Bab1. Sistem Bilangan

(1)

Bab1. Sistem Bilangan

1.1 Sistim Bilangan

Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali digunakan tentunya adalah bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung jumlah benda yakni bilangan asli. Misalnya terdapat 10 ekor sapi yang sedang makan rumput, terdapat 15 pohon jambu. Bilangan 10 dan 15 merupakan bilangan asli. Aktivitas manusia yang terus meningkat baik dalam bidang penelitian maupun dalam bidang industri membutuhkan jenis-jenis bilangan baru yang sesuai dengan kebutuhan. Sampai saat ini, jenis bilangan yang terakhir digunakan adalah bilangan kompleks. Sangat dimungkinkan dimasa yang akan datang, dunia ilmu pengetahuan membutuhkan digunakan jenis bialngan baru untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang terus berkembang. Bagan berikut ini menunjukkan hirarki bilangan yang dipergunakan sampai saat ini. Bilangan Kompleks (C) Bilangan Riil (R) Bilangan Rasional (Q) Bilangan Bulat (Z) Bilangan Irrasional Bilangan Asli (N)

Bilangan Imajiner (Im)

Bilangan Bulat Negatif Nol

(2)

Keterangan: 1. Bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5,.... 2. Bilangan nol: 0 3. Bilangan cacah: N  0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... 4. Bilangan bulat negatif:

x | x + n = 0, n  N, x = -1,-2,-3,-4,-5,... 5. Bilangan bulat Z = N  0  x | x + n = n + x, nN, x = 0, 1, -1, 2,-2,.... 6. Bilangan pecahan:  | ∈ ,  0 = 1 2, − 1 2, 2 3, − 2 3, 3 4, − 3 4, … 7. Bilangan rasional | ∈ ,  0 ∈ = 0,1, −1,1 2, − 1 2, … 8. Bilangan irrasional ≠ , ∈ , ≠ 0 ∈ = √2, √3, , , … 9. Bilangan riil | ∈ ,  0 ∈ ∪ ≠ , ∈ , ≠ 0 ∈ = √2, −1,0,1,1 2, … 10. Bilangan imajiner | = √−1, ≠ 0 ∈ 11. Bilangan kompleks + | = √−1, , ∈

(3)

1. 2 Bilangan Riil

Bilangan riil merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Semua bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, sedangkan bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Himpunan semua bilangan riil dapat digambarkan dalam bentuk garis bilangan berikut ini:

Diantara bilangan 2 dan bilangan 3, tebak ada bilangan apa saja? 2,01; 2,011;2,0111, 2,0111..., sepertinya banyak sekali...

Tentu saja jawaban yang tepat adalah diantara bilangan 2 dan bilangan 3 diisi bilangan rasional dan bilangan irrasional dengan jumlah yang tak berhingga.

Dalam semua bab Mata Kuliah Pra Kalkulus 1, jenis bilangan yang dipergunakan adalah bilangan riil, sekalipun mungkin saja jika nanti mahasiswa akan menemukan jenis bilangan kompleks.

Sifat-sifat aljabar suatu himpunan bilangan

1.Tertutup terhadap penjumlahan  a, b  H  a + b  H

7.Komutatif terhadap perkalian  a, b  H  a x b = b x a 2.Komutatif terhadap penjumlahan

 a, b  H  a + b = b + a

8.Asosiatif terhadap perkalian

 a, b, c  H  (a x b) x c = a x (b x c)

3.Asosiatif terhadap penjumlahan

 a, b, c  H  (a + b) +c = a + (b + c)

9.Keberadaan elemen unit

 a  H, u H u x a = a x u = a

4.Keberadaan elemen zero

 a  H, z H  z + a = a + z = a

10.Keberadaan elemen invers terhadap perkalian

 a  elemen zero  H, u elemen unit  H, w H  w x a = a x w = u

5.Keberadaan elemen invers  a  H, z H, v H  v + a = a + v = z

11. Distributif terhadap penjumlahan dan perkalian

 a, b, c  H 

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (a + b) x c = a x c + b x c 6.Tertutup terhadap perkalian

 a, b  H  a x b  H 0 1 2 3 1 -2 -3 5

(4)

1.3 Pangkat Arti pangkat

Untuk memahami konsep-konsep bilangan berpangkat, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 dapat disederhanakan menjadi 45

2. 7 x7 x7 x7 dapat disederhanakan menjadi 74

3. 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 dapat disederhanakan menjadi 3354

Sederhanakanlah soal-soal berikut ini ! 1. 2 x 2 x 2 =... 2. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =... 3. 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 =... 4. 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 20 x 20 x 20 =... 5. 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 44 x 44 x 44 x 44 x 44 =... Pangkat negatif

Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk pangkat begitu juga sebaliknya. Untuk memahami pangkat negatif, perhatikanlah contoh-contoh berikut:

1 5= 5 1 6= 6 1 22= 22 1 3 = 3 1 7 = 7 1 11 = 11

Ubahlah bilangan pecahan berikut menjadi bilangan berpangkat!

Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bilangan pecahan! 1. 1 10= ⋯. 6. 2-5 = ... 2.1 3= ⋯. 7. 8-2 = ... 3.1 4= ⋯. 8. 12-8 = ... 4. 1 7 = ⋯. 9. 10-2 = ... 5. 1 9 = ⋯. 10. 23-10 = ...

(5)

Sifat-sifat bilangan berpangkat yang lain: 1. = Contoh: 1. 52 x 58 = 52+8 =510 2. 3-5 x 39 = 5-5+9 = 34 3. 10-5 x 109 = 10-5+9 = 104 2. = , ≠ 0 Contoh: 1.8 8 = 8 = 8 2.12 12 = 12 = 12 3.7 7 = 7 ( ) _{= 7} 3. ( ) = Contoh: 1. (10 ) = 10 2. (9 ) = 9 3. (5 ) = 5 4. ( ) = Contoh: 1. (2 3) = 2 3 2. (5 6) = 5 6 3. (8 10 ) = 8 10 5. = , ≠ 0 Contoh: 1. 3 7 = 3 7 2. 5 9 = 5 9 3. 10 8 = 10 8 6. √ = , ≥ 0 Contoh: 1. 4 = 4 2. (2 − 1) = (2 − 1) 3. (9 − 2 ) = (9 − 2 )

(6)

Latihan

No 1-20, sederhanakanlah bilangan pangkat berikut ini:

1. = ⋯ 11. 10 5 = ⋯ 2. = ⋯ 12. 12 8 = ⋯ 3. = ⋯ 13. 9 6 = ⋯ 4. = ⋯ 14. (2 ) (2 ) = ⋯ 5. = ⋯ 15. (2 ) (4 ) = ⋯ 6. = ⋯ 16. 25 6 x 3 5 = ⋯ 7. = ⋯ 17. 16 4 x 20 5 = ⋯ 8. = ⋯ 18. 3 6 x 3 5 = ⋯ 9. = ⋯ 19. (3 ) (2 ) x ( ) ( ) = ⋯ 10. = ⋯ 20. (25 ) (5 ) x ( ) ( ) = ⋯

