Matematika II 7/23/2013 ISI. Pengertian-Pengertian. Turunan Fungsi-Fungsi

Teks penuh

(1)

Matematika

Matematika

Matematika

Matematika II

II

II

II

Sudaryatno Sudirham 1 2

ISI

Turunan Fungsi-Fungsi:Fungsi Polinom

Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit

Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial

Integral:

Integral Tak-TentuIntegral Tentu Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial Orde-1Persamaan Diferensial Orde-2

Turunan

Turunan

Turunan

Turunan Fungsi

Fungsi

Fungsi

Fungsi----Fungsi

Fungsi

Fungsi

Fungsi

kemiringan garis lurus adalahKita telah melihat bahwa

) ( ) ( 1 2 1 2 x x y y x y m − − = ∆ ∆ =

Bagaimanakah dengan garis lengkung? ∆x ∆y 0 1 2 -1 0 1 2 3 4x y

Pengertian-Pengertian

(2)

P1 ∆y ∆x x y P2 y = f(x)

Jarak kedua titik potong semakin kecil jika∆x di perkecil menjadi∆x*

Pada kondisi ∆x mendekati nol,

kita peroleh ) ( ) ( ) ( lim lim 0 0 x f x x f x x f x y x x ∆ = ′ − ∆ + = ∆ ∆ → ∆ → ∆

Ini merupakan fungsi turunan dari

)

(x

f

di titik P

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

P1 ∆y* ∆x* x y y = f(x) ∗ 2 P Garis Lengkung

Garis lurus dengan kemiringan∆y/x memotong garis lengkung di dua titik

5

(x1,y1)

(x2,y2)

x y

f (x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1), f (x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

), ( x f y= Pada suatu garis lengkung

kita dapat memperoleh turunannya di berbagai titik pada garis lengkung tersebut

6

maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”

x y x ∆ ∆ → ∆lim0

Jika pada suatu titik x1di mana benar ada

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

x y y dx d dx dy x ∆ ∆ = = → ∆ 0 lim ) (

Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasi di semua x dalam dalam domain tersebut

kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”

k x f y0= ( )= 0 0 ) ( ) ( lim 0 0 = = − ∆ + = ′ → ∆ x x x f x x f y x Contoh: x x f y1= 1()=2 2 2 2 ) ( 2 lim ) ( 0 1 = ∆ = ∆ − ∆ + = ′ → ∆ x x x x x x x f x Contoh: 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 x4 5 y x y1=2 2 ) ( 1′x = f Fungsi ramp Fungsi tetapan

Mononom

(3)

2 2 2 f (x) 2x y = = x x x x x x x x x x x x x x f x x x 4 ) 2 2 2 ( lim 2 ) 2 ( 2 lim 2 ) ( 2 lim ) ( 0 2 2 2 0 2 2 0 2 = ∆ + × = ∆ − ∆ + ∆ + = ∆ − ∆ + = ′ → ∆ → ∆ → ∆

Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)

Contoh: 3 3 3 f(x) 2x y = = 2 2 2 2 0 3 3 3 2 3 0 3 3 0 3 6 2 3 2 3 2 lim 2 ) 3 3 ( 2 lim 2 ) ( 2 lim ) ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x = ∆ + ∆ × + × = ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ − ∆ + = ′ → ∆ → ∆ → ∆

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)

Contoh: 9 n mx x f y= ( )= ) 1 ( ) ( × − = ′ m nxn y

Secara umum, turunan fungsi mononom

adalah

k x f y′= ′( )=

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus dan turunannya berupa nilai konstan,

n mx y= ) (x f y′= ′

Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

n mx y=

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

) (x f y′′= ′′ turunan dari y′=f(x) ) (x f y′′′= ′′′ turunan dari y′′=f′′(x) *)Untuk n berupa bilangan tak bulat akan

dibahas kemudian *) 10 dx dy x f

y′= ′( )= disebut turunan pertama,

2 2 ) ( dx y d x f y′′= ′′ = turunan kedua, 3 3 ) ( dx y d x f y′′′= ′′′ = turunan ke-tiga, dst. 3 4 4 f (x) 2x y = = 12 ; 12 ) 2 ( 6 ; 6 ) 3 ( 2 4 ) 1 2 ( 4 2 ) 1 3 ( 4 = ′′′ = = ′′ = = ′ − − y x x y x x y Contoh: n mx x f y= ( )=

Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-100 0 100 200 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 x y= 3 4x y′= 2 12x y′′= y′′′=24x 24 = ′′′ ′ y 2 12 x y′′= 3 4x y′= Contoh: 3 4x y′= y′′=12x2 y′′′=24x y′′′′=24 4 x y= dan turunan-turunannya Fungsi

(4)

Contoh: ( ) 4 2 1 1=f x = x+ y

{

4( ) 2

} {

4 2

}

4 lim ) ( 1 = + − + ∆ + = ′ → ∆ x x x x x f x x f1(x) = 4x + 2 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5x 2 y 4 ) ( ' 1 x=

f Turunan fungsi ini

sama dengan turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f(x)

13

Polinom

) 2 ( 4 ) ( 2 2=f x= xy f2(x)=4x−8 4 ) ( 2′x= f ) 2 ( 4 ) ( 2x ==== x−−−− f 4 ) ( 2′′′′x==== f -15 -10 -5 0 5 10 -1 0 1 2 3 x 4 y Contoh: 14 Contoh: y3=f3(x)=4x2+2x−5

{

} {

}

2 8 2 2 4 5 2 4 5 ) ( 2 ) ( 4 lim 2 2 0 3 + = + × = ∆ − + − − ∆ + + ∆ + = ′ → ∆ x x x x x x x x x y x 5 2 4 5 ) ( 3 2 4 4=f x= x + x + xy

{

} {

}

2 8 15 2 2 4 3 5 5 2 4 5 5 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 5 lim 2 2 2 3 2 3 0 4 + + = + × + × = ∆ − + + − − ∆ + + ∆ + + ∆ + = ′ → ∆ x x x x x x x x x x x x x x y x Contoh: Secara Umum:

Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

dx dv w dx dw v dx vw d dx dy + = = ( ) ) ( ) )( ( ) ( v w v w w v vw w w v v y y ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ + = ∆ + x w v x v w x w v x vw v w v w w v wv x y y y x y ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ − ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ − ∆ + = ∆ ∆ ) ( ) (

vw

y

=

Jika maka

Fungsi Yang Merupakan

Perkalian Dua Fungsi

(5)

Contoh: 4 4 4 2 2 3 2 3 30 18 12 6 3 6 2 ) 3 2 ( x x x x x x x dx x x d y′= × = × + × = + = 5 6x y= y′=30x4 Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dx du vw dx dv uw dx dw uv dx du v dx dv u w dx dw uv dx uv d w dx dw uv dx w uv d dx uvw d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( + + =       + + = + = = Jika y=uvw 5 6x y= 4 4 4 4 2 2 2 2 30 12 12 6 ) 4 )( (3x ) 6 )( 2 ( ) 1 )( 3 2 ( ) ( x x x x x x x x x x x dx uvw d dx dy = + + = × + × + × = = Contoh:

Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

17 v v v v y1= 6= 3× 2× Contoh: dx dv v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v dx dv v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v v dx dv v v dx dv v v dx dy 5 4 5 5 5 2 2 3 4 5 3 2 2 3 2 3 1 6 2 ) ( ) ( ) ( =       + + + + =         + +       + + = + + = dx dv v dx dv dv dv dx dv6= 6 =65 dx dv nv dx dvn= n−1

