FUNGSI COMPUTABLE
Ahmad Maimun1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1
1Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424
[email protected] , [email protected], [email protected]
Abstrak
Domain dari suatu fungsi ! peubah bernilai real adalah suatu persegi panjang tertutup dan terbatas di ruang berdimensi ! yang komponen – komponen dari titik ujungnya merupakan bilangan computable. Suatu fungsi disebut computable jika pertama fungsi tersebut memetakan barisan titik di ruang dimensi ! yang computable ke barisan bilangan real computable, kedua fungsi tersebut merupakan fungsi yang effectively uniformly continuous. Pada skripsi ini pertama–tama ditunjukkan cara memeriksa suatu barisan merupakan barisan computable. Kemudian diperlihatkan cara memeriksa suatu bilangan real merupakan bilangan computable. Pada akhirnya diperlihatkan cara memeriksa suatu fungsi ! peubah bernilai real merupakan fungsi yang computable.
Computable Function Abstract
Domain of a computable real function of ! variable is a closed and bounded rectangle in !
dimension space. The compenents of the vertex of the rectangle are computable numbers. A real function of ! variable is called computable if : first it maps a computable sequence of point in !
dimension space to a computable sequence of real numbers, second it is an effectively uniformly continuous function. In this skripsi, first it is shown the method to check whether a sequence is
computable or not. Next, some methods to determine whether a real number is computable are explored. Finally the way to prove that a real function of ! variable is computable is exposed. Keyword : sequence, convergence effectively, computable number, computable function.
PENDAHULUAN
Pada masa kini computer menjadi suatu alat yang mendasar untuk melakukan perhitungan baik dalam matematika, biologi, fisika, maupun teknik. Perkembangan computer dari masa ke masa berkembang sangat pesat. Pada tahun 1930 an Alan Turing menemukan sebuah mesin yang dapat menghitung dengan cepat. Fungsi – fungsi yang dapatdioperasikan di dalam mesin turing adalah fungsi yang computable dimana input dari mesin turing ini adalah bilangan computable.
Dalam perkembangannya, aplikasi dari fungsi computable sangat penting di bidang fisika khususnya fisika quantum. Dengan menggunakan fungsi computable seorang dapat mendefinisikan kejadian alam dalam model fungsi dan kemudian dihitung dengan mesin quantum. Mesin quantum ini inputnya adalah fungsi – fungsi yang computable. Domain dari suatu fungsi computable adalah suatu persegi panjang computable. Persegi panjang computable adalah suatu pasangan bilangan real pada interval dengan ujung interval adalah bilangan computable. Terdapat beberapa metode dalam pendefinisian bilangan
computable. Pertama adalah pendefinisian berdasarkan barisan bilangan yang konvergen [4]. Kedua berdasarkan irisan interval bersarang [6]. Ketiga berdasarkan metode Dedekind cuts[3]. Karena barisan bilangan real yang konvergen merupakan barisan Cauchy, maka cara pendefinisian bilangan computable berdasarkan barisan bilangan disebut juga pendefinisian barisan Cauchy. Pada makalah ini, semua definisi yang digunakan mengenai bilangan
computable dan fungsi computable menggunakan definisi barisan Cauchy.
Pendefinisian bilangan computable berdasarkan definisi barisan Cauchy sangat berkaitan dengan limit barisan bilangan rasional. Barisan bilangan rasional dikatakan konvergen jika limit barisan tersebut menuju suatu nilai tertentu, dan dikatakan divergen jika limit barisan tersebut tidak ada. Suatu barisan bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam tiga fungsi rekursif
tertentu disebut barisan computable. Kekonvergenan suatu barisan bilangan rasional yang dibatasi oleh suatu fungsi rekursif disebut konvergen secara efektif. Nilai limit dari suatu barisan bilangan rasional computable secara efektif disebut bilangan computable.
METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan studi literatur. Materi-materi yang dipelajari tentang barisan bilangan, fungsi, fungsi rekursif, recursively enumerable set, recursive set, recursively enumerable non recursive set
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada pembahasan makalah ini, ditunjukkan bahwa semua bilangan rasional adalah bilangan
computable. Penelitian lebih lanjut memperlihatkan bahwa tidak semua bilangan real adalah bilangan computable. Hal ini ditunjukkan dengan sebuah contoh adanya suatu barisan bilangan rasional konvergen ke suatu bilangan real dan kekonvergenannya tidak dapat secara efektif. Selain itu, dibahas barisan bilangan real yang computable. Pada akhir makalah ini, dibahas mengenai fungsi computable.
Sebelum menunjukkan bilangan rasional adalah bilangan computable. Terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai bilangan computable.
Definisi 1 Misalkan barisan !! adalah barisan bilangan rasional. Barisan ini disebut barisan computable jika terdapat fungsi rekursif !,!,! dari ℕ∪{0} ke ℕ∪{0} sedemikian sehingga !(!)≠ 0 untuk semua ! ∈ℕ∪{0} dan
!! = −1 ! ! !! !! . [4]
Definisi 2 Misalkan barisan bilangan rasional !! adalah barisan yang konvergen ke bilangan real !. Barisan (!!) dikatakan konvergen efektif ke bilangan real ! jika terdapat sebuah fungsi rekursif !:ℕ∪{0}→ℕ∪{0} sedemikian sehingga untuk setiap ! ∈ℕ∪{0},
jika ! ≥!(!) mengakibatkan |!!−!|≤2!!. [4]
Definisi 3 Suatu bilangan real ! disebut computable jika terdapat barisan bilangan rasional
Berikut ini diberikan pembuktian bahwa semua bilangan rasional adalah bilangan
computable.
Lemma 1 Semua bilangan rasional merupakan bilangan computable.
Bukti. Ambil sembarang bilangan !∈ℚ, terdapat tiga kasus untuk nilai ! yaitu ! =0, !
bilangan positif, ! bilangan negative.
Kasus 1. Untuk ! bilangan positif.
misalkan ! =!
! dimana !,!∈ ℕ
Bentuk barisan bilangan rasional !! dimana !! =
!"+!
!" ,!> 0 1 ,!= 0
Pilih fungsi rekursif !,!, dan ! dari ℕ∪{0}→ℕ∪{0} sebagai berikut :
! ! =! !−1 +!,! 0 =!
! ! = ! !−1 +!,! 0 = ! ! ! = 2! !−1 ,! 0 = 2
Sedemikian sehingga setiap suku !! dapat dinyatakan
!! = −1 ! ! ! !
! !
Maka berdasarkan Definisi 1 !! adalah barisan computable.
Kemudian pilih sebuah fungsi rekursif dari ℕ∪{0}→ℕ∪{0}, didefinisikan
! ! = 2! !−1 ,! 0 =1
Untuk semua nilai ! ! ℕ∪{0}, dimana !> !(!) maka !!< ! ! =2!!
Sehingga untuk semua ! ! ℕ, !> !(!) berlaku
!!−! ! = !"+! !" − ! ! = 1 ! < 1 ! ! = 2!!.
Jadi barisan bilangan rasional !! konvergen efektif ke !!. Berdasarkan Definisi 3 maka != !!
Kasus 2. Untuk ! bilangan negatif
Misalkan ! =−!! dimana !,!∈ℕ
Bentuk barisan bilangan rasional !! dimana
!! = −
!"+!
!" ,!> 0 1 ,!= 0
Pilih fungsi rekursif !,!, dan ! dari ℕ→ℕ sebagai berikut :
! ! =! !−1 +!,! 0 =!
! ! = ! !−1 +!,! 0 = ! ! ! = 3! !−1 ,! 0 = 1
Sedemikian sehingga setiap suku !! dapat dinyatakan
!! = −1 ! ! ! !
! !
