari enam bagian. Bagian 1 merupakan pendahuluan yang berisikan latar belakang serta gambaran umum tentang permasalahan yang dibahas. Bagian 2 dan 3 merupakan beberapa teori pendukung dan definisi dasar yang digunakan dalam pembahasan Bagian 4 dan 5. Sedangkan pada Bagian 4 dan 5 dijelaskan inti permasalahan, yaitu memperoleh beberapa kekongruenan bilangan harmonik dan bernoulli. Artikel ini diakhiri dengan Bagian 6 yang berisi kesimpulan sesuai dengan pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya.

(4)

2. KEKONGRUENAN BILANGAN BERNOULLI

Berikut ini diberikan beberapa teorema dan akibat yang sangat penting dan mendukung pembuktian teorema selanjutnya.

Teorema 1 [6] Untuk p bilangan prima p > 3 dan jika k ∈ {1, 2, . . . , p − 4} maka berlaku

p−1

∑

x=1

1 x^k ≡

{_k(k+1)

2

Bp−2−k

p−2−kp² mod p³ untuk k ganjil, k

(B2p−2−k

2p−2−k − 2^B_p_−1−k^p^−1−k)

p mod p³ untuk k genap. (1) Bukti. Bukti dari Teorema 1 dapat dilihat pada Sun [6]. 2

Akibat 2 [6] Misalkan p suatu bilangan prima yang lebih besar dari pada 3 dan k∈ {1, 2, . . . , p − 1}, lalu

p−1

∑

x=1

1 x^k ≡

{ k

k+1pB_p_−1−k(mod p²) untuk k < p− 1,

−pBp−1+ 2 (p− 1) (mod p²) untuk k = p− 1. (2) Bukti. Bukti dari Akibat 2 dapat dilihat pada Sun [6]. 2

Teorema 3 [9] Untuk p suatu bilangan prima p > 3 dan jika k∈ {1, 2, . . . , p − 1}, berlaku

∑

1≤j<k≤p−1

1

jk ≡ −p

3B_p₋₃ mod p². (3)

Bukti. Bukti dari Teorema 3 dapat dilihat pada Sun dan Zhao [9]. 2 3. IDENTITAS HARMONIK

Berikut ini diberikan proposisi yang sangat penting dan mendukung pembuktian teorema selanjutnya.

Proposisi 4 [4] Untuk bilangan bulat positif n dan m, berlaku

∑n k=0

(−1)^k−1 (n

k )

H_k^(m+1) = 1 n

∑

1≤j¹≤j²≤···≤j^m≤n

1 j₁j₂· · · jm

. (4)

Bukti. Bukti dari proposisi 4 dapat dilihat pada Jin dan Du [4]. 2 4. KEKONGRUENAN BILANGAN HARMONIK

Berikut ini lema yang dibuktikan pada artikel ini.

(5)

Lema 5 [7] Untuk p bilangan prima ganjil berlaku

H_p_−k ≡ Hk−1(mod p), (5)

untuk setiap k = 1, . . . , p− 1. Jika p > 3, maka diperoleh

p−1

∑

k=1

H_k≡ 1 − p (mod p³). (6)

Bukti. Untuk k∈ {1, 2, . . . , p − 1} diperoleh H_p_−k =

p−k

∑

j=1

1 j,

= Hp−1−

k−1

∑

j=1

1 p− k + j,

≡

k−1

∑

j=1

1

k− j(mod p), H_p_−k ≡ Hk−1(mod p).

Dengan demikian Lema 5 persamaan (5) terbukti.

Kemudian untuk kongruen persamaan (6) diperoleh

p−1

∑

k=1

H_k =

p−1

∑

k=1

∑k j=1

1 j,

=

p−1

∑

j=1

1 j

p−1

∑

k=j

1,

=

p−1

∑

j=1

p− j j ,

= pH_p₋₁− (p − 1),

p−1

∑

k=1

H_k ≡ 1 − p (mod p³).

Dengan demikian Lema 5 persamaan (6) terbukti. 2

5. KEKONGRUENAN BILANGAN HARMONIK DAN BILANGAN BERNOULLI

Berikut ini beberapa lema dan teorema yang dibuktikan pada artikel ini.

(6)

Lema 6 [3] Untuk p > 3 bilangan prima, berlaku

H_p₋₁ ≡ −p²

3B_p₋₃ mod p³ (7)

dan

H_p⁽²⁾₋₁ ≡ 2p

(B_2p₋₄

2p− 4 −2B_p₋₃ p− 3

)

mod p³. (8)

Bukti. Berdasarkan Teorema 1 untuk k = 1 diperoleh

p−1

∑

x=1

1

x ≡1(1 + 1) 2

B_p₋₂₋₁

p− 2 − 1p² (mod p³),

≡Bp−3

p− 3p² (mod p³),

p−1

∑

x=1

1 x ≡ p²

p− 3B_p₋₃ (mod p³), (9)

selanjutnya persamaan (9) dapat ditulis Hp−1 ≡ −p²

3Bp−3 mod p³, sehingga persamaan (7) terbukti.