No.21- 40, ubahlah bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam bentuk akar

21. = ⋯ 31. (3 − 7) = ⋯ 22 = ⋯ 32. (5 + 10) = ⋯ 23. = ⋯ 33. (12 − 8 ) = ⋯ 24. = ⋯ 34. 7 − (12 ) = ⋯ 25. = ⋯ 35. 9 − (7 ) = ⋯ 26. (2 ) = ⋯ 36. (12 ) − (5 ) = ⋯ 27. (3 ) = ⋯ 37. (6 ) − (2 ) = ⋯ 28. (7 ) = ⋯ _{38. 7} _{− 5} _{= ⋯}

(7)

29. (15 ) = ⋯ _{39. 10} _{+ 8} _{= ⋯}

30. (125 ) = ⋯ _40. ₋ _{= ⋯}

No. 41- 60, ubahlah bilangan-bilangan akar berikut dalam bentuk pangkat 41. √ = ⋯ 51. √ √ = ⋯ 42. √ = ⋯ 52. = ⋯ 43. = ⋯ 53. = ⋯ 44. = ⋯ 54. 1 √ = ⋯ 45. = ⋯ 55. 1 = ⋯ 46. − = ⋯ _56. 1 √ = ⋯ 47. − = ⋯ _57. 1 √ + = ⋯ 48. 1 √ = ⋯ 58. 1 √ + = ⋯ 49. √ √ = ⋯ 59. 1 √ − = ⋯ 50. √ √ + ( ) = ⋯ 60. 1 + x = ⋯

Menghitung akar pangkat

Contoh: 1. = 25 → = √25 = ±5 2. 3 = 2 → =2 3 → = 2 3 → = 8 27 3. 10 − 4 = 6 → 10 − 4 = 36 → = 4 → = 16

(8)

Latihan

Selesaikan persamaan berikut

1. 6 = 3 _{11. 2} _{+ 1} _{= 2} 2. 9 = 6 _{12. 3} _{− 1} _{= 3} 3. 8 = 10 _{13. 2} _{− 3} _{= 4} 4. 3 = 15 14. (2 − 27) = 9 5. 2 = 10 15. ( + 8) = 5 6. 3 + 4 = 6 16. (3 + 6) = 9 7. 2 + 2 = 7 17. ( − 2) = 16 8. 3 − 5 = 11 18. (3 + 2) = 36 9. 5 − 4 = 6 19. (2 − 6) = 100 10. 5 + 3 = 9 20. (2 − 278) = 8 1.4 Logaritma

 Log suatu bilangan menunjukkan sepuluh pangkat berapa hasilnya adalah bilangan itu.  Log a artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya a

 Log 100 artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya 100 Contoh:

1. log 1 =...

Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 1, jawabannya adalah 0. Jadi log 1= 0

2.log 1000 = ....

Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 1000, jawabannya adalah 3. Jadi log 1000 = 3

3. log 0,0001=...

Artinya 10 pangkat berapa supaya hasilnya 0,0001, jawabannya adalah -4. Jadi log 0,0001 = -4

4. log108 =....

(9)

Jadi log 0,0001 = -4

Jadi : log 10a = a dan log 10 = 1

Isilah titik-titik dibawah ini: 1. log 106 = ... 2. log 105 = ... 3. log 10-8 = ... 4. log 0,001=... 5. log 0,000001=... Sifat-sifat logaritma 1. log log log a b b a  Contoh: 1. log5 =log5 log2 2. log10 = log10 log4 3. log13 = log13 log6 2.logab bloga Contoh:

1. Log 4 = log 22 = 2 log 2 2. Log 25 = log 52 = 2log5 3. Log 27 = log33 = 3log3

3.alog

_

b c

_

a logbalogc

Contoh:

1. Log (15) = log(3 x 5) = log 3 + log5 2. Log 20 = log (22 x 5) = 2log 2 + log 5 3. Log (36) = log (4 x 9) = log(22 x 33) = 2log + 3log3

4. loga b a logb alogc c         Contoh

1. log = log7 − log5 2. log = log8 − log10 =

= log2 − log(2 x 5) = 3log2 − log2 − log5 = 2log2 − log5

3. log9

(10)

= log3 − log(2 x 3) = 2log3 − log 2 − log3 = log3 − log 2 5. nlog m m alog a b b n  Contoh 1. log3 = 2 3 log3 2. log7 = 4 5 log3 3. log13 =6 9 log3 6.aloga  1 Contoh: 1. log 5 = 1 2. log 12 = 1 3. . _{log 0.3 = 1}

7.alog x logb a ca logc

Contoh:

1. log5 log3 = log3 2. log10 log16 = log16 3. log7 log6 = log6

8.aalogb  b Contoh 1. 2 = 6 2. 10 = 15 3. 13 = 20 Soal-Soal Latihan 1. Hitunglah . log 16 = ⋯ . log 128 log 9 = ⋯ . log 25 = ⋯ . log 64 log 32= ⋯ . log 64 = ⋯ ℎ. log 27 log 81= ⋯ . log 32 = ⋯ . log 125 log 25 = ⋯ . log 625 = ⋯ . log 196 log 27 = ⋯

(11)

2. Hitunglah . 2 log2 3+ log 81 8 − 2 log 3 4= ⋯ . log 4

35+ log70 − log 2 + 2 log 5 = ⋯ . 2 log 2

14+ log35 −2 log 4 + log 5 = ⋯ . log 4

65+ log13 − log 4 + 2 log 125 = ⋯ . 2 log4 3+ log 32 8 −2 log 1 12= …

3. Diberikan nilai log 3=0.4771, tentukan nilai dari algoritma berikut ini:

. log 27 . log 300 . log 810 . log 0,009

4. Jika 3log 7 = a, nyatakanlah soal berikut dalam a.

. log 9 . log1

7 . log √49

5. Hitunglah:

. log 3 log 49 . log 3 log 1

125 . log 3 √ log 1 64 Soal-Soal Tambahan 1. 3 _0,125



5₃₂



1 ₂2    .

2. Tentukan nilai dari

2 2 3 2 1 27 4 5         _! 3. 2 3 3 2 3 4 2 2 3 3 2 2 27 16 8 4    . 4. 5 1 3 ₇₂₉ 3 1 243  64  . 5. Sederhanakan bentuk 1 3 2 4 3 3 x x x y x x           !

(12)

1. 7. Sederhanakan bentuk 1 2 1 5 3 4 3 4 3 3 a a a a a a a               !

8. Bentuk sederhana dari

1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 x y y x x y y x      _ _   _ _   _ _  _ _ _ _  _ _  _ _     _ _  _ _  _ _   __ _  _ _ _  _ _     adalah ….

9. Nilai x yang memenuhi persamaan

1 2 6 ₆ 2 1 1 5 25 25 x _ _            adalah ….

