DEFINISI TURUNAN
: dengan kan
didefinisi
x terhadap f(x)
y dari
Turunan
h
f(x) -
h) lim f(x
0 (x) h
f dx y
dy
: dengan kan
didefinisi
1
1
Tentukan turunan dari fungsi ini
) 1 )(
2 (
f(x) g.
f(x) b.
x 2x 2
f(x) f.
4 f(x)
a. 2 2
x x
x
f(x) j.
x 2 f(x)
e.
) 2 (
f(x) i.
x f(x)
d.
1) -
(x
2) f(x) (x
h.
x 7 f(x)
c.
15 -
2
2 x
RUMUS-RUMUS TURUNAN
nx (x)
f maka x
f(x) 3.
k (x)
f maka k.x
f(x) 2.
0 (x)
f maka k
f(x) 1.
1 - n 1
n
1 1
k.nx (x)
f maka k.x
f(x) 4.
nx (x)
f maka x
f(x) 3.
1 - n 1
n
1 - n 1
n
RUMUS-RUMUS TURUNAN
UV1 1V
U 1(x)
f maka U.V
f(x) 7.
V1 U1
1(x) f
maka V
- U f(x)
6.
V1 U1
1(x) f
maka V
U f(x)
5.
9. f(x) U maka f (x) n.U U V2
U.V1 -
1V (x) U
f1 V maka
f(x) U 8.
UV1 1V
U 1(x)
f maka U.V
f(x) 7.
1 1 - n 1
n
Turunan ke-n dan turunan di x = k
Turuan kedua dari fungsi f(x) dinotasikan dengan f’’(x) didapat dari turunan pertama yang diturunkan
kembali f’’(x) = (f’(x))’
Turunan pertama suatu fungsi f(x) di titik x
Turunan pertama suatu fungsi f(x) di titik x
didapatkan dengan menurunkan fungsi f(x)menjadi f’(x) kemudian memasukkan nilai x pada f’(x)
TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI
dx 0 dk atau
0.
(x) '
f
: maka konstan
k dengan
k f(x)
Jika
KONSTAN FUNGSI
1.
TEOREMA
) (Terbukti
0 0
Limit
h k - Limitk
h
f(x) -
h) Limit f(x
(x) '
f :
BUKTI
dx
0 h
0 h
0 h
CONTOH
f(x) h)
f(x :
Jawab
5 Limit Hitunglah
0
h
0 0
Limit
h 5 Limit 5
h
f(x) h)
Limit f(x (x)
' f
0
h
0
h
0
h
FUNGSI IDENTITAS
1 )
d ( atau
1 (x)
' f maka x,
f(x) Jika
IDENTITAS FUNGSI
2.
TEOREMA
x ) 1 dx (
atau x
h
h
x - h Limit x
h
f(x) h)
Limit f(x (x)
' f :
BUKTI
0
h
0
h
) (Terbukti 1
1 Limit
h Limit h
0
h
0
h
FUNGSI PANGKAT
x h)
Limit(x f(x)
- h) Limit f(x
(x) ' f
: BUKTI
nx )
dx (x atau d
nx (x)
' f
maka rasional,
bilangan n
dan x
f(x) Jika
PANGKAT FUNGSI
3.
TEOREMA
n n
1 - n n
1 - n
n
).
Terbukti (
nx
1 x n
h ...
h 2 x
x n 1 Limit n
h
x n h
... n h
2 x h n
1 x x n
0 n Limit
Limit h Limit h
(x) ' f
: BUKTI
1 - n 1
- n
1 n -2
n 1
- n 0
h
n n
2 -2 n 1
- n n
0 h
0 h 0
h
CONTOH
5x f(x)
c.
x f(x)
b.
x f(x)
a.
: berikut fungsi
- fungsi dari
fungsi Turunan
Carilah
50 100 3
250x x
50 . 5 nx
(x) ' f maka 50,
n , 5x f(x)
c.
100x 100x
nx (x)
' f maka 100,
n , x f(x)
b.
3x 3x
nx (x)
' f maka 3
n , x f(x)
a.
: SOLUSINYA
49 1
- 50 1
- n 50
99 1
100 1
- n 100
2 1
3 1
- n 3
AKTIVITAS SISWA
x f(x)
e.
x f(x)
b.
x f(x)
d.
4 f(x)
a.
: berikut fungsi
- fungsi dari
Turunan Tentukan
1.
-2 5
10
pecahan dan
negatif bulat
bilangan n
untuk benar
3 Teorema Buktikan
.
2
x f(x)
f.
x f(x)
c.
-3 14
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI
f(x) c.f '(x)
dx c. d c.f(x)
dx atau d
(x) ' c.f (x)
' g
: maka ada,
(x) ' f dan c.f(x)
g(x) oleh
kan didefinisi
yang fungsi
g dan konstanta,
suatu c
fungsi, suatu
f Jika
FUNGSI
DENGAN KONSTANTA
KALI HASIL
4.