Selanjutnya dengan menerapkan persamaan (1) untuk bilangan genap k = 2 diperoleh

p−1

∑

x=1

1 x² = 1

1² + 1

2² +· · · + 1 (p− 1)²,

≡ 2

( B_2p₋₂₋₂

2p− 2 − 2 − 2 B_p₋₁₋₂ p− 1 − 2

)

p mod p³,

p−1

∑

x=1

1 x² ≡ 2

(B2p−4

2p− 4− 2Bp−3

p− 3 )

p mod p³. (10)

Berdasarkan persamaan bilangan harmonik untuk n = p− 1 dan m = 2 persamaan (10) dapat ditulis menjadi,

H_p⁽²⁾₋₁ ≡ 2p

(B_2p₋₄

2p− 4 −2B_p₋₃ p− 3

)

mod p³,

sehingga persamaan (8) terbukti, dengan demikian Lema 6 terbukti. 2

(7)

Lema 7 [9] Untuk p bilangan prima p > 3 maka berlaku

p−1

∑

k=1

H_k k ≡ p

3B_p₋₃ mod p². (11)

Bukti. Ruas kiri dari persamaan (11) adalah

p−1

∑

k=1

H_k k =

p−1

∑

k=1

1 k(H_k),

= 1 1

(1 1

) +1

2 (1

1+ 1 2

)

+· · · + 1 p− 1

(1 1+ 1

2+· · · + 1 p− 1

) ,

= 1 1

(1 1

) +1

2 (1

2 )

+· · · + 1 p− 1

( 1 p− 1

) + 1

1 (1

2 )

+1 1

(1 3

)

+· · · +1 1

( 1 p− 1

) +1

2 (1

3 )

+· · · + 1 2

( 1 p− 1

)

+· · · + 1 p− 2 ( 1

p− 1 )

,

p−1

∑

k=1

H_k k =

p−1

∑

k=1

1 k² +

p−1

∑

1≤j<k≤p−1

1

jk. (12)

Diketahui bahwa pada akibat 2 untuk k = 2 diperoleh

p−1

∑

k=1

1 k² ≡ 2

3pB_p₋₃ mod p². (13)

Kemudian dengan mensubstitusi ke persamaan (13) dan persamaan (3) pada persamaan (12) diperoleh

p−1

∑

k=1

H_k k ≡ 2

3pB_p₋₃− p

3B_p₋₃ = p

3B_p₋₃ mod p².

Persamaan (11) Lema 7 terbukti. Dengan demikian Lema 7 terbukti. 2 Teorema 8 [3] Untuk p > 3 suatu bilangan prima, berlaku

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽²⁾≡ p²

3B_p₋₃ mod p³, (14)

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾≡ −p

3B_p₋₃ mod p². (15)

(8)

Bukti. Penerapan Lema 4 dengan n = p− 1 diperoleh

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k^(m+1) = 1 p− 1

∑

1≤j1≤j2≤···≤jm≤p−1

1 j₁j₂· · · jm

. (16)

Ambil m = 1 maka persamaan (16) menjadi

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽¹⁺¹⁾ = 1 p− 1

∑

1≤j≤p−1

1

j, (17)

karena Hp−1 =∑

1≤j≤p−1 1

j persamaan (17) menjadi

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽²⁾ = H_p₋₁

p− 1. (18)

Selanjutnya dengan mensubstitusi persamaan (7) pada persamaan (18) diperoleh

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽²⁾ ≡ −^p₃²B_p₋₃ p− 1

(mod p³) ,

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽²⁾ ≡ − 1 p− 1

p² 3 B_p₋₃(

mod p³)

, (19)

karena -1/(p− 1) mod p³ ≡ 1, maka persamaan (19) dapat ditulis

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽²⁾ ≡ p²

3B_p₋₃mod p³. Dengan demikian persamaan (14) terbukti.

Ambil m = 2 pada persamaan (16), sehingga diperoleh

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽²⁺¹⁾ = 1 p− 1

∑

1≤j1≤j2≤p−1

1 j1j2

,

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾ = 1 p− 1

( 1

1· 1 + 1

1· 2+ 1

2· 2 + 1

1· 3 + 1

2· 3+ 1 3· 3 +· · · + 1

1· (p − 1) + 1

2· (p − 1) + 1 3· (p − 1) +· · · + 1

(p− 1) · (p − 1) )

,

(9)

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾ = 1 p− 1

( 1

1· 1+ 1

2· 2+· · · + 1

(p− 1) · (p − 1) + 1

1· 2 + 1

1· 3 +· · · + 1 1· (p − 1) + 1

2· 3 + 1

2· 4 +· · · + 1 2· (p − 1) +· · · + 1

(p− 2) · (p − 1) )

,

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾ = 1 p− 1

(_p₋₁

∑

k=1

1

k² + ∑

1≤j<k≤p−1

1 jk

) ,

atau berdasarkan persamaan (12) dapat ditulis

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾ = 1 p− 1

p−1

∑

k=1

H_k

k , (20)

dengan menggabungkan persamaan (20) dan (11) diperoleh

p−1

∑

k=1

(−1)^k−1

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾ ≡ 1 p− 1

(p

3B_p₋₃ mod p² )

, (21)

karena 1/(p− 1) mod p² =−1, maka persamaan (21) dapat ditulis

p−1

∑

k=1

(−1)^k⁻¹

(p− 1 k

)

H_k⁽³⁾ ≡ −p

3B_p₋₃ mod p²,

yang membuktikan persamaan (15). Jadi Teorema 8 terbukti. 2 Contoh 1 Misalkan p = 5, akan ditunjukkan bahwa penyataan (14) dan (15) ter- penuhi. Kemudian dengan mensubstitusikan nilai p pada persamaan (14) diperoleh

∑4 k=1

(−1)^k−1 (4

k )

H_k⁽²⁾ ≡ 5² 3B₅₋₃, (1)(4)

∑1 k=1

1

k² + (−1)(6)

∑2 k=1

1

k² + (1)(4)

∑3 k=1

1

k² + (−1)(1)

∑4 k=1

1 k² ≡ 25

3 B2, 4−

(15 2

) +

(49 9

)

− (205

144 )

≡ 25 3

(1 6

) , 25

48 ≡ 25 18,

(10)

sehingga diperoleh

25 48 ≡ 25

18 mod 125. (22)

Selanjutnya kedua ruas persamaan (22) dikalikan dengan 48 dan 18 sehingga diperoleh,

25

48· 48 · 18 ≡ 25

18· 48 · 18 mod 125, 450≡ 1200 mod 125, 125| (450 − 1200), 125| − 750.

Kemudian dengan mensubstitusikan nilai p pada persamaan (15) diperoleh

∑4 k=1

(−1)^k⁻¹ (4

k )

H_k⁽³⁾≡ −5 3B₅₋₃, (1)(4)

∑1 k=1

1

k³ + (−1)(6)

∑2 k=1

1

k³ + (1)(4)

∑3 k=1

1

k³ + (−1)(1)

∑4 k=1

1

k³ ≡ −5 3B2, 4− 54

8 +1004

216 − 2035 1728 ≡ −5

3 ·1 6, 415

576 ≡ − 5 18, sehingga diperoleh

415

576 ≡ − 5

18 mod 25. (23)

Selanjutnya kedua ruas pada persamaan (23) dikalikan dengan 576 sehingga diperoleh,

415

576 · 576 ≡ − 5 18· 576, 415≡ −160 mod 25,

25| (415 + 160), 25| 575.

Dengan demikian persamaan (14) dan (15) terpenuhi.

6. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dibuktikan, dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan identitas bilangan harmonik, sifat-sifat kongruen modulo dan

(11)

perhitungan aljabar dapat menyelesaikan kongruensi perkalian jumlah binomial dan bilangan harmonik dengan bilangan Bernoulli, serta membuktikan kekongruenan penjumlahan dari perkalian bilangan harmonik dan jumlah binomial dengan selisih bilangan Bernoulli.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Musraini M., M.Si. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penu-lisan kertas kerja ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] D. M. Burton, Elementary Number Theory, Seventh Edition, The Mc Graw Hill, New York, 2011.

[2] W. Chu dan L. D. Donno, Hypergeometric series and harmonic number identi- ties, Applied Mathematics, 34 (2005), 123–137.

[3] B. He, Some congruences on harmonic numbers and binomial sums, Periodica Mathematica Hungarica, 74 (2017), 67–72.

[4] H. T. Jin dan D. K. Du, Abels lemma and identities on harmonic numbers, Combinatorics, 15 (2015), 1–11.

[5] T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, Second Edition, Else- vier Academic Press, London, 2007.

[6] Z. H. Sun, Congruences concerning Bernoulli numbers and Bernoulli polyno- mials, Discrete Applied Mathematics, 105 (2000), 193–223.

[7] Z. W. Sun, Arithmetic theory of harmonic numbers, Proceedings of the Ameri- can Mathematical Society, 140 (2012), 415–428.

[8] Z. W. Sun, On harmonic numbers and Lucas sequences, Publicationes Mathe- maticae Debrecen, 80 (2012), 25–41.

[9] Z. W. Sun dan L. L. Zhao, Arithmetic theory of harmonic numbers (II ), Col- loquium Mathematicum, 130 (2013), 67–78.

[10] H. Swisher, On the supercongruence conjectures of van Hamme, Research in the Mathematical Sciences, 2 (2015), 1–21.

[11] D. Yaqaubi dan M. Mirzavaziri, Some divisibility properties of binomial coeﬃ- cients, Journal of Combinatorics, 183 (2013), 1–14.