10. Jika x  dan 0 x  memenuhi 1 3 3

p x

x x x

 dengan p bilangan rasional, maka p  .

11. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 4 5

4x  8x adalah …. 12. Diberikan persamaan 3 ₂ 3 3 2 1 3 1 243 3 9 x x   _ _        _ _  

. Jika x memenuhi persamaan tersebut, 0

maka nilai 0 3 1 4x  adalah …. 13. Hitunglah a. 4



2



log_ log log16 _

b.

2 3 5

1 1 1

log 3 log 5 log ₃

log 5 5 2 5  log1252    log 81 . c.



 



2 2 3 3 3 log 36 log 4 log 12 

d. 10log5 2 log 5 log 2 log12 log 20 log 3    !

e.

2 log 35 5 3log 175 log1

5 log 35   f.

 

1 1 1

log 1 log 1 log 1

a b c

(13)

14. Jika 4log 5 p dan 4log 28q, maka 4log 70   .

15. Jika log 2a, log 3b, dan 2x1 32 3 x, maka nilai

_

x 1

_

 .

16. Jika alogb4, logc a2, dan , ,a b c bilangan positif, a c , 1, maka

 

1 4 ₂ log a bc  _{ }   .

17. Jika alogx2, loga y3, dan loga z , maka 4

3 2 2 2 3 log a x z y z          . 18. Jika 2 3 3 2 log log , , 1, dan 1 log log a a m n a b b  b    , maka m n .

19. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

log a b

a b           _ _    b.3x2log 275log 3 c.



alog 3



x1





5loga



3 d.



4



5 log 9x log 81x 0 e. 2 2 2





2





(14)

Bab2. Persamaan dan Pertidaksamaan Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan dua hal persis sama. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan. Nilai kebenaran baik persamaan maupun pertidaksamaan tergantung nilai variabel yang ada didalamnya. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Umumnya variabel ditulis dalam bentuk hurup kecil dan berpangkat satu.

Didalam persamaan terdapat lambang sama dengan ‘=’. Didalam pertidaksamaan terdapat lambang pertidaksamaan “<”,“”,“>”, dan “”.

Lambang < memiliki arti lebih kecil

Lambang  memiliki arti lebih kecil atau sama dengan Lambang > memiliki arti lebih besar

Lambang  memiliki arti lebih besar atau sama dengan

Persoalan yang harus dipecahkan dalam persamaan maupun pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian adalah himpunan bilangan-bilangan pengganti variabel sedemikian sehingga baik persamaan maupun pertidaksamaan bernilai benar. Contoh persamaan 2x = 8, jika x = 4 persamaan tersebut bernilai benar. Berarti himpunan penyelesaiannya {4}. Kadang-kadang himpunan penyelesaian dari persamaan dinamakan solusi.

Persamaan Linier Satu Variabel

Persamaan linier satu variabel adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu.

Bentuk umum : ax + b = 0, dimana a, b, c  R dan a  0

Contoh persamaan linier satu variabel

1. 2x - 10 = 22 2. 4-3a = -7 3. 5 – 3x =7 (x + 4)

Contoh bukan persamaan linier satu variabel

1. 2x + 6y =15 2. y-3-7 = 12 3. 5sin z - 2 =1

Mengapa persamaan diatas dikategorikan bukan persamaan linier satu variabel?

Sifat umum persamaan adalah persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. Sehingga untuk mencari

(15)

solusinya, dapat dilakukan operasi aritmatika yang sama pada kedua ruas sedemikian sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana.

contoh1 :

Tentukan nilai x dari persamaan 2x-18 = 0!

Penyelesaian

2x-18 +18 = 0 + 18 (kedua ruas ditambah 18) 2x = 18

1 1

2 18

2 x 2 (kedua ruas dikali dengan ½)

x = 9

contoh2:

Tentukan nilai x dari persamaan 5x + 5 = 2x + 14

Penyelesaian

5x + 5- 2x - 5 = 2x + 14 - 2x - 5 (kedua ruas ditambah -2x dan -5) 3x = 9

1 1

3 9

x5



 15x108x10

 17x 20

 20

17

x  Jadi himpunan penyelesaian = 20

17      

(16)

2. 3

_

2 6

_

1

_

4 2

_

4 x  2  x

 4 3

_

2 6

_

4 1

_

4 2

_

4 x 2 x

     (kali dengan bilangan yang habis dibagi 4 dan 2)

 3 2



x6



2 4 2



 x



 6x18 8 4x

 10x  10

 x  1Jadi himpunan penyelesaian = {-1}

Latihan

Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan berikut ini

a. 2x + 8 = 5x- 16 b. 5( x – 1 ) = 3( x +2 ) c. 3(2 x – 6 ) = 2(5- ½ x ) d. 2 1 1 1 3x2  6x3 e. 1 2 1 1 63x 2x f.





3 1 2 3 1 4x 2 x          g. 2 1 5 1 2    x x h. 5 2 5 4 3 x x  i. 3 4 4 2 4 3 x x x    j. 3 1 2 2 4 6 3 x x x   

Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Bentuk umum: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b  0, ax + b  0 dimana a, bR dan a  0 Sifat-Sifat Pertidaksamaan 1. a > b  ac > bc, c > 0 2. a > b  ac < bc, c < 0 3. a > b  a + c < a + c 4. a > b untuk | a | > | b | maka a2 > b2 5. | a | < | b | maka a2 < b2 6. a/b > 0  a  b > 0 7. a > b, b > c  a > c

(17)

Penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat diperoleh dengan cara mendapatkan bentuk setara yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat pertidaksamaan no.1,2 dan 3 diatas yakni:  Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang

sama, maka tanda pertidaksamaan tetap

 Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan dibalik

 Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan postif atau negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:

1. 3x - 8 >13 2. 2x+10 < 2 3. 2( 3 – x )  x + 9 4. 2x – 5  x + 3 < 5x – 9 Penyelesaian 1. 3x - 8 >13  3x > 13 + 8  3x > 21  1 3 1 21 3 x 3  x > 7 himpunan penyelesaian = {x | x > 7} 2. 2x + 10 < 2  2x < 2 - 10  2x < 8  1 2 1 ( 8) 2 x 2   x < -4 himpunan penyelesaian = {x | x < -4} 3. 2( 3 – x )  x + 9  6 - 2x  x + 9  - 2x – x  9 - 6  - 2x - x  3  - 3x  3  1 ( 3 ) 1 3 3 x 3        x  -1 himpunan penyelesaian = {x | x < -1}

(18)

4. 2x – 5  x + 3 < 5x – 9

Penyelesaiannya dibagi 2 bagian:  2x - 5  x + 3  2x - x  3+5  x  8  x + 3 < 5x – 9  x - 4x < -9 – 3  -3x < -12  1

_

3

_

1

_

12

_

3 x 3       x > 4

irisan kedua hasil diatas: x  8  x > 4 = 4 < x  8, himpunan penyelesaiannya = {x | 4 < x  8}