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

18

Fungsi Yang Merupakan Pangkat

dari suatu Fungsi

Contoh: y=(x2+1)3(x3−1)2 ) 1 2 ( ) 1 )( 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 3 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 − + + − = + − + − + = + − + − + = + − + − + = x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d x dx x d x dx dy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w v y= y=vw−1       − = + − = + − = + = =       = − − − − − dx dw v dx dv w w dx dv w dx dv w v dx dv w dx dv vw dx dv w dx dw v dx vw d w v dx d dx dy 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ) ( 2 w dx dw v dx dv w w v dx d      − =       atau Jadi:

Fungsi Rasional

(6)

3 2 3 x x y= − 4 2 6 2 4 4 6 2 2 3 9 ) 9 3 ( 2 ) 3 )( 3 ( ) 2 ( x x x x x x x x x x x dx dy + − = − − = − − = Contoh: 2 2 1 x x y= + 3 2 2 2 4 2 1 0 2 x x x x x dx dy= + × − × = Contoh: 1 dengan ; 1 1 2 2 2 ≠ − + = x x x y 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( − − = − − − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x dx dy

(agar penyebut tidak nol) Contoh:

21

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan) q

p

n= dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0

Bilangan tidak bulat

dx dv pv dx dy qyq−1 = p−1

Jika y ≠ 0, kita dapatkan

dx dv qy pv dx v d dx dy q p q p 1 1 / ) ( − − = =

( )

/ 1 ( / ) 1 pqq p pq q v v y − = − = − dx dv v q p dx dv v q p dx dv qv pv dx v d dx dy q p q p p p q p p p q p 1 ) / ( ) / ( ) 1 ( ) / ( 1 / ) ( − + − − − − = = = = sehingga q p n v v y= = / yq=vp

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

22

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Kaidah rantai

) (t

f

x= dapat diturunkan terhadap t,

) (x

F

y= dapat diturunkan terhadap x dan

Jika

( )

f(t) g(t)

F

y= = dapat diturunkan terhadap t menjadi

maka dt dx dx dy dt dy =

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

) ( dan ) (t y f t f x= = ) (x F y=

Fungsi Parametrik dan

Kaidah Rantai

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di

atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat

didiferensiasi terhadap x.

Fungsi Implisit

(7)

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh 8 2 2+ + = y xy x Contoh: y x dx dy y x dx dy y dx dx y dx dy x x − − = + = + + + 2 ) 2 ( 0 2 2 y x y x dx dy 2 2 + + − = 0 ) 2

(x+ y ≠ kita peroleh turunan

Jika 25 4 3 4 3 4 4+ = y xy x 0 12 4 ) 3 ( 4 4 0 ) 3 ( ) 4 ( 4 4 3 3 2 3 4 3 3 3 = − + + = − + + dx dy y y dx dy y x x dx y d dx x d y dx dy x x

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

Contoh: ) ( 3 ) ( 3 2 3 3 y xy y x dx dy − + − = 0 )

(xy2−y3 ≠ kita dapat memperoleh turunan

Untuk 26 x x x x x x x x x x dx x d dx dy ∆ − ∆ + ∆ = ∆ − ∆ + = = sin sin cos cos sin sin ) sin( sin x y=sin maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu

x dx x d cos sin =

Turunan Fungsi Trigonometri

x x x x x x x x x x dx x d dx dy ∆ − ∆ − ∆ = ∆ − ∆ + = = cos sin sin cos cos cos ) cos( cos x y=cos maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu

x dx x d sin cos − =

(8)

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. x x x x x x x x dx d dx x d 2 2 2 2 sec cos 1 cos ) sin ( sin cos cos sin tan = − − = =      = x x x x x x x x dx d dx x d 2 2 2 2 csc sin 1 sin ) (cos cos sin sin cos cot − = − = − − =       = x x x x x x x dx d dx x d tan sec cos sin cos ) sin ( 0 cos 1 sec 2 2 = = − − =       = x x x x x x x dx d dx x d cot csc sin cos sin ) (cos 0 sin 1 csc 2 2 =− − = − =       = 29 Contoh:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6farad

merupakan fungsi sinus vC= 200sin400tvolt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor vCdan arus kapasitor iCadalah

dt dv C iC= C

(

200sin400

)

