BAB III TURUNAN FUNGSI
Standar Kompetensi
Mahasiswa memahami konsep turunan fungsi dan teknik-teknik yang dapat digunakan untuk menentukan turunan, baik fungsi eksplisit y f(x) maupun fungsi implisit f(x,y)0.
Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari pokok bahasan turunan fungsi, diharapkan mahasiswa:
1. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan fungsi. 2. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan teorema turunan. 3. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan dalil rantai
4. Dapat menentukan turunan fungsi f(x,y)0dengan menggunakan kaidah diferensial.
5. Dapat menentukan turunan fungsi parametrik. 6. Dapat menentukan turunan fungsi trigonometri. 7. Dapat menentukan turunan fungsi siklometri. 8. Menentukan turunan ke-n fungsi y f(x). 9. Menentukan turunan ke-n fungsi f(x,y)0.
Bab III buku ini memuat hal-hal pokok yang berkaitan dengan turunan fungsi, antara lain (1) pengertian dan sifat turunan, (2) aturan rantai, (3) turunan fungsi implisit dan parametrik, (4) turunan fungsi trigonometri dan siklometri, (5) turunan tingkat tinggi.
3.1 Pengertian dan Sifat Turunan
Pembahasan tentang turunan dalam tulisan ini dibedakan menjadi dua kelompok besar yaitu, turunan fungsi berbentuk y f(x) dan fungsi berbentuk f(x,y)0. Pada pengembangan selanjutnya terdapat beberapa turunan fungsi, diantaranya adalah fungsi
Untuk lebih memudahkan pemahaman bagi pembaca, masalah pertama yang dibahas adalah turunan fungsi berbentuk y f(x).
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.1
Pada gambar 3.1 di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik )),`
( , (x f x
P sedangkan garis L melalui titik 1 (x,f(x))dan titik (xx,f(xx)). Jika x
mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut: ) 1 ( ... ... ) ( ) ( lim lim 0 0 1 x x f x x f m m x L x L . Misal
(
x
x
)
t
x
t
x
Jikax
0
makat
x
Sehingga bentuk x x f x x f x ) ( ) ( lim0 dapat ditulis dengan cara lain berbentuk
) 2 ...( ... ) ( ) ( lim x t x f t f x t X Y x xx )) ( , (x f x P )) ( ), ( (x f x f x x Q ) (x f y 1 L L
Bentuk (1) dan (2) tersebut di atas didefinisikan sebagai turunan pertama fungsi dari fungsi eksplisit y f(x)dan dinotasikan dengan
dx dy , y , ' dx x df( ) , atau f' x( ).
Khusus pada notasi
y
Dy
dx
d
dx
dy
, D disebut operator diferensial.Secara geometris, turunan fungsi y f(x) merupakan kemiringan (gradien) yang dinotasikan dengan m dari garis singgung kurva fungsi tersebut di sebarang titik, misal
o
x
x . Dengan demikian gradien kurvay f(x)di titik x xodapat dinyatakan dengan:
x
x
f
x
x
f
m
o o x
)
(
)
(
lim
0Karena turunan didefinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.
Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak f(x) x, yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah ini.
Jika kita memperhatikan gambar 3.2 di atas dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda,
Gambar 3.2 X Y x y x y
sehingga patut dicurigai bahwa fungsi f(x) x tidak mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi
x x
f( ) tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini. Karena 1 1 lim lim | 0 | | | lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 0 0 x x x x x x x x f x f dan 1 ) 1 ( lim lim | 0 | | | lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 0 0 x x x x x x x x x f f , maka x f x f x f x f x x ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 , sehingga x f x f f x ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ' 0 tidak ada. Contoh:
1) Tentukan garis singgung kurva y x2 di titik (2,4) Jawab
Gradien garis singgung kurva y x2 di titik (2,4)adalah
m = '(2) lim (2 ) (2) lim (2 ) 2 lim(4 ) 4 0 2 2 0 0 x x x x f x f f x x x .
Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah
4 4 ) 2 ( 4 4 ) ( 0 0 y m x x y x y x y
2) Tentukan apakah di x0fungsi y x2 mempunyai turunan ? Jawab
Karena '(0) lim (0 ) (0) lim ( ) 0 lim 0 0 2 2 0 0 x x x x f x f f x x x , maka 2 x y mempunyai turunan di x = 0.
Jika dalam menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka akan terdapat kesulitan-kesulitan dan memerlukan waktu yang relatif lebih lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.
Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi. Misal f(x)dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dan k sebarang bilangan real maka:
1. Aturan turunan fungsi konstanta
Jika y k maka 0
dx dy
Bukti
Menurut definisi turunan x k k x lim0 x x 0 lim 0 = 0
2. Aturan turunan fungsi identintas
Jika y x maka 1
dx dy
Bukti
Menurut definisi turunan x x f x x f dx dy x ) ( ) ( lim 0 x x x x x ) ( lim 0 x x x lim0
3. Aturan pangkat Jika n x y maka n1 nx dx dy Bukti
Menurut definisi turunan x x f x x f dx dy x ) ( ) ( lim 0
x
x
x
x
n n x
)
(
lim
0 1 1 2 1 0 1 2 3 2 1 0 2 2 2 ) 1 ( 1 0 ) ( ... 2 ) 1 ( lim ) ( ... 6 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( lim ) ( ... ) ( lim n n n n x n n n n n n n n n n n x nx x x x n n nx x x x x n n n x x n n nx x x x x x x x nx x4. Aturan turunan perkalian fungsi dengan konstanta
Jika y kf(x) maka kf' x( )
dx dy
Bukti
Menurut definisi turunan
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
)
(
)
(
lim
0x
x
kf
x
x
kf
x
)
(
)
(
lim
0
x
x
f
x
x
f
k
x
)
(
)
(
lim
0
x
x
f
x
x
f
k
x x
)
(
)
(
lim
lim
0 0
kf
' x
(
)
5. Aturan jumlah Jika
y
f
(
x
)
g
(
x
)
maka f'(x) g'(x) dx dy BuktiMenurut definisi turunan
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
)
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
)
(
)
(
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
x
g
x
f
x
x
f
x
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
f
x x
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0 0
f
'
(
x
)
g
'
(
x
)`
6. Aturan selisih Jikay
f
(
x
)
g
(
x
)
maka f'(x) g'(x) dx dy BuktiMenurut definisi turunan
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
)
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
)
(
)
(
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
x
g
x
f
x
x
f
x
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
f
x x
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0 0
f
'
(
x
)
g
'
(
x
)`
7. Aturan hasil kali. Jika y f(x)g(x) maka f'(x)g(x) g'(x)f(x) f(x)g'(x) f'(x)g'(x) dx dy Bukti
Menurut definisi turunan
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
)
(
)
(
lim
0
x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
x x g x x f x g x x f x g x f x x g x x f x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( lim 0
x
x
f
x
x
f
x
g
x
g
x
x
g
x
x
f
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
x
x
f
x
x
f
x
g
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x x
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
lim
0 0
x x f x x f x g x x g x x g x x f x x x x ) ( ) ( lim ). ( lim ) ( ) ( lim ). ( lim 0 0 0 0 f(x)g'(x)g(x)f'(x)8. Aturan hasil bagi.