Latihan

Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini

a.15 – 2x < 25 b.2( x – 4 ) > 3 ( x – 3 ) c.5 + 6 > x d.x + 7  6 e.3x – 3  3 f.7 > -4 – x g.3x – 3  2x+7 h.2 1 1 5 2 x x  i. 2 3 1 1



2 1



3x 2 x          j.1 3 2 4 2 4 3 x x    Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, c  R dan a  0 contoh: a. x2 + 3x – 4 = 0  nilai a = 1, b = 3 dan c = -4 b. x2 - 8x + 6 = 0  nilai a = 1, b = -8 dan c = 6 c. 2x2 - 3x – 15 = 0  nilai a = 2, b = -3 dan c = -15

Akar-akar persamaan kuadrat

Setiap nilai x yang merupakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dinamakan akar. Ada tiga cara menentukan akar-akar persamaan:

(19)

Prinsipnya mencari faktor dari c sehingga c = x1 . x2 dan b = x1 + x2

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : x2 – 8x + 12 = 0

Penyelesaian

x2 – 8x + 12 = 0 (faktor dari 12 dan jumlahnya -8 adalah -6 dan -2)  ( x – 6 )( x – 2 ) = 0

 x1 = 6 atau x2 = 2

Jadi himpunan penyelesaian = {2 , 6} 2. Kuadrat sempurna

Contoh:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan 2x2 – 6x – 5 = 0

Penyelesaian. 2x2 – 6x – 5 = 0  2x2 – 6x = 5  x2 – 3x = 2 5  x2 – 3x + 2 2 2 3 2 5 2 3                  4 9 2 5 2 3 2          x  4 19 2 3 2         x  19 2 1 2 3    x  19 2 1 2 3   x  19 2 1 2 3   x atau  19 2 1 2 3   x Himpunan penyelesaian = { 19 2 1 2 3  , 19 2 1 2 3  }

3. Rumus abc, yaitu

=− ± √ − 4

2

(20)

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x2 – x – 3 = 0

Penyelesaian a = 4 , b = - 1 dan c = - 3 x1,2 = a c a b b . 2 . . 4 2     x1,2 =

 

2

 

( 1) 1 4.4. 3 2.4        x1,2 = 8 48 1 1   x1,2 = 8 7 1   x1 = 1 8 7 1    x2 = 4 3 8 7 1    himpunan penyelesaian = { 4 3  , 1 } Latihan

1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode pemfaktoran:

a. x2 + 2x – 3 = 0 b. x2 + 2x – 8 = 0

c. x2 – 9 = 0 d. 2x2 + 4x - 6 = 0

e. 5x2 - 13x – 6 = 0 f. 3x2 + 7x +2 = 0

2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode kuadrat sempurna:

a. x2 - 2x – 24 = 0 b. x2 - 7x + 10 = 0

c. 3x2 - x – 1 = 0 d. 5x2 - 16x + 3 = 0

e. 2x2 - 3x – 20 = 0 f. 4x2 - 2x – 3 = 0

3. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode abc:

a. x2 + 3x – 4 = 0 b. x2 - 5x + 6 = 0

c. 2x2 - x – 15 = 0 d. 3x2 + 3x – 6 = 0

(21)

Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat a. Penjumlahan : x₁ x₂ b a    b. Perkalian : x x₁ ₂ c a   Pembuktian:

Dengan menggunakan rumus abc, akan diperoleh:

2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b ac x x a a          2 2 4 4 2 b b ac b b ac a        2 2 b a   b a   2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b ac x x a a          2 2 2 2 2 4 4 4 4 b b b ac b b ac b ac a        2 4 4 ac a  c a 

Jenis akar Persamaan kuadrat

Ada tiga jenis akar persamaan kuadrat. Jenis ini dapat ditentukan dari nilai diskriminan (D). Nilai D = b2 - 4ac. Jenis akar tersebut adalah:

1. Real yang sama: D = 0 2. Real yang berbeda: D > 0 3. Imaginer: D < 0

Silahkan pikirkan mengapa diskriminan didefinisikan D = b2 - 4ac ? Contoh

Tentukan jenis akar dari persamaan-persamaan berikut ini

(22)

Penyelesaian

1. 2x2 - 2x - 3= 0  a = 2, b = -2, c = -3

D = b2 - 4ac = (-2)2-4(2)(-3) = 28 > 0 berarti akar real berbeda 2. x2 - 4x + 4 = 0  a = 1, b = -4, c = 4

D = b2 - 4ac = (-4)2- 4(1)(4) = 0 berarti akar real sama 3. x2 - x + 5= 0  a = 1, b = -1, c = 5

D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4(1)(5) = -19 < 0 berarti akar real imaginer

Rumus-rumus penting yang berkaitan dengan akar

x₁2x₂2 



x₁x₂



22x x_{1 2} 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x   



adalah :

(x - x1)(x - x2) = 0 atau x2 - (x1 + x2) + x1x2 = 0

Contoh:

a. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan 3x2 - 4x - 2 = 0, tentukanlah nilai x12 x22!

b. Jika  dan  adalah akar-akar persamaa x2 - 7x + 12 = 0, berapakah nilai 3 dan 3?

c.  dan  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a - 4= 0. Jika  = 3, tentukanlah nilai a!

d. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2+ b – 4 = 0 adalah  dan . Jika nilai 1 1 3

    ,

berapakah nilai b?

e. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0

(23)

f. Persamaan kuadrat x2 + (m - 2)x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata. Tentukanlah nilai m yang memenuhi!

Penyelesaian

a. 3x2 - 4x - 2 = 0 memiliki nilai a = 3, b = -4 dan c = -2 x₁2x₂2 



x₁x₂



22x x_{1 2} 2 2 b c a a    _ _    2 ( 4) ( 2) 2 3 3      _ _    16 4 9 3   28 9  b. x2 - 7x + 12 = 0 memiliki a = 1, b = -7 dan c = 12





3





3 3 3          3 3 b c b a a a      _ _  _ _     3 ( 7) 12 ( 7) 3 1 1 1        _ _  _ _    

343 252





91 

c. x2 + 4x + a - 4= 0 memiliki a = 1, b = 4 dan c = a - 4  = 3 b a      3 4 1      4   4      1  = 3 = -3 c a     ( 1) ( 3) 4 1 a      

3  

a

4



a 

7

d. 5x2+ bx– 4 = 0 memiliki a = 5, b = b dan c = -1

(24)

1 1 3     1 1          3 b b a c _c a      3 1 b    

b 

3

e. Misal  dan  adalah akar-akar persamaan x2 + 8x + 10. Maka akar-akar persamaan yang baru adalah 2 dan 2.

