Matematika Turunan Matematika Turunan Matematika Turunan

(1)

2.1. DEFINISI TURUNAN

Turunan dari fungsi f(x) di titik x=a didefisinisikan sebagai gradien dari garis singgung kurva f(x) di x=a dan diberikan

f ‘ (a) = lim f(x) – f(a) x  a x – a

Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel/dapat diturunkan di x = a

Misal h = x – a, maka turunan f (x) di x=a dapat dituliskan: f ‘ (a) = lim f(a + h) – f(a)

h  0 h TEOREMA

Bila y = f(x) diferensiabel di x=a maka y=f(x) kontinu di x=a

Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, yaitu ada fungsi yang kontinu tetapi tidak diferensiabel.

CONTOH

Tunjukkan bahwa f(x) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferesiabel di x = 0

JAWABAN

Fungsi f(x) kontinu di x = 0 sebab f (0) = lim f(x) = 0 x0

Turunan f(x) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :

Karena -1 = lim |h| ≠ lim |h| = 1 maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0

h  0-

h

h  0+

h

Sebagaimana pengertian dari keberadaan limit fungsi (limit kiri=limit kanan) dan kekontinuan fungsi (kontinu kanan dan kontinu kiri) dapat juga

diturunkan suatu pengertian diferensiabel kanan dan diferensiabel kiri. CONTOH

Tentukan nilai a dan b agar fungsi

f

(

x

)

{

2 x

−

x

2 , x ≤

1 ax

+

b , x

>

1

diferensiabel di x = 1 kemudian tentukan nilai f’1!

(2)

x →

1 +

¿

f

(

x

)

Dari diferensial kanan sama dengan diferensial kiri, didapatkan:

Dari persamaan terakhir didapatkan nilai a = 0 sehingga nilai b = fungsi diferensiabel di x = 1 maka bentuk fungsi yaitu

f(x) = 2x – x2 ; x ≤ 1 1 ; x ≥ 1

Dari perhitungan di atas maka turunan dari fungsi f(x) di x = 1 adalah

RUMUS TURUNAN

Untuk menentukan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus definisi formal seperti di atas, namun akan lebih mudah menggunakan rumus-rumus dibawah ini:

d

(

x r

)

dx

=

rx r

−

1 ;r

∈

≈

d(f(x) + g(x)) = d(f(x)) + d(g(x)) dx dx dx

d(f(x)/g(x) = g(x)d(f(x)) – f(x)d(g(x)) dx g2_(x)

2.2. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi trigonometri (sinus dan cosinus) merupaan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan niai fungsinya yaitu lim sinx = sina dan lim cosx = cosa

xa xa

(3)

d

(

cscx

)

dx

=

d

(

1 /

sinx

)

dx

=−

cscxcotx

CONTOH

Diketahui fungsi f(x) = 1 – sin x . Tentukan nilai turunan dari fungsi f(x)! Cosx

JAWABAN

Misalkan u(x) = 1 – sin x dan v(x) = cos x, maka turunan dari kedua fungsi berturut-turut adalah u(x) = -cos x dan v(x) = -sin x. Dengan menggunakan rumus turunan

f’(x) = u ‘ v – v ‘ u maka didapatkan turunan dari f(x) v2

f’(x) = (- cos x) cos x – (-sin x)(1 – sin x) = sin x – 1 cos2_x _cos2_x

Nilai turunan fungsi f(x) di x = ∏ adalah 6

f’∏ = sin ∏/6 – 1 = ½ - 1 = - 2 6 cos2_{∏/6 ¾ 3}

2.3. TEOREMA RANTAI

Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan mencari bentuk eksplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat dilakukan dengan cara langsung menggunakan metode atau aturan rantai.

Jika kita memiliki fungsi f(x) = g(h(x)) maka belaku

atau

sehingga

f ‘(x) = g’ (h(x)). h'(x)

CONTOH

f(x) = (x3_{– 4x}2_{+ 6x – 7)}8_{maka f ‘(x) = …}

JAWABAN

f ‘(x) = (x3_{– 4x}2_{+ 6x – 7)}7_m(3x2_{– 8x + 6)}

2.4. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan ke-n

CONTOH

Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =

_√

1 +

x

2

! JAWABAN

Turunan pertama f’(x) = x

_√

1 +

x

2

f(n)_{(x) =} d

(4)

Turunan ketiga f3(x) = -3x

(1 + x2₎5/2

2.5. FUNGSI IMPLISIT

Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan fungsi implisit. Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan fungsi implisit adalah F(x,y) = k dengan k merupakan bilangan real.

CONTOH

Tentukan dy bila y – 4x + 2xy = 5 dx

JAWAB

Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, y = 4x + 5 1 + 2x

Digunakan aturan penururunan didapatkan dy = - 6 dx (1 + 2x)2

2.6. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN KURVA

FUNGSI MONOTON

Misal diberikan kurva y = f(x) dan selang/interval I yang terletak pada domain dari y = f(x), maka

- Grafik fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada selang f(x

1) > f(x2) untuk x

1 > x2 ; x1, x2 €|

- Grafik fungsi f(x) dikatakan monoton turun pada selang f(x

1) < f(x2) untuk x

1 > x2 ; x1, x2 €|

CONTOH

(5)

f(x) = -2x3_{+ 2x}2_{+ 2x} JAWABAN

Turunan pertama, f’(x) = -6x2_{+ 4x + 2. Dari f’(x) = 2(3x+1)(-x+1) maka} fungsi f(x) monoton naik pada – 1/3 < x < 1 dan fungsi f(x) monoton turun pada xx<-1/3 atau x>1.

