Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

i

Sudaryatno Sudirham

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

ii

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117

BAB 4

Mononom dan Polinom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5 10 ) 5 ( 7 3 5 4 3 2 2 2 2 3 1 = = − = + − + = y x y x y x x x y

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai

fungsi genap, kita tuliskan

2 kx

y = (4.1) Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier y =kx nilai k merupakan kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1. memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

Gb.4.1. Kurva fungsiy =kx2 dengan k positif.

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum pada titik [0,0]. -100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = −2x2 y = −10x2 y x

Gb.4.2. Kurva fungsi y =kx2 dengan k negatif.

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif; kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2 ) ( ) (y−b =k x−a (4.3) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 y = x2 y = 3x2 y = 5x2

y

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0, a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k = 10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi

2 1 10x y = 2 2=10(x−2) y 30 ) 2 ( 10 2 3= x− + y

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.

Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah

berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4. memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang memiliki koefisien k sama besar.

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1. Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika pangkat makin besar.

0 50 100 -5 -3 -1 1 3

_x

5 y1= 10x 2 y2= 10(x−2)2 y3= 10(x−2)2 + 30

Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi. Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama. Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan ydengan koefisien yang lebih besar sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y

3

= 2x

2

y

2

= 3x

4

y

1

= 6x

6

y

x

y2= 2x4 y3= 2x6 y1= 2x 2 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang makin rendah pada mononom

berpangkat tinggi.

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil. Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh

peristiwa fisis.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

at t v()= (lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2 2 1 ) (t at s =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

at v_k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x

6

y = 3x

4

y = 6x

2

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 2 2 1 ) (t at s = , di mana s(t) = l.

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan sentral adalah ψ=ejkr dengan k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan gelombang.

λ π =2

k , λ : panjang gelombang

Energi kinetik elektron sebagai gelombang, Ek , adalah e k m k E 2 2 2 h =

me massa electron,

h

suatu konstanta.

Ek dan k memiliki relasi mononomial

pangkat dua

(Dari Bab-8, ref. [4])

Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan

dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis y =kx. Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.

Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.

]]]]

anoda katoda

l

k Ek

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam “pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang −1≤x≤1.

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis y =kx bisa terjadi pada nilai x < 1.

4.2. Polinom Pangkat Dua

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk c bx ax

y= 2+ + (4.4) Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat. y y1=2x 2 x y3=13 y2=15x -150 0 150 -10 ₀ -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y = 2x y = 2x5 y = 2x3

Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

(a) (b) (c) Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2x2 , y2 = 15x, dan y3 = 13 y4 = 2x 2 +15x

x

y

-150 0 150 -10 0 sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13 y4=2x2+15x −15/2

x

y

-150 0 150 -10 0 sumbu simetri −15/4 y1=2x2 y4=2x 2 +15x

x

y

y2=15x -150 0 150 -10 0 x = −15/2

Karena y₂ =15x melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2 juga melalui titik [0,0] maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva

x x y y

y₄= ₁+ ₂=2 2+15 (4.5) yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga memotong sumbu-x di x=−15/2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan

2 / 15 − =

x ) memenuhi persamaan y₃=2x2+15x=0. Kurva ini memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x=−15/4 seperti terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4 tebentuklah 13 15 2 2 5= x + x+ y (4.6) yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13 skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

c bx ax

y= 2+ +

yang dapat kita tuliskan sebagai

a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 − −       ₊ = + −       ₊ = +       ₊ = (4.7)

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh

a b 2 − kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh _

      ₋ − a ac b 4 4 2 . Perhatikan Gb.4.8.

Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri sejauh

–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah sejauh –(b2−4ac)/4a.