Persamaan kuadrat baru: x - (x1 + x2) + (x1  x2) = 0

 x2 - (2 + 2)x + (2  2) = 0  x2 - 2( + )x + 4(  ) = 0  2 2 b 4c 0 x x a a    _ _      2 2 8 410 0 1 1 x  _ _x     x2 - 16x + 40 = 0

f. x2 + (m - 2)x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata berarti D  0  b2 - 4ac  0  (m - 2)2 – 4  1  9  0  m2 - 4m + 4 – 36  0  m2 - 4m - 32  0  (m + 4)(m - 8)  0  m  - 4 atau m  8 Latihan

1. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2! 2. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan -3! 3. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -7!

4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 - 5x - 3 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukanlah persamaan

(25)

5. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar persamaan kuadrat

x2 + 3x +5 = 0 !

6. Salah satu persamaan kuadrat (a - 1)x2 + (3a - 1)x - 3a = 0 adalah 1. Tentukanlah akar yang lainnya!

7. Tentukan nilai k agar persamaan :( + 5) + 16 + ( − 25) = 0 memiliki akar real ! 8. Tentukan nilai k agar persamaan : ( + 1) + ( + ) − 35 = 0 tidak memiliki akar

real. memiliki akar real !

9. Akar-akar persamaan ( k + 2 )x 2 - ( 2k - 1) x + k – 1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Tentukanlah jumlah kedua akarnya!

10. Jika  dan  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + 1 = 0. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1₂ 1₂

  dan

 

  !

Pertidaksamaan Kuadrat

Jika pada persamaan kuadrat tanda sama dengan ‘=’ diubah dengan tanda ketaksamaan, maka akan terbentuk pertidaksamaan kuadrat

Contoh:

Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan x2 - 7x + 10 > 0

Penyelesaian

x2 - 7x + 10 > 0  (x - 2) (x - 5) > 0

Pertidaksamaan ini menunjukkan bawah ruas kiri bernilai positif. Selanjutnya gunakan garis bilangan, dengan pembuat nol: x = 2 dan x = 5

Dari garis bilangan diatas, ada tiga daerah yaitu

Daerah I: x < 2, Daerah II: 2 < x < 5 dan Daerah III: x > 5 Gunakan uji beberapa titik:

Daerah I misal x = 0  (x - 2)(x - 5) = 10 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +) Daerah II misal x = 3  (x - 2)(x - 5) = -4 < 0 tidak memenuhi syarat (ruas kiri bernilai -) Daerah III misal x = 6  (x - 2)(x - 5) = 4 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +)

5 2

(26)

Jadi daerah I dan daerah III yang memenuhi syarat . himpunan penyelesaian = { x | x < 2 atau x > 5 }

Cara cepat:

(x - a) (x - b) < 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: a < x < b (x - a) (x - b) > 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: x < a atau x > b

Pertidaksamaan Rasional Bentuk umum : ( ) ( ) ( ) ( ) A x C x B x  D x

Untuk menyelesaikan bentuk-bentuk diatas, seerhanakanlah menjadi bentuk

( ) 0 ( ) 0 ( ) p x g x g x  

Jika simbol sama dengan ‘=’ diubah dengan simbol ketaksamaan (<, >, , ) maka terbentuk pertidaksamaan rasional. Contoh 1. 3 8 x  2. 1 1 2 x x    

Untuk menyelesaikan persamaan rasional, ubahlah pertidaksamaannya kedalam bentuk setaranya seperti sifat pertidaksamaan no.6:

a/b > 0  a  b > 0

contoh1

Tentukanlah himpunan penyelesaian berikut ini 1. 3 8 x  2. 1 1 2 x x     Penyelesaian 1. 3 8 x  , x ≠ 0  3 8 0 x  5 2 + 0 - - - - 0 _{+ + +} + +

(27)

 3 8x 0 x 



 x(3 8 ) x  0 Pembuat nol: x = 0 dan x = 8/3

Himpunan penyelesaian = { x | x < 0  x  8/3 } 2. 1 1 0 2 x x     , x ≠ 2  1 2 0 2 x x x       2 1 0 2 x x     (x2)(2x1)0 Himpunan penyelesaian = { x | x < 1/2  x  2 }

Pada penyelesaian soal no.2 diatas, sengaja tidak diberikan garis bilangan

contoh2

Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini a. 2 2 4 12 0 2 5 2 x x x x      b. 5 7 7 5 x  x Penyelesaian a. 2 2 4 12 0 2 5 2 x x x x       ( 2)( 6) 0 ( 2)(2 1) x x x x       ( 6) 0 (2 1) x x     (2x1)(x6) 0  6 1 2 x    himpunan penyelesaian = { x | 6 1 2 x    } b. 5 7 7 5 x  x  5 7 0 7 5 x  x  8/3 0 - 0 0 - - - - - + + + + +

(28)

 5( 5) 7( 7) 0 ( 7)( 5) x x x x        2 74 0 ( 7)( 5) x x x     

Himpunan penyelesaian = { x | x < 5 atau 7 < x < 37 }

Latihan

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x2 - 4x + 4 > 0 b. x2 - 2x - 3 < 0

c. x2 + 3x - 18  0 d.2x2 - 9x + 9  0

e.3x2 - 17x + 20  0 f.3x2 - 17x + 20  0

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. 13 39 0 12 x x    b. 2 2 12 0 2 9 4 x x x x      c. 2 2 6 0 2 3 x x x x      d. 2 7 1 1 x x    e. 2 1 x x  f. 2 3 2 2 1 1 x x x x      Persamaan Pangkat Bentuk umum : Jika ax = ay, maka x = y Jika ax = bx, maka a = b Contoh 1:

Selesaikan persamaan pangkat berikut ini:

a.

2

3x2



2

x6 b. 2y3 163y c. 4 2 3 1 1 9 81 x x              7 -5 - - - 0 - 0 + + + + + 37 - - + 0

(29)

a.

2

3x2



2

x6  3x + 2 = x – 6  3x + x = -6-2  4x = -8  x = -2 b. 2y3 163y  ₂y3

 

₂4 3y  (ingat : 16 = 24 )  2y3 

 

2 12 4 y  y - 3 = 12 - 4y  y + 4y = 12 + 13  5y = 15  y = 3 c. 4 2 3 1 1 9 81 x x               4 2 3 2 1 1 9 9 x x               4x - 2 = 2x - 6  4x-2x = -6 + 2  2x = -4  x = -2 Contoh 2:

Selesaikan persamaan eksponensial 32x384 3 x_{ }9 0

Penyelesaian a. 32x384 3 x_{  }9 0 27 3 2x84 3 x18_{ misal 3}0 x = p, maka:  27p284p_{ }9 0  9p228p_{ }3 0 



9p1



p3



_0  1 9 p  _{atau p =3}  3 1 9 x  ₃x _3  3x 32 3x31  x = -2, x = 1, himpunan penyelesaian = {-2, 1}

(30)

