Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

i

Sudaryatno Sudirham

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117

3

BAB 10

Turunan Fungsi-Fungsi (2)

(Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari

Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit)

10.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Misalkan kita memiliki dua fungsi x,

v

(x

)

dan

w

(x

)

, dan kita hendak mencari turunan terhadap x dari fungsi

y =

vw

. Misalkan nilai x berubah sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar ∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan

y =

vw

tetap berlaku, yaitu ) ( ) )( ( ) ( v w v w w v vw w w v v y y ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ + = ∆ + (10.1)

Dari sini kita dapatkan

x w v x v w x w v x vw v w v w w v wv x y y y x y ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ − ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ − ∆ + = ∆ ∆ ) ( ) ( (10.2)

Jika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga x w v ∆ ∆ ∆

juga mendekati nol. Persamaan (10.2) akan memberikan

dx dv w dx dw v dx vw d dx dy₌ ( )_{= + (10.3)}

Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua fungsi.

Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi

mononom 5

6x

y = yang kita tahu turunannya adalah y =′ 30x4. Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi

y =

vw

4 4 4 2 2 3 2 3 30 18 12 6 3 6 2 ) 3 2 ( x x x x x x x dx x x d y′= × = × + × = + =

Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan. Bagaimanakah

dx uvw

d( ) _{jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita} aplikasikan (10.3) secara bertahap seperti berikut.

dx du vw dx dv uw dx dw uv dx du v dx dv u w dx dw uv dx uv d w dx dw uv dx w uv d dx uvw d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( + + =       ₊ + = + = = (10.4)

Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji

sebelumnya, yaitu 5

6x

y = yang kita tahu turunannya adalah

4

30x

y =′ . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga

fungsi _{y =uvw} dengan u=2x , v =3x2, dan w =x. Menurut (10.9) turunan dari y adalah

4 4 4 4 2 2 2 2 30 12 12 6 ) 4 )( (3x ) 6 )( 2 ( ) 1 )( 3 2 ( ) ( x x x x x x x x x x x dx uvw d dx dy = + + = × + × + × = =

Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan.

10.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi

Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan

dx

dy _{jika y = v}n

dengan

v adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi v

v v v

y₁= 6= 3× 2× dengan v merupakan fungsi x. Jika kita aplikasikan formulasi (10.4) akan kita dapatkan

5 dx dv v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v dx dv v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v v dx dv v v dx dv v v dx dy 5 4 5 5 5 2 2 3 4 5 3 2 2 3 2 3 1 6 2 ) ( ) ( ) ( =       ₊ + + + =         + +       ₊ + = + + =

Contoh ini memperlihatkan bahwa

dx dv v dx dv dv dv dx dv6 6 5 6 = =

yang secara umum dapat kita tulis

dx dv nv dx

dvn ₌ n−1 _(10.5)

Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara

perkalian dan pangkat dua fungsi.

2 3 3 2 _{1) ( 1)} ( + − = x x y

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi.

) 1 2 ( ) 1 )( 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 3 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 − + + − = + − + − + = + − + − + = + − + − + = x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d x dx x d x dx dy

10.3. Fungsi Rasional

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w v

y = (10.6) Tinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan

w

≠

0

. Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi:

1

− = vw

y (10.7) Kalau kita aplikasikan (10.3) pada (10.7) kita peroleh

      ₋ = + − = + − = + = =       = − − − − − dx dw v dx dv w w dx dv w dx dv w v dx dv w dx dv vw dx dv w dx dw v dx vw d w v dx d dx dy 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ) ( atau 2 w dx dw v dx dv w w v dx d      ₋ =       _(10.8)

Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w. (Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi peubah x dari w). Contoh: 1). 3 2 ₃ x x y= − 4 2 6 2 4 4 6 2 2 3 9 ) 9 3 ( 2 ) 3 )( 3 ( ) 2 ( x x x x x x x x x x x dx dy + − = − − = − − = 2). 2 2 1 x x y= +

7 3 2 ₂ 2 4 2 1 0 2 x x x x x dx dy_{= +} × − × _{= −} 3). ; dengan 1 1 1 2 2 2 ≠ − + = x x x

y (agar penyebut tidak nol)

2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( − − = − − − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x dx dy 10.4. Fungsi Implisit

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi

implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat

didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.

Contoh:

1). 2_{+ +} 2₌₈ y xy

x . Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

y x dx dy y x dx dy y dx dx y dx dy x x − − = + = + + + 2 ) 2 ( 0 2 2

Untuk titik-titik di mana (x+ y2 )≠0 kita peroleh turunan

y x y x dx dy 2 2 + + − =

8 , 0 4 1 2 2 ₌₋ + + − = dx dy .

Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y bentuk implisit yang sedang kita hadapi.

