Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

ii

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

BAB 3

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x, sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak bebas, y.

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-fungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Anak Tangga

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai

u

(x

)

. Jadi

0 untuk 0 0 untuk 1 ) ( < = ≥ = x x x u (3.1) Jika suatu fungsi tetapan

y =

=

=

=

k

dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), yaitu

) (x ku

y = (3.2) Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x ≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi

)

(

5

,

3

u

x

y =

dan fungsi

y

=

−

2

,

5

u

(

x

)

yang bernilai nol untuk x < 0 dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.

3-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral -4 0 5 -5 0 x 5 y y = 3,5 u(x) y = −2,5 u(x)

Gb.3.1. Fungsi anak tangga.

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan

)

(x −a . Dengan demikian maka fungsi anak tangga )

(x a ku

y= − (3.3) merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.

-4 0 5 -5 0 x 5 y y = 3,5 u(x−1) 1

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).

3.2. Fungsi Ramp

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x < 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah

) (x axu

y = (3.4) Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah

) ( ) (x g u x g a y= − − (3.5) dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagiany₁=a(x−g) adalah fungsi linier tergeser sedangkan

) (

2 u x g

y = − adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y =₁ xu(x), fungsi ramp

) ( 2

2 xu x

y = , dan fungsi ramp tergeser y₃=1,5(x−2)u(x−2).

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x),

ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2).

3.3. Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan

menghilang pada x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan

gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 _x 4 y y1 = xu(x) y2 = 2xu(x) y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

3-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya adalah ) ( ) (x x₁ au x x₂ au y= − − − (3.6) x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2

adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1.

Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih

)

(

x −

₂

x

₁ disebut lebar pulsa

1 2 x x pulsa

lebar = − (3.7) Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x = 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

{

( 1) ( 2)

}

2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 − − − = − − − = x u x u x u x u y

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu

{

( −1)− ( −2)

}

=

′ u x u x

y , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada

x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah

{

u(x x₁) u(x x₂)

}

A

y′= − − − ; lebar pulsa ini adalah (x2 – x1).

Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3

dan amplitudo 4, memiliki persamaan y=4

{

u(x)−u(x−3)

}

. y1=2u(x-1) y2=-2u(x-2) y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2) lebar pulsa -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 x 4

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar lebar pulsanya, (x −₂ x₁), dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai. Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa

Gb.3.5. Deretan Pulsa.

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang

diberi simbol toff. Satu perioda T = ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa

adalah maks on rr y T t y _pulsa= (3.8)

dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.

Persamaan umumnya adalah

{

( ) ( )

}

)

(x Au x x1 u x x2

mxu

y= × − − − (3.9)

dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

{

u(x x₁) u(x x₂)

}

mAx

y= − − −

Perhatikan bahwa u(x)=1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.

Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y =₁ 2xu(x) dengan fungsi pulsa y₂=1,5

{

u(x−1)−u(x−3)

}

yang hanya memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

perioda

x y

3-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

{

}

{

( 1) ( 3)

}

3 ) 3 ( ) 1 ( 5 , 1 ) ( 2 2 1 3 − − − = − − − × = = x u x u x x u x u x xu y y y

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.

Perkalian fungsi ramp y =1 mxu(x) dengan pulsa y2=1

{

u(x)−u(x−b)

}

membentuk fungsi gigi gergaji y=(m×1)x

{

u(x)−u(x−b)

}

yang muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

2 gergaji -gigi maks rr y y = (3.10) y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} y3 = y1 y2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 x 5 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 x 5 yy x b y2={u(x)-u(x-b)} y1=mxu(x) y3 = y1 y2 =mx{u(x)-u(x-b)}

dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.

Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 + − − + − − + = x x u x x c x x u x x b x axu y (3.11) Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y =₁ 2xu(x) dan

) 2 ( ) 2 ( 2 2=− x− u x−

y seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua

fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat mencapai x = 2.

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, y =₁ 2xu(x) dan y=−4(x−2)u(x−2). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 y x -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 _x 5 y y1=2xu(x) y2= −2(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) y

3-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa

) 3 ( ) 1 ( − − − =u x u x

y_pulsa akan kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb.3.11.

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

Gb.3.12. Gelombang segitiga.

x

-10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5

x

y 5 y1=2xu(x) y2= −4(x-2)u(x-2) y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} y1=2xu(x) y2= −4(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2) -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5

x

y

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.

3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Fungsi anak tangga satuan yang tergeser y=u(x−a) hanya mempunyai nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥ a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan yang tergeser.

3-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Soal-Soal

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini :

a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0.

b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1.

c) y3: ymaks = −5 , muncul pada x = 2.

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini. 3 2 1 6 3 1 5 2 1 4

;

b).

;

c).

a).

y

=

y

+

y

y

=

y

+

y

y

=

y

+

y

+

y

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1. c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 10 dan perioda 0,5.

6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yang digambarkan di samping ini.

7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik yang digambarkan di samping ini.

5 −3 0 x y perioda 1 2 3 4 5 6 −5 0 x y perioda 5 1 2 3 4 5 6