Latihan

Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini 1. 3x 81 2. 0.5 7 2( 1) 9 x 27 x 3. 14 32 12 14 64 x 16 x 4. 5 7 3 x27x 9 5. 3 5 4 4 1 8 ₈ x x    6. 3x13x18 0 7. 22x12x230_0 8. 52x15x120 0 9. 52x24x60_0 10.102x110x1900 0 Pertidaksamaan Pangkat Bentuk umum: untuk a > 1 untuk 0 < a < 1 Contoh:

Selesaikanlah pertidaksamaan eksponen berikut ini:

a. 1 1 2 5 4 2 x 16 x  _b.32x7 27x5 _c. 2 1 3 2 10 5 1 1 8 32 x x  x              Penyelesaian a. 1 1 2 5 ₄ 2 x 16 x _

 

1 1 2 5 4 ₄ 2 x  2 x  -2x + 5  x – 4  -2x -x  - 4-5  -3x  -9  x  -3 b. 32x7 27x5_ 2 7

 

3 5 3 3 x x    2x -7  x + 5  -2x -x 5 + 7  -3x  12  x  -4 Jika ac > ad, maka c > d Jika ac < ad, maka c < d Jika ac > ad, maka c > d Jika ac < ad, maka c < d Jika ac > ad, maka c > d Jika ac < ad, maka c < d Jika ac > ad, maka c < d Jika ac < ad, maka c > d

(31)

c. 2 1 1 1 5 1 1 8 32 x x  x               2 1 1 1 5 3 5 1 1 2 2 x x  x               2 3 3 5 5 1 1 2 2 x x x               3x + 3  x2 + 5x - 5  -x2 + 3x- 5x + 3+5  0  -x2 -2x + 8  0  x2 + 2x – 8  0  (x - 2) (x + 4)  0  -4  x  2 Latihan

Selesaikan pertidaksamaan berikut ini:

1.

2

2x5



4

2. 23x7 64 3. 32x5 81 4. 37x8 81 5. 52x7 25 6. 43x182x5 7. 93x5 272x5 8. 85x1324x1 9. 5x1 252x1 10. 43x1 16x5 11. 2 1 5 4 1 3 3 1 1 9 27 x x               12. 2 1 2 2 3 3 3 1 1 4 8 x x               13. 2 1 1 2 1 4 4 1 1 9 81 x x               14. 2 1 1 2 1 2 2 1 1 5 25 x x               Persamaan Logaritma

Dalam bagian ini akan dibahas bagaimana mencari himpunan penyelesaian persamaan yang melibatkan fungsi logaritma.

log log

a c

b d, apabila a = c maka b = d

Untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal persamaan logaritma, ingatlah sifat logaritma: ab logba dan blogb  dimana b > 0, sehingga bilangan 2, 3 , 4, 5 bisa 1 dituliskan sebagai berikut:

2 2 3 2 4 2

2 log 2  log 3  log 4

2 3 3 3 4 3

(32)

2 4 3 4 4 4 4 log 2  log 3  log 4



x2



x6



3 log 32  (x - 2)(x + 6) = 9  x2 + 4x – 12– 9 = 0  x2 + 4x – 21 = 0  (x + 7) (x - 3) = 0  x1 = -7 atau x2 = 3 untuk x1 = –7  x – 2 = –7 – 2 = -9 < 0 x1 = –7 bukan solusi untuk x2 = 3  x – 2 = 3 – 2 = 1 > 0  x +6 = 3 + 6 = 9 > 0 x2 = 3 adalah solusi

Jadi himpunan penyelesaian = { 3 }

(33)

 x2 + 5x - 10 = 3x + 5  x2 + 5x – 3x– 10-5 = 0  x2 + 2x – 15 = 0  (x +5)(x - 3) = 0  x1 = -5 atau x2 = 3 untuk x1 = –5  3x +5 = 3(–5) + 5 = -10 < 0 x1 = –5 bukan solusi untuk x2 = 3  x2 + 5x - 10 = 32 + 53 – 10 = 13 > 0  3x + 5 = 33 + 5 = 14 > 0 Jadi himpunan penyelesaian = { 3 }

Latihan

Tentukan himpunan penyelesaian berikut ini:

1.2log 2



x 6



5 2.2log 3



x 4



1. alogba logc

Jika a > 1 maka b  c

Jika 0 < a < 1 maka b  c karena log a akan bernilai negatif

2. alogba logc

Jika a > 1 maka b  c

(34)

Contoh:

Selesaikanlah pertidaksamaan logaritma berikut ini:

a. 2log



x2 5x6



1 b.





1 2

2_log _x _₅_x_₄ _{ }₂

Penyelesaian

a. 2log



x2 5x6



 solusinya harus memenuhi syarat 1 2

5 6 0    x x  2log



x25x6

1 4. 2log



x210x24



3 5.





1 2 2_log _x _₉_x_₈ _{ }₃ 6.





1 2 2_log _x _₁₆_x_₆₄ _{ }₂

7. log(x4) log( x8)log(2x16) 8. 2logxlog(2x5) 2log 2 9. 2log



x23x2



2 log(10x)

10.





2

log x1 log(x1)

Persamaan Harga Mutlak.

Definisi harga mutlak: | |= , untuk ≥ 0 − , untuk < 0

Dari definisi diatas, maka setiap harga mutlak suatu bilangan bernilai positif (kecuali 0). Contoh | 2 | = 2, | -5| = - (-5) = 5

Karena harga mutlak selalu bernilai positif (kecuali 0), harga mutlak dapat juga dinyatakan: | | = √

Contoh:

Tentukanlah himpunan penyelesaian

a. | 4x | = 2 b. | 5x + 1 | = 3 c. | 5x -3 | = | 3x + 5 | d. | 1+2(x -1) | = | 3x - 7 | Penyelesaian a. | 4x | = 2 untuk 4x  0  4x = 2  x = ½ untuk 4x < 0  -4x = 2  x = -½ himpunan penyelesaian = { -½, ½ } b. | 5x + 1 | = 3 untuk 5x + 1 > 0  5x + 1 = 3  5x = 3 - 1  2 5 x 

(36)

untuk 5x + 1 < 0  -(5x + 1) = 3  -5x = 3 + 1  4 5 x   himpunan penyelesaian = 2, 4 5 5        c. | 5x -3 | = | 3x + 5 |  5x32  3x52  5x32  3x52 



5x3



2 



3x5



2  25x2- 30x + 9 = 9x2 + 30x + 25  25x2 - 9x2 - 30x - 30x + 9 - 25 = 0  16x2 - 60x -16 = 0  4(4x2 - 15x - 4) = 0  4x2 -15x - 4 = 0  (4x + 1)(x - 4) = 0  x = 1 4  atau x = 4 himpunan penyelesaian ={ 1 4  , 4 } d. | 1+2(x -1) | = | 3x - 7 |  | 1+2(x -1) |2 = | 3x - 7 |2  ( 2x -1)2 = (3x – 7)2  4x2 - 4x + 1 = 9x2- 42x + 49  4x2 - 9x2 - 4x - 42x +1-49 = 0