2). x4+4xy3−3y4=4. Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh 0 12 4 ) 3 ( 4 4 0 ) 3 ( ) 4 ( 4 4 3 3 2 3 4 3 3 3 = − + + = − + + dx dy y y dx dy y x x dx y d dx x d y dx dy x x ) ( 4 ) 12 12 ( 2 3 x3 y3 dx dy y xy − =− +

Di semua titik di mana ₍ 2_{− y}3_)≠0

xy kita dapat memperoleh

turunan ) ( 3 ) ( 3 2 3 3 y xy y x dx dy − + − =

10.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari suatu fungsi lain, y = vn , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat. Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio

q p

n = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah

fungsi yang bisa diturunkan.

q p

v

y= / (10.9) Fungsi (10.9) dapat kita tuliskan

p q

v

y = (10.10) yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi terhadap x di kedua ruas (10.10) kita peroleh

dx dv pv dx dy qyq−1 = p−1

9 Jika y ≠ 0, kita dapatkan

dx dv qy pv dx v d dx dy q p q p 1 1 / ) ( − − = = (10.11)

Akan tetapi dari (10.9) kita lihat bahwa

( )

/ 1 ( / ) 1 p q q p p q q _{v v} y − = − = − sehingga (10.11) menjadi dx dv v q p dx dv v q p dx dv qv pv dx v d dx dy q p q p p p q p p p q p 1 ) / ( ) / ( ) 1 ( ) / ( 1 / ) ( − + − − − − = = = = (10.12)

Formulasi (10.12) ini mirip dengan (10.5), hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

10.6. Kaidah Rantai

Apabila kita mempunyai persamaan

) ( dan ) (t y f t f x= = (10.13) maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk ) (x F y = (10.14) Bagaimanakah _{F (x)} dx

dy_{= ′ dari (10.14) ber-relasi dengan}

) ( dan ) ( f t dt dx t g dt dy _{= ′ = ′} ? Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.

Jika _{y =F(x)} dapat diturunkan terhadap x dan )

(t

f

x = dapat diturunkan terhadap t, maka

(

f(t)

)

g(t)

F

y= = dapat diturunkan terhadap t menjadi dt dx dx dy dt dy = (10.15) Relasi ini sudah kita kenal.

10.7. Diferensial dx dan dy

Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai

) ( ) ( 1 2 1 2 x x y y x y m − − = ∆ ∆ =

kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol. Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x pada formulasi ) ( lim 0 x f x y dx dy x ′ = ∆ ∆ = → ∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan

fungsi dari x:

) (x

F

y= (10.16) Kita ambil definisi sebagai berikut

1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain selain x;

2. dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

dx x F

dy= '( ) (10.17) Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai

11 ) (x f dx dy _{= ′} .

Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan memperoleh relasi (10.17), namun sesungguhnya (10.17) didefinisikan dan bukan berasal dari relasi ini.

Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti terlihat pada Gb.10.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar

dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan

berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

Gb.10.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.

θ =tan dx dy ; dy=(tanθ)dx 1. dx dy

adalah laju perubahan y terhadap perubahan x. 2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis

singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx skala. P dx dy θ P dx dy θ P dx dy θ P dx dy θ y x x x x y y y

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

Tabel-10.1

Turunan Fungsi Diferensial 1. =0 dx dc ; c = konstan 1.dc=0; c = konstan 2. dx dv c dx dcv = 2.dcv =cdv 3. dx dw dx dv dx w v d( + )_{= +} 3.d(v+ )w =dv+dw 4. dx dv w dx dw v dx dvw + = 4.d(vw)=vdw+wdv 5. 2 w dx dw v dx dv w dx w v d ₋ =       5. 2 w vdw wdv w v d = −      6. dx dv nv dx dvn ₌ n−1 _6.dvn =_nvn−1_dv 7. = n−1 n cnx dx dcx _7.d(cxn_)=cnxn−1_dx

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-10.1), kemudian dikalikan dengan dx.

2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan Tabel-10.1)

Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi

6 5 3 2 3_{− + −} =x x x y

13 Turunan y adalah : y′=3x2−6x+5

sehingga dy=(3x2−6x+5)dx

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas: dx x x dx xdx dx x d x d x d x d dy ) 5 6 3 ( 5 6 3 ) 6 ( ) 5 ( ) 3 ( ) ( 2 2 2 3 + − = + − = − + + − + =

Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. 3 2 2 4 3 2 3 ) 1 ( ) 2 ( ; ) 2 ( ; ) 3 ( ) 1 ( − + + = − = + − = x x y x x y x x y 1 3 2 ; 1 1 ; 1 1 2 2 2 2 + =       − + = − + = x x y x x y x x y 2 2 ; 1 ; ; 2 3 3 2 2 2 2 2 = − − = + + = + = + y x y x y x y x y x y x y xy

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. 5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.