Maka berdasarkan Definisi 1 !! adalah barisan computable. Kemudian pilih sebuah fungsi rekursif dari ℕ→ℕ, didefinisikamn
! ! = 2! !−1 ,! 0 =1
Untuk semua nilai ! ! ℕ, dimana ! >!(!) maka !!< ! ! =2!!
Sehingga untuk semua ! ! ℕ, !> !(!) berlaku
!!− − ! ! = − !"+! !" − − ! ! = 1 ! < 1 ! ! =2!!
Jadi barisan bilangan rasional !! konvergen efektif ke −!!. Berdasarkan Definisi 3 maka
Kasus 3. Untuk != 0
Bentuk barisan bilangan rasional !! dimana
!! = 1
! ,! >0
1 ,! =0
Pilih fungsi rekursif !,!, dan ! dari ℕ∪{0}→ℕ∪{0} sebagai berikut :
! ! =! !−1 , ! 0 = 1
! ! = ! !−1 +1,! 0 =0 ! ! = 2! !−1 ,! 0 = 2
Sedemikian sehingga setiap suku !! dapat dinyatakan
!! = −1 ! ! ! !
! !
Maka berdasarkan Definisi 1 !! adalah barisan computable.
Kemudian pilih sebuah fungsi rekursif dari ℕ∪{0}→ℕ∪{0}, didefinisikan
! ! = 2! !−1 ,! 0 =1
Untuk semua nilai ! ! ℕ∪{0}, dimana !> !(!) maka !!< ! ! =2!!
Sehingga untuk semua ! ! ℕ, !> !(!) berlaku
!!−0 = 1 !−0 = 1 ! < 1 ! ! = 2!!
Jadi barisan bilangan rasional !! konvergen efektif ke 0. Berdasarkan Definisi 3 maka != 0 disebut bilangan computable.∎
Pada Lemma 1 telah dibuktikan bahwa bilangan rasional adalah bilangan computable. Berikut ini akan diberikan sebuah contoh barisan bilangan rasional computable yang konvergen ke suatu bilangan real tetapi tidak secara efektif. Dalam pembuktian kekonvergenan tidak secara efektif diperlukan dua lemma berikut ini.
Lemma 2 Misalkan !:ℕ∪{0}→ℕ∪{0} adalah fungsi rekursif satu-satu, dan !:ℕ∪ 0 → ℕ∪{0} adalah waiting time function yang didefinisikan,
untuk sembarang bilangan fix ! ∈ℕ∪ 0 .
Jika ! membangkitkan suatu himpunan ! recursively enumerable non recursive maka tidak ada suatu fungsi rekursif ! sehingga ! ! ≤! ! ∀! ∈ℕ∪{0}.[4]
Bukti. Andaikan terdapat fungsi rekursif ! yang memenuhi kriteria di atas yaitu ! ! ≤! !
untuk setiap ! ∈ℕ∪{0}, dengan ! ! =!"#$ !∈ ℕ∪{0}| ! ! ≤ ! dan !:ℕ∪{0}→ ℕ∪{0} adalah fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan sebuah recursively enumerable non recursive set!.
Jika dapat ditemukan suatu prosedur untuk menentukan suatu bilangan asli ! merupakan anggota dari himpunan ! atau bukan, maka himpunan ! disebut himpunan recursive (Dalen, 1998). Berikut ini akan diberikan suatu prosedur untuk memeriksa apakah suatu bilangan bulat tidak negatif ! merupakan anggota ! atau bukan. Untuk sembarang nilai fix ! ∈ℕ∪{0}, diperiksa apakah ! merupakan peta dari ! ! untuk nilai ! ≤! ! . Terdapat 2 kemungkinan untuk nilai
!≤ !(!)
