SIFAT AKAR DIGITAL PADA BILANGAN BERPANGKAT DALAM ARITMATIKA KARYA ILMIAH OLEH ROSA KHAIRUN NISA NIM

SIFAT AKAR DIGITAL PADA BILANGAN BERPANGKAT DALAM ARITMATIKA

KARYA ILMIAH

OLEH

ROSA KHAIRUN NISA NIM. 1503123253

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2019

SIFAT AKAR DIGITAL PADA BILANGAN BERPANGKAT DALAM ARITMATIKA

Rosa Khairun Nisa

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

rosakhairunnisa16@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses several properties of digital roots of powers of numbers. The digital root of number is one digit value which obtained by calculating the sum of each digit iteratively until one digit number is obtained. Several interesting properties of digital root of powers of numbers are applied to calculate the digital root of perfect numbers, Fermat numbers and powers of numbers in an arithmetic progression. This article is a review part of articles of Izmirli [Advances in Pure Mathematics, 4 (2014), 295-301]

Keywords: Digital roots, perfect numbers, Fermat numbers ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang beberapa sifat akar digital bilangan berpangkat. Akar digital dari suatu bilangan merupakan nilai satu digit yang diperoleh dengan cara menghitung penjumlahan dari tiap digit bilangan berulang kali hingga diperoleh satu digit bilangan. Beberapa sifat menarik dari akar digital bilangan berpangkat digunakan untuk menghitung akar digital dari bilangan sempurna, bilangan Fermat dan bilangan berpangkat pada suatu deret aritmatika. Artikel ini merupakan kajian ulang dari sebagian artikel Izmirli [Advances in Pure Mathematics, 4 (2014), 295- 301]

Kata kunci: Akar digital, bilangan sempurna, bilangan Fermat 1. PENDAHULUAN

Teori bilangan merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas sifat-sifat bilangan secara lebih luas. Di dalam buku Gardner [4, h. 9] dijelaskan bahwa matematika berhubungan dengan sifat tertentu dari suatu bilangan dan kegunaannya dalam kreasi matematika selalu membuat para ilmuwan dan matematikawan tertarik. Di dalam suatu bilangan dikenal istilah akar digital.

Akar digital terwujud dalam beragam aplikasi, di dalam buku Ghannam [5, h. 14]

salah satunya yaitu numerologi.

Akar digital juga berhubungan dengan persistensi aditif. Persistensi aditif adalah banyaknya operasi penjumlahan yang dilakukan hingga memperoleh akar digital. Pembahasan akar digital melibatkan beberapa bilangan, tetapi pada penelitian ini membahas bilangan berpangkat khususnya bilangan sempurna, bilangan Fermat dan bilangan berpangkat pada suatu deret aritmatika. Adapun beberapa bilangan sempurna pertama adalah

6, 28, 496, 8128, . . . . Kemudian beberapa bilangan Fermat pertama adalah

3, 5, 17, 257, . . . .

Selanjutnya di dalam artikel ini membahas penerapan sifat akar digital pada bilangan berpangkat khususnya bilangan sempurna, bilangan Fermat dan bilangan berpangkat pada suatu deret aritmatika. Artikel ini merupakan kajian ulang dari sebagian artikel Izmirli [6].

2. AKAR DIGITAL

Di dalam artikel Vyawahare [9] dijelaskan bahwa akar digital dari bilangan asli n diperoleh dengan cara menghitung penjumlahan dari tiap digitnya, kemudian proses ini berlanjut hingga diperoleh satu digit angka. Inilah yang disebut dengan akar digital yang dinotasikan dengan ρ(n). Jika 1 ≤ n ≤ 9, maka diperoleh

ρ(1) = 1, ρ(6) = 6,

ρ(2) = 2, ρ(7) = 7,

ρ(3) = 3, ρ(8) = 8,

ρ(4) = 4, ρ(9) = 9.

ρ(5) = 5,

Konsep akar digital menggunakan ide dimana untuk setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 9 dapat direduksi menjadi satu digit angka. Di dalam artikel Gar- diner [3] dijelaskan bahwa akar digital setara dengan modulo 9.

Definisi 1 [1] Akar digital dari suatu bilangan adalah ρ : N → D dengan N ∈ N, D= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan ρ(n) merupakan penjumlahan digit hingga diperoleh satu digit angka.

Teorema 2 [6] Misalkan n merupakan bilangan asli dan s(n) dinotasikan sebagai jumlah dari digit n. Pada sejumlah langkah yang terbatas, barisan s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), . . . menjadi konstan.

