10. Turunan Fungsi Polinom - II-1 Turunan Fungsi Polinom

1/10

10. Turunan Fungsi Polinom

10.1. Pengertian Dasar

Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalnya [x1,y1] dan [x2,y2], maka kemiringan garis tersebut dinyatakan oleh persamaan

) (

) (

1 2

1 2

x x

y y x y m

− − = ∆ ∆

= (10.1)

Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x1,y1] dan [x2,y2] berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan garis lengkung? Perhatikan Gb.10.1.

(a)

(b)

Gb.10.1. Tentang kemiringan garis.

Pada Gb.10.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P1P2 dan bukan kemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihat pada GB.10.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringan garis lurus P1P′2. Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P1, dan jika ∆x mendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurva y di titik P1. Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y==== f(x) dan melihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x mendekati nol, persamaan (10.1) dapat kita tuliskan

) ( ) ( ) ( lim lim

0

0 x f x

x f x x f x

y

x

x ∆ = ′

− ∆ + =

∆ ∆

→ ∆ →

∆ (10.2)

) (x

f′ merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita tinjau f′(x) memiliki nilai

berbeda; f′(x) disebut fungsi turunan dari f(x), dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f′(x)

bernilai konstan dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (10.1) tidak hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia dapat diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurva lengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 11.2.

P1

Δy

Δx

x y

P2 y = f(x)

P1

Δy′ Δx′

x y

P′2

2/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom

Gb.10.2. Garis singgung pada garis lengkung.

Jika fungsi garis lengkung adalah y=f(x) maka f′(x) pada titik [x1,y1] adalah kemiringan garis singgung di titik [x1,y1], dan f ′(x) di titik (x2,y2) adalah kemiringan garis singgung di [x2,y2]. Bagaimana mencari f ′(x) akan kita pelajari lebih lanjut.

Jika pada suatu titik x1 di mana memiliki turunan di titik tersebut dan dikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan

nilai

merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan kemiringan garis singgung di

titik tersebut).

Persamaan (10.2) biasanya ditulis

)

10.2. Fungsi Mononom

Kita lihat uraian-uraian berikut ini.

3/10

Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan 4.

4). 3

Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.

5). Secara umum, turunan mononom

n

turunannya akan berupa nilai konstan,

k x f y′= ′( )=

Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, y′= f′(x). Dengan demikian maka

fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya

) (x f y′′= ′′

yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapat diturunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagi

) (x f y′′′= ′′′

dan demikian seterusnya.

4/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom

3

3

) (

dx y d x f

y′′′= ′′′ = turunan ke-tiga, dst.

Contoh: 3 4

4 f (x) 2x y = =

12 ; 12 )

2 ( 6 ; 6 )

3 (

2 (3 1) 2 ₄ (2 1) ₄

4= = ′′= = ′′′=

′ _x − _{x y x} − _{x y}

y

6) Dari (10.4) dan (10.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva suatu fungsi dengan kurva fungsi turunannya.

Fungsi mononom _{y= f(x)=mx}n _{memiliki turunan y′=(m×n)x}(n−1)_{. Koordinat titik potong P}

antara kurva mononom f(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan

) 1 ( )

( × −

= → ′

=_{y mx}n _{m n x}n

y

⇒ _x =_n

P dan yP=mxPn

Koordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan selanjutnya dapat pula dicari.

Gb.10.4. memperlihatkan kurva mononom y=x4 dan turunan-turunannya y′=4x3, y′′=12x2,

x

y′′′=24 , y′′′′=24.

Gb.10.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.

10.3. Fungsi Polinom

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contoh-contoh berikut.

1). y₁=f₁(x)=4x+2

{

4( ) 2

} {

4 2

}

₄

lim ) (

1 =

∆

+ − + ∆ + =

′

→

∆ x

x x

x x

f

x x

Kurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.10.5.

Gb.10.5. f1(x) = 4x + 2 dan turunannya. -100

4 x y=

3 4x y′=

2 12x

y′′= y′′′=24x

24 = ′′′ ′

y 2 12x y′′=

3 4x y′=

0 100 200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

f1(x) = 4x + 2

f1′(x) = 4

-4 -2 0 2 4 6 8 10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

5/10 Suku yang bernilai konstan pada f1(x), berapapun besarnya, positif maupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya.

2). y₂=f₂(x)=4(x−2) ⇒ _{( ) 4 8} jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

10.4. Nilai Puncak

Kita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakan kemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik [xp,yp] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis

singgung di titik [xp,yp] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol. Dengan kata

lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik di mana turunan pertama fungsi bernilai nol.

Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi kuadrat):

13 15

2 2+ +

= x x y

Turunan pertama fungsi ini adalah

15

Jika nilai xp ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kita dapatkan nilai puncak yp.

6/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom

sehingga diperoleh

a b x_p

2

−

= (10.7)

Nilai puncak, yp dari fungsi kuadrat y=ax2+bx+c dapat diperoleh dengan memasukkan xp

a ac b c a b c bx ax

y_{p p p}

4 4 4

2 2

2_{+ + =− + =−} −

= (10.8)

Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan apakah suatu nilai puncak

merupakan nilai minimum atau maksimum? Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. Lihat Gb.10.7.

Gb.10.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.

Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung pada kurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol di titik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik maksimum bernilai negatif.

Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titik puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik minimum bernilai positif.

Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncak tersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum.

Dalam kasus fungsi kuadrat y=ax2+bx+c, turunan pertama adalah y′=2ax+b dan turunan kedua adalah y′′=2a. Jadi pada fungsi kuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika a negatif ia memiliki nilai maksimum.

Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas di atas.

13 15

2 2+ +

= x x y

Nilai puncak fungsi ini adalah y_p=−15,125 dan ini merupakan nilai minimum, karena turunan keduanya y′′=4 adalah positif. Lihat pula Gb.10.5.c.

Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi:

13 15

2 2+ +

−

= x x y

Turunan pertama fungsi menjadi

75 , 3 memberi

0 jika yang , 15

4 + ′= =+

− =

′ x y x_p

y

Nilai puncak adalah

y

x

Q P

y′

7/10

125 , 41 13 75 , 3 15 2 )^ 75 , 3 (

2 + × + =+

− = p

y

Turunan kedua adalah y′′=−4 bernilai negatif. Ini berarti bahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum.

Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita diminta menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga perkaliannya mencapai nilai maksimum, sementara jumlahnya tetap 20.

Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yang lain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi

2 20 ) 20

( x x x

x

y= − = −

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan memberikan nilai x yang memberikan ypuncak.

0 2 20− =

=

′ x

y memberikan x = 10

dan nilai puncaknya adalah

100 100

200− =

= puncak

y

Turunan kedua adalah y′′=−2; ia bernilai negatif. Jadi ypuncak yang kita peroleh adalah

nilai maksimum; kedua bilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurva dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.8.

Kurva tersebut memotong sumbu-x di

20 dan 0 0 ) 20

( − = ⇒ ₁= ₂=

=x x x x

y

Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum; semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilai maksimum ypuncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini

kita sebut nilai maksimum absolut.

Jika seandainya ypuncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia akan menjadi minimum

absolut, seperti pada contoh berikut.

Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita diminta menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga perkaliannya mencapai nilai minimum, sementara selisihnya tetap 20.

Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilangan yang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanya menjadi

x x x

x

y= ( +20)= 2+20

-40 -20

0 20 40 60 80 100 120

-5 0 5 10 15 20 25

y

x

8/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan memberikan nilai x yang memberikan ypuncak.

0 20 2 + =

=

′ x

y sehingga x = −10

dan nilai puncak adalah

100 200

100− =−

= puncak

y

Turunan kedua adalah y′′=+2; ia bernilai positif. Jadi ypuncak yang kita peroleh adalah

nilai minimum; kedua bilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10. Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.9.

Gb.10.9. Kurva y=x(x+20)

Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh

d cx bx ax

y= 3+ 2+ + (10.10) Turunan dari (10.29) adalah

c bx ax

y′=3 2+2 + (10.11) Dengan membuat y′′′′====0 kita akan mendapatkan xp.

c bx ax

y′=0=3 _p2+2 _p +

Ada dua posisi nilai puncak, yaitu

a ac b b

a ac b b x

x_{p p}

3 3

6 12 4 2 ,

2 2 2

1

− ± − =

− ± − =

(10.12)

Dengan memasukkan xp1 dan xp2 ke penyataan fungsi (10.11) kita peroleh nilai puncak yp1 dan yp2.

Namun bila xp1 = xp2 berarti dua titik puncak berimpit atau kita sebut titik belok.

Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva fungsi y=2x3−3x2+3 dan apakah nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum.

Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol, akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurva terjadi.

1 dan 0 memberikan

0 ) 1 ( 6 6 6 2

= =

= − = − = ′

x x

x x x x y

Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnya memberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya.

-120 -100 -80 -60 -40 -20

0 20 40

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

9/10

2

memberikan

1

3

memberikan

0

+ = =

+ = =

puncak puncak

y x

y x

Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakah nilai puncak ypuncak minimum

atau maksimum kita lihat dari turunan kedua dari fungsi y

6 1

Untuk

6 0

Untuk 6 12

+ = ′′ ⇒ =

− = ′′ ⇒ = − = ′′

y x

y x

x y

Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum, sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurva dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.10.

Gb.10.10.Kurva y=2x3−3x2+3dan garis singgung di R.

10.5. Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsi y= f(x) secara umum adalah y_s =mx dengan kemiringan m adalah turunan pertama fungsi di titik R.

Contoh: Lihat fungsi y=2x3−3x2+3 yang kurvanya diberikan pada Gb.10.10.

Turunan pertama adalah y′=6x2−6x=6x(x−1). Titik R dengan absis x_R =2, memiliki ordinat

7 3 4 3 8 2

R= × − × + =

y ; jadi koordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik R adalah m=6×2×1=12.

Persamaan garis singgung y_s=12x+K . Garis ini harus melalui R(2,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaan garis singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaan garis singgung akan kita dapatkan nilai K.

K x

y_s=12 + ⇒ ₇=₁₂×₂+_K ⇒_K=₇−₂₄=−_17.

Persamaan garis singgung di titk R adalah y_s=12x−17

10.6. Contoh Hubungan Diferensial

Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)

Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir per detik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran muatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q maka

dt dq i=

Satuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi 1 A = 1 C/detik. -20

-15 -10 -5

0 5 10 15

-2 _-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

P[0,3] Q[1,2]

x y

ys

10/10 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom

Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi per satuan muatan.

Kalau tegangan diberi simbol v dan energi diberi simbol w, maka

dq dw v=

Satuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W = 1 J/detik.

Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p maka

dt dw p=

Dari definisi tegangan dan arus kita dapatkan vi

dt dq dq dw dt dw

p= = =

Karakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakan dengan relasi antara arus yang melewati piranti dengan tegangan yang ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, vL dan iL masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arus dan tegangan

induktor adalah

dt di L vL= L

Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi kapasitor, vC dan iC adalah

tegangan dan arus kapasitor, maka

dt dv C i_C= c