Kasus 1 terdapat nilai !≤ ! ! ∋! ! = !.
karena ada !≤ ! ! ∋! ! = !, maka !∈ !
kasus 2 tidak ada nilai ! ≤! ! sehingga ! ! =!
untuk !≤! ! ,! ! ≠ !, karena ! ! ≤ ! ! berarti untuk nilai ! ≤! ! maka
! ! ≠!. Karena tidak ada nilai !≤ ! ! ∋! ! = !, sedangkan ! ! =
!"#$ !∈ℕ∪{0}| ! ! ≤! mengakibatkan untuk nilai ! >! ! , nilai ! ! ≠!. Sebab jika ada !! > ! ! dan ! !! < ! atau ! !! =! maka !! merupakan ! ! .
Karena untuk !≤ !(!) dan ! >!(!) berlaku !(!)≠ ! artinya ! ∉!. Jadi,
! ∈ℕ∪ 0 −!.
Karena terdapat suatu prosedur untuk menentukan suatu bilangan asli ! merupakan anggota dari himpunan ! atau bukan, maka ! adalah himpunan rekursifbertentangan dengan pemisalan. Jadi, tidak ada suatu fungsi rekursif ! sehingga ! ! ≤! ! ∀! ∈ℕ∪{0}.∎
Lemma 3 (Optimal Modulus of Convergence) Misalkan !:ℕ∪{0}→ℕ∪{0} adalah fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan recursively enumerable non recursive set A dan ! adalah
waiting time function. Pandang barisan
!! = 2!!! !
!!!
dan misalkan !=lim!→!!!. Didefinisikan !∗ ! adalah bilangan bulat terkecil sedemikian
sehingga untuk !≥ !∗ !
jika !−!! ≤2!! maka ! ! = !∗ ! , untuk !∈ℕ∪ 0 . [4]
Bukti. Untuk sembarang nilai !∈ℕ∪{0},
!−!!= lim !→! 2 !!! ! !!! − 2!!! ! !!! = 2!! ! ! !!!!! .
Untuk membuktikan ! ! = !∗ ! dimana ! ∈ℕ∪ 0 , akan ditunjukkan bahwa ! !
memenuhi kondisi !∗ ! yaitu untuk !≥ ! ! mengakibatkan !−!
! ≤ 2!!. Berdasarkan
definisi ! ! adalah nilai maksimum !∈ℕ∪ 0 sedemikian sehingga ! ! ≤!, oleh karena itu ! ! ! ≤! sehingga 2!! ! ! ≥2!!.
Terdapat 2 kasus untuk sembarang nilai !∈ ℕ∪{0}. Kasus 1 untuk ! <! ! .
Karena ! ! =!"#$ !∈ ℕ∪{0}| ! ! ≤ ! , untuk kasus 1 terdapat nilai !! ∈ℕ∪{0} dan !! > !, sehingga !! =! ! . Nilai 2!! !! = 2!! ! ! ≥2!!.
Oleh karena itu !−!! = ! 2!!! !!!!!
=2!!!!! +⋯+2!! ! ! +⋯
≥2!!.
Jadi, untuk !<! ! , !−!! ≥2!!.
Karena deret ! 2!! !
!!!!! dimulai dari suku ! =!+1, maka tidak ada bilangan bulat positif
!∈ [!+1,∞) sehingga ! =! ! berlaku. Karena ! ! =!"#$ !∈ ℕ∪{0}| ! ! ≤ ! .
Maka untuk !∈ !+1,∞ ! ! >! akibatnya 2!! ! ≤2! !!! . Jadi !−!! = 2!! ! ! !!!!! ≤ 2!!!!!! ! !!! =2!!.
Dapat disimpulkan ! ! merupakan nilai terkecil, jika ! ≥! ! maka !−!! ≤2!!.∎ Contoh 1 Misalkan !:ℕ∪{0}→ℕ∪{0} adalah suatu fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan suatu recursively enumerable non recursive set !. Misalkan !! adalah suatu barisan bilangan rasional computable yang didefinisikan sebagai
!! = 2!! ! !
!!!
.
Barisan !! konvergen ke !, tetapi barisan !! tidak konvergen secara efektif ke !. Berikut ditunjukkan bahwa barisan !! tidak konvergen efektif ke !.