Bukti. Teorema 2 telah dibuktikan dan dapat dilihat di dalam artikel Izmirli [6].

Definisi 3 [6] Misalkan ρ(n) dinotasikan sebagai nilai konstan dari barisan s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), . . . yang konvergen. Kemudian ρ(n) disebut akar digital dari n.

Akar digital memiliki beberapa sifat menarik yaitu sebagai berikut:

Sifat 1.

ρ(n) =

(9, jika n mod 9 = 0,

nmod 9, lainnya .

Sifat 2. Jika m, n bilangan bulat maka

ρ(m + n) = ρ(ρ(m) + ρ(n)).

Sifat 3. Untuk n ∈ Z berlaku

ρ(n) = n − 9j n 9 k

,

dengan ⌊x⌋ bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x.

Sifat 4. Jika m, n bilangan bulat maka

ρ(mn) = ρ(ρ(m)ρ(n)).

Sifat 5. ρ(ρ(n)) = ρ(n).

3. AKAR DIGITAL PADA BILANGAN BERPANGKAT

Pada bagian ini dibahas akar digital pada bilangan berpangkat yang dinyatakan dalam beberapa Proposisi.

Proposisi 1 [6] Akar digital dari bilangan kuadrat adalah 1, 4, 7, atau 9.

Bukti. Misalkan x adalah bilangan bulat positif, dengan menggunakan sifat 4 diperoleh

ρ(x²) = ρ(ρ(x)ρ(x)).

Untuk 1 ≤ x ≤ 9 diperoleh

ρ(1²) = ρ(ρ(1)ρ(1)) = ρ(1 · 1) = ρ(1) = 1, ρ(2²) = ρ(ρ(2)ρ(2)) = ρ(2 · 2) = ρ(4) = 4, ρ(3²) = ρ(ρ(3)ρ(3)) = ρ(3 · 3) = ρ(9) = 9, ρ(4²) = ρ(ρ(4)ρ(4)) = ρ(4 · 4) = ρ(16) = 7, ρ(5²) = ρ(ρ(5)ρ(5)) = ρ(5 · 5) = ρ(25) = 7, ρ(6²) = ρ(ρ(6)ρ(6)) = ρ(6 · 6) = ρ(36) = 9, ρ(7²) = ρ(ρ(7)ρ(7)) = ρ(7 · 7) = ρ(49) = 4,

ρ(8²) = ρ(ρ(8)ρ(8)) = ρ(8 · 8) = ρ(64) = 1, ρ(9²) = ρ(ρ(9)ρ(9)) = ρ(9 · 9) = ρ(81) = 9.

Jadi, untuk 1 ≤ x ≤ 9 akar digitalnya adalah salah satu dari 1, 4, 7, atau 9.

Kemudian untuk bilangan x > 9 hasilnya berulang mengikuti akar digital yang

diperoleh pada pembuktian ini. ✷

Proposisi 2 [6] Akar digital pada bilangan kubik sempurna adalah 1, 8, atau 9.

Bukti. Misalkan x adalah bilangan bulat positif, dengan menggunakan sifat 4 diperoleh

ρ(x³) = ρ(ρ(x²)ρ(x)), ρ(x³) = ρ(ρ(x)ρ(x)ρ(x)).

Untuk 1 ≤ x ≤ 9 diperoleh

ρ(1³) = ρ(ρ(1)ρ(1)ρ(1)) = ρ(1 · 1 · 1) = ρ(1) = 1, ρ(2³) = ρ(ρ(2)ρ(2)ρ(2)) = ρ(2 · 2 · 2) = ρ(8) = 8, ρ(3³) = ρ(ρ(3)ρ(3)ρ(3)) = ρ(3 · 3 · 3) = ρ(27) = 9, ρ(4³) = ρ(ρ(4)ρ(4))ρ(4) = ρ(4 · 4 · 4) = ρ(64) = 1, ρ(5³) = ρ(ρ(5)ρ(5)ρ(5)) = ρ(5 · 5 · 5) = ρ(125) = 8, ρ(6³) = ρ(ρ(6)ρ(6)ρ(6)) = ρ(6 · 6 · 6) = ρ(216) = 9, ρ(7³) = ρ(ρ(7)ρ(7)ρ(7)) = ρ(7 · 7 · 7) = ρ(343) = 1, ρ(8³) = ρ(ρ(8)ρ(8)ρ(8)) = ρ(8 · 8 · 8) = ρ(512) = 8, ρ(9³) = ρ(ρ(9)ρ(9)ρ(9)) = ρ(9 · 9 · 9) = ρ(729) = 9.