0,160cos400ampere 10 2 6 t t dt d dt dv C iC= C= × × = -200 -100 0 100 200 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 vC iC vC iC t [detik] 30 Contoh:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL= −0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vLdan arus induktor iLadalah

dt di L vL= L

(

t

)

t t dt d dt di L

vL= L=2,5× −0,2cos400 =2,5×0,2×sin400×400=200sin400

vL iL vLiL -200 -100 0 100 200 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t[detik] x

y=sin−1 x=siny dx=cosydy

y dx dy cos 1 = 2 1 1 x dx dy − = x 1 2

1

x

y y dx dy sin 1 − = 2 1 1 x dx dy − − = x 1

1

x

2 y x

y=cos−1 x=cosy dx=−sinydy

(9)

x y=tan−1 x=tany dy y dx 2 cos 1 = y dx dy=cos2 2 1 1 x dx dy + = x 1 2

1 x

+

y x y=cot−1 x=coty dy y dx 2 sin 1 − = y dx dy 2 sin − = 2 1 1 x dx dy + − = x 1 2

1

+

x

y 33 x y=sec−1 y y x cos 1 sec = = dy y x dx 2 cos ) sin ( 0−− = 1 1 1 1 sin cos 2 2 2 2 − =         − × = = x x x x x y y dx dy 1 x

1

2

x

y x y=csc−1 y y x sin 1 csc = = dy y x dx 2 sin ) (cos 0− = 1 1 1 1 cos sin 2 2 2 2 − − = − × − = − = x x x x x y y dx dy 1 x

1

2

x

y 34 dx dv v dx dv dv v d dx v d cos ) (sin ) (sin = = dx dv v dx dv dv v d dx v d sin ) (cos ) (cos = = Jika v = f(x), maka dx dv v dx dv x x x v v dx d dx v d 2 2 2 2 sec cos sin cos cos sin ) (tan = + =       = dx dv v v v dx d dx v d csc2 sin cos ) (cot =      = dx dv v v dx dv v v v dx d dx v d tan sec cos sin 0 cos 1 ) (sec 2 = + =       = dx dv v v v dx d dx v d cot csc sin 1 ) (csc =      =

Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (sin − = − dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (cos − − = − dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (tan + = − dx dw w dx w d 2 1 1 1 ) (cot + − = − dx dw w w dx w d 1 1 ) (sec 2 1 − = − dx dw w w dx w d 1 1 ) (csc 2 1 − − = − Jika w = f(x), maka

(10)

Turunan Fungsi Logaritmik

) 0 ( 1 ln ) ( 1 > = =

dt x t x x f x x x

f( )=ln didefinisikan melalui suatu integral Fungsi logaritmik

luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang

antara t = 1 dan t = x x t 1/x 1/t x +∆x 1/(x+∆x) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 y

= x dt t x 1 1 ln       ∆ = ∆ − ∆ + =

x+∆x x tdt x x x x x dx x dln ln( ) ln( ) 1 1

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx×1/x). Namun jika Δx

makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx×1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan

(Δx×1/x). x dx x dln 1 = ln(x+∆x)−lnx

Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut

37

Turunan Fungsi Eksponensial

x

e

y= lny=xlne=x

penurunan secara implisit di kedua sisi

1 1 ln = = dx dy y dx y d x e y dx dy= = atau Jadi turunan dari exadalah exitu sendiri

x e y′= y′′=ex y′′′=ex dst. . dx dv e dx dv dv de dx dev= v = v ) (x v v= Jika x e y= tan−1 2 tan 1 tan 1 tan 1 1 x e dx x d e dx dy x x + = = − − − 38

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

) ( lim 0 x f x y dx dy x ∆ = ′ ∆ = → ∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan ymerupakan fungsi dari x:y=F(x)

dx x F dy= '( )