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan barisan !! konvergen efektif ke
!, berdasarkan Definisi 2 terdapat fungsi rekursif !:ℕ∪{0}→ℕ∪{0} sehingga untuk
! ∈ℕ∪{0}
jika ! ≥! ! maka !−!! ≤ 2!!
Berdasarkan Lemma 3 !∗ ! adalah bilangan bulat non negatif terkecil untuk ! ≥!∗ ! jika
!−!! ≤2!! maka ! ! ≥ !∗ ! =! ! . Menurut Lemma 2 tidak ada fungsi rekursif ! ! ≥ ! ! . Tetapi ternyata ada fungsi rekurrsif e ! ≥ ! ! terjadi kontradiksi maka pemisalan salah. Jadi barisan !! tidak konvergen secara efektif ke !.
Pada Contoh 1 telah ditunjukkan barisan !! konvergen tidak secara efektif ke bilangan !.
karena mungkin terdapat barisan bilangan rasional computable yang lain dan konvergen secara efektif ke bilangan !. Untuk menunjukkan bilangan ! tidak computable, terlebih dahulu akan dibahas mengenai barisan bilangan real computable berikut ini.
Definisi 4 Misalkan !!" adalah barisan bilangan real berganda dan !! adalah barisan
bilangan real sedemikian sehingg a pada saat ! →∞ !!" konvergen ke !! untuk setiap !. Dikatakan !!" konvergen effektif ke (!!) dalam ! dan ! jika ada sebuah fungsi rekursif
!∶ ℕ∪ 0 ! ℕ∪ 0 → ℕ∪ 0 sedemikian sehingga untuk setiap !,! ∈ℕ∪ 0
jika !≥!(!,!) mengakibatkan !!"−!! ≤2!!. [4]
Definisi 5 Suatu barisan bilangan real !! disebut computable jika terdapat suatu barisan bilangan rasional berganda !!" sedemikian sehingga !!" konvergen ke !! saat ! →∞
secara efektif dalam ! dan !. [4]
Berdasarkan Definisi 4, dapat diturunkan Definisi 6 sebagai berikut yang ekivalen dengan Definisi 5.
Definisi 6 Suatu barisan bilangan real !! adalah computable jika terdapat barisan bilangan rasional berganda !!" sedemikian sehingga !!"−!! < 2!! ∀! dan !. [4]
Berikut akan diberikan pembuktian bahwa Definisi 5 ekivalen dengan Definisi 6.
Teorema 1 Kedua pernyataan berikut ekivalen,
1. Sebuah barisan bilangan real !! disebut computable jika terdapat suatu barisan bilangan rasional berganda !!" sedemikian sehingga !!" konvergen ke !! saat !→ ∞ secara efektif dalam ! dan !.
2. Suatu barisan bilangan real !! adalah computable jika terdapat barisan bilangan rasional berganda !!" sedemikian sehingga !!"−!! < 2!! ∀! dan !.
Bukti. Jika pernyataan 2 maka pernyataan 1.
Karena !! barisan bilangan real computable, berdasarkan pernyataan 2 terdapat barisan bilangan rasional berganda !!" yang memenuhi !!"−!! ≤ 2!!. Pilih ! !,! = ! sehingga
untuk semua !,! jika ! ≥! !,! = ! mengakibatkan !!"−!! ≤ 2!! ≤2!!. Artinya !!"
konvergen secara efektif ke !! dalam ! dan !. Jadi, pernyataan 1 berlaku∎
Jika pernyataan 2 maka pernyataan 1.
Karena !! barisan bilangan real computable, berdasarkan pernyataan 1 terdapat barisan
bilangan rasional berganda !!" konvergen efektif ke !! dalam ! dan !. Berdasarkan Definisi 4, terdapat fungsi rekursif ! !,! sehingga ∀!,! jika !≥ ! !,! maka !!"−!! < 2!!.
Ambil sub barisan !!", yang didefinisikan dengan !!"! = !