KECEKUNGAN FUNGSI

Misal diberikan fungsi f(x) dan selang/interval I yang terletak pada domain dari fungsi f(x), maka

 Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang/interval I bila fungsi f’(x) monoton naik pada selang/interval I

 Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada selang/interval I bila fungs f’(x) monoton turun pada selang/interval I

CONTOH

Tentukan selang/interval kecekungan dari fungsi f(x) = 1 + x2

1 + x

JAWABAN

Turunan pertama f’(x) = x 2_{+ 2x – 1} (1 + x2₎ Turunan kedua f’’(x) = 4

(1 – x3₎

Fungsi cekung ke atas, f’’(x) > 0 pada selang/interval x> -1 dan fungsi cekung ke bawah pada selang/interval x < -1

2.7. NILAI EKSTRIM DAN ASYMTOT

NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM

Misal diberikan fungsi y = f(x) dan selang/interval I yang memuat x – a, r  Nilai f(a) disebut nilai ekstrim maksimum pada selang/interval f(a) > f(x)

untuk setiap x € I. Titik dengan koordinat (a,f(a)) dinamai titik maksimum dari fungsi y = f(x)

 Nilai f(a) disebut nilai ekstrim minimum pada selang/interval I untuk setiap x € I. Titik dengan koordinat (a,f(a)) dinamai titik minimum dari fungsi y = f(x)

Untuk menentukan jenis nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari fungsi f(x) dapat dilakukan dengan Uji Turunan Kedua sebagai berikut:

1. Tentukan turunan pertama dan kedua f’(x) dan f”(x)

2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f’(x) = 0), misalkan nilai stasioner adalah x=a

(6)

CONTOH

Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f(x) = x4_{+ 2x}3_{+ x}2_{– 5!} JAWABAN

Turunan pertama dari fungsi f(x), f’(x) = 4x3_{+ 6x}2_{+ 2x}

Nilai stasioner dari f(x) terjadi pada saat f”(x)=0 yaitu di x=-1, x=-½, f”(-½) = -1 dan fungsi f(x) mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-½) = - 4 15

16

TITIK BELOK

Misal f(x) kontinu di x=b, maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) bila terjadi perubahan kecekungan di x=b, yaitu di satu sisi kiri x=b cekung ke atas dan di sisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya.

CONTOH

Carilah titik belok (bila ada) dari f(x) = 2x3_{– 1}

JAWABAN

Dari f(x) = 2x3_{– 1 maka f”(x) = 12x. Bila f”(x)=0 maka x=0 merupakan} calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah x=0 adalah titik belok dilakukan berikut.

Untuk x<0 maka f”(x)<0, sedangkan untuk x>0 maka f”(x)>0. Oleh karena itu, di x=0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi (0,-1) merupakan titik belok.

ASYMTOT

Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva. Asymtot dibedakan menjadi 3 yaitu;

1. Asymtot tegak, x=a 2. Asymtot datar, y =b 3. Asymtot miring, y = ax+b

CONTOH

(7)

GRAFIK FUNGSI

Dalam menggambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu:

1. Selang/interval kemonotonan 2. Selang/interval kecekungan 3. Titik ekstrim dan jenisnya

4. Titik potong terhadap salib sumbu (sumbu X dan sumbu Y) 5. Titik belok (bila ada)

6. Semua asymtot (bila ada)

7. Titik lain (sembarang) yang dapat membantu memudahkan menggambarkan grafik

2.8. APLIKASI NILAI EKSTRIM

Penerapan nilai ekstrim banyak dijumpai di sekitar kita, antara lain bagaimana menyelesaikan permasalahan optimasi pada suatu daerah tertutup. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut perlu dilakukan langkah-langkah sebagai berikut;

1. Buatlah sketsa permasalahan dan tandai kuantitas yang terkait dengan permasalahan tersebut

2. Tentukan rumus yang menyatakan kuantitas tersebut

3. Gunakan kondisi yang ada untuk menyatakan rumusan tersebut ke dalam fungsi satu peubah

4. Carilah interval dan kemungkinan nilai peubah yang secara fisik menjadi batas dari permasalahan yang ada

5. Gunakan cara-cara yang ada sebelumnya untuk menyelesaikan permasalahan optimasi tersebut

CONTOH

Jumlah dua buah bilangan real sembarang sama dengan 10. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kali kedua bilangan tersebut maksimal!

JAWABAN

Misalkan dua bilangan tersebut x dan y, maka berlaku x+y=10. Adapun fungsi yang menyatakan hasil kali kedua bilangan tersebut dinyatakan f(x) = xy = x(10 – x) = 10x – x2

(8)

2.9. DALIL DELHOPITAL

Penerapan lain dari turunan pertama dilakukan untuk menghitung limit fungsi.

Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit yaitu

0 ,

∞

, 0.

∞

dan

∞

−

∞

0 ∞

Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan oleh Delhopital. Misal lim f(x) = lim g(x)=0 atau lim f(x) = lim g(x)=∞

Maka lim f(x) = lim f’(x) g(x) g’(x)

Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk 0 ,

∞

0 ∞

Maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan meripakan bentuk tak tentu tersebut.

CONTOH

Hitunglah limit berikut! lim 1 – cos2x x→0 x2

JAWABAN

Limit ini mempunyai bentuk 0/0, sehingga untuk menghitungnya dilakukan dengan cara menurunkan pembilang dan penyebut. Hasil penurunan pertama ternyata juga masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, sehingga perlu diturunkan lagi pembilang dan penyebut. Hasil perhitungan limit diperoleh sebagai berikut