2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

Diferensial

dx dan dy

Penjelasan secara grafis

P dx dy θ y x Ini adalah peubah bebas

Ini adalah fungsi (peubah tak bebas)

dx x F dy= '() P dx dy θ y x

Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva

θ =tan

dx

dy dy=(tanθ)dx adalah besar perubahan nilai ysepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x

berubah sebesar dx adalah laju perubahan y

terhadap perubahan x. P dx dy θ x y P dx dy θ x y P dx dy θ x y

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

(11)

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan ; 0 = = c dx dc dx dv c dx dcv= dx dw dx dv dx w v d( + )= + cdv dcv= konstan ; 0 = = c dc dw dv w v d(+ )= + dx dv w dx dw v dx dvw= + wdv vdw vw d( )= + 2 w dx dw v dx dv w dx w v d − =       2 w vdw wdv w v d = −      dx dv nv dx dvn= n−1 dvn=nvn−1dv 1 − = n n cnx dx dcx d(cxn)=cnxn−1dx Diferensial Turunan Fungsi 41

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian

dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh: y=x3−3x2+5x−6 5 6 3 2− + = ′ x x y dx x x dy=(3 2−6 +5) sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

dx x x dx xdx dx x d x d x d x d dy ) 5 6 3 ( 5 6 3 ) 6 ( ) 5 ( ) 3 ( ) ( 2 2 2 3 + − = + − = − + + − + = 42

Integral

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

) (x f dx dy =

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.

0 3 6 6 5 2 2 2 2 2 2 = + + + + = y x dx dy xy dx y d x x dx dy

Contoh persamaan diferensial Pengertian-Pengertian

(12)

) (x

F y=

Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan

diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi ) ( ) ( x f dx x dF = ) ( x f dx dy= Tinjau persamaan diferensial

[

( )

]

( ) ( ) 0 + = + = + dx x dF dx dK dx x dF dx K x F d Karena maka K x F y= ( )+

fungsi juga merupakan solusi

45

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

K x F dx x f = +

( ) ( ) dx x f x dF( )= ( )

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak

tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari ) ( ) ( x f dx x dF = 46 dapat dituliskan 4 5x dx dy = dx x dy=5 4 dx x x d( 5)=5 4 K x x d dx x y=

54 =

( 5)= 5+

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa Contoh:

oleh karena itu

Carilah solusi persamaan

y x dx dy= 2 Contoh: dx y x

dy= 2 kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung

peubah berbeda dx x dy y−1/2 = 2

( )

y y dy d2 1/2 = −1/2 d x3 x2dx 3 1 =      

( )

      = 3 2 / 1 3 1 2y d x d

Jika kedua ruas diintegrasi

2 3 1 2 / 1 3 1 2y +K = x +K K x K K x y1/2= 3+ 2− 1= 3+ 3 1 3 1 2

(13)

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini

dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

K y dy= +

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

ady=a dy

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika , 1 1 − ≠ + + = +

K n n y dy y n n

3. Jika bilangan n≠ −1, maka integral dari yndydiperoleh dengan

menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

49

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang

dimiliki oleh K.

kurva y=10x2

adalah kurva bernilai tunggal

50 100 -5 -3 -1 1 3 x5 y = 10x2 y 50 100 -5 -3 -1 1 3 5 K1 K2 K3 yi= 10x2+Ki y x K x dx x = +

3 102 3 10 kurva

adalah kurva bernilai banyak

50

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

3

0=

s

Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi

benda pada t = 4. Contoh:

t at v= =3

kecepatan percepatan waktu

dt ds v=

Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt dv a=

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

. vdt ds=

= + = + = atdt t K t K s 2 2 5 , 1 2 3 27 4= s

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K

+

=0

3 K =3

Kondisi awal: pada t = 0, s0= 3 s=1,5t2 +3

Luas Sebagai Suatu Integral

) (x

f y=

Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh: y = f(x) =2 y x 0 2 p x x+x q ApxApx ) ( 2 f x x Apx= = ∆ ∆ atau 2 ) ( lim 0 ∆ = = = ∆ → ∆ dx f x dA x Apx px x K x dx dA Apx=

px=

2 =2 + Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx= 0untuk x = p

K p+ =2 0 atau K=−2p x Apx= ∆ ∆ 2 p x Apx=2 −2 Apq=2q−2p=2(qp)