!" !,! . Terlihat !!"! →!! saat !→ ∞ , sehingga ∀!∈ℕ∪{0} nilai !!"! −!
! = !!" !,! −!! ≤ 2!!. Karena terdapat
barisan bilangan rasional berganda !!"! sedemikian sehingga !
!"! −!! < 2!! ∀! dan !. Jadi,
pernyataan 2 berlaku.∎
Ambil sub barisan !!", yang didefinisikan dengan !!"! = !
!" !,! . Terlihat !!"! →!! saat !→ ∞ , sehingga ∀!∈ℕ∪{0} nilai !!"! −!
! = !!" !,! −!! ≤ 2!!. Karena terdapat
barisan bilangan rasional berganda !!"! sedemikian sehingga !
!"! −!! < 2!! ∀! dan !. Jadi,
pernyataan 2 berlaku.∎
Contoh 2 Misalkan !:ℕ∪{0}→ℕ∪{0} adalah suatu fungsi rekursif satu-satu yang
membangkitkan suatu recursively enumerable non recursive set!. Misalkan pula !! suatu barisan computable yang didefinisikan sebagai berikut,
!! = !!!!2!!! .
Misalkan !!" = !! ∀!, karena ! ! merupakan fungsi satu-satu maka barisan !!
konvergen dengan lim!→!!! =!. Karena (!!) konvergen maka !!" akan konvergen ke
!! =(!) saat →∞ ,∀! ∈ℕ∪{0} . Pada Contoh 1, diperlihatkan barisan !! tidak konvergen
secara efektif ke !. Jadi, barisan !!" tidak konvergen secara efektif ke !! dalam ! dan !. Dalam pembuktian terdapat bilangan real yang tidak computable diperlukan dua lemma berikut ini.
Lemma 4 Closure under Effective Convergence
Jika barisan ! adalah suatu barisan bilangan real berganda computable dan barisan !!"
konvergen ke barisan !! saat !→∞ secara efektif dalam ! dan !, maka !! adalah barisan
yang computable. [4]
Bukti. Berdasarkan Definisi 5 akan dicari suatu barisan bilangan rasional !!" yang computable
yang konvergen secara efektif ke !! dalam ! dan ! saat !→ ∞.
Karena !!" adalah barisan berganda yang computable berdasarkan perluasan Definisi 6
terdapat barisan bilangan rasional !!"# sehingga
!!"#−!!" ≤2!!,∀!,!,!
karena !!" konvergen secara efektif ke !! dalam ! dan !, maka menurut perluasan Definisi
5 terdapat suatu fungsi rekursif ! !,! ∋ jika !≥ ! !,! maka !!"−!! ≤ !!!!. Didefinisikan suatu barisan !!"! = !
!" !,! ! , karena !!" !,! ! adalah sub barisan !!"#
yang computable maka !!"! juga computable. Oleh karena itu diperoleh
!!"! −! ! = !!"! −!!"+!!"−!! ≤ !!"! −! !" + !!"−!! = !!" !,! !−!!,! + !!"−!! ≤2!! 2 + 2!! 2 = 2!!.
Jadi, !!"! konvergen secara efektif ke !
! . Menurut Definisi 5 barisan !! adalah barisan yang
Lemma 5 (monotone convergence) Misalkan !!" adalah suatu barisan berganda dari bilangan real computable yang monoton naik yang konvergen ke barisan !! saat ! →∞. Maka !! computable jika dan hanya jika kekonvergenannya efektif dalam ! dan !. [4]
Akibat Lemma 5 Jika suatu barisan !! yang monoton naik dan computable, konvergen ke x
maka !computable jika dan hanya jika kekonvergenan !! secara efektif. Pada Contoh 1, barisan !! = ! 2!! !
!!! adalah suatu barisan monoton naik dan
computable. Barisan !! konvergen ke bilangan real ! tidak secara efektif. Berdasarkan Akibat
Lemma 5, maka bilangan real ! tidak computable.