TEOREMA
) Terbukti (
(x) ' c.f
h
f(x) -
h) c. f(x
Limit
h
c.f(x) -
h) c.f(x
Limit
h
g(x) -
h) Limitg(x
(x) ' g :
BUKTI
(x) ' c.f dx f(x)
c.
c.f(x) atau dx
(x) ' c.f (x)
' g
0 h
0 h
0 h
CONTOH
(x) ' 100.g (x)
' f , 100x f(x)
b.
250x
5 x
f(x) 6
c.
5.50x
100x f(x)
b.
(x) ' 5.g (x)
' f , 5x f(x)
a.
: SOLUSINYA
5x
f(x)
a.
: berikut f(x)
fungsi Turunan
Tentukan
1.
90 49 55
49 90
50 50
66x
55x 5 .
6
(x) ' 5 .g (x) 6
' f , 5 x
f(x) 6 c.
9000x
100.90x
(x) ' 100.g (x)
' f , 100x f(x)
b.
54 54 55
89 89 90
AKTIVITAS SISWA
.x 50x
50
110x f(x) 55x
d.
3 x
f(x) 2
a.
: berikut f(x)
fungsi Turunan
Tentukan
10 50
- 35 - 15
3 -
88 f(x) 100x
c.
5x
.x f(x) 50x
e.
2x
f(x) 50
b.
32 -
3
10 50
- 20
JUMLAH DUA FUNGSI
x dari fungsi
- fungsi adalah
V dan
U Jika
FUNGSI DUA
JUMLAH
5.
TEOREMA
V' U'
V) dx (U
d atau
(x) V'
(x) U'
(x) '
f '
y maka
V(x), U(x)
f(x) y
dan
diturunkan dapat
yang
BUKTI
h
v(x) u(x)
h) v(x
h) Limit u(x
h
f(x) -
h) Limit f(x
(x) '
f
0 h
0 h
) Terbukti (
(x) v'
(x) u'
h
v(x) -
h) Limit v(x
h
u(x) h)
Limit u(x
h
v(x) -
h) v(x
h
u(x) h)
Limit u(x
h
0 h 0
h
0 h
0 h
SELISIH DUA FUNGSI
d
atau
(x) V' - (x) U' (x)
' f ' y
maka V(x),
- U(x) f(x)
y dan diturunkan
dapat yang
x dari fungsi
- fungsi adalah
V dan U
Jika
FUNGSI DUA
SELISIH
6.
TEOREMA
v' - u' v)
dx (u d
CONTOH 1
d d
d :
SOLUSINYA
2 7
6x f(x)
dari Turunan
Tentukan 2 x
7 - 12x
0 7.1
- 6.2x
dx (2) (x) d
dx 7 d
) dx (x
6 d
dx (2) ) d
7 dx ( ) d
6 dx ( (x) d
' f
2 7
6x f(x)
2 2 2
x x x
CONTOH 2
: berlaku sehingga
1 h dengan C(x)
- h) C(x C
Marginal Biaya
: SOLUSINYA
a.
produksiny biaya
dari marjinal
biaya Tentukan
rupiah.
ribuan
180 30
8 x C(x) 1 sebesar
produksi biaya
dibutuhkan barang
unit x i memproduks untuk
bahwa menaksir
perusahaan Sebuah
2
x
30 4 x
1
1 . 30 2
8. 1
0 dx (x)
30 d )
dx (x d 8 1
dx 180 30 d
dx x d
8 1 dx d
180 30
8 x 1 dx (x) d
C'
: berlaku sehingga
1 h dengan C(x)
- h) C(x C
Marginal Biaya
2 2 2
x
x x
AKTIVITAS KELAS
2 2 3
2x) -
(6 f(x)
b.
5 2
4x f(x)
a.
: BERIKUT FUNGSI
- FUNGSI TURUNAN
CARILAH
x x
2 2
x 2x 2
f(x)
c.
2x) -
(6 f(x)
b.
PERKALIAN DUA FUNGSI
(x) U(x).V' (x).V(x)
U' (x)
' f maka
U(x).V(x), f(x)
dan diturunkan
dapat yang
x dari fungsi
- fungsi V
dan U
Jika
FUNGSI.
DUA PERKALIAN
7.
TEOREMA
) U.(V' U'.(V)
(U.V) dx
d
: atau
(x) U(x).V' (x).V(x)
U' (x)
' f maka
BUKTI
u(x).v(x) -
h).v(x) u(x
h).v(x) u(x
- h) h).v(x
Limitu(x
h
u(x).v(x) -
h) h).v(x
Limitu(x
h
f(x) -
h) Limit f(x
(x) ' f
0 h
0 h
) Terbukti (
(x) V(x).U' (x)
U(x).V'
h
u(x) -
h) Limit u(x
v(x).
Limit h
v(x) -
h) Limit v(x
h).
u(x Limit
h
u(x) -
h) u(x
v(x).