(14)

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang pxq p x x+x q y x y = f(x) 0 f(x) f(x+x ) ApxApx

Apxbisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan ∆Apx= f(x)x atau ∆Apx= f(x+x)x x x x f x x f x x f Apx= ∆ ≤ ∆ ≤ +∆ ∆ ∆ ( ) (0) ( )

x0adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x

Jika ∆x→0: lim () 0 dx f x dA x Apx px x ∆ = = ∆ → ∆ Apx=

dApx=

f(x)dx=F(x)+K

]

q p pq Fq F p Fx A = ( )− ( )= ( ) 53

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x y = f(x)

0

Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas

segmen p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0 p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0 Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk)×∆xk

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)×∆xk Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

54

2. Integral Tentu

k k k k k k x f x x f x x x x f( )∆ ≤ ( 0 )∆ ≤ ( +∆)∆ k n k k n k k k n k k k x f x x f x x x x f ∆ ≤

∆ ≤

+∆ ∆

= = = 1 1 0 1 ) ( ) ( ) (

Jika∆xk→0 ketiga jumlah ini mendekati

suatu nilai limit yang sama

p x2 xk xk+1 xnq y x y = f(x) 0 p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0 Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk)×∆xk

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)×∆xk Jika x0kadalah nilai x di antara xkdan xk+1maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu

= q p pq f xdx A ( )

]

( ) ( ) ) ( ) (xdx Fx Fq F p f A qp q p pq=

= = − p x2 xk xk+1 xn q y x y = f(x) 0

(15)

Apxadalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai

x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Definisi

x x y= 3−12

Luas antara dan sumbu-x

dari x = −3sampai x = +3. Contoh: x x y= 3−12 -20 -10 0 10 20 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 75 , 33 ) 54 25 , 20 ( 0 6 4 ) 12 ( 0 3 2 4 0 3 3 = − − − =     − = − = − −

x xdx x x Aa 75 , 33 ) 0 ( 54 25 , 20 6 4 ) 12 ( 3 0 2 4 3 0 3 − = − − =     − = − =

x xdx x x Ab 5 , 67 ) 755 , 33 ( 75 , 33 −− = = − = a b pq A A A 57

Luas Bidang

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi

( )

) ) ( ) (xdx Fq Fp f A q p = − =

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x

p q y x A4 A1 A2 A3 y = f(x)

( )

) ) ( ) (xdx Fq F p f A q p pq=

= − 4 3 2 1 A A A A Apq=− + − + 58

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

) ( 1 1 f x y= berada di atas y2=f2(x) p q y x 0 y1 y2 x x+xApx

{

f x f x

}

x A Asegmen=∆ px= 1( )− 2( )∆ Rentang pxq

dibagi dalam n segmen

{

}

= −∆ = ∆ − = x q x p x n segmen f x f x x A 1( ) 2( ) 1

jumlah semua segmen:

{

}

= − = →∞ q p n segmen pq A f x f x dx A lim 1() 2( ) 1

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit

{

4 ( 2)

}

6

]

18 ( 12) 30 ( 32 3 2 −− = = −− = = + +

dx x Apq 4 1= y y2=−2 Jika dan

berapakah luas bidang antara y1dan y2

dari x1 = p = −2sampai x2= q = +3. Contoh: 2 1 x y = y2=4 Jika dan

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1dan y2. Contoh:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1dan y2.