Sumbu simetri terletak pada

a b x

2 −

= dan kurva memotong sumbu-x di sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari persamaan (4.7) kita dapatkan

0 4 4 2 2 2 = − −       ₊ = a ac b a b x a y → a ac b a b x a 4 4 2 2 2 ₋ =       ₊ → ₂ 2 2 4 4 2 a ac b a b x  = −      ₊ → 2 2 4 4 2 a ac b a b x =± −      ₊ a ac b a b x x 2 4 2 , 2 2 1 − ± − = (4.8) yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol

-50 0 0 y = ax2 +bx +c

x

1

x

2 }

y

x

y = ax2

















₋

−

a

ac

b

4

4

2

a

b

2

−

0 ) 4 ( 0 4 4 2 2 = − ⇒ = − − b ac a ac b (4.9)

Jika (b2− ac4 )<0 maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.

Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:

1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y=ax2+bx yang memotong sumbu-x di sumbu-x = 0 dan

a b

x=− dan memiliki sumbu simetri di

a b x 2 − = yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat

c bx ax

y= 2+ + .

2. Nilai puncak fungsi y=ax2+bx+c adalah nilai puncak bx ax y= 2+ ditambah c yaitu c a b y=− + 4 2 atau a ac b 4 4 2₋ − .

3. Fungsi kuadrat y=ax2+bx+c memotong sumbu-x di

a ac b a b x 2 4 2 2 2 , 1 − ± − =

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan y =kx3. Jika k positif, fungsi ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y =−3x3 y = 2x3 y = 2x3 y =−3x3 y x Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx3.

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan (x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang tergeser akan menjadi

b a x k

y= ( − )3+ (4.10) dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang berbentuk d cx bx ax y= 3+ 2+ + (4.11) Karena y =kx3 naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan y =₁ ax3 dan b =19, c = −80, d = −200 untuk menggambarkan kurva fungsi y₂=bx2+cx+d seperti terlihat pada Gb.4.11.a.

-600 -400 -200 0 200 400 600 -5 -3 -1 1 3

x

5 y = 10x3 y = 10(x−2)3 y = 10(x−2)3 + 100 y

Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2. Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1 ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan kurva y3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa persamaan pangkat tiga

ax

3

+

bx

2

+

cx

+

d

=

0

(dengan nilai koefisien yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.

-2000 0 2000 -10 0 10

y

x

y

1

=

4x

3 200 80 19 2 2= x − x− y -2000 0 2000 -10 0

_x

10

y

y

1

y

2 200 80 19 4 3 2 2 1 3 − − + = + = x x x y y y

(a)

(b)

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan yang ke-tiga ini.

(a) a kurang positif

(b) a terlalu positif

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2. Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan y di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita

2000 -10 10

y

2

y

1

y

3

= y

1

+ y

2 -2000 -2000 2000 -10 15 y1 y2 y3 = y1+y2

peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita bahas di sub-bab sebelumnya.

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat pada Gb.4.13.a.

(a)

(b)

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.

Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a

-2000 0 -10 0

y

3

= y

1

+ y

2 y1 y2 15 -2000 0 2000 -10 0 15

y

3

= y

1

+ y

2 y1 y2

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada Gb.4.13.b.

CATATA': Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.

4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞ sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan polinom,

y

=

y

₁

×

y

₂.

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua y ====kx2 simetris terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga y ====kx3 simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0], seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.

Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan

dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu-y.

Soal-Soal

1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

8

4

;

12

3

;

7

5

;

4

2 4 2 3 2 2 2 1

+

−

=

−

=

−

=

=

x

y

x

y

x

y

x

y

2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan antara kurva-kurva fungsi berikut ini

4 3 3 2 2

1

dan

y

;

y

dan

y

;

y

dan

y

y

3. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

x

x

y

x

x

y

x

x

y

₁

=

5

2

−

10

;

₂

=

3

2

−

12

;

₃

=

−

4

2

+

2

4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut.

3 1 3 2 2

1

dan

y

;

y

dan

y

;

y

dan

y

y

5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

8

2

4

;

2

12

3

;

7

10

5

2 ₂ 2 ₃ 2 1

=

x

−

x

−

y

=

x

−

x

+

y

=

−

x

+

x

+

y

6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut.

3 1

3 2 2

1

dan

y

;

y

dan

y

;

y

dan

y

BAB 5

Bangun Geometris

5.1. Persamaan Kurva

Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai 0

) , (x y =

F (5.1) Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak pada kurva.

Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di antaranya telah kita pelajari di bab pertama.

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata

dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut. Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan pembahasan.

Contoh:

y

2

+ x

2

=

1

. Jika kita cari nilai y kita dapatkan

2

1 x

y

=

±

−

Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang −1≤x≤1. Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang −1≤y≤1.

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan

sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0.

Contoh: y2+ x2=1. Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1].

Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y.

Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva

menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan asimptot dari kurva.

Contoh: y2(x2−x)=x2+10.

Persamaan ini memberikan

) 1 ( 10 2 − + ± = x x x y

Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif. Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.

Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah). Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai

x x x x x y / 1 1 / 10 1 10 2 2 2 2 − + = − + =

Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y = −1 juga merupakan asimptot dari kurva.

Soal-Soal:

Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:

x x y= +1; y= x2+1 ; 1 1 2₊ = x y ; 1 2₋ = x y ; 1 1 2₋ = x y .

5.2. Jarak Antara Dua Titik

Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

jarak antara keduanya adalah

2

2 _{( )}

) (

PQ= x_p−x_q + y_p−y_q (5.2) Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.

-4 0 4

-4 0 4

Soal-Soal:

1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap P dan Q.

2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.

5.3. Parabola

Kita telah melihat bentuk kurva

2

kx

y = (5.3) yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola. Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu, seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola, dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.

Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks. Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.

x p py y x p y x p)2 2 ( )2 2 2 2 2 2 PR ( PQ= − + = − + = − + + p y ) ( PR= + [0,0] y x y=kx2 P[x,y] Q[0,p] R[x,−p]

Karena PQ = PR, maka p y x p py y2−2 + 2+ 2 = + 2 2 2 2 2 2 2py p x y py p y − + + = + + py x2=+4 + atau p x y 4 2 = yang berarti p k 4 1 = atau k p 4 1 = Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan

2 4 1 x p y = (5.4)

dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].

Contoh: Persamaan parabola y =0 x,5 2 dapat kita tuliskan

2 2 5 , 0 4 1 2 1 x x y × = =

dan parabola ini memiliki direktrik

y

= p

−

=

−

0

,

5

dan titik fokus di Q[0,(0,5)].

Soal-Soal:

Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:

8 4 2_{+ x=} y ; x2− y8 =4; 0 3 4 2 2_{+ − − =} y x x ; y2+x+ y=0 5.4. Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y] ke titik-asal adalah

2 2 XO= x +y

Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka

r y x2+ 2 =

Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah

2 2 2 _{y r}

x + = (5.5) dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di P[a,b] mempunyai persamaan

2 2 2 _{( )}

)

(x−a + y−b =r (5.6) Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan x2+ y2=1.

Gb.5.3. Lingkaran

Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2 = 0,4 berpusat di [(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5 skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan

4 , 0 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 (x− 2+ y− 2= -1 0,5 1 -1 _[0,0] 0,5 1 x y y1

Soal-Soal:

Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat lingkaran berikut

1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4. 2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5. 3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3. 4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.

5.5. Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan. Kedua

titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips.

Perhatikan Gb.5.4. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−a,0] dan Q(a,0]. Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah Gb.5.4. Elips 2 2 ) ( XP= x+c + y dan 2 2 ) ( XQ= x−c +y Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka

a y c x y c x ) ( ) 2 ( + 2+ 2 + − 2+ 2 =

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, akan kita peroleh

2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 4 4 ) (x+c +y = a − a x−c + y + x−c +y yang dapat disederhanakan menjadi

2 2 ) (x c y x a c a− = − + X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x

Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan 2 2 2 2 2 2 2 _{2 x x 2cx c y} a c cx a − + = − + +

yang dapat disederhanakan menjadi

1 2 2 2 2 2 = − + c a y a x

Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c, sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar nyata; misalkan a2−c2 =b. Dengan demikian kita mendapatkan persamaan elips 1 2 2 2 2 = + b y a x (5.7)

Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita mendapatkan persamaan lingkaran).

Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah

1 ) ( ) ( 2 2 2 2 = − + − b q y a p x (5.8)

dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan

1 5 , 0 ) 25 , 0 ( 1 ) 5 , 0 ( 2 2 2 = − + − y x

Gb.5.5. Elips tergeser.

Soal-Soal:

Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:

1) 9x2+ x4 2=36; 2) 4x2+ y9 2=144; 3) 4x2+ y2=1; 4) 16(x−2)2+9(y+3)2=144 5.6. Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di atas.

Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan Q(c,0].

Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah 2 2 ) ( XP= x+c + y dan 2 2 ) ( XQ= x−c +y 1 -1 0 -1 0 1

x

2 y

Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0]. Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka

a

y

c

x

y

c

x

)

(

)

2

(

+

2

+

2

−

−

2

+

2

=

Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan

2 2

)

(

)

/

(

c

a

x

−

a

=

x

−

c

+

y

Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh

1

2 2 2 2 2

=

−

−

a

c

y

a

x

Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua ruas kiri selalu positif, misalkan

c

2

−

a

2

=

b

2. Dengan demikian kita dapatkan persamaan

1

2 2 2 2

=

−

b

y

a

x

(5.9)

Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7. X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0] y

Gb.5.7. Kurva hiperbola

Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.

Soal-Soal:

Gambarkan (skets) hiperbola berikut:

1) 1 16 9 2 2 = − y x ; 2) 1 16 9 2 2 = − x y ; 3) 1 9 16 2 2 = − y x ; 4) 1 16 9 2 2 − = − y x

5.4. Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

0

2

2_{+Bxy+Cy +Dx+Ey+F=}

Ax (5.10)

Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan p E A F D C B= = = =0; =1; =−4 +∞ −∞ X(x,y) -c -a a c y x

sehingga diperoleh persamaan (5.4) 2 4 1 x p y = .

Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan ; 1 ; 1 ; 0 = = = = =D E A C B F = −1

Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari (5.10), di mana b F E a D C B A= = =0; =− ; =1; =−

yang memberikan persamaan garis lurus y=ax+b. Namun dalam kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi persamaan berderajat satu.

Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.

5.5. Perputaran Sumbu Koordinat

Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0] dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.

Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a] Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a

a a y a x a y a x ) ( ) ( ) ( ) 2 ( + 2+ + 2 − − 2+ − 2 = P[-a,-a] Q[a,a] y x

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh

2 2 ) ( ) (x a y a a y x+ − = − + −

Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan

2

2xy =a (5.11) Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.

Gb.5.9. Kurva 2xy = a2.

Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x. Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.

Gb.5.10. Perputaran sumbu. -5 0 5 -5 0 x’ y x α β y’

P[x,y]

P[x’,y’]

Q

Q’

O

Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan

) sin( OP PQ ) cos( OP OQ β + α = = β + α = = y x (5.12) Sementara itu β = = β = = sin OP PQ' ' cos OP OQ' ' y x (5.13)

Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6)

β α + β α = β + α β α − β α = β + α sin cos cos sin ) sin( sin sin cos cos ) cos( (5.14)

Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi

α + α = α − α = cos ' sin ' sin ' cos ' y x y y x x (5.15)

Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.

Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga

2 / 1 sin

cosα= α= . Oleh karena itu kita peroleh 2 ' ' y x x= − dan 2 ' ' y x y= +

Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan

2 2 2 ) ' ( ) ' ( 2 ' ' 2 ' ' 2x−y × x+y = x − y =a

Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9) sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o.

Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. 5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.