Jadi, untuk 1 ≤ x ≤ 9 akar digitalnya adalah salah satu dari 1, 8, atau 9. Kemudian untuk bilangan x > 9 hasilnya berulang mengikuti akar digital yang diperoleh pada

pembuktian ini. ✷

Proposisi 3 [6] Akar digital untuk setiap x bilangan bulat positif dan bilangan x+ 9k berlaku

ρ((x + 9k)^r) = ρ(x^r).

dengan k dan r merupakan bilangan asli.

Bukti. Ini terjadi karena jika 0 ≤ x ≤ 9 dan k dan r bilangan asli, maka ρ((x + 9k)^r) = ρ (x + 9k)(x + 9k) · · · (x + 9k)

| {z }

r

,

= ρ ((ρ(x) + ρ(9k))(ρ(x) + ρ(9k)) · · · (ρ(x) + ρ(9k))) ,

= ρ ((ρ(x) + 9k mod 9)(ρ(x) + 9k mod 9) · · · (ρ(x) + 9k mod 9)) , ρ((x + 9k)^r) = ρ (x^r) .

Jadi, terbukti bahwa ρ((x + 9k)^r) = ρ(x^r). ✷ 4. AKAR DIGITAL PADA BILANGAN SEMPURNA

Di dalam buku Burton [2, h.221] dijelaskan mengenai bilangan sempurna, seperti yang dinyatakan dalam definisi berikut.

Definisi 4 [2, h. 221] Suatu bilangan bulat positif n dikatakan sempurna jika n sama dengan jumlah semua pembagi positifnya, tidak termasuk n itu sendiri.

Teorema 5 (Euclid) [7, h. 375] Jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar sama dengan 2, dengan 2ⁿ − 1 adalah prima maka N = 2ⁿ⁻¹(2ⁿ− 1) adalah bilangan sempurna.

Bukti. Teorema 5 telah dibuktikan dan dapat dilihat di dalam Koshy [7, h. 375].

✷

Proposisi 4 [6] Akar digital dari bilangan sempurna genap (kecuali 6) adalah 1.

Bukti. Bilangan sempurna memiliki bentuk N = 2^p−1(2^p− 1),

dengan 2^p− 1 adalah prima. Kemudian dengan mengambil x = 2^p−1, diperoleh ρ(N ) = ρ(2^p(2^p−1) − 2^p−1).

Kemudian karena 2x = 2^p, diperoleh

ρ(N ) = ρ((2x)(x) − x) = ρ(2x²− x) = ρ(ρ(2x²) − ρ(x)), ρ(N ) = 2ρ(x)ρ(x) − ρ(x).

Selanjutnya diperoleh

ρ(N ) = 2ρ(x)ρ(x) − ρ(x),

dan ρ(x) = 2^p−1. Selanjutnya dengan mengambil p = 3, 5, 7, 11, 13, . . . yang meru- pakan bilangan prima diperoleh

ρ(x) = 4, 7, 1, 7, 1, . . . .

Kemudian dengan mensubstitusikan nilai ρ(x) ke 2ρ(x)ρ(x) diperoleh 2ρ(x)ρ(x) = 5, 8, 2, 8, 2, . . . .

Jadi,

ρ(N ) = (1, 1, 1, 1, . . .),

dan terbukti bahwa akar digital pada bilangan sempurna genap (kecuali 6) adalah

1. ✷

5. AKAR DIGITAL PADA BILANGAN FERMAT Bilangan Fermat merupakan bilangan bulat dengan bentuk umum

F_n = 2²ⁿ+ 1, n≥ 0,

dengan n adalah bilangan bulat positif. Pemeriksaan beberapa bilangan Fermat pertama F⁰ = 3, F¹ = 5, F² = 17, F³ = 257, F⁴ = 655373 menunjukkan bahwa untuk n≥ 1, ρ(Fn) adalah 5 jika n adalah ganjil dan 8 jika n genap.

Teorema 6 [6] Misalkan Fn merupakan bilangan Fermat ke-n. Kemudian,

ρ(Fn) =

(5, jika n ganjil, 8, jika n genap .