Jika , ( ) 0 ) ( ) ( g x x g x f y maka ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' 2 x g x g x f x g x f dx dy Bukti
Menurut definisi turunan
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
)
(
)
(
lim
0x
x
g
x
f
x
x
g
x
x
f
x
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0x
g
x
x
g
x
x
x
g
x
f
x
g
x
x
f
x
( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 x g x x g x x f x g x f x g x x g x f x g x x f x
( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 x g x x g x x g x x g x f x f x x f x g x
) ( ) ( 1 lim . ) ( ) ( lim ). ( lim ) ( ) ( lim ). ( lim 0 0 0 0 0 x g x x g x x g x x g x f x x g x x f x g x x x x x 0 ) ( , ) ( ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( 2 g x x g x g x f x f x g 9. Fungsi Majemuk Jika y
f(x)
n maka n
f(x)
1 f'(x)
dx dy n Contoh1. Tentukan turunan fungsi di bawah ini. a) yx812x5 4x410x36x5 Jawab
8 12
5 4
4 10
3 6
5 dx d x dx d x dx d x dx d x dx d x dx d dx dy 8x7 60x4 16x3 30x2 6 b) 6 2 3 2 x x x y Jawab 2 3 2 2 3 2 3 2 pembagian aturan 3 2 ) 6 ( 3 ). 2 ( ) 6 )( 1 2 ( ' ' ' 6 , 2 , ' 6 2 x x x x x x v uv v u y x v x x u v u y x x x y
3
2 2 3 4 6 6 12 6 2 ' x x x x x y c) y lnx JawabBerdasarkan definisi turunan x x x x x x f x x f dx dy x x ln ) ln( lim ) ( ) ( lim 0 0
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x h x k x x x x x x x1
ln
1
lim
ln
)
1
ln(
lim
1
ln
lim
ln
lim
1 1 1 0 0 0 0
d) y 1 2x JawabMenurut definisi turunan y f(x)
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
)
(
)
(
lim
0 x x x x x 2 1 ) ( 2 1 lim 0 x x x x x x x x x x x 1 2( ) 1 2 2 1 ) ( 2 1 . 2 1 ) ( 2 1 lim 0 .
x x x
x x x x o x 1 2( ) 1 2 ) 2 1 ( ) ( 2 1 lim Xx x x x 1 2( ) 1 2 2 lim 0 x 2 1 2 2 x 2 1 1
2 1 2 1 x e) x x x y 5 3 2 Jawab Misal ux3x2 maka u'16x v 5x maka v'1 Menurut sifat 7 jikav u y maka ' ' 2 ' v uv v u y Diperoleh 2 2 ) 5 ( ) 1 )( 3 ( ) 5 )( 6 1 ( ' x x x x x y 2 2 2 10 25 3 6 31 5 x x x x x x
25
10
5
30
3
2 2
x
x
x
x
f) Jika h(x) = xg(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3). Jawab
h
(
x
)
xg
(
x
)
aturan
perkalian
h
'
(
x
)
1
.
g
(
x
)
xg
'
(
x
)
11 ) 3 ( ' 3 ) 3 ( ) 3 ( ' g g h3.2 Aturan Rantai (Chain Rule)
Aturan rantai umumnya digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang bentuk umumnya y
f(x)
n atau y f
g(x)
.Di bawah ini diberikan aturan rantai yang digunakan untuk menentukan turunan fungsi.
Jika f(x) dan g(x)keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka dx du du dy dx dy . Bukti: ) ( ' )) ( ( ' ) ( ) ( lim . )) ( ( ) ) ( ( lim ) ( ) ( lim . ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( lim ) ( ) ( . ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( lim )) ( ( )) ( ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 0 0 0 0 0 x g x g f t x g t x g p x g f p x g f t x g t x g x g t x g x g f t x g f t x g t x g x g t x g x g f t x g f t x g f t x g f t t h t x h x h t p t t t t t Contoh 1. Jika y ex` maka ex dx dy Bukti x x
e
y
y
y
y
y
x
e
y
ln
aturan
rantai
1
1
.
'
'
2. Jika y ax`, a11 maka a a dx dy x ln Bukti y ax` xa logy= a y ln ln Sehingga a y dy dx dy y a dx ln 1 1 . ln 1
Dengan aturan rantai y a a a dy dx dx dy x ln ln 1 3. Jika a x dx dy maka a x a y a ln 1 , 1 , 0 , log
Bukti nomor 3 ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.