Limit h .
v(x) -
h) v(x
h) Limitu(x
Limit h
0 h 0
h 0
h 0
h
0 h 0
h
0 h
CONTOH
: didapat 7
teorema dalam
ke Masukan
1 4x
(x) V' dan
6x (x)
U'
x x
V(x) dan
2 3x
U(x)
Misalkan
: SOLUSINYA
x) 2)(x
(3x f(x)
pertama turunan
mencari untuk
7 Teorema Gunakan
3 4 2
4 2
2 9x
8x 18x
6x 6x
2 3x
8x 12x
x) x
)(
6 ( ) 1 2).(4x
(3x
(x).V(x) U'
(x) U(x).V' (x)
' f
: didapat 7
teorema dalam
ke Masukan
2 3
5
2 5
2 3
5
4 3
2
x
PEMBAGIAN DUA FUNGSI
maka 0,
V(x) U(x),
f(x) dan
, diturunkan dapat
yang x
dari fungsi
- fungsi V
dan U
Jika
FUNGSI.
DUA PEMBAGIAN
8.
TEOREMA
V(x)- U(x).V'2 (x) atau dxd UV U'VV2UV'
(x).V(x) (x) U'
' f
maka 0,
V(x) V(x),
f(x) dan
CONTOH
2 2
3 2 3
2
3 2
) 10).(3x (3x
- 9) (6x)(x
(x) U(x).V' -
(x).V(x) U'
: didapat 8
Teorema n
Berdasarka
3x (x)
V'
9 x
V(x)
6x (x)
U'
10 3x
U(x) Misalkan
: SOLUSINYA
9 x
10 f(x) 3x
turunan mencari
untuk 8
Teorema Gunakan
2 3
3 4
2 3
3 4
3 4
2 3
2 2
3
2 3
2 2
3 2
9) (x
90 54x
40x 3x
-
9) (x
30x 9x
90 54x
10x 6x
9) (x
) 10x)(3x (3x
9) 10).(x
(6x
9) (x
) 10).(3x (3x
- 9) (6x)(x
V(x)
(x) U(x).V' -
(x).V(x) (x) U'
' f
AKTIVITAS SISWA
3 - 4x 3x
- 1 3
1 - 10x x
3x f(x) 4x
c.
2 5
1 2
f(x) 3x
a.
: berikut fungsi
- Fungsi Turunan
Hitunglah
2 3
2 2
x
x
1
2x -
x
3 - 4x f(x) 3x
d.
5
x - x 3 f(x)
b. 2
2
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI
: maka
diturunkan dapat
yang x
dari fungsi
merupakan f(g(x))
y serta
diturunkan dapat
yang x
dari fungsi
merupakan g(x)
u dan
diturunkan dapat
yang u
dari fungsi
merupakan f(u)
y Jika
RANTAI
DALIL
9.
TEOREMA
dx .du du dy dx
dy atau
(x) (g(x)).g' f'
(f(g(x)) dx
(x) d y'
: maka
CONTOH 1
6 2
6 2
U y
maka
3 5
4x U
: SOLUSINYA
) 3 5
(4x y
: dari Turunan
Tentukan
x x
5 2
5 2
5 2
5
6 2
3) 5x
)(4x 30
- 48x (
5 8x
. 3) 5x
6(4x
dx . du du
dy dx
dy
5 dx 8x
du
3) 5x
6(4x du 6U
dy
U y
maka
3 5
4x U
x
CONTOH 2
3)4
2)(x (x
y
: ini berikut
fungsi dari
Turunan Carilah
AKTIVITAS SISWA
1 - 2x u
dan 3u
y a.
ini berikut
soal dx pada
Tentukan dy 1.
15
x 3 1
23f(x) b.
5 2x
- 7x
f(x) a.
: berikut fungsi
Turunan Tentukan
. 2
2 x
u dan
4u y
b.
2
2
2 3
-
x
x
RUMUS-RUMUS TURUNAN
0 (x)
f maka k
f(x) 2.
k.nx (x)
f maka k.x
f(x) 1.
1
1 - n 1
n
U n.U
(x) f
maka U
f(x) 3.
0 (x)
f maka k
f(x) 2.
1 1 - n 1
n
1
RUMUS-RUMUS TURUNAN
U.V1 1.V
U 1(x)
f maka U.V
f(x)
4.
V2
U.V1 -
1V (x) U
f1 V maka
f(x) U 5.
U.V .V
U (x)
f maka U.V
f(x) 4.
Definisi Turunan Fungsi
h ,
f(a) h)
Limit f(a (a)
'
f
,
Limit h (a)
'
f h 0
CONTOH 1.
1 x
pada
2x, -
3 f(x)
fungsi runan
Carilah tu
JAWAB
2(1)}
- {3 -
h)}
2(1 -
Limit {3 (1)
' f
h
f(1) -
h) Limit f(1
(1) '
f
(1) '
f adalah 1
x pada 2x,
- 3 f(x)
0 h
-2 (1)
' f adalah
1 x
pada 2x,
- 3 f(x)
fungsi turunan
Jadi
2 2
Limit h
Limit 2h (1)
' f
Limit h (1)
' f
0 h 0
h
0 h
CONTOH 2
13, nilai
mempunyai a,
x pada
, 2 3
4x f(x)
Fungsi
Turunan 2
x
a nilai
hitunglah