Bukti. Teorema 6 dibuktikan dengan teknik pembuktian induksi matematika di dalam buku Rosen [8, h. 312-313] dan buktinya dapat dilihat di dalam artikel

Izmirli [6]. ✷

6. AKAR DIGITAL PADA BILANGAN BERPANGKAT DALAM DERET ARITMATIKA

Pada bagian ini dibahas akar digital pada bilangan berpangkat dalam deret aritmatika yang dinyatakan dalam beberapa Proposisi, Teorema dan Akibat sebagai berikut.

Proposisi 5 [6] Misalkan k, m dan n merupakan tiga bilangan bulat positif beru- rutan dalam deret aritmatika dengan selisih d. Misalkan

x= k³ + m³+ n³. Jika d bukan kelipatan tiga, maka ρ (x) = 9.

Bukti. Proposisi 5 telah dibuktikan dan dapat dilihat di dalam artikel Izmirli [6].

✷

Teorema 7 [6] Misalkan q bilangan kelipatan tiga dan n¹, n2, . . . , n_q merupakan q suku berurutan dari suatu deret aritmatika yang memiliki selisih d yang bukan kelipatan tiga. Jika

x= n³1+ n³2+ · · · + n³_q, maka ρ (x) = 9.

Bukti. Misalkan q = 3k dengan k = 1, 2, 3, . . ., kemudian x= n³1+ n³2+ · · · + n³3k.

Selanjutnya, misalkan n¹ = n² − d dan n³k = n² + (3k − 2) d sehingga dengan menggunakan aplikasi maple diperoleh

x= (n²− d)³+ n³2+ · · · + (n²+ (3k − 2)d)³,

x= 3 n³2− 3n²2d+ 5n²d²− 3d³+ 3n²2dk+ 9n²d²k²− 12n²d²k+ · · · + 12d³k
. Misalkan x = 3p dengan p = (n³2− 3n²2d+ 5n²d²− 3d³+ 3n²2dk+ 9n²d²k²− 12n²d²k+

· · · + 12d³k). Untuk membuktikan ρ(x) = 9, ditunjukkan bahwa p habis dibagi 3 oleh sebarang n² dan d bilangan asli yang bukan kelipatan tiga. Jadi, misalkan terdapat dua kasus.

Kasus 1. Misalkan n² = 3r + 1, pada kasus ini

p= (3r + 1)³− 3 (3r + 1)²d+ 5 (3r + 1) d²− 3d³+ · · · + 12d³k, p= 27r³+ 27r²+ 9r + 1 − 27dr²− 18dr − 3d + · · · + 12d³k.

Kemudian dengan mengambil d = 3s − 1 diperoleh

p= 27r³+ 27r²+ 9r + 1 − 27 (3s − 1) r²− · · · + 12 (3s − 1)³k,

p= 3 9r³+ 18r²+ 42s² + 9k²− 3k³− 27s³+ · · · + 9k²r− 22s + 14r − 9k
. Kasus 2. Misalkan n² = 3r + 2, pada kasus ini

p= (3r + 2)³− 3 (3r + 2)²d+ 5 (3r + 2) d²− 3d³+ · · · + 12d³k,

p= 27r³+ 54r²+ 36r + 8 − 27dr²− 36dr − 12d + · · · − 18d³k²+ 12d³k.

Kemudian dengan mengambil d = 3s − 1, diperoleh

p= 27r³+ 54r²+ 36r + 8 − 27 (3s − 1) r²− · · · + 12 (3s − 1)³k, p= 3 9r³+ 27r²+ 57s²+ 12k²− 3k³− 27s³+ · · · − 41s + 29r − 16k

. Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2 diperoleh p habis dibagi 3 untuk m dan d bilangan asli yang bukan kelipatan tiga, sehingga x = 3p dengan p bilangan yang habis dibagi

3, jadi terbukti bahwa ρ (x) = 9. ✷

Kemudian berdasarkan Teorema 7 diberikan kasus untuk d = 1 dan d = 2 seperti yang dijelaskan dalam Akibat berikut.

Akibat 8 [6] Misalkan q merupakan kelipatan tiga. Kemudian dengan mengambil d = 1, diperoleh penjumlahan bilangan pangkat tiga dari bilangan bulat q yang berurutan habis dibagi 9. Selanjutnya dengan mengambil d = 2, diperoleh penjumlahan bilangan pangkat tiga dari bilangan ganjil (bilangan genap) q berurutan yang habis dibagi 9.

Bukti. Untuk membuktikan Akibat 8, digunakan bukti pada Teorema 7. Misalkan q= 3k dengan k = 1, 2, 3, . . ., kemudian

x= n³1+ n³2+ · · · + n³3k.

