PEMJUMLAHAN RECIPROCAL DARI HASIL PERKALIAN BILANGAN FIBONACCI DAN
BILANGAN LUCAS
KARYA ILMIAH
OLEH
ANISYA PUJA FNP NIM. 1703113479
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2021
PENJUMLAHAN RECIPROCAL DARI HASIL PERKALIAN BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS
Anisya Puja FNP
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
anisya.puja3355@student.unri.ac.id
ABSTRACT
This article discusses the reciprocal addition formula of multiplying Fibonacci and Lucas numbers using the floor function with mn, where the values of m are any positive integers, and the values of n are even and odd integers. The reciprocal addition formula is proved by using a definition, the properties of multiplication of Fibonacci and Lucas numbers, and algebraic calculations.
Keywords: Fibonacci numbers, floor function, Lucas numbers, reciprocal ABSTRAK
Artikel ini membahas formula penjumlahan reciprocal dari perkalian bilangan Fibo- nacci dan bilangan Lucas menggunakan fungsi floor dengan batas nilai mn, dimana nilai m merupakan sebarang bilangan bulat positif, dan nilai n merupakan bilangan bulat genap dan ganjil. Penjumlahan tersebut dibuktikan dengan menggunakan definisi, sifat-sifat perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas, dan perhitu- ngan secara aljabar.
Kata kunci: Bilangan Fibonacci, fungsi floor, Bilangan Lucas, reciprocal 1. PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu yang mendasari perkembangan teknologi maupun per- kembangan zaman. Salah satu cabang ilmu matematika yang terus berkembang dan berguna sampai saat ini adalah teori bilangan. Salah satu aspek terpenting yang dibahas dalam teori bilangan adalah barisan bilangan. Dalam teori bilangan terdapat beberapa barisan bilangan. Dua diantaranya yaitu barisan Fibonacci dan barisan Lucas.
Koshy [4, h. 128] menjelaskan bahwa bilangan Fibonacci diberi nama oleh Leonardo Fibonacci, seorang ahli matematika asal Italia paling terkemuka diabad pertengahan. Fibonacci membahas sebuah permasalahan pada tahun 1202 didalam
bukunya yang berjudul Liber Abaci, yaitu masalah tentang menghitung populasi pasangan kelinci yang beranak-pinak pada bulan tertentu dengan kondisi dimana sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau. Pasangan kelinci ini baru akan beranak setelah berusia dua bulan. Pada bulan kedua masih ter- dapat sepasang kelinci. Pada bulan ketiga, sepasang kelinci itu melahirkan sepasang kelinci muda. Kelinci yang sudah pernah melahirkan, dapat melahirkan sepasang kelinci setiap bulannya. Kejadian ini terus berulang dengan asumsi bahwa tidak ada kelinci yang mati. Setelah diamati, ternyata jumlah pasangan kelinci setiap bulan berturut-turut selama setahun membentuk sebuah pola barisan. Berdasarkan pengamatan tersebut ditemukanlah barisan bilangan Fibonacci sebagai berikut [2, h. 285]:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . .
Rosen [7, h. 162] menjelaskan bahwa bilangan Fibonacci selanjutnya dikem- bangkan oleh Franois Edouard Lucas pada akhir abad ke-19. Lucas menemukan bilangan baru yang diberi nama bilangan Lucas. Bilangan Lucas memiliki relasi rekurensi yang sama dengan bilangan Fibonacci. Dengan demikian diperoleh barisan bilangan Lucas yaitu [4, h. 136]:
1, 3, 4, 7, 11, . . . .
Dalam perkembangannya, banyak buku atau artikel yang membahas tentang bilangan Fibonacci. Salah satu topik yang ramai dibahas yaitu tentang reciprocal.
Wang dan Liu [9] membahas tentang penjumlahan reciprocals dari perkalian dua bilangan Fibonacci, untuk membuktikannya digunakan identitas bilangan Fibonacci.
Selanjutnya penulis tertarik untuk membahas ”Penjumlahan Reciprocal dari Hasil Perkalian Bilangan Fibonacci dan Bilangan Lucas” yang merupakan review sebagian dari artikel Choo [3].
Untuk pembahasannya, pada bagian kedua dibahas penjelasan fungsi floor. Ke- mudian dibagian ketiga dibahas bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas. Selanjutnya dibagian keempat dibahas formula Binet bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas.