Setelah pembahasan mengenai bilangan computable berikut akan diberikan sifat operasi penjumlahan dua barisan computable dan pengertian fungsi computable dan contoh fungsi
computable.
Lemma 6 Misalkan !! dan !! adalah barisan pada bilangan real yang computable maka barisan !! dengan !! = !! +!! ,∀! adalah barisan bilangan real yang computable.
Bukti: Karena barisan !! computable, berdasarkan Definisi 3.16 terdapat barisan bilangan rasional !!" ∋ !!"−!! ≤ !!!! ,∀! dan !. Karena barisan !! computable, berdasarkan Definisi 3.16 terdapat barisan bilangan rasional !′!" ∋ !′!"−!! ≤ !!!
! ∀! dan !.
Didefinisikan barisan bilangan rasional berganda !"!" sebagai berikut, !"!" =!′!"+!!"
maka diperoleh !"!"−!! = !′!"+!!"−!!−!!
= !!"−!!+!′!"−!!
≤ !!"−!! + !′!"−!!
≤ !!!!+!!!! =2!!
Definisi 7 Persegi panjang computable!! yang tutup dan terbatas di ℝ! adalah
!! = !
!,!!,⋯,!! !! ≤!bilangan! ≤!!,! !"#$%&'()* = 1,2,⋯,!,!∀!! dan !!
Definisi 8 (Fungsi yang Squentially Computable) Misalkan !! ⊆ℝ! adalah persegi panjang
computable yang tertutup dan terbatas di ℝ!. Sebuah fungsi !:!! →ℝ disebut fungsi yang
squentially computable, jika ! memetakan barisan !! yang computable di !! ke ℝ yaitu !! = !!,!!,⋯,!! dimana !! = !!!,!!",⋯,!!" ∈!! dan ! !
! = !! ∈ℝ ∀! serta
barisan !! adalah barisan yang computable. [4]
Definisi 9 (Fungsi yang Effectively Uniformly Continuous) !:!! →ℝ disebut Fungsi yang
effectively Uniformly Continuous jika ∃ suatu fungsi rekursif !:ℕ→ℕ∋∀ !,! ∈!!∀! ∈ℕ
jika !−! ≤ !
! ! maka berlaku ! ! −! ! ≤ 2
!! dengan ! menyatakan panjang vector
pada ℝ!. [4]
Definisi 10 Fungsi ! variabel yang computable Misalkan !:!! →ℝ disebut computable jika !
squentially computable and effectivelly uniformly continuous. [4]
Contoh 2 Misalkan !! ⊆ ℝ!, !
! ⊆ !! adalah barisan bilangan real dari titik di !! dan
misalkan pula !! = !!,!!,⋯,!! .
Misalkan
!! = !!!,!!",⋯,!!!
⋮
!! = !!!,!!!,⋯,!!
Karena !! adalah barisan computable of points maka !! = !!! !!"
⋮
!!!
dengan
!!! , !!" ,⋯, !!! adalah barisan bilangan real yang computable
!: !!,!!,⋯,!! →!! +!!+⋯+!!
adalah fungsi computable.
KESIMPULAN
Tidak semua bilangan real merupakan bilangan yang computable. Semua bilangan rasional adalah bilangan computable
DAFTAR ACUAN
[1] Borwein, J.M and Borwien, P.B. 1988 . Ramunajan and Pi. Scientific American. [2] Dalen, D. V. 1994. Logic and Structure. Third edition. Springer-Verlag.
[3] Dedekind, Richard. 1963. Essays on the Theory of Numbers. New York: Dover Publications. [4] Marian B.P. dan Jonathan I. R. 1988. Computability in Analysis and Physics, First Edition..
Springer-Verlag.
[5] Rosen, K. H. 2007. Discrete Mathematics and Its Aplication, Sixth edition. Mc Graw Hill. [6] Weirauch, K. 2000. Computable Analysis an Introduction, Third edition. Springer-Verlag