Selanjutnya, misalkan n¹ = n² − d dan n³k = n² + (3k − 2) d sehingga dengan menggunakan aplikasi maple diperoleh

x= 3 n³2− 3n²2d+ 5n²d²− 3d³+ 3n²2dk+ 9n²d²k²− 12n²d²k+ · · · + 12d³k
. Misalkan x = 3p dengan p = (n³2− 3n²2d+ 5n²d²− 3d³+ 3n²2dk+ 9n²d²k²− 12n²d²k+

· · · + 12d³k). Untuk membuktikan x habis dibagi 9, ditunjukkan bahwa p habis dibagi 3 oleh sebarang n² bilangan asli yang bukan kelipatan tiga dan d = 1 serta d= 2. Jadi, misalkan terdapat dua kasus.

Kasus 1. Misalkan n² = 3r + 1, diperoleh

p= (3r + 1)³− 3 (3r + 1)²d+ 5 (3r + 1) d²− 3d³+ · · · + 12d³k, p= 27r³+ 27r²+ 9r + 1 − 27dr²− 18dr − 3d + · · · + 12d³k.

Selanjutnya dengan mengambil d = 1, diperoleh

p= 27r³+ 27kr²+ 6r − 18kr + 3k + 27k²r− 9k²+ 9k³, p= 3(9r³+ 9kr²+ 2r − 6kr + k + 9k²r− 3k²+ 3k³).

Jadi, karena p habis dibagi 3, artinya x habis dibagi 9. Selanjutnya dengan mengambil d = 2, diperoleh

p= 27r³− 27r²+ 33r − 9 + 54kr²− 108kr + 54k + 108k²r− 108k²+ 72k³, p= 3(9r³− 9r²+ 11r − 3 + 18kr²− 36kr + 18k + 36k²r− 36k²+ 24k³).

Karena p habis dibagi 3, artinya x habis dibagi 9. Jadi, terbukti bahwa ketika d = 1 dan d = 2, x habis dibagi 9.

Kasus 2. Misalkan n² = 3r + 2, dengan menggunakan aplikasi maple diperoleh p= (3r + 2)³− 3 (3r + 2)²d+ 5 (3r + 2) d²− 3d³+ · · · + 12d³k, p= 27r³+ 54r²+ 36r + · · · + 9d³k³− 18d³k²+ 12d³k.

Selanjutnya dengan mengambil d = 1, diperoleh

p= 27r³+ 27r²+ 15r + 3 + 27kr²+ 27k²r+ 9k³, p= 3(9r³+ 9r²+ 5r + 1 + 9kr²+ 9k²r+ 3k³).

Jadi, karena p habis dibagi 3, artinya x habis dibagi 9. Selanjutnya dengan

mengambil d = 2, diperoleh

p= 27r³+ 24r + 54kr²− 72kr + 24k + 108k²r− 72k²+ 72k³, p= 3(9r³ + 8r + 18kr²− 24kr + 8k + 36k²r− 24k²+ 24k³).

Karena p habis dibagi 3, artinya x habis dibagi 9. Jadi, secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa ketika d = 1 dan d = 2, x habis membagi 9. ✷ Proposisi 6 [6] Misalkan n¹, n2, . . . , n9 merupakan deret aritmatika dengan selisih d. Jika

x= n⁹1+ n⁹2+ · · · + n⁹9, maka ρ(x) = 9.

Bukti. Proposisi 6 telah dibuktikan dan dapat dilihat di dalam artikel Izmirli [6].

✷

Teorema 9 [6] Misalkan q merupakan kelipatan sembilan. Misalkan n¹, n2,· · · , nq

merupakan bilangan berurutan dari q yang memiliki selisih d. Jika x= n⁹1+ n⁹2+ · · · + n⁹_q,

maka ρ (x) = 9.

Bukti. Misalkan q = 9k dengan k = 1, 2, 3, . . .. Langkah pertama, dengan menuliskan

n1 = n⁵ − 4d, n2 = n⁵ − 3d, n3 = n⁵ − 2d, n4 = n⁵ − d,

...

n9k= n⁵ + (9k − 5) d, kemudian dengan menggunakan aplikasi maple diperoleh

x= n⁹1+ n⁹2+ n⁹3+ n⁹4+ · · · + n⁹9k,

= (n5− 4d)⁹+ (n5− 3d)⁹+ (n5− 2d)⁹+ (n5− d)⁹· · · + (n5+ (9k − 5)d)⁹,

= 9n⁹5 − 81n⁸5d+ 2484n⁷5d²− 15876n⁶5d³+ · · · − 1033357500n²5d⁷k⁴, x= 9 n⁹5− 9n⁸5d+ 276n⁷5d²− 1764n⁶5d³+ · · · − 114817500n²5d⁷k⁴

.

Jadi, x merupakan kelipatan sembilan dan terbukti bahwa ρ (x) = 9. ✷ Kemudian berdasarkan Teorema 9 diberikan kasus untuk d = 1 dan d = 2 seperti yang dijelaskan dalam Akibat berikut.

Akibat 10 [6] Misalkan q kelipatan sembilan. Kemudian dengan mengambil d = 1 diperoleh penjumlahan bilangan berpangkat sembilan dari q habis dibagi 9.

Selanjutnya dengan mengambil d = 2, diperoleh penjumlahan bilangan berpangkat sembilan dari bilangan ganjil (bilangan genap) q berurutan habis dibagi 9.

Bukti. Misalkan x = n⁹1+n⁹2+· · ·+n⁹_q dan q = 9k dengan k = 1, 2, 3, . . .. Kemudian n1 = n⁵ − 4d,

n2 = n⁵ − 3d, n3 = n⁵ − 2d, n4 = n⁵ − d, n6 = n⁵ + d,

...

n9k= n⁵ + (9k − 5) d, dengan menggunakan aplikasi maple diperoleh

x= n⁹1+ n⁹2+ n⁹3+ n⁹4+ · · · + n⁹9k,

x= 9n⁹5− 81n⁸5d+ 2484n⁷5d²− 15876n⁶5d³+ · · · − 3240n⁷5d²k.

Kemudian dengan mengambil d = 1, diperoleh

x= 9n⁹5− 81n⁸5d+ 2484n⁷5d²− 15876n⁶5d³+ · · · − 3240n⁷5d²k,

= 9n⁹5− 81n⁸5+ 2484n⁷5− 15876n⁶5+ · · · − 3240n⁷5k, x= 9 n⁹5− 9n⁸5+ 276n⁷5− 1764n⁶5+ · · · − 360n⁷5k

. Selanjutnya, dengan mengambil d = 2 diperoleh

x= 9n⁹5− 81n⁸5d+ 2484n⁷5d²− 15876n⁶5d³+ · · · − 3240n⁷5d²k,

= 9n⁹5+ 162n⁸5+ 9936n⁷5− 127008n⁶5+ · · · − 12960n⁷5k, x= 9 n⁹5+ 18n⁸5+ 1104n⁷5 − 14112n⁶5+ · · · − 1440n⁷5k

.

Jadi, terbukti bahwa ketika d = 1 dan d = 2, x habis dibagi 9. ✷ 7. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dijelaskan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa akar digital pada suatu bilangan dinotasikan sebagai ρ(n) dengan proses pencariannya memanfaatkan beberapa sifat akar digital. Pada bilangan berpangkat dua diperoleh akar digitalnya yaitu 1, 4, 7, atau 9. Kemudian pada bilangan berpangkat tiga diperoleh akar digitalnya yaitu 1, 8, atau 9.

Selanjutnya pada bilangan sempurna (kecuali 6) akar digitalnya adalah 1. Lalu pada bilangan Fermat untuk n ≥ 1, ρ(Fn) adalah 5 jika n adalah ganjil dan 8 jika n genap.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M. Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Aprajita dan A. Kumar, Digital roots and their properties, IOSR Journal of Mathematics, 11 (2015), 19-24.

[2] D. M. Burton, Elementary Number Theory, Seventh Edition, McGraw-Hill Companies, New York, 2011.

[3] A. Gardiner, Digital roots, rings and clock arithmetic, The Mathematical Gazette, 66 (1982), 184-188.

[4] M. Gardner, The Second Scientific American Book of Puzzles and Diversions, University of Chicago Press, Chicago, 1987.

[5] T. Ghannam, The Mystery of Numbers: Revealed Through their Digital Roots, Second Edition, Create Space Publications, Seattle, 2012.

[6] I. M. Izmirli, On some properties of digital roots, Advances in Pure Mathe- matics, 4 (2014), 295-301.

[7] T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, Second Edition, Aca- demic Press, New York, 2007.

[8] K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Seventh Edition, McGraw-Hill, New York, 2012.

[9] A. Vyawahare, The digital root, History of Mathematics, 5 (2016), 42-44.

[10] C. Y. Lin, Digital root patterns of three-dimensional space, Recreational Math- ematics Magazine, 5 (2016), 9-31.