 -5x2 - 46x - 48 = 0 (kedua ruas di kali -1)  5x2 + 46x + 48 = 0  (5x + 6) (x + 8) = 0  x = -6 5 atau x = -8 himpunan penyelesaian ={-6 5, -8 }

(37)

Latihan

Tentukan himpunan persamaan berikut ini:

a. | x – 2 | = 3 b. | 2x + 5 | = 6

c. | 3x – 6 | = 9 d. | 4 – x | = 5

e. | 2 – 2x | = 7 f. | 3x -3 | = | 3x + 2 |

g. | x -1 | = | x + 2 | h. | 2x -6 | = | 2x + 4 | i. | 3x -1 | = | x + 4 | j. | x -2 | = | x + 3 |

Pertidaksamaan yang melibatkan bilangan mutlak

Sifat-sifat pertidaksamaan harga mutlak 1. | x |  a  -a  x  a, a  0

2. | x |  a  x  -a dan x  a, a  0 3. | x | < a  x2 < a2

4. | x |  0  x dipenuhi semua harga

5. | x | > 0  x dipenuhi semua harga kecuali x = 0 6. | x | < 0  x  { }, tidak ada nilai x yang memenuhi 7. | x |  a dan a < 0, x dipenuhi semua harga

8. | x + y |  | x | + | y | 9. | x  y |  | x | | y |

10. | x - y |  | x - z | + | y- z | 11. | x - y |  | x | + | y |

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ini: a. | 3x + 2 | > 5 b. | 2x +1 | < | 2x – 3 | c. | x – 2 |2 < 4| x – 2 | + 12 Penyelesaian a. | 3x + 2 | > 5  3x + 2 < -5  3x + 2 > 5  3x < -7  3x > 3  x < -7/3  x > 1 himpunan penyelesaian ={ x | x < -7/3  x > 1} b. | 2x +1 | < | 2x – 3 |  (2x +1)2 < (2x – 3)2

(38)

 4x2 + 4x + 1 < 4x2 - 12x + 9  4x + 12x < 9 - 1  16x < 8  x < ½ himpunan penyelesaian ={ x | x < ½ } c. | x – 2 |2 < 4| x – 2 | + 12  (x – 2)2 < 4| x – 2 | + 12  x2 -4x + 4 < 4| x – 2| + 12  x2 - 4x - 8 < 4| x – 2| Untuk x – 2  0  x  2  x2 - 4x - 8 < 4(x – 2 )  x2 - 4x - 8 < 4x – 8  x2 - 8x < 0  x(x - 8) < 0  0 < x < 8 Irisan x  2  0 < x < 8 = 2  x < 8 Untuk x – 2 < 0  x < 2  x2 - 4x - 8 < 4(-x+ 2 )  x2 - 4x - 8 < -4x + 8  x2 - 16 < 0  (x - 4)(x + 4) < 0  -4 < x < 4 Irisan x < 2  -4 < x < 4 = -4 < x < 2 digabungkan: 2  x < 8  -4 < x < 2 = -4 < x < 8 himpunan penyelesaian = { x | -4 < x < 8} Latihan

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini: a. | 2x - 3 | < 5 b. | 2x - 7 | < -| 1 | c. |1 4x - 3 | < 6 d. | x + 3 | < x - 2 e. | x + 3 | < | x - 2 | f. | x2 – x – 1 | >1 g. |9 - 2x | > |4x | h. | x2 – 2 | - 6 + 2x < 0 i. x2 4 j. 2x7 1

(39)

Latihan Tambahan

1.Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan berikut ini

a. 2x + 8 = 20 b. 5 – 3y = 7 c. 4z - 6 = 18- 2z d. 5a+ 20 = 3a – 6 e. 8m + 6 = 10(m - 1) f. 2(n - 1) + n = 5(2n + 3) - 2(n + 3) g. 5(s - 3) + 4s - 1 = 2s + 3(s - 2) h. 1 3 5t3 t i. 5 1 2 1 4 p 2  p 2 j. 2 36 10 3 5 5 q q   

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian pada perstidaksamaan berikut ini

a. x - 8 < 15 f. 1 – x  4x + 2 < -x + 6 b. 4y + 3 > 11 g. (2x + 3)6 < 1/2(4x + 12) c. 2(3x - 2) < 4x +8 h. 2 1 3 2 2 4 x x  d. 3(4x - 6)  6(x + 2) i. 1 1 2 3 4 x x x   e. -x < 5x - 1 < 3x + 3 j. 2 4 5 1

_

3 3

_

3x 2 x         

3. Apabila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 10. Tentukanlah nilai dari:

a. x1 + x2 b. x1x2 c. 2 2 1 2 x x d. 3 3 1 2 x x e. 4 4 1 2 x x f. 1 2 1 1 x  x g. 2 1 1 2 x x x x h. ₁2 ₂2 1 1 x  x

4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat + 8 + 10 = 0 adalah ….

5. Tentukanlah akar-akar persamaan (2 + 1) + 2 = (2 − 1) !

6. Tentukanlah nilai k, agar persamaan + 2 + ( + 4) + 1 = 0 memiliki dua akar real yang berlainan.

7. Jika salah satu satu persamaan kuadrat7x2 + (a - 6)x + (a - 5) = 0 adalah 3, tentukanlah nilai a!

(40)

8. Persamaan 3 − 2 + (2 − 3) = 0 memiliki dua akar real yang sama, tentukalah nilai p!

9. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan 25 − − 12 = 0, nilai dari + adalah ……..

10. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan 15 + 4 + 4 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah

1 1

2x dan ₂ 1

2x adalah...

11. Akar-akar persamaan + 2 + 3 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1 1 x dan ₂ 1 x adalah...

12. Akar-akar persamaan − 4 + 6 = 0 adalah dan . Berapakah nila 2 2 1 2 x  x ?

13. Sebuah taman yang berbentuk persegipanjang memiliki keliling sama dengan 104 m dan luas 640 m2. Lebar taman tersebut adalah …….m.

14.

Selama terjadi wabah flu di sebuah desa, dinas kesehatan menemukan bahwa total jumlah penderita flu (P) setelah t hari sangat mendekati rumus = − + 26 + 106 dimana 1≤ t ≤ 13 hari. Berdasarkan rumus tersebut, maka 250 orang terjangkit flu ketika wabah telah berlangsung selama …. hari.

15. Sebuah benda dijatuhkan pada ketinggian 20 m dari balon udara yang sedang naik dengan kecepatan 5 m/detik. Dengan menggunakan persamaan ketinggian benda yang bergerak vertikal , yaitu ℎ = −5 + + ℎ , maka waktu yang diperlukan oleh benda untuk mencapai tanah adalah ………. detik.

16. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini:



2 1 2 1 2 ₃ 2 ₂ ₃ 4 8 x 4 8 x x  x   x  x  e. 32x23x218 0 f. 22x1 5 2x 6 0 g. 52 1 5 1 6 0 5 x x    h. 42x24x232 0 i. 22x12x1112 0

18. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini

a. 22x98 b. 23(x1) 32 c. 36x 27 d. ₃12x 1_₉ e. 252(x2)125 f. 44x182x7 g. 93(x1) 32x4 h. 325x184x1 i. 25x152x1 j. 163x14x3 k. 2 1 5 4 1 3 3 1 1 81 9 x x               l. 2 1 2 1 3 3 1 1 4 8 x x               m. 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 9 81 x x               n. 2 1 1 1 3 2 2 1 1 125 25 x x              

19. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini a.2log



x 2



 3 b.2log 2



x 1



_

_{ }₂

(42)

c. 2log



x26x8



3 d. 2log



x22x1



 1 e.





1 2 2_log _x _₆_x_₈ _{ }₃ _f.





1 2 2_log _x _₁₆_x_₆₈ _{ }₂

g. log(x4) log( x3) log(2 x5) h. 2log(x1) log(2 x5) 2log 2

i. 2log



x210x17



2 log(3x5) j. log



x2



2log(3x6)

21. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini:

a. |2 x – 1 | = 4 b. | 2c - 5 | = 6

c. | 2x – 3 | = 7 d. | 4 + d | = 8

e. | 5 – 3x | = 9 f. | 3m - 5 | = | 4m - 3 |

g. | a +3 | = | a - 2 | h. | 2n - 4 | = | n - 5 | i. | 3b + 1 | = | b - 4 | j. | 3s - 6 | = | s + 5 |

22. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini:

a. | 2x - 4 | < 5 b. |3y - 8 | < 6 c. | 2x + 1 |  7 d. |4y + 7 | > 9 e. |7x + 1 |  8 f. |12 – 2z | > 14 g. |p2 + 3p - 5 | < 5 h. |z2 – 7z - 15 | <3 i. |q2 – 5q + 3 | > 1 j. |a2 - 3 | > 4 k. | 3r + 5 | < | 2r - 3 | l. | b - 6 |  | 3b - 8 | m. | 2s + 7 | < | 3s - 4 | n. | 3c - 5 |  | c + 6 | o. | 2t + 1 | > | t - 1 | p. 2| d - 8 | < 3| 2d - 15 |

(43)

Bab 3. Trigonometri

3.1 Sudut

Dalam bab ini kita akan mempelajari sudut-sudut yang dibatasi dua buah garis yang berada dalam bidang. Besarnya sudut dapat dinyatakan oleh satuan derajat atau satuan radian. Alat ukur sudut yang sering digunakan adalah busur derajat.

3.2 Derajat

Satuan derajat sering juga digabungkan dengan menit (‘) dan detik(“), misalnya 20o15’20’’. 10 = 60’ atau

1’ = 60’’ atau sehingga

Beberapa ukuran sudut seperti 00, 900, 1800 dan 3600 ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

00 900 1800 3600 x x x x y y _y y Sudut yang diukur : 

(44)

Isilah titik-titik berikut ini 1. 20 = …..’ = …..’’ Penyelesaian 20 = 2 x 60’ = 120’=120 x 60’’ = 7200’’ Jadi 20 = 120’ = 7200’’ 6. 30’ = …..0 Penyelesaian 30 = 30x 1 60 Jadi 30 = 2. 50 =……’ =……..’’ 7. 100’ =…..0 3. 100 =……’ =……..’’ 8. 120’ =…..0 4. 2,250 =……’ =……..’’ 9. 3000’’ =…..0 5. 4 ½ 0 =……’ =……..’’ 10. 7200’’ =…..0 3.3 Radian

Satu radian dinyatakan besarnya sudut yang disapu oleh jari-jari r sepanjang tali busur yang panjangnya r. Dalam penulisan, satuan sudut radian sering di singkat menjadi rad.

0 1 360 2 rad r r    1 ₀ 1 360 2 rad    0

2rad 360 (sudut satu putaran)  rad 1800(sudut setengah putaran)

 1 0

2rad 90 (sudut seperempat putaran)

r r

1 rad

x y

(45)

Contoh

1. Nyatakanlah sudut 400 50’ 40” kedalam satuan derajat !

Penyelesaian 40050’40” = 400 + 50’ + 40” 0 0 0 50 40 0 40 40,84 60 3600      _ _ _ _     

2. Nyatakanlah sudut 70,620 kedalam satuan derajat menit detik!

Penyelesaian

70,620 = 700 + 0,60+0,020

= 700 + (0,6x60)’+(0,02x3600)” = 700 36’72”

3. Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam radian

a.300 b.450 Penyelesaian a. 10 radian 180   0 1 30 30 radian 180 6 x     _ _   b. 450 45 1 radian 180 4 x     _ _  

4. Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam derajat

a. 10 rad b. 5 4 rad Penyelesaian a. 0 180 1 rad         0 0 0 0 180 540 540 3 rad 3x 171, 97 3.14      _ _      b. 0 5 5 180 rad x 4 4     _ _   = 2250

(46)

Latihan

1. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat

a. 25015’30” b. 40020’45”

c. 60010’20” d. 90030’15”

2.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat menit detik

a. 60,250 b. 45,360

c. 65,810 d.120, 220

3.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan radian

a. 100 b. 500 c.1250 d. 2200

4. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a. 2

5 rad b. 38 rad c. 3 rad d. 8 rad

3.4 Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini.

Pada segi tiga siku-siku diatas:

r adalah panjang sisi miring, y adalah panjang sisi tegak, x adalah panjang sisi mendatar. Berlaku hukum phytagoras: r2 = x2 + y2,

Jika kita buat sudut  dibuat tetap maka berapapun ukuran segitiga siku-siku akan memiliki

perbandingan yang tetap.

Setiap perbandingan panjang antar sisi diatas memiliki nama khusus. Berikut adalah nama-nama khusus perbandingan tersebut.

Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi miring disebut sin 

Perbandingan panjang sisi mendatar terhadap sisi miring disebut cos  x

y r

(47)

Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi mendatar disebut tan 

Kebalikan dari sin  disebut csc 

Kebalikan dari cos  disebut 

Kebalikan dari sin sin  disebut csc 

Semua nama-nama khusus perbandingan diatas dinamakan fungsi trigonometri.

= tetap = tetap

Selanjutnya kita dapat tuliskan:

= csc =

= sec =

tan = cot =

Contoh

Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

a. Hitunglah panjang sisi miring

b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 

Penyelesaian 3 4    = tetap

(48)

a. panjang sisi miring: r  3242 = 5 b. sin 3 5   , cos 4 5   , tan 3 5   , csc 5 3   , sec 5 3   , cot 4 3   c. sin 4 5   , cos 3 5   , tan 4 5   , csc 5 4   , sec 5 4   , cot 3 4   Latihan

1. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

b. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  c. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot  2. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini.

2. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. a b   c o n   m  p

(49)

a. Hitunglah Sin , Cos , tan , csc , sec , cot  b. Hitunglah Sin , Cos , tan, csc , sec, cot 

1 2   12 5  