2 , 2 4 2 1 2 2 1=yx = ⇒x =p=− x =q= y 3 32 3 16 3 16 3 8 8 3 8 8 3 4 ) 4 ( 2 2 -3 2 2 2 = − − =       − −       −             − = − =

x x dx x Apq 0 2 4 -2 -1 0 1 2 y2 y1 y2 di atas y1 y x

(16)

2

2 1=−x +

y y2=−x

Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1dan y2.

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

2 2 8 1 1 ; 1 2 8 1 1 0 2 atau 2 2 2 2 1 2 2 2 1 = − + − − = = − = − + + − = = = + + − − = + − → = q x p x x x x x y y 5 , 4 2 2 1 3 1 4 2 3 8 2 2 3 ) 2 ( 2 1 2 3 2 1 2 =      + −       + + =             + + − = + + − = − −

x xdx x x x Apq -4 -2 0 2 4 -2 -1 0 1 2 y1di atas y2 y1 y2 y x 61

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

yang memberikan dt dw p= w=

pdt [kWh] hour Watt kilo 8 , 0 [Wh] r Watt.hou 800 100 100 80 8 0 8 0 = = = = =

pdt

dt t w Penerapan Integral Contoh:

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah 62 dt dq i= q=

idt coulomb 625 , 0 2 25 , 1 2 05 , 0 05 , 0 5 0 5 0 2 5 0 = = = = =

idt

tdt t q

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =

0sampai t = 5 detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah Contoh:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok

x

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan

maka volume irisan ∆Vadalah

x x x A V x x A( )∆ ≤∆ ≤ ( +∆ )∆

Volume balok V adalah =

q p x x A V ( )

luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).

Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita

memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:

q p x x A V ( )

Jika ∆xmenuju nol dan A(x)

kontinyu antara p dan q maka : =∆→

∆ =

q p q p o x Ax x Axdx V lim ( ) ( )

(17)

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x y xx O Q P

A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

[ ]

= π = π = hAxdx h rx dx h m xdx V 0 2 2 0 2 0 ( ) ( ) m: kemiringan garis OP h: jarak O-Q. 3 3 PQ/OQ) ( 3 2 3 2 3 2 kerucut h r h h m V =π =π =π

Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

65

Rotasi Bidang Sembarang

y xx 0 a b f(x)

( )

2

(

)

2 ) ( ) ( ) (x rx f x A =π =π

(

)

π = b a f x dx V ( )2

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

y xx 0 a b f2(x) f1(x) f3(x) 66

Persamaan Diferensial

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

x e x y dx y d dx y d = + +         +         1 2 5 2 2 2 3 3 Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.

(18)

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya

y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0 = + −kex kex x ke y= − +y=0 dt dy

adalah solusi dari persamaan x

ke

y= − dydt=−kex

karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

69

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0 ) ( ) (ydy+g xdx= f

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

f(y)dy+ g(x)dx)=K

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

70

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan y x e dx dy= − 0 = −edx dy ey x y x e e dx dy=

Persamaan ini dapat kita tuliskan yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah

K e eyx= ey=ex+K sehingga atau Contoh: K dx e dy ey

x =

Integrasi kedua ruas memberikan:

Contoh: xy dx dy 1 = 0 = − x dx ydy K x dx ydy

=

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

K x y = ln 2 2 K x y= ln 2+ ′ atau x dx ydy= atau

Integrasi kedua ruas:

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk       = x y F dx dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru x y v= vx y= dx dv x v dx dy= + ) (v F dx dv x v+ = 0 ) ( = − + v F v dv x dx Pemisahan peubah:

yang akan memberikan dan v v F dx dv x = ()− x dx v v F dv = − ) ( atau:

(19)

Contoh: (x2+y2)dx+2xydy=0 0 2 ) 1 ( 2 2 2 + dx+ xydy= x y x

Usahakan menjadi homogen

dy x y dx x y 2 ) 1 ( 2 2 − = + ) / ( ) / ( 2 ) / ( 1 2 x y F x y x y dx dy = + − = Peubah baru v = y/x

vx y= dx dv x v dx dy= + v v dx dv x v 2 1+ 2 − = + v v v v v dx dv x 2 3 1 2 1+ 2= + 2 − − = x dx v vdv = +32 1 2 0 3 1 2 2= + + v vdv x dx