3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik Turunan Fungsi Implisit
Fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk 0 ) , (x y f Contoh: 1. x2 y2 250 2. x2y xy2 20 3. x2 y2 2xy10 4. cos xy y 0
Rumus-rumus turunan yang telah dijabarkan pada pasal sebelumnya berlaku jika fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit atau y f(x), sedangkan untuk fungsi yang dinyatakan dalam bentuk implisit yaitu fungsi yang bentuk umum penulisannya
0 ) , (x y
f , turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial, yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut.
1. Tentukan dx dy
dari x2 y2 40 Jawab
Dengan aturan diferensial masing-masing variabel diperoleh d(x2)d(y2)d(4)d(0) 2xdx2ydy00 xdx ydy0 y x dx dy 2. Tentukan dx dy dari x2y xy2 20 d(x2y)d(xy2)d(2)d(0)
d(x2)yx2d(y)
d(x)y2 xd(y2)
00
2xdx.yx2dy
dx.y2 x2ydy
0
2xy y2
dx
x2 2xy
dy0
(
2
xy
y
2)
dx
(
x
2
2
xy
)
dy
xy x y xy dx dy 2 2 2 2 3. Tentukan dx dy dari y x x x Jawab Untuk menentukan dx dydari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
x x x y 0 7 8 y x
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh ) 0 ( ) ( ) (y8 d x7 d d
0 7 8 7 6 y dy x dx dx x dy y7 7 6 8 Sehingga 7 6 8 7 y x dx dy Latihan soal Tentukan dx dy
fungsi-fungsi berikut ini.
1. 2 1 4 x x y 2. 2xy3y2 2 xy30 3. x y sin 2 1 4. ycos2(2x1)0 5. 2 1 2 1 x y 6. y sec(1x)32 7. cos(xy)2x3y2 0 8. yxx2 3y10 9. cos( ) 2 3 2 0 x y xy y 10. y sin41x 11. cos xy y 0
Turunan Fungsi Parametrik
Fungsi parametrik adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk
) (x
f
)
(
)
(
t
y
y
t
x
x
Contoh 1. t t y t x 2 1 2 2. t y t t x 1 cos sinTurunannya dapat ditentukan dengan menurunkan masing-masing bagian, selanjutnya gunakan aturan rantai.
Contoh: Tentukan
dx dy
dari fungsi parametrik dibawah ini.
1. t t y t x 2 1 2 Jawab
Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
2 dt dx dan t2 1 dt dy .
Karena yang dicari adalah dx dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
2 1 2 . t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy 2. t y t x 3 1 ) 1 2 ( sin Jawab
) 1 2 cos( 2 t dt dx dan t dt dy 3 1 2 3 .
Karena yang dicari adalah dx dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
) 1 2 cos( 3 1 2 3 ) 1 2 cos( 2 3 1 2 3 . t t t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy . 3. t y t x 2 1 ) 4 3 ln( Jawab
Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
4 3 3 t dt dx dan t dt dy 2 1 1 .
Karena yang dicari adalah dx dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
t t t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy 2 1 3 ) 4 3 ( 4 3 3 2 1 1 . . Soal-soal Tentukan dx dy
fungsi parametrik berikut ini.
1) 2 3 4 2 1 2 t t y t x 2) t y t t x 1 2 3 cos 2 2 sin 3 3) 3 2 2 3 t t x
4) t y t t x 1 cos sin 5)
t y t t x 1 3 cos sin ln 6) 3 2 2 2 3 2 sin 2 t t y t x3.4 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai. Tentukan dx dy untuk 1. y sinx Jawab
Menurut definisi turunan
y
sin
x
x x x x x x f x x f y x y x x sin ) sin( lim ) ( ) ( lim ' sin 0 0 x x x x x x x x x x h x x cos 2 1 . 1 . cos 2 2 1 . 2 2 sin lim 2 2 cos lim 2 2 sin 2 2 cos 2 lim 0 0 0 2. y cosx Jawab . x x x x x x f x x f y x y h x cos ) cos( lim ) ( ) ( lim ' cos 0 0x x x x x x x x x x h x x sin 2 1 . 1 . sin 2 2 1 . 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin 2 2 sin 2 lim 0 0 0
3. Turunan fungsi trigonometri yang lain. a) y tanx b) y cotx c) y secx d) y cscx e) y arcsinx f) y arctanx g) y arcsecx h) y sin4(ex lnx) i) y exsin2(x21) Jawab a. x x x x x x y x x x y 2 2 pembagian aturan sec cos ) sin .( sin cos cos ' cos sin tan b. x x x x x x y x x x y aturan pembagian 2 csc2 sin ) .(cos cos ) (sin sin ' sin cos cot c. x x x x x y x x y sec tan cos ) sin .( 1 ) .(cos 0 ' cos 1 sec 2 pembagian aturan d. x x x x x y x x y csc cot sin ) .(cos 1 ) .(sin 0 ' sin 1 csc 2 pembagian aturan e. 2 rantai aturan 1 1 cos 1 ' cos ' 1 sin arcsin x y y y y y x x y 1
Gambar 3.3 f. 2 2 2 rantai aturan 1 1 cos ' sec ' 1 tan arctan x y y y y y x x y Gambar 3.4
g. yarcsecxxsecyaturan rantai1 y'secytany
1 1 cot cos ' 2 x x y y y Gambar 3.5
h. ysin4(ex lnx)aturan rantaiyu4,usin(exlnx),usinv,vex lnx
) ln ( sin ) ln cos( ) 1 ( 4 ) ln cos( ) 1 ( 4 . ' ) ln cos( ) 1 ( cos ' ) (sin , 1 3 3 4 x e x e x e x e x e u dx du du du y x e x e v v dx dv v dv d dx du x e dx dv x x x x x x x x i. Bukti ) 1 ( 2 sin 2 ) 1 ( sin ) 1 cos( ) 1 sin( 2 . 2 ) 1 ( sin 2 ). 1 cos( ). 1 sin( 2 . ) 1 ( sin ) 1 ( sin ) 1 ( sin ' ) 1 ( sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 perkalian dan rantai aturan 2 2 x xe x e x x xe x e x x x e x e dx x d e x dx de y x e y x x x x x x x x x y x 1 2 x 1 y 1 2 x x 1
3.5 Turunan Tingkat Tinggi
Jika y f(x) fungsi yang dapat diturunkan, maka y ' f'(x) juga berupa
fungsi. Jika y ' f'(x) mempunyai turunan, maka y '' f''(x)adalah turunan kedua dari y f(x)dan seterusnya.
Turunan ke-n suatu fungsi dinyatakan dengan n
n
dx y d
Untuk n = 2 dinotasikan dengan 2 2 '' ''( ) 2 x f y y D dx dy dx d dx y d
Untuk n = 3 dinotasikan dengan 2 3 ''' ' ''( )
2 3 3 x f y y D dx y d dx d dx y d
Untuk n = 4 dinotasikan dengan 3 4 (4) (4)( )
3 4 4 x f y y D dx y d dx d dx y d
Dan seterusnya. Bentuk-bentuk di atas dinamakan turunan tingkat tinggi atau turunan ke-n. Contoh: 1. Carilah 2 2 dx y d dari : a. 2 2 25 y x b. y lnt,xet c. y et2t,xlnet 1
2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini: a. y ekx
b. y lnx
1. Dari contoh-contoh sebelumnya telah diperoleh dx dy dari x2 + y2 = 25, adalah y x dx dy . Karena y x dx d dx dy dx d dx y d 2 2
Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh 3 2 2 2 2 . . 1 . . . y x y y y x x y y dx dy x dx dx y y x dx d Jadi 3 2 2 2 2 . y x y dx y d 2. Tentukan 2 2 dx y d a. t y e x t ln t t t te e t e t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy 1 1 1 . dt dx dt dx dy d dx dt dt dx dy d dx dy dx d dx y d . 2 2 = Oleh karena t t t t t e t t e t te e te dt d dx dy dt d 2 2 2 1 1 dan et dt dx maka t t t e t t e e t t dx y d 2 2 2 2 2 1 1 . b. y = et2t, x = ln (et +1)
dt dx dt dy dx dy = ) 1 ( ) 1 2 ( 2 t t t t e e e t = (2t1)(et 1)et2 dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d 2 2 = ) 1 ( ) 1 )( 1 2 ( 2 ) 1 2 ( ) 1 ( 2 2 2 2 t t t t t t t t e e e e t t e t e e = 2(et 1)2et2t (2t1)(et1)et2 2t(2t1)(et 1)2et2t 3. a. yekx y'kekx y''k2ekx y' ''k3ekx ... y(n) knekx b. n n n x n y x x y x y x y x y )! 1 ( ) 1 ( ... ! 2 ) 1 ( 2 . 1 ) 1 ( '' ' 1 ) 1 ( '' 1 ' ln 1 ) ( 3 2 3 2 2 Soal-soal
1) Tentukan kemiringan pada kurva fungsi berikut di titik yang diberikan.
a. (0, 1) 1 1 dititik x y b. 1 1 1 dititik dengan x x y c. y12x3x2 di titik x = 1, -2 1 dan 4 1 d. 2 1 x y , di titik (1,1)
2) Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan. a. y x1 di x = 1
c. 1 , 3 1 , 1 ) ( 2 2 x x x x x f di x = 1 d. 2 , 9 8 2 , 1 ) ( 2 2 x x x x x x f di x = 2
3) Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi )
(x f
y . Tentukan bentuk fungsi dan turunan fungsi. a) x x x 1 1 lim 0 b) x x x x x 9 0 ) ( lim c) x x x x x 2 cos ) ( 2 cos lim 0 d) x x x x x sin ) sin( lim 0
4) Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. G(s)
s2 s1
s2 2
b. f(y)
y2 1
2y7
c. d cx b ax x h ) ( d. 2 x c x b a y 5) Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan. a. 1 2 x x y , di titik (1, 1) b. y x x, di titik (1, 2)
c. 1 x x y , di titik (4 ; 0,4) d. y x x, di titik (1, 1)
6) Carilah titik pada kurva y x3 x2 x1yang garis singgungnya mendatar.
a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa jika g
f , dan gfungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku '
' '
)
(fgh f gh fg h fgh
b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi
4 1
2 3
x x x x y 7) Tentukan nilai 1 1 lim 1000 1 x x x8) Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian carilah
dx dy
a. y(x2 4x6)2 b. y31x3 c. y x2 7x
9) Carilah turunan fungsi-fungsi berikut a.
y
3
x
2
10(
5
x
2
x
1
)
12 b.y
(
s
2
1
)
4s
3
1
10) Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini : a. xylny 1
b. ln y 3 e xy x
d. lnxyln(xy)ex e. eyx xln ysin2x
11) Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a. xylny xdi(0,1) b. xxy2y10di(1,0) c. 3 3 30 (1,3) di x y y x d. x2y2 4xy12ydi(2,1) e. xxy2y40di(1,1)
13)Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan a. y lnt2 1, xet b. 2 1, ln( 1) t t e x e y c. t 2, t 5 e x e y d. y et lnt, xet 4 e. y te t t x et t 2 , f. y t3 2t, x3t2 5
14)Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini a. 3x3 3x2y8xy2 2y3 0 b. xy y3 2 c. x3 y4 2 3 d. y x33x e. y x3ln(x2 1) 15) Carilah nilai 2 2 dx y d
dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a. x3 y3 3xy di(0,0)
b. x2y4y3 4 di(2,1) c. x2 y2 25di(3,4) d. x2 y2 25di(3,4)x
16) Carilah turunan ke n, untuk n=3 dan 4 dari fungsi di bawah ini: a. y sinx
b. y cosx c. y sin(axb) d. y cos(pxq)
17) Carilah turunan dari fungsi di bawah ini: a. arctan( 5) 2