Kemudian dibagian kelima dibahas sifat-sifat bilangan Fibonacci dan bilangan Lu- cas. Kemudian pada bagian keenam dilanjutkan penjelasan sifat-sifat dari perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas, dan dibagian ketujuh dilanjutkan membuk- tikan penjumlahan reciprocal dari perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas FkLk, kemudian diakhiri dengan kesimpulan.
2. FUNGSI FLOOR
Definisi fungsi floor dijelaskan dalam Definisi 1 berikut [7, h. 149]:
Definisi 1 Fungsi floor didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, dan nilai dari fungsi floor dapat dinotasikan sebagai ⌊x⌋.
Fungsi ceiling didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x, dan nilai dari fungsi ceiling dapat dinotasikan sebagai ⌈x⌉.
Fungsi floor sering juga disebut fungsi bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Misalkan f (x) = ⌊x⌋ sehingga dengan x = 3/2 diperoleh f (x) = 1.
3. BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS
Bilangan-bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . adalah bilangan Fibonacci [4, h. 129]. Setiap bilangan Fibonacci adalah penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Barisan Fibonacci dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut [10]:
F1 = F2 = 1,
Fn = Fn−1+ Fn−2, n ≥ 2, (1) dengan bilangan pertama adalah 0 (F0 = 0).
Barisan Lucas merupakan pengembangan dari barisan Fibonacci yang memiliki pola barisan, yaitu [8, h. 10]
2, 1, 3, 4, 7, 11, . . . .
Kemudian barisan Lucas memiliki rekurensi yang sama dengan bilangan Fibonacci yaitu [1]:
L1 = 1, L2 = 3,
Ln = Ln−1+ Ln−2, n≥ 2, (2) dengan bilangan pertama adalah 2 (L0 = 2).
4. FORMULA BINET BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS
Mahajan [6] menjelaskan bahwa formula Binet untuk bilangan Fibonacci sebagai berikut:
Teorema 2 Formula Binet untuk bilangan Fibonacci diberikan oleh Fn= αn− βn
α− β , untuk n = 1, 2, 3, . . . , (3) dengan nilai α = (
1 +√ 5)
/2 dan β =( 1−√
5) /2.
Bukti. Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada artikel Mahajan [6]. 2 Selanjutnya formula Binet untuk bilangan Lucas diberikan sebagai berikut:
Teorema 3 Formula binet untuk bilangan Lucas diberikan oleh
Ln= αn+ βn, untuk n = 1, 2, 3, . . . , (4) dengan nilai α = (
1 +√ 5)
/2 dan β =( 1−√
5) /2.
Bukti. Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada artikel Mahajan [6]. 2
5. SIFAT-SIFAT BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS Koshy [5, h. 580-581] menjelaskan sifat-sifat bilangan Fibonacci dan beberapa iden- titas yang akan digunakan yaitu:
Ln = Fn−1+ Fn+1, (5)
Fm+n= Fm+1Fn+1− Fm−1Fn−1, (6)
L2n = 5Fn2 + 2(−1)n, (7) L3n = Ln[L2n− (−1)n]. (8) 6. SIFAT-SIFAT DARI PERKALIAN BILANGAN FIBONACCI DAN
BILANGAN LUCAS
Pada bagian ini, Choo [3] membahas sifat-sifat dari perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas yang tertera didalam Lema berikut.
Lema 4 [3] Untuk {Fn}∞n=0 dan {Ln}∞n=0, berlaku
Fn−1Ln+1− FnLn= (−1)n. (9) FnLn+1− Fn−1Ln+2 = 3(−1)n+1. (10) Fn+1Ln+2− Fn−1Ln = FnLn+ Fn+1Ln+1. (11) 2F3n−1L3n≥ (Fn−1Ln+ 1)(Fn+1Ln+2+ 1)FnLn. (12) Bukti. Bukti dari Lema ini dapat dilihat pada artikel Choo [3]. 2 Contoh 1 Perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas pada Lema 4 untuk beberapa nilai n diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas pada persamaan (9) di dalam Lema 4
Kolom A Kolom B Kolom C
n Fn−1Ln+1− FnLn (−1)n
1 -1 -1
2 1 1
3 -1 -1
4 1 1
... ... ...
Berdasarkan Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa nilai pada kolom B yaitu Fn−1Ln+1− FnLn sama dengan Kolom C yaitu (−1)n.
Tabel 2: Perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas pada persamaan (10) di dalam Lema 4
Kolom A Kolom B Kolom C
n FnLn+1− Fn−1Ln+2 3(−1)n+1
1 3 3
2 -3 -3
3 3 3
4 -3 -3
... ... ...
Berdasarkan Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa nilai pada kolom B yaitu FnLn+1− Fn−1Ln+2 sama dengan Kolom C yaitu 3(−1)n+1.
Tabel 3: Perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas pada persamaan (11) di dalam Lema 4
Kolom A Kolom B Kolom C
n Fn+1Ln+2− Fn−1Ln FnLn+ Fn+1Ln+1
1 4 4
2 11 11
3 29 29
4 76 76
... ... ...
Berdasarkan Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa nilai pada kolom B yaitu Fn+1Ln+2− Fn−1Ln sama dengan Kolom C yaitu FnLn+ Fn+1Ln+1.
Tabel 4: Perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas pada persamaan (12) di dalam Lema 4
Kolom A Kolom B Kolom C
n 2F3n−1L3n (Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) FnLn
1 8 5
2 180 180
3 3192 1360
4 57316 28665
... ... ...
Berdasarkan Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa untuk n ≥ 1, nilai pada kolom B yaitu 2F3n−1L3n besar dari sama dengan Kolom C yaitu FnLn (Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1).
7. PENJUMLAHAN RECIPROCAL DARI PERKALIAN BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS FkLk
Pada bagian ini, Choo [3] memberikan Teorema untuk penjumlahan reciprocal dari perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas FkLk menggunakan fungsi floor dengan banyaknya mn untuk nilai m≥ 3 dan n ≥ 2 dengan n ∈ Ngenap, serta untuk nilai m ≥ 3 dan n ≥ 1 dengan n ∈ Nganjil.
Teorema 5 Untuk m≥ 3 dan n ≥ 2 untuk n ∈ Ngenap, berlaku
(mn
∑
k=n
1 FkLk
)−1
= Fn−1Ln− 2. (13)
Bukti. Untuk membuktikan Teorema 5 dilakukan dengan mengalikan Fn+1Ln di kedua ruas persamaan (10) pada Lema 4 diperoleh
FnLnFn+1Ln+1− Fn−1LnFn+1Ln+2 = 3 (−1)n+1Fn+1Ln. (14)
Kemudian dengan mengalikan −1, dan dengan menambahkan 3Fn+1Ln pada kedua ruas persamaan (9) didapat
Fn−1Ln+ Fn+1Ln+2= 3Fn+1Ln+ (−1)n+1. (15) Selanjutnya dengan mengalikan 2 pada kedua ruas persamaan (15), kemudian di- jumlahkan dengan persamaan (14), dan ditambahkan −4 didapat
FnLnFn+1Ln+1− Fn−1LnFn+1Ln+2+ 2 (Fn−1Ln+ Fn+1Ln+2)− 4
= 3 (−1)n+1Fn+1Ln+ 6Fn+1Ln+ 2 (−1)n+1− 4. (16) Kemudian dengan mengalikan FnLn+Fn+1Ln+1, menggunakan persamaan (11) pada Lema 4, dikalikan dengan 1/ (Fn−1Ln− 2) (Fn+1Ln+2− 2) (FnLnFn+1Ln+1), dan ma- nipulasi aljabar pada kedua ruas persamaan (16) diperoleh
1
Fn−1Ln− 2 − 1
Fn+1Ln+2− 2− 1
FnLn − 1 Fn+1Ln+1
= (FnLn+ Fn+1Ln+1)[
3 (−1)n+1Fn+1Ln+ 6Fn+1Ln+ 2 (−1)n+1− 4]
(Fn−1Ln− 2) (Fn+1Ln+2− 2) (FnLnFn+1Ln+1) , (17) misalkan Y1 = 3 (−1)n+1Fn+1Ln + 6Fn+1Ln + 2 (−1)n+1 − 4 > 0 untuk n ≥ 1, sehingga diperoleh
1
FnLn + 1
Fn+1Ln+1 < 1
Fn−1Ln− 2 − 1
Fn+1Ln+2− 2. (18) Kemudian berdasarkan pertidaksamaan (18), penjumlahan reciprocal dari FkLk yang mempunyai batas yaitu k = n sampai mn dengan m ≥ 1 dan setiap bilangan genap n ≥ 2 menghasilkan
∑mn k=n
1
FkLk < 1
Fn−1Ln− 2− 1
Fmn−1Lmn− 2+ 1
FmnLmn. (19) Selanjutnya dengan menggunakan pembuktian backward, jika Fmn−2Lmn > −2 untuk m ≥ 1 dan setiap bilangan genap n ≥ 2, kemudian ditambahkan FmnLmn, dan diinverskan maka didapat
− 1
Fmn−1Lmn− 2 + 1
FmnLmn < 0. (20)
Kemudian dari pertidaksamaan (19) dan pertidaksamaan (20), untuk m ≥ 1 dan setiap bilangan genap n ≥ 2 diperoleh
∑mn k=n
1
FkLk < 1
Fn−1Ln− 2. (21)
Selanjutnya dengan mengurangkan persamaan (16) dengan persamaan (15), di- tambahkan 3, dikalikan FnLn+ Fn+1Ln+1, menggunakan persamaan (11) pada lema 4, dikalikan 1/ (Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLnFn+1Ln+1), menggunakan perhi- tungan secara aljabar diperoleh
1
Fn−1Ln− 1− 1
Fn+1Ln+2− 1− 1
FnLn − 1 Fn+1Ln+1
= (FnLn+ Fn+1Ln+1)[
3 (−1)n+1Fn+1Ln+ 3Fn+1Ln+ (−1)n+1− 1]
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLnFn+1Ln+1) , (22) misalkan Y2 = 3 (−1)n+1Fn+1Ln+3Fn+1Ln+(−1)n+1−1 = −2 untuk setiap bilangan genap n ≥ 2 didapat
1
FnLn + 1
Fn+1Ln+1 = 1
Fn−1Ln− 1− 1 Fn+1Ln+2− 1
+ 2 (FnLn+ Fn+1Ln+1)
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLnFn+1Ln+1). (23) Kemudian berdasarkan persamaan (23), penjumlahan reciprocal dari FkLk yang mempunyai batas yaitu k = n sampai mn dengan m ≥ 3 dan setiap bilangan genap n ≥ 2 menghasilkan
∑3n k=n
1
FkLk > 1
Fn−1Ln− 1 − 1 F3n−1L3n− 1
+ 2 (FnLn+ Fn+1Ln+1)
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLnFn+1Ln+1). (24) Selanjutnya dengan menggunakan teknik pembuktian backward, jika FnLn + Fn+1Ln+1 > 0 untuk setiap n ∈ N, dengan menambahkan −Fn+1Ln+1, dikalikan 1/ (Fn+1Ln+1), maka diperoleh
FnLn+ Fn+1Ln+1
Fn+1Ln+1 > 0. (25)
Kemudian berdasarkan pertidaksamaan (25) untuk setiap bilangan n∈ N dari per- tidaksamaan (24) menunjukkan bahwa
2 (FnLn+ Fn+1Ln+1)
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLnFn+1Ln+1)
> 2
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLn), (26) dari pertidaksamaan (26), pertidaksamaan (24) menjadi
∑3n k=n
1
FkLk > 1
Fn−1Ln− 1 − 1 F3n−1L3n− 1
+ 2
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) FnLn. (27) Selanjutnya dengan menggunakan pertidaksamaan (12) pada Lema 4 dan mani- pulasi aljabar diperoleh
− 1
(F3n−1L3n− 1)+ 2
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) FnLn > 0. (28)
Selanjutnya berdasarkan pertidaksamaan (27) dan pertidaksamaan (28), untuk m ≥ 3 dan setiap bilangan genap n≥ 2 diperoleh
∑mn k=n
1 FkLk ≥
∑3n k=n
1
FkLk > 1
Fn−1Ln− 1. (29) Kemudian dengan menggunakan pertidaksamaan (21) dan pertidaksamaan (29) di- peroleh
1
Fn−1Ln− 1 <
∑mn k=n
1
FkLk < 1
Fn−1Ln− 2. (30) Selanjutnya dengan mengambil nilai invers dari pertidaksamaan (30) didapat
Fn−1Ln− 1 >
(mn
∑
k=n
1 FkLk
)−1
> Fn−1Ln− 2. (31) Oleh karena itu, dengan menggunakan Definisi 1, pertidaksamaan (31) menjadi
(mn
∑
k=n
1 FkLk
)−1 = Fn−1Ln− 2, (32)
sehingga untuk kasus n genap terpenuhi. Oleh karena kasus n genap terpenuhi,
dengan demikian Teorema 5 terbukti. 2
Teorema 6 Untuk m≥ 3 dan n ≥ 1 untuk n ∈ Nganjil, berlaku
(mn
∑
k=n
1 FkLk
)−1
= Fn−1Ln. (33)
Bukti. Untuk membuktikan Teorema 6 dilakukan dengan perhitungan secara al- jabar, mengalikan Fnln+ Fn+1Ln+1 di kedua ruas persamaan (10) pada Lema 4, menggunakan persamaan (11) pada Lema 4, dikalikan 1/ (Fn−1Ln) (Fn+1Ln+2) dan 1/ (FnLn+1) sehingga diperoleh
1
Fn−1Ln − 1
Fn+1Ln+2 − 1
FnLn − 1
Fn+1Ln+1 = (Fnln+ Fn+1Ln+1) 3 (−1)n+1
(Fn−1Ln) (Fn+1Ln+2) FnLn+1, (34) misalkan Y3 = 3 (−1)n+1 > 0 untuk setiap bilangan ganjil n≥ 3 didapat
1 FnLn
+ 1
Fn+1Ln+1
< 1
Fn−1Ln − 1 Fn+1Ln+2
. (35)
Kemudian berdasarkan pertidaksamaan (35), penjumlahan reciprocal dari FkLk yang mempunyai batas yaitu k = n sampai mn dengan m ≥ 1 dan setiap bilangan ganjil n≥ 3 menghasilkan
∑mn k=n
1
FkLk < 1
Fn−1Ln − 1
Fmn−1Lmn + 1
FmnLmn. (36)
Selanjutnya dengan menggunakan pembuktian backward, jika Fmn−2Lmn > 0 untuk m ≥ 1 dan setiap bilangan ganjil n ≥ 3, kemudian ditambahkan FmnLmn, dan diinverskan, maka didapat
− 1
Fmn−1Lmn + 1
FmnLmn < 0. (37)
Kemudian berdasarkan pertidaksamaan (36) dan pertidaksamaan (37), untuk m≥ 1 dan setiap bilangan ganjil n≥ 3 diperoleh
∑mn k=n
1
FkLk < 1
Fn−1Ln. (38)
Selanjutnya dengan mengurangkan persamaan (14) dengan persamaan (15), ditam- bahkan−1, dikalikan FnLn+Fn+1Ln+1, menggunakan persamaan (11) pada Lema 4, dikalikan 1/ (Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) (FnLnFn+1Ln+1), dan menggunakan perhi- tungan secara aljabar diperoleh
1
Fn−1Ln+ 1 − 1
Fn+1Ln+2+ 1 − 1
FnLn − 1 Fn+1Ln+1
= (FnLn+ Fn+1Ln+1)[
3 (−1)n+1Fn+1Ln− 3Fn+1Ln− (−1)n+1− 1]
(Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) (FnLnFn+1Ln+1) , (39) misalkan Y4 = 3 (−1)n+1Fn+1Ln−3Fn+1Ln−(−1)n+1−1 = −2 untuk setiap bilangan ganjil n≥ 3 diperoleh
1
FnLn + 1
Fn+1Ln+1 = 1
Fn−1Ln+ 1 − 1 Fn+1Ln+2+ 1
+ 2 (FnLn+ Fn+1Ln+1)
(Fn−1Ln− 1) (Fn+1Ln+2− 1) (FnLnFn+1Ln+1). (40) Selanjutnya berdasarkan persamaan (40), penjumlahan reciprocal dari FkLk yang mempunyai batas yaitu k = n sampai mn dengan m≥ 3 dan setiap bilangan ganjil n ≥ 3 menghasilkan
∑3n k=n
1
FkLk > 1
Fn−1Ln+ 1 − 1 F3n−1L3n+ 1
+ 2 (FnLn+ Fn+1Ln+1)
(Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) (FnLnFn+1Ln+1). (41) Selanjutnya dengan menggunakan teknik pembuktian backward, jika FnLn + Fn+1Ln+1 > 0 untuk setiap n ∈ N, dengan menambahkan −Fn+1Ln+1, dan dika- likan 1/ (Fn+1Ln+1) maka diperoleh
FnLn+ Fn+1Ln+1 Fn+1Ln+1
> 0. (42)
Kemudian berdasarkan pertidaksamaan (42) untuk setiap bilangan n∈ N dari per- tidaksamaan (41) menunjukkan bahwa
2 (FnLn+ Fn+1Ln+1)
(Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) (FnLnFn+1Ln+1)
> 2
(Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) (FnLn). (43) Selanjutnya berdasarkan pertidaksamaan (43), pertidaksamaan (41) dapat ditulis menjadi
∑3n k=n
1 FkLk
> 1
Fn−1Ln+ 1 − 1 F3n−1L3n+ 1
+ 2
(Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) FnLn. (44) Kemudian dengan menggunakan pertidaksamaan (12) pada Lema 4 dan mani- pulasi aljabar didapat
− 1
(F3n−1L3n+ 1) + 2
(Fn−1Ln+ 1) (Fn+1Ln+2+ 1) FnLn > 0. (45) Selanjutnya, dari pertidaksamaan (45) dan pertidaksamaan (44), untuk m ≥ 3 dan setiap bilangan ganjil n≥ 3 diperoleh
∑mn k=n
1 FkLk ≥
∑3n k=n
1
FkLk > 1
Fn−1Ln+ 1. (46) Kemudian dengan menggunakan pertidaksamaan (38) dan pertidaksamaan (46) di- peroleh
1
Fn−1Ln+ 1 <
∑mn k=n
1
FkLk < 1
Fn−1Ln. (47)
Selanjutnya dengan mengambil nilai invers dari pertidaksamaan (47) didapat Fn−1Ln+ 1 >
(mn
∑
k=n
1 FkLk
)−1
> Fn−1Ln. (48)
Oleh karena itu, dengan menggunakan Definisi 1, pertidaksamaan (48) menjadi
(mn
∑
k=n
1 FkLk
)−1 = Fn−1Ln, (49)
dengan demikian untuk kasus n ganjil terpenuhi. Oleh karena kasus n ganjil ter-
penuhi, dengan demikian Teorema 6 terbukti. 2
8. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah diperoleh sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa penjumlahan reciprocal dari hasil perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan
Lucas
(∑mn k=n
(
1/FkLk
))−1
dengan menggunakan fungsi floor yang diberi batas- batas bilangan genap n ≥ 2 dan bilangan ganjil n ≥ 1 serta nilai m ≥ 3 meng- hasilkan formula untuk penjumlahan reciprocal dari perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas. Hasil dari penjumlahan ini berbentuk bilangan bulat dengan hanya bergantung pada nilai n yang ditentukan. Di dalam pembuktian penjumlahan reciprocal dari hasil perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas ini digunakan beberapa identitas bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas. Penjumlahan tersebut juga dibuktikan dengan menggunakan perhitungan secara aljabar, serta sifat-sifat dari perkalian bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas dalam bentuk lema.
Ucapan terima kasih diberikan kepada Ibu Musraini M., M.Si. dan Dr. M. D.
H. Gamal, M.Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] G. Bilgici, New generalizations of Fibonacci and Lucas sequences, Applied Mathematical Sciences, 8 (2014), 1429-1437.
[2] D. M. Burton, Elementary Number Theory, Seventh Edition, McGraw-Hill Companies, New York, 2011.
[3] Y. Choo, On the finite sums of products of reciprocal Fibonacci and Lucas num- bers, International Journal of Matematical Analysis, 12 (2018), 1-8.
[4] T. Koshy, Elementary Number Theory, Second Edition, Elsevier Academic Press, London, 2007.
[5] T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, Wiley, New York, 2001.
[6] D. M. Mahajan, The Binet forms for the Fibonacci and Lucas numbers, Inter- national Journal of Mathematics Trends and Technology, 10 (2014), 14-16.
[7] K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Seventh Edition, McGraw-Hill, New York, 2012.
[8] S. Vajda, Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications, Dover Publications, New York, 2008.
[9] A. Y. Wang dan R. Liu, Sums of products of two reciprocal Fibonacci numbers, Advances in Difference Equations, 136 (2016), 1-26.
[10] A. Y. Wang dan F. Zhang, The reciprocal sums of even and odd terms in the Fibonacci sequence, Journal of Inequalities and Applications, 376 (2015), 1-13.