Peubah terpisah atau

) ( 2 1 2 v F v v dx dy= + = 73

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan

v sebagai fungsi x. 0 3 1 2 2= + + v vdv x dx dx x d x ) (ln 1= ) 6 ( 3 1 1 ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1 ln( ) 3 1 ln( 2 2 2 2 2 v v dv v d v d v d dv v d + = + + + = +

Kita coba hitung

K K v x+ + = = ln ′ 3 1 ) 3 1 ln( 3 1 ln 2 0 ) 3 1 ln( 3 1 2 = + + dv dv v d x dx K K v x+ln(1+3 )= =ln ′ ln 3 2 K v x3(1+3 2)= ′

(

y x

)

K x31+3( / )2 = ′ x

(

x2+3y2

)

=K

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:

74

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

Pdan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan

pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik. Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai ) (t f by dt dy a + =

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,

yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

Q Py dx dy+ =

Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada

peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara

pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan

solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen 0 = +by dt dy a

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai

a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi

(20)

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan

yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,

maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

(

)

0 ) ( 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 + + = + + + = + + + = + bf dt df a bf dt df a bf dt df a f f b dt f f d a by dt dy a

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan

kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.

77 Solusi Homogen Persamaan homogen +by=0 dt dy a

Jika yaadalah solusinya maka

0 = + dt a b y dy a a

Integrasi kedua ruas memberikan

K t a b ya+ = ln sehingga K t a b ya=− + ln t a b a K t a b a e K e y = − + = −(/ )

Inilah solusi homogen

78 ) (t f by dt dy a p p+ =

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

t K t K y t A t f t A t f Ke y Ae t f K y A t f y t f s c p t p t p p ω + ω = → ω = ω = = = → = = = = → = = = → = α α sin cos cos ) ( atau , sin ) ( Jika al eksponensi al, eksponensi ) ( Jika konstan konstan, ) ( Jika 0 0 ) ( Jika

Jika solusi khusus adalah yp, maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi ypyang tergantung dari f(t) ini

dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalah

This image cannot currently be display ed.

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

0 1000 =

+ v

dt dv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V. Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.

0 1000 = + dt v dv K t v=−1000+ ln t a K t K e e v= −1000+ = −1000

Penerapan kondisi awal: 12=Ka

(21)

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

12 10−3 +v=

dt dv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 10−3 a+va=0 dt dv 0 103 = + dt v dv a a t a a K e v = −1000

Solusi khusus: vp=12 karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan): vtotal=12+Kae−1000t

Penerapan kondisi awal: 0=12+Ka Ka=−12

Solusi total: vtotal=12−12e1000t V

81 Contoh: t v dt dv 10 cos 100 5 = +

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien menghasilkan persamaan

Carilah solusi total.

Solusi homogen: a+5va=0 dt dv 0 5 = + dt v dv a a K t va+5 = ln va=Kae−5t Solusi khusus: vp=Accos10t+Assin10t

t t A t A t A t

Acsin10 10 scos10 5 ccos10 5 ssin10 100cos10

10 + + + = − t t A t

Ascos10 5 ccos10 100cos10

10 + = 10As+5Ac=100 0 10 sin 5 10 sin 10 + = − Ac t As t −10Ac+5As=0 8 = s A Ac=4

Solusi total (dugaan): t

ae K t t

v=4cos10 +8sin10+ −5

Penerapan kondisi awal:0=4+Ka Ka=−4

Solusi total : t e t t v=4cos10+8sin10−4−5 82

Untuk sementara ini mengenai persamaan

diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku

Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2

Persamaan Diferensial Orde-2

Matematika

Matematika

Matematika

Matematika II